2023-2024學年浙江省金華市東陽外國語學校高二（上）開學數(shù)學試卷（含解析）

2023-2024學年浙江省金華市東陽外國語學校高二（上）開學數(shù)

學試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.設集合2={x|-l<x<2},集合B={x\x2-4x+3<0},則AU8=（）

A.{x|-1<%<3]B.{%|-1<x<1}

C.{x|l<%<2}D.{x\2<%<3]

2.已知i為虛數(shù)單位，貝歸=常在復平面內對應的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.在△ABC中，角4,B,C所對的邊分別為a,b,c,若扭=a2+c2+ac,則角B=（）

A--6B-3CJ—4D—3

4.在空間中，I,m是不重合的直線，a,3是不重合的平面，則下列說法正確的是（）

A.若2ca,me/?,a〃夕,則〃/m

B.若〃/zn,mug,則〃/4

C.1p,aC\（i=m,11m,則/_L/?

D.若，1a,l//m,a//P，則mJL口

5.阿基米德是偉大的古希臘數(shù)學家，他和高斯、牛頓并列為世界三大數(shù)學家，他一生最為滿

意的一個數(shù)學發(fā)現(xiàn)就是“圓柱容球”定理，即圓柱容器里放了一個球，該球頂天立地，四周

碰邊（即球與圓柱形容器的底面和側面都相切），球的體積是圓柱體積的三分之二，球的表面

積也是圓柱表面積的三分之二,今有一“圓柱容球”模型，其圓柱表面積為36兀，則該模型中

圓柱的體積與球的體積之和為（）

A.8y/~6nB.12c兀C.20y/~6nD.48門兀

6.已知非零向量蒼I滿足|Z+G|=|W-E|，則在石方向上的投影向量為（）

A.—aB.-bC.aD.b

7.“忽登最高塔，眼界窮大千.卞峰照城郭，震澤浮云天，……….A

這是蘇東坡筆下的湖城三絕之一“塔里塔”飛英塔.某學生\

為測量其高度，在遠處選取了與該建筑物的底端B在同一水\

平面內的兩個測量基點C與D,現(xiàn)測得N8CD=45°,乙BDC=SKL4\

105°,CD=18米，在點C處測得飛英塔頂端4的仰角乙4cB=

D

58°,則飛英塔的高度約是（參考數(shù)據(jù)：>T2~1.4，，石《2.4，tm58。k1.6）（）

A.45米B.50米C.55米D.60米

8.在三棱錐P-力BC中，4B=4C=2/7,4BAC=120°,PB=PC=2<6,PA=2<5.

則該三棱錐的外接球的表面積為（）

A.40zrB.207rC.807rD.607r

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）

9.某中學為了解大數(shù)據(jù)提供的個性化作業(yè)的質量情況，隨機訪問50名學生，根據(jù)這50名學

生對個性化作業(yè)的評分，繪制頻率分布直方圖（如圖所示），其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間[40,50）,

[50,60）,[80,90）,[90,100].（）

A.頻率分布直方圖中a的值為0.006

B.估計該中學學生對個性化作業(yè)的評分不低于80的概率為0.04

C.從評分在[40,60）的受訪學生中，隨機抽取2人，此2人評分都在[40,50）的概率為專

D.受訪學生對個性化作業(yè)評分的第40百分位數(shù)為72.6

10.先后兩次擲一枚質地均勻的骰子,4表示事件”第一次擲出的點數(shù)是5”，B表示事件'‘第

二次擲出的點數(shù)是偶數(shù)”，C表示事件“兩次擲出的點數(shù)之和是5"，。表示事件“至少出現(xiàn)

一個奇數(shù)點”，貝女）

A.事件4與C互斥B.P（D）=|

C.事件B與。對立D.事件B與C相互獨立

11.已知函數(shù)/（%）=sinax—co>0,則下列結論中正確的是（）

A.若3=2,則將〃x）圖象向左平移弓個單位長度后得到的圖象關于原點對稱

B.若|/（勺）一/（x2）|=4,且％—gI的最小值為*則3=2

C.若/（乃在［0苧上單調遞增，則3的取值范圍為（0,3］

D.當3=3時,在［0,兀］有且只有3個零點

12.已知x>l,方程x-（x-1）2丫=0,x—（x—l）log2X=0在區(qū)間（1,+8）的根分別為a,

b,以下結論正確的有（）

A.b—a=2a—log2bB.-+=1

ozab

C.a+b<4-D.b-a>1

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.設向量可，行為單位正交基底，若五=2五-孩，石=瓦+卜酸,且五1B，則土=.

