2023-2024學(xué)年湖南省永州市九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2023-2024學(xué)年湖南省永州市九年級第一學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本大題共8個小題，每小題3分，共24分，在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的；請將你認(rèn)為正確的選項填涂到答題卡上）

1.下列函數(shù)中，y是x的反比例函數(shù)的是（)

51Y1

A.y——B.y="C.y=—D.y--------

XX22X+1

2.一元二次方程2x2-￡x-3=0的一次項系數(shù)是()

A.2B.—C.」D.-3

22

3.下列各組中的四條線段成比例的是()

A.lev?!,2cm,3cm,4cmB.1cm,2cm,20cm,40cm

C.2cm,5cm,3cmD.5ctn,10cm,15c>n,20cm

4.已知點A(-1,yi),B(-2,y2)在函數(shù)>=-且的圖象上，則力，”的大小關(guān)系是

x

()

A.yi<y2B.yi>y2C.yi=y2D.不能確定

5.一元二次方程N-8x-1=0配方后可變形為()

A.(x+4)2=17B.(%-4)2=17C,(x+4)2=15D.(%-4)2=15

7.《孫子算經(jīng)》是中國古代重要的數(shù)學(xué)著作，成書于約一千五百年前，其中有首歌謠：今

有竿不知其長，量得影長一百五十寸，立一標(biāo)桿，長一十五寸，影長五寸，問竿長幾何？

意即：有一根竹竿不知道有多長，量出它在太陽下的影子長一百五十寸，同時立一根一

十五寸的小標(biāo)桿，它的影長五寸，則竹竿的長為（）

竹\

標(biāo)\

\#[\

A.500寸B.450寸C.100寸D.50寸

8.如圖，在X軸的正半軸上依次截取O4|=AlA2=A2A3=A344=A4A5="?=A2022A2023,過點

9

A|,Al,43,A*A5,…，A2022,A2023分別作“軸的垂線，與反比例函數(shù)y=—(xKO)的

圖象相交于點尸1，尸2，23,。4,尸5,…，尸2022，22023，得直角三角形OP]A],A]P2A2,42P3A3,

4尸4A4,A4P5A5,…，A2022P2023A2023，并設(shè)其面積分別為S】，S],S3,S4,S5,…，§2023,

則S2023的值為()

2024202220232025

二、填空題(本大題共8個小題，每小題3分，共24分.請將答案填在答題卡的答案欄內(nèi))

9.若且_=2,則竺2=_________________________.

b32a+b

10.若x=-1是關(guān)于x的一元二次方程N+3x+a=0的一個根，則a的值為.

11.已知關(guān)于X的方程X2-fcv+6=0的兩根分別是XI,X2,則XIX2的值是.

12.已知點C是線段AB的黃金分割點，AB=\cm,AC>BC,則AC

13.某藥品原價每盒25元，為了響應(yīng)國家解決老百姓看病貴的號召，經(jīng)過連續(xù)兩次降價,

現(xiàn)在售價每盒16元，則該藥品平均每次降價的百分率是.

14.反比例函數(shù)y=3(x>0)與正比例函數(shù)的交點坐標(biāo)為__________.

x3

15.如圖：△ABOsXCD。、若48=10,CO=4,AO=6,則OC的長為

D

BO

16.如圖，點A是雙曲線y=-且在第二象限分支上的一個動點，連接A。并延長交另一分

X

支于點8,以A8為底作等腰△A8C且NAC8=I20。，點C在第一象限，隨著點A的

運動，點C的位置也不斷變化，但點C始終在雙曲線y=K上運動，則火的值為.

x

三、解答題(本大題共10個小題，第17、18題每小題5分，第19、2()題每小題5分，第

21、22題每小題5分，第23、24題每小題5分，第25、26題每小題5分，共72分.解答

題要求寫出必要的文字說明或演算步驟)

17.解方程：2X2-4X+1=0.

18.已知反比例函數(shù)y=［主的圖象經(jīng)過A(2,-4).

x

(1)求k的值；

(2)判斷點8(-1,5)是否在這個函數(shù)的圖象上，并說明理由.

19.如圖，在△ABC中，BC=8,AC=4,。是BC邊上一點，CD=2.