14.已知函數(shù)/Xx）=（機2_m-1次/-2?1-2是幕函數(shù)，且為偶函數(shù)，則實數(shù)m=.

15.已知正數(shù)x,y滿足：+高=3,則x+y-3的最小值為.

16.如圖，已知兩矩形4BCD與4DEF所在平面互相垂直=1F^—............，E

時，若將△OE尸沿著直線尸。翻折，使得點E落在邊BC上（即點P）,

則當取最小值時，邊4尸的長是./''\....方"

四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.（本小題10.0分）

設y=ax2+（b—l）x+2.

（1）若關于x的不等式y(tǒng)<0的解集為（1,2）,求實數(shù)a,b的值；

（2）若當x=—1時，y=5,且存在X6R,使y<l成立，求實數(shù)a的取值范圍.

18.（本小題12.0分）

EI4BC的內角4,B,C的對邊分別為a,b,c.己知B=150。.

（1）若（2=V_5c，b=2>/~7，求回力BC的面積；

（2）若sinA+，3sinC=￥，求C.

19.（本小題12.0分）

已知函數(shù)/'（x）=4sin（3X+w）（A>0,a）>0,］卬|<今的部分圖象如圖所示.

(1)求/(X)的解析式；

(2)將/(x)圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的“縱坐標不變)，再將所得圖象向右平移g個單

位長度，得到函數(shù)g(x)的圖象.若g(x)在區(qū)間［0,m］上不單調，求小的取值范圍.

20.(本小題12.0分)

如圖，在等腰直角三角形4BC中，AB=AC=口，D,E是線段BC上的點，且DE=；BC.

(1)若前=；前,M是AB邊的中點，N是AC邊靠近A的四等分點，用向量荏，而表示而，而;

(2)求而.荏的取值范圍.

21.(本小題12.0分)

己知面積為2C的菱形4BCD如圖①所示，其中4C=2,E是線段4D的中點.現(xiàn)將△DAC^AC

折起，使得點。到達點S的位置.

(1)若二面角S-AC-B的平面角大小為與，求三棱錐S-ABC的體積;

(2)若二面角S-AC-B的平面角aeg,爭，點尸在三棱錐的表面運動，且始終保持EF1AC,

求點尸的軌跡長度的取值范圍.

22.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/(%)=/—2Q%+/?,g(x)=%—a,aER,bER

(1)若函數(shù)/(%)在區(qū)間[-3,團的值域為[-3,0，求a,b的值；

(2)令八(%)=￡空:義國1煞二膽

(i)若/i(x)=g(x)在R上恒成立，求證：b-a2>^；

(ii)若對任意實數(shù)be[-1,1],方程/i(x)=a恒有三個不等的實數(shù)根，求實數(shù)a的取值范圍.

答案和解析

I.【答案】A

【解析】解：B={x\x2—4x+3<0}={x|l<x<3},i4={x|—1<x<2]>

則4UB={x|—1<x<3}.

故選:A.

先解出一元二次不等式，再與集合4的元素合并起來即可.

本題考查集合的運算，屬于基礎題.

2.【答案】C

【解析】解："z=37=^77^=-

??.Z=?在復平面內對應的點(-最一3位于第三象限.

故選：C.

根據(jù)已知條件，結合復數(shù)的乘除法原則和復數(shù)的幾何意義，即可求解.

本題考查了復數(shù)的幾何意義，以及復數(shù)代數(shù)形式的乘除法運算，需要學生熟練掌握公式，屬于基

礎題.

3.【答案】D

【解析】解：因為爐=a24-c2+QC,

所以a?+c2—b2=—ac,

所以皿8=學e=#=一，

2ac2ac2

又Be(0,7T),

所以8=條

故選：D.

由已知利用余弦定理可得cosB的值，結合B的范圍即可求解B的值.

本題考查了余弦定理在解三角形中的應用，屬于基礎題.

4.【答案】D

【解析】解：若LUQ,me/?,a///?,則〃/m或[與m異面，故A錯誤；

若l//m,me/?,則“〃或2u/?,故3錯誤；

若ad.0,aC\p=mfZ1m,則/u￡或〃//?或，與0相交，相交也不一定垂直，故C錯誤；

若，1a,1〃m,則mla,又a"0,則m10,故。正確.