求證△ABCSAZMC.

20.如圖，在直角三角形ABC中，ZC=90°,NA=30°,BC=6cm,煎P,。同時從B,

4出發(fā)，分別向終點4C移動，P,Q的速度分別是2sz/s,Ic/n/s,問經(jīng)過幾秒后，三

角形APQ的面積是4。層？

21.已知關(guān)于x的一元二次方程N+(,〃+3)x+w+1=0.

(1)求證：無論“取何值時，原方程總有兩個不相等的實數(shù)根；

(2)若X”X2是原方程的兩根，且xj+x1=4，求機的值.

22.如圖，己知△ABC中，DE//BC,EF//AB.

(1)求證：/XADE^^EFC；

(2)AD；DB=2：3,48=15,BC=10,求四邊形8OEF的周長.

23.如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)y=@(x>0)的圖象交于A(1,3),B(n,2)

x

兩點.

(1)求一次函數(shù)表達(dá)式和反比例函數(shù)表達(dá)式；

(2)直接寫出關(guān)于x的不等式"+%<@的解集；

x

(3)求aAOB的面積.

24.商場某種商品平均每天可銷售30件，每件盈利50元.商場為了減少庫存開始降價銷售,

每件商品每降價1元，商場平均每天可多售出2件.

(1)在商場日盈利達(dá)到2100元時，每件商品應(yīng)該降價多少元？

(2)若商場要保證每天銷售量不少于100件，每件商品最多能盈利多少元?

25.如圖，RtZ\OAB的直角頂點B在x軸的正半軸上，點4在第一象限內(nèi)，已知反比例函

數(shù)y上(x>0)的圖象經(jīng)過線段OA的中點。，交直線48于點C.若△048的面積為6.

x

(1)求k的值；

(2)若AC=OB,求點A的坐標(biāo).

26.如圖，在正方形ABCD中，點M是邊8c上的一點(不與8、C重合)，點N在邊CD

延長線上，且滿足NMAN=90°,聯(lián)結(jié)MN,AC,MN與邊4力交于點E.

(1)求證：AM=AN-,

(2)如果NCAD=2/NAO,求證：

(3)MN交AC點。，若粵=%，則%=(直接寫答案、用含

BM0N-------------------------------

k的代數(shù)式表示).

參考答案

一、選擇題（本大題共8個小題，每小題3分，共24分，在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的；請將你認(rèn)為正確的選項填涂到答題卡上）

1.下列函數(shù)中，y是x的反比例函數(shù)的是（）

5]V1

A.y=—B.y=-5"C.y=—D.y=----

XX22x+1

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的定義（形如y=區(qū)上為常數(shù)，ZWO的函數(shù)稱為反比例函數(shù)）逐

X

一判斷即可得答案.

解：A、y=a中，y是x的反比例函數(shù)，故該選項符合題意；

X

B、?中，y是N的反比例函數(shù)，故該選項不符合題意；

X

C、y=2是一次函數(shù)，故該選項不符合題意；

X

D、y==中，y是x+1的反比例函數(shù)，故該選項不符合題意.

x+1

故選：A.

【點評】本題考查了反比例函數(shù)的定義，形如）'=區(qū)（％為常數(shù)，左/0）的函數(shù)稱為反比

X

例函數(shù).其中X是自變量，y是函數(shù)，自變量X的取值范圍是不等于0的一切實數(shù).

2.一元二次方程2乂2-^（-3=0的一次項系數(shù)是（）

A.2B.—C.二D.-3

22

【分析】根據(jù)一元二次方程的一般形式，即可解答.

解：一元二次方程2乂24乂-3=0的一次項系數(shù)是），

故選：C.

【點評】本題考查了一元二次方程的一般形式及其概念，熟練掌握和運用一元二次方程

的一般形式及其概念是解決本題的關(guān)鍵.

3.下列各組中的四條線段成比例的是（）

A.\cm,2cm,3cm,4cmB.\cmf2cm,20cm,40cm

C.4cmf2cm95cm,3cmD.5cm,10cm,15cmf20cm

【分析】理解成比例線段的概念，注意在線段兩兩相乘時，讓最小的和最大的相乘，另

外兩條相乘，看它們的積是否相等.

解：根據(jù)兩條線段的乘積等于另外兩條線段的乘積，則四條線段叫成比例線段.

A,1X4W2X3,所以四條線段不成比例；

B,1X40=2X20,四條線段成比例;

C,4X3W2X5,所以四條線段不成比例；

D,5X20^10X15,所以四條線段不成比例.

故選：B.

【點評】本題考查成比例線段的概念，關(guān)鍵是理解比例線段的定義.

4.己知點A(-1,yi),B(-2,丫2)在函數(shù)>=-且的圖象上，貝Uyi,”的大小關(guān)系是

X

()

A.B.y\>yiC.y\=yiD.不能確定

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征可分別計算出yi,”的值，然后比較大小

即可.

解：?.?點A(-1,yi),B(-2,>2)在函數(shù)y=-且的圖象上，

x

?..>'1=----6--=6A,w=----6-=3a,

-1-2

/.JI>>'2.

故選：B.

【點評】本題主要考查反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，所有在反比例函數(shù)上的點的橫

縱坐標(biāo)的積應(yīng)等于比例系數(shù).

5.一元二次方程N-8x-1=0配方后可變形為()

A.(x+4)2=17B.(X-4)2=]7C.(x+4)2=15D.(x-4)2=15

【分析】先移項，再兩邊配上一次項系數(shù)一半的平方可得.

解：8x7=0,

.".X2-8x=1,

.'.x2-8x+l6=l+16,即(x-4)2=17,

故選：B.

【點評】本題考查了一元二次方程的解法.解一元二次方程常用的方法有直接開平方法,

配方法，公式法，因式分解法，要根據(jù)方程的特點靈活選用合適的方法.

6.如圖，小正方形的邊長為1,則下列圖中的三角形與△ABC相似的是（)

【分析】根據(jù)網(wǎng)格中的數(shù)據(jù)求出AB,AC,BC的長，求出三邊之比，利用三邊對應(yīng)成比

例的兩三角形相似判斷即可.

解：根據(jù)題意可得：AB=2,BC=V2,AC=J記，ABC：AB；AC=1：近:娓,

A.三邊之比為我：泥：3,圖中的三角形（陰影部分）與△ABC不相似.

B.三邊之比為1：瓜瓜,圖中的三角形（陰影部分）與AABC不相似.

C.三邊之比為1：72：代，圖中的三角形（陰影部分）與△ABC相似.

D.三邊之比為遙：4：V29，圖中的三角形（陰影部分）與△4BC不相似.

故選：C.

【點評】此題考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解本題的關(guān)

鍵.

7.《孫子算經(jīng)》是中國古代重要的數(shù)學(xué)著作，成書于約一千五百年前，其中有首歌謠：今

有竿不知其長，量得影長一百五十寸，立一標(biāo)桿，長一十五寸，影長五寸，問竿長幾何？

意即：有一根竹竿不知道有多長，量出它在太陽下的影子長一百五十寸，同時立一根一

十五寸的小標(biāo)桿，它的影長五寸，則竹竿的長為（）

竹\

標(biāo)\

\用\

A.500寸B.450寸C.100寸D.50寸

【分析】根據(jù)同一時刻物高與影長成正比可得出結(jié)論.

解：設(shè)竹竿的長度為x寸，

?竹竿的影長=150寸，標(biāo)桿長=15寸，影長=5寸，

._x___15

,?兩記，

解得x=450.

答：竹竿長為450寸，

故選：B.

【點評】本題考查的是相似三角形的應(yīng)用，熟知同一時刻物高與影長成正比是解答此題

的關(guān)鍵.

8.如圖，在X軸的正半軸上依次截取04=A|A2=AM3=43A4=A"5=-=A2022A2023,過點

9

Al,AT,A3,AA,A5,…,A2022,A2023分別作X軸的垂線,與反比例函數(shù)y=—（X卉0）的

圖象相交于點P\,尸2,P3,P4,Pit…，P2022，P2023,得直角三角形OP1A1,A1P2A2,A2P3A3,

A3P4A4,A4P5A5,A2022P2023A2023,并設(shè)其面積分別為Si,S2,S3,S4,S5,…，$2023,

2024202220232025

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)尸K中A的兒何意義再結(jié)合圖象即可解答.