故選：D.

由空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關系逐一分析四個選項得答案.

本題考查空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關系的判定，考查空間想象能力與思

維能力，是基礎題.

5.【答案】C

【解析】解：由題意可知，設球的半徑為R,則圓柱的底面半徑為R,高為2R,

因為圓柱表面積為36兀，所以2兀/?'2/?+2兀/?2=36乃，解得R=0，

所以圓柱的體積為兀X(-^6)2X27-6=12AA-67T,球的體積為U=g兀腔=

則該模型中圓柱的體積與球的體積之和為20CTT.

故選：C.

由題意可知，設球的半徑為R,則圓柱的底面半徑為R,高為2R,然后由圓柱表面積可求出R,從

而可求出圓柱與球的體積.

本題考查了圓柱的體積與球的體積計算，屬于中檔題.

6.【答案】B

【解析】解：???|五+B|=|2一下|,.?.五2+2五+/=五2一2五.石+石2,可得記.另=0,

所以丘-石在B方向上的投影向量為陋⑥.X=-b=-b.

\b\|b|\b\2

故選：B.

由已知可得了小=0,根據(jù)投影向量的定義及數(shù)量積的運算律求投影向量即可.

本題考查向量數(shù)量積的運算，向量數(shù)量積的性質，投影向量的概念，屬基礎題.

7.【答案】C

【解析】解：因為4BCD=45。，A.BDC=105°,CD=18米，可得4CBD=30。，

由正弦定理可得：一的京=—俞，即一粵節(jié)=若市，

sinz.BDCsmZ-CBDstnl05stn30

解得：BC=9(<^+>/-6),

在Rt△ABC中，因為乙4cB=58°,可得票=tan58°,而tan58。?1.6,

DC

所以48=BC?tan58°?9(/7+R)x1,6*54.72?55,

故選：C.

由題中所給的角可得4CBD的大小，由正弦定理可得8c的值，在RtAABC中，可得的大小.

本題考查正弦定理的應用，屬于中檔題.

8.【答案】A

【解析】解：如圖，A

//?X

在△ABC中，由余弦定理可得，BC2=AB2+AC2-2AB-//：

AC-cosZ.BAC///?\\\

=8+8-2X2y/~2X2/7X(一手=24,可得BC=2A/-6.二：。產T~%、\

又PB=PC=2C，PBC為等邊三角形,、、/百

c

設A4BC的外心為Oi，連接OiC、Op4,BCdOiA=H,連5

接PH，

由題意可得，AH1BC,且4”=^014=。，BH=^BC=y/~6,

PH1BC,且PH=J(2門)2-(O=3<7,

vPH2+AH2=PA2,：.PH1AH,

又AHCBC=H,二PHJ_平面ABC,

設。為三棱錐P—ABC外接球的球心，連接。0i，OP,0C,

過。作。DI.PH,垂足為C,則外接球的半徑R滿足：

R2=00f+COl=(PH-。0力2+0D2,CO】=AB=2y/~2,0D=01H=AH=>J~2,

代入解得。0i=q,即有R2=10.

.??該三棱錐的外接球的表面積為47rx10=407r.

故選：A.

由已知求解三角形可得APBC為等邊三角形，取△力BC的外心為0「連接。送，可得0i4d.BC,

設垂足為H,連接PH，可得PH_L底面4BC,確定三棱錐外接球的球心，利用勾股定理求半徑，代

入球的表面積公式求解.

本題考查多面體外接球表面積的求法，考查空間想象能力與思維能力，考查運算求解能力，是中

檔題.

9.【答案】AC

【解析】解：由題意得10X(0.004+a+0.022+0.028+0.022+0.018)=1,解得a=0.006,

故A正確；

由頻率分布直方圖知，不低于80分的頻率之和為0.22+0.18=0.4,

因此估計該中學學生對個性化作業(yè)評分不低于80的概率為0.4,故3錯誤；

方法一：受訪學生評分在［50,60)的有50x0.006x10=3人，設為A,B,C,

受訪學生評分在［40,50)的有50x0.004x10=2人，設為a,b,

從這5名受訪學生中隨機抽取2人，有(4,8),(4C),(4,a),(A,b),(B,C),(8,a),(B,b),(C,a),

(C,b),(a,b)共10種,

2人評分都在［40,50)的有(a,b),共1種，

故從這5名受訪學生中隨機抽取2人，2人評分都在［40,50)的概率為表，C正確；

方法二：

受訪學生評分在［50,60)的有50x0.006x10=3人，

受訪學生評分在［40,50)的有50x0.004x10=2人，

從這5名受訪學生中隨機抽取2人，2人評分都在［40,50)的概率為故C正確；

因為0.04+0.06+0.22=0.32<0.5,0.04+0.06+0.22+0.28=0.6>0.5,

故第40百分位數(shù)在［70,80)內，設為X,

則0.04+0.06+0.22+70)x0.028=0.4,解得x弓72.86,故O錯誤.

故選:AC.

利用頻率之和為1列出方程求出a可判斷A;計算出不低于80分的頻率作為概率的估計值可判斷B；

利用列舉法求解古典概型的概率可判斷C；根據(jù)百分位數(shù)的概念求解可判斷D.

本題考查由頻數(shù)分布直方圖求概率，求百分位數(shù)，屬于基礎題.

10.【答案】ABD

【解析】解：設拋擲兩次擲出的點數(shù)構成數(shù)對(居y),則共有6x6=36個樣本點，

則P(A)=蔡，P(B)=箋P(C)=2=4P(D)==選項。正確；

由于事件4與C不可能同時發(fā)生，故A與C互斥，選項4正確；

當x為奇數(shù)，y為偶數(shù)時，事件B和。同時發(fā)生，故不可能對立，選項C錯誤；

因為P(BC)=叁=白=P(B)P(C),所以事件B與C相互獨立.

301O

故選：ABD.

根據(jù)互斥事件，對立事件的概念可直接判斷A、C,再根據(jù)古典概型的概率公式及相互獨立事件的

定義可判斷B、D.

本題考查古典概型的相關定義及概率公式，屬基礎題.

11.【答案】ABD

【解析】解：函數(shù)/(x)=sincox-V3cosa)x=2sin(3X-1),

對于選項A,若3=2,/(x)=2sm(2x-^),將/(x)圖象向左平移沙單位長度后得到y(tǒng)=

2sin(2(x+2=2sin2x,其圖象關于原點對稱，故4正確；

對于選項B,若|/(%［)-/(%2)1=4，且|巧-&I的最小值為今則<=囚=9解得3=2,故2正

確；

對于選項C,當xe［0幣時、如一打［卷，等一芻，若f(x)在［0,芻上單調遞增，則等gw?,

解得。<34，故C錯誤；

對于選項。，當3=3時，/(x)=2sin(3x-S，令3x-^=kir,k€Z,解得x="+《,keZ,

因為“€［0,兀］,所以X=5，X=*X=M

所以/(x)在［0,國有且只有3個零點，故。正確；

故選：ABD.

由/(%)=2sin@x-》逐項判斷.

本題主要考查了三角函數(shù)圖象的變換，考查了正弦函數(shù)的圖象和性質，屬于中檔題.

12.【答案】ABD

【解析】【分析】

本題考查函數(shù)與方程的關系，解題中注意轉化思想的應用，屬于中檔題.

根據(jù)題意得出a，b是函數(shù)丫=2丫和y=log2X的圖象與函數(shù)y=士的圖象的交點的橫坐標，進而

可得a+b=ab,工+：=1，逐項判斷，即可得出答案.

ab

【解答】

解：方程x-(x-1)2X=0(x>1)的根為方程喜=2丫的根，

方程x-(x-l)log2x=0(x>1)的根為方程喜=log2%的根，

由函數(shù)y=喜得X=言，

所以y=占的圖象關于y=X對稱，

因為方程久一(X-1)2*=0,x-(x-l)log2%=0在區(qū)間(1,+8)的根分別為a,b,

所以a,b是函數(shù)y=2%和y=log2%的圖象與函數(shù)y=喜的圖象的交點的橫坐標，

a

所以a=log26,b=2,

又

a-1a-1

=1,即a+b=ab,；+2=1,

a

a+2=b+log26,即b—Q=2°—logzb，故A,8正確；

因為a+b=aH——r=Q—1+——r+2N4,當且僅當a—1=—三，即Q=2時等號成立,

a-1a—1a—I

令f(%)=喜一2%,

〃2)=￡-22=-2彳0，

所以a42,即a+b>4,故C錯誤；

因為b—a=2?！猘,并且a>l,令g(x)=2*—尢(丫>1),

則g'(x)=2x\n2-1>21n2-1=ln4-1>0,

所以9(x)=2"-。在(1,+8)內單調遞增,于是g(x)>g⑴=1,

因此，b-a>1,故。正確.