X

解：??,過雙曲線上任意一點與原點所連的線段、坐標(biāo)軸、向坐標(biāo)軸作垂線所圍成的直角

三角形面積S是個定值，S=￡|川，

=

??Si1,S2OA2p2=1,

VOAI=AIA2,

._1

??—OAOA2P2---,

22

同理可得，S2=《S]=A，S3==S1==，S4=1S|=±,

223344

以此類推，

n

?0_1

??32023?

2023

故選：C.

【點評】主要考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，即過雙曲線上任意一點引x軸、y軸

垂線，所得矩形面積為因，是經(jīng)?？疾榈囊粋€知識點；這里體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，做

此類題一定要正確理解k的兒何意義.圖象上的點與原點所連的線段、坐標(biāo)軸、向坐標(biāo)

軸作垂線所圍成的直角三角形面積S的關(guān)系即S=^|。

二、填空題(本大題共8個小題，每小題3分，共24分.請將答案填在答題卡的答案欄內(nèi))

9.若2=2則^^=1.

b32a+b-7-

【分析】根據(jù)比例設(shè)a=2k,b=3k(^0),然后代入比例式進(jìn)行計算即可得解.

解:"得

，設(shè)4=2々，b=3k(k手0),

.2a-b_2*2k-3k_1

'，2a+b-2-2k+3k―〒

故答案為：-y.

【點評】本題考查了比例的性質(zhì)，此類題目，利用“設(shè)A法”求解更簡便.

10.若x=-1是關(guān)于x的一元二次方程x^+3x+a=0的一個根，則a的值為2.

【分析】根據(jù)關(guān)于x的一元二次方程N-3x+a=0有一個根為2,將x=2代入方程即可

求得〃的值.

解：；x=-1是關(guān)于x的一元二次方程x2+3x+a=0的一個根，

(-1)2+3X(-1)+67=0,

解得，4=2,

故答案為：2.

【點評】本題考查一元二次方程的解，解答本題的關(guān)鍵是明確一元二次方程解得含義.

11.已知關(guān)于X的方程N-公：+6=0的兩根分別是Xi,X2,則X1X2的值是6.

【分析】直接利用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解即可.

解：,.?/-日+6=0的兩根分別是xi,X2,

.?.xiX2=6.

故答案為：6.

【點評】本題主要考查根的系數(shù)的關(guān)系，解答的關(guān)鍵是熟記一元二次方程a^+bx+c=0

(a#0)的根與系數(shù)的關(guān)系為：xi+%2=--.XI?X2=￡.

12.已知點C是線段A8的黃金分割點，AB=\cm,AOBC,則AC=

【分析】根據(jù)黃金分割的定義進(jìn)行計算，即可解答.

解：,??點C是線段AB的黃金分割點，AB=\cm,AC>BC,

..AC=-----AB=------cm,

22

故答案為：叵Ncvn.

【點評】本題考查了黃金分割，熟練掌握黃金分割的定義是解題的關(guān)鍵.

13.某藥品原價每盒25元，為了響應(yīng)國家解決老百姓看病貴的號召，經(jīng)過連續(xù)兩次降價，

現(xiàn)在售價每盒16元，則該藥品平均每次降價的百分率是20%.

【分析】設(shè)該藥品平均每次降價的百分率為x,根據(jù)降價后的價格=降價前的價格(1-

降價的百分率),則第一次降價后的價格是25(I-x),第二次后的價格是25(1-%)

2,據(jù)此即可列方程求解.

解：設(shè)該藥品平均每次降價的百分率為X,

由題意可知經(jīng)過連續(xù)兩次降價，現(xiàn)在售價每盒16元，

故25(1-x)2=16,

解得x=0.2或1.8(不合題意，舍去)，

故該藥品平均每次降價的百分率為20%.

【點評】本題考查數(shù)量平均變化率問題.原來的數(shù)量(價格)為m平均每次增長或降低

的百分率為x的話，經(jīng)過第一次調(diào)整，就調(diào)整到a(l±x),再經(jīng)過第二次調(diào)整就是a(1

±x)(l±x)=a(l±x)2.增長用“+”，下降用“-”.