故選：ABD.

13.【答案】2

【解析】【分析】

本題考查向量數(shù)量積的計算，涉及向量垂直的判斷，屬于基礎題.

根據(jù)題意，由數(shù)量積的性質分析可得。3=(2可-劭?(宣+k筱)=0，計算可得答案.

【解答】

解：根據(jù)題意，向量可，孩為單位正交基底，則|可|=|￡|=1,瓦??石=0,

若蒼=2百一名，石=可+卜石，且社工石，

則有無不=(2百一或?叵+k6=2e^-kef+(2k-1)百?五=0，

即2—k=0,解可得k=2,

故答案為2.

14.【答案】2

【解析】解：因為函數(shù)/(X)=(Hl?—加一l)x7n2-2WI-2是幕函數(shù)，

所以m?-m—1=1,所以m=2或m=-1,

m=2時，/(x)=%-2,是偶函數(shù),

m=-104,/（%）=%,是奇函數(shù)，不符合題意,

所以巾=2.

故答案為：2.

由基函數(shù)的定義及奇偶性可解得m的值.

本題主要考查尋函數(shù)的概念，解析式，奇偶性，屬于基礎題.

15.【答案】-1

【解析】解：因為正數(shù)X,y滿足￡+祗7=3,

則韶+去）=1，

由％+y—3=x+（y+1）—4=4［尤+（y+1）］（；+±）-4=|（乎+翡+5）—4N

I（2J彳*4+5）-4=3-4=-1,

當且僅當號=會即久=1,y=1時等號成立，

即％+y—3的最小值為—1.

故答案為：一1.

通過等式變換3116+木4.）=1，將X+y-3構造基本不等式的形式.

本題考查了“乘1法”和基本不等式的性質，考查了變形的能力，考查了計算能力，屬于中檔題.

16.【答案】V-2

【解析】解：如圖，連接AP,

由題意可矢口平面4BCD_L平面4DEF,平面力BCDn平面力DEF=AD,AF1AD,AFu平面ADEF,

所以AF_L平面力BCD,又DPu平面力BCD,

所以AFJ.DP,又DP_LFP,iLAFC\FP=F,AP,FPu平面AFP,

所以DP1平面AFP,又4Pu平面AFP,

所以4PJ.0P,所以△ABPs^pc。，

設PC=x,AD=a,

所嗜噎，得三H

所以a=%+^>2叮=2,

當且僅當x=1時取等號，此時4尸=ED=PD=VPC2+CD2=

故答案為：y[~2-

先得出線面垂直，再應用相似得出邊長的式子，最后應用基本不等式得出最值，求出取等條件即

可.

本題考查空間中距離的求解，面面垂直的性質定理，線面垂直的判定定理，基本不等式的應用,

屬中檔題.

17.【答案】解：(1)由不等式/。)<0的解集為(1,2)可得，

x=1,x=2是方程ax?+(b—l)x+2=。的兩個根，

-3="S2=2,

aa

fa=1

力=一2；

(2)由f(-1)=5得，a-3-1)+2=5,

?,?Q=b+2,

???/(%)=ax2+(a—3)x+2,

當。=0時,/(x)=-3%+2,存在%使得/(%)<1；

當a<0時，/(%)是一個開口向下的二次函數(shù)，一定存在％使得f(x)<1；

當a>0時，/(%)是一個開口向上的二次函數(shù)，要存在%使得/(%)V1,

則=/(一穿)=ax(一展)2+(a—3)(-嗟)+2=_：_、+：=Y+力+1,

a2-10a+9>0,

a>9或a<1，

綜上可知，當a<l,或a>9時，存在實數(shù)x使得/(x)<1成立，

所以實數(shù)a的取值范圍為(一8,1)u(9,+8).

【解析】(1)由不等式的解就是對應方程的根，即可解出：

(2)由題意可以確定參數(shù)a與b的關系，進而即可解出.

本題考查了一元二次不等式的解法，分類討論思想，學生的數(shù)學運算能力，屬于基礎題.

18.【答案】解：中，8=150。，a=/3c,b=2「,

a2+c2_52_3c2+C2_28_

cosB-2ac_―2>l~3c2~

???c=-2（舍去），c=2,a=2A/-3,

S〉ABC=\QCsinB=；x2V_3x2x1=y/~~3.