Q1

14.反比例函數(shù)(x>0)與正比例函數(shù)丫=為的交點坐標(biāo)為(3,1).

x3

【分析】解析式聯(lián)立成方程組，解方程組即可求得.

解：由.7*解得或卜7,

“亍_1Iy=lly=-l

\'x>0,

...反比例函數(shù)>=3(x>0)與正比例函數(shù)>=人的交點坐標(biāo)為(3,1),

故答案為(3,1).

【點評】此題考查的是正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的交點問題，聯(lián)立兩函數(shù)解析式求交點

坐標(biāo)是常用的方法，也是基本的方法，需熟練掌握.

15.如圖：XABO-xcDO,若A8=10,CD=4,A0=6,則0C的長為2.4

【分析】直接利用相似三角形的性質(zhì)得出對應(yīng)邊之間的關(guān)系進(jìn)而得出答案.

解：^ABO^/XCDO,

.OCDC

OAAB

：4B=10,CD=4,AO=6,

.OC4

?.二一，

610

解得：CO=2.4.

故答案為：2.4.

【點評】此題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，正確得出對應(yīng)邊之間關(guān)系是解題關(guān)鍵.

16.如圖，點A是雙曲線y=-2■在第二象限分支上的一個動點，連接AO并延長交另一分

X

支于點8,以A8為底作等腰△A8C,且NAC8=I20。，點C在第一象限，隨著點A的

運動，點C的位置也不斷變化，但點C始終在雙曲線丫=區(qū)上運動，則k的值為3.

x

【分析】連接CO,過點A作AOLx軸于點￡>,過點C作CELx軸于點E,證明△A。。

sXOCE,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出△A。。和aocE面積比，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上

點的特征求出&AOD,得到$△￡聽,求出大的值.

解：連接CO,過點A作軸于點過點C作軸于點E,

:連接A。并延長交另一分支于點B,以AB為底作等腰△ABC,且乙4。3=120°,

ACOLAB,ZCAB=30°,

則N4QD+NCOE=90°,

???ND40+N400=90°,

：.ZDAO=ZCOEf

又?.?/4。0=/。E0=90°,

：./\AOD^/\OCE,

.AD_OD_OAo_rr

??西一瓦一而i水<。n-百，

（折2=3,

'△EOC

?.?點A是雙曲線），=-a在第二象限分支上的一個動點,

x

1Q

SAAOD:=-X|xy|—）

Q1Q

??.SAEOC=W，即占XOEXCE=W，

222

：.k=OEXCE=3,

故答案為：3.

【點評】此題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點以及相似三角形的判定與性質(zhì)，

得出△AOOs^ocE是解題關(guān)鍵.

三、解答題（本大題共10個小題，第17、18題每小題5分，第19、20題每小題5分，第

21、22題每小題5分，第23、24題每小題5分，第25、26題每小題5分，共72分.解答

題要求寫出必要的文字說明或演算步驟）

17.解方程:級2-41+1=0.

【分析】先化二次項系數(shù)為1,然后把左邊配成完全平方式，右邊化為常數(shù).

解：由原方程，得

等式的兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方，得

x2-2x+l=—,

2

配方，得

(x-1)2=工，

2

直接開平方，得

x-1=±返，

2

M=l+亞,X2=l--.

22

【點評】本題考查了解一元二次方程--配方法.用配方法解一元二次方程的步驟：

(1)形如N+px+q=0型：第一步移項，把常數(shù)項移到右邊；第二步配方，左右兩邊加

上一次項系數(shù)一半的平方；第三步左邊寫成完全平方式；第四步，直接開方即可.

(2)形如"2+/zr+c=0型，方程兩邊同時除以二次項系數(shù)，即化成N+px+g=O,然后配

方.

18.已知反比例函數(shù)上的圖象經(jīng)過A(2,-4).

x

(1)求k的值；

(2)判斷點8(-1,5)是否在這個函數(shù)的圖象上，并說明理由.

【分析】(1)首先利用待定系數(shù)法求出人的值；

(2)利用解析式算出當(dāng)x=-1時，函數(shù)的值即可判斷.

解：(1)???反比例函數(shù)y=13的圖象經(jīng)過A(2,-4).

X

Al-k=2X(-4),

???仁9；

(2)把x=-1代入反比例函數(shù)解析式尸一旦得，y=8W5,

x

所以點8(-1,5)不在這個函數(shù)的圖象上.

【點評】此題主要考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)，關(guān)鍵是掌握凡是反比例函數(shù)圖象經(jīng)

過的點，都能滿足解析式.

19.如圖，在△ABC中，BC=8,AC=4,。是BC邊上一點，CD=2.

求證

A

B

【分析】由題意可得筌=笑，ZC=ZG可得結(jié)論.

ACCD

【解答】證明：；BC=8,AC=4,CD=2,

?購=旦=2空一J

"AC4'CD2'

.BC_AC

“而一訪‘

：NC=/C,

：./\ABC<^/\DAC.

【點評】本題考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵.

20.如圖，在直角三角形ABC中，/C=90°,/月=30°,BC=6cm,點尸，。同時從B,

A出發(fā)，分別向終點A,C移動，P,。的速度分別是2a〃/s,Ic/H/s,問經(jīng)過幾秒后，三

角形APQ的面積是4cm2?

【分析】在Rl^ABC中，利用“30°角所對的直角邊等于斜邊的一半”,可求出AB的

長度，過點。作QM_LA8于點M,設(shè)運動時間為fs,則AP=(12-2/)cm,AQ=tcm,

根據(jù)三角形4P。的面積是公源，可列出關(guān)于f的一元二次方程，解之即可

得出結(jié)論.

解：在RtZiABC中，ZC=90°,NA=30°,BC=6cm,

：.AB=2BC=2X6=n(cm).

過點。作QM_L43于點/，如圖所示.

設(shè)運動時間為凡則AP=(12-2r)cm,AQ=tcmtQM=—AQ=—tcmy

根據(jù)題意得：(12-2f)=4,

22

整理得：戶一6什8=0,

解得：fi=2,玄=4.

答:經(jīng)過2s或4s后，三角形APQ的面積是4c77汽

【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及含30度角的直角三角形，找準(zhǔn)等量關(guān)系，

正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

21.已知關(guān)于x的一元二次方程N+(m+3)x+m+l=O.

(1)求證：無論“取何值時，原方程總有兩個不相等的實數(shù)根；

(2)若XI,X2是原方程的兩根，且xj+x：=4，求機的值.

【分析】(1)根據(jù)一元二次方程根的判別式與根的關(guān)系即可求出答案；

(2)根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系以及配方法即可求出答案.

【解答】(1)證明：'：b2-4ac=(m+3)2-4Xl?(/n+1)

=m2+2m+5

—(m+1)2+4>0,

???無論用取何值時，原方程總有兩個不相等的實數(shù)根；

(2)解：：x；+x|=4，

2

=

(X!+x2)-2xjX24>

又：XI+X2=-(m+3)，x\*X2—m+\,

/.[-(切+3)]2-2(w+1)=4,

解得：m\--\,m2—-3.

【點評】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟

練掌握一元二次方程根的判別式與根的關(guān)系以及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系.

22.如圖，已知AABC中，DE//BC,EF//AB.

(1)求證：ZVlOEs

(2)AD：DB=2：3,AB=15,BC=10,求四邊形8OEF的周長.

【分析】(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)得到/4ED=NC,NEFC=NB,NADE=NB,等量

代換得到/AQE=NEFC,即可求解；

(2)由。E〃8C,EF//AB,推出四邊形8OEF是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)

得出DE=BF,BD=EF,由于△A￡>ES/\EFC,^\ADE^/\ABC,AD：DB=2：3,得到

BD=9,OE=4,即可求解.

【解答】(1)證明：'JDE//BC,EF//AB,

：.ZAED=ZC,NEFC=NB,ZADE=ZB,

：.ZADE=AEFC,

：./\ADE^/\EFC,

(2)解："：DE//BC,EF//AB,

四邊形3DEF是平行四邊形，

：.DE=BF,BD=EF,

'：/\ADE<^/\EFC,/\ADE^/\ABC,AD：DB=2：3,

：.AD：A8=2：5=DE：BC,

?；A8=15,8c=10,

：.AD=6,BD=9,DE=4,

四邊形BDE尸的周長=2義(BD+DE)=24.

【點評】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌

握平行四邊形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

23.如圖，一次函數(shù))，=區(qū)+8與反比例函數(shù))=典(x>0)的圖象交于A(1,3),B(〃，2)

x

兩點.

(1)求一次函數(shù)表達(dá)式和反比例函數(shù)表達(dá)式；

(2)直接寫出關(guān)于x的不等式質(zhì)+6〈典的解集；

X

(3)求△AOB的面積.

【分析】(1)將點A(1,3)代入反比例函數(shù)解析式可得其解析式；先根據(jù)反比例函數(shù)

解析式求得點B坐標(biāo)，再由A、B坐標(biāo)可得直線解析式；

(2)根據(jù)圖象得出不等式心+〃<@的解集即可：

x

(3)先求得直線與X軸的交點C的坐標(biāo)，然后根據(jù)SAAO6=SAAOC-S"OC求得即可.

解：(1)把A(1,3)代入yJ上得：m=3,

X

...反比例函數(shù)的解析式為尸旦；

X

把8(n,2)代入y=3,解得："=3，

x2

：.B(4，2),

2

k+b=3

把A(1,3)、B("I，2)代入y=-+6得:

3

yk+b=2

解得:尸2,

lb=5

，一次函數(shù)的解析式為、=-2x+5；

(2)觀察圖象，關(guān)于x的不等式履+6＜典的解集為0Vx＜l或》＞]■；

x2

(3)令y=0,BP-2r+5=0,

解得:x=-|,

5

：.C(匕0),

2

15155

^?S^AOB=S^AOC-S^i3oc=—X—X3--X—X2=—.

22224

y

olc\x

【點評】本題主要考查反比例函數(shù)和一次函數(shù)的交點及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、三角

形面積等問題，掌握圖象的交點的坐標(biāo)滿足兩個函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵.

24.商場某種商品平均每天可銷售30件，每件盈利50元.商場為了減少庫存開始降價銷售,

每件商品每降價1元，商場平均每天可多售出2件.

（1）在商場日盈利達(dá)到2100元時，每件商品應(yīng)該降價多少元？

（2）若商場要保證每天銷售量不少于100件，每件商品最多能盈利多少元？

【分析】（1）利用銷售該商品獲得的利潤=每件的銷售利潤X日銷售量列方程即可解得

答案；

（2）列出函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)一次函數(shù)性質(zhì)即可得到答案.

解：（1）設(shè)每件商品降價，"元時，商場H盈利可達(dá)到2100元，

根據(jù)題意得：（50-W（30+2加）=2100,

解得m—15或=20,

；為了盡快減少庫存，

.?.銷量盡可能大，，〃取20,

答：每件商品降價20元時，商場日盈利可達(dá)到2100元；

（2）設(shè)每件商品降價x元，每件商品盈利為y元，

則y=50-x,

：商場要保證每天銷售量不少于100件，

...30+2x2100,

解得：x235,

V-1<0,

隨x的增大而減小，

.?.當(dāng)x=35時，y最大，最大值為15,

二商場要保證每天銷售量不少于100件，每件商品最多能盈利15元.

【點評】本題考查一元二次方程及一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到等量

關(guān)系列方程和函數(shù)關(guān)系式.

25.如圖，RtZ\OAB的直角頂點B在x軸的正半軸上，點4在第一象限內(nèi)，已知反比例函

數(shù)y上（x>0）的圖象經(jīng)過線段0A的中點。，交直線48于點C.若△OAB的面積為6.

x

（1）求k的值；

（2）若AC=O8,求點A的坐標(biāo).

—）,則點4的坐標(biāo)為（2機，絲），由△OAB的

【分析】（1）設(shè)點。的坐標(biāo)為（機,

mm

面積為6即可得到《X2,〃義絲=6,求得上=3；

2m

（2）表示出點C的縱坐標(biāo)為縣，