(2)sinA+V"3sinC=?，

BPsin(180°-150°-C)+yJ~3sinC=?，

化簡得^cosC+?sinC=￥，

即sin(C+30。)=￥，

v0°<C<30°,

?-?30°<C+30°<60°,

???C+30°=45°,

???C=15°.

【解析】本題主要考查解三角形中余弦定理的應用，三角恒等變換中輔助角公式的應用，屬于中

檔題.

(1)根據(jù)題意，5=150°,通過余弦定理，即可求得c=2,a=2/3,進而通過三角形面積公式

S^ABc—acsinB=g?2-1=V'5；

(2)通過三角形三角和為180。，將4=180。-150。一。代入加4+/^^。=殍，根據(jù)。的范圍，

即可求得C=15°.

19.【答案】解：(1)由圖可知，A=2,

f(x)的最小正周期7=9x償+金=2兀，所以3=竿=1,

因為信)=2sin*+<p)=-2,

所以答+9=:+2而，k€Z,解得3=>2江kEZ,

又Iwl<p所以W=I，

故/(x)=2sin(x+》

(2)由題可知,g(x)=2sin[2(x-1)+1]=2sin(2x-1),

當OWxWm時，一gW2x一±W2zn—

因為9(x)在區(qū)間[0,上不單調，

所以2m冶冶，解得m>.，

故m的取值范圍為篇,+8).

【解析】(1)由圖可知，4=2,最小正周期丁=2兀=空，從而得3的值，再代入(12),可求得

(A)O

9的值，從而得解；

(2)根據(jù)函數(shù)圖象的變換法則寫出g(x)的解析式，再結合正弦函數(shù)的單調性，得解.

本題考查利用圖象求解析式，三角函數(shù)的圖象變換，正弦函數(shù)的圖象與性質等，考查邏輯推理能

力和運算能力，屬于中檔題.

20.【答案】解：(1)因為前而，M是4B邊的中點，N是AC邊靠近4的四等分點，DE=：BC,

所以而=前一備=4不+配=一%前

AB)

-1AB-^AC,

12

前

EM=BM-BE==-^AB-^AC-AB)6-3-

(2)因為等腰直角三角形4BC中，AB=AC=6,所以BC=J(<I)2+(<2)2=2.

因為DE=：BC,則設前=4配，0S4w|,則航=Q+9正，

所以四■AE=(AB+BD)-(AB+'BE)^AB2+(BD+BE>)-AB+JD-BE

=2+[ABC+(A+BC]?^4F+A(A+i)BC2

=2+(,2X+^)BC-AB+A(A+^)BC2

=2+(22+百)x2xV_2xcos+A(A+—)x4=4(A——)^+百，

因為0<A<

所以當4=J時，而.而有最小值條

3V

當;1=0或爭寸，而?荏有最大值'

所以前.標的取值范圍是職］.

【解析】（1）根據(jù)平面向量的線性運算求解即可.

（2）首先設前=ABC>O<A<|,得到而?荏=4（4一1）2+再結合二次函數(shù)的性質求解即可.

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本題考查平面向量的線性運算和數(shù)量積運算，屬于中檔題.

21.【答案】解：（1）根據(jù)題意，菱形ABCD的面積為2，有，則有S='S0

\AC-BD=2CV

變形可得：BD=2y/~3,

又由4cls0,AC1BO,則二面角S-4C-B的平面角為Z50B,八

所以NS0B=:,

故點S到平面4BC的距離為S。-sin60°=V^sin600=

由于△4BC的面積為：x2c=C，

則三棱錐S—力BC的體積為%_A8c=gsh=；xV-3x1=巳2

（2）根據(jù)題意，取4c邊上靠近點4的四等分點G,

取4B的中點為“，連接EH,EG,GH,S。和8。，

四邊形4BCD為菱形，則AC1SOS.AC1BO,

易得EG〃S。，GH//B0,

則有AC_LEG且AC1GH,故有4CJ"平面EG",

故點F的軌跡長度即為^EHG的周長.

由于EG=GH—EH=mSB,

L，

且二面角S-AC-B的大小平面角a=4SOBeg,等,

則易得SBe[，耳3],

所以點F的軌跡長度的取值范圍為自合,C+|].

【解析】(1)根據(jù)題意，由菱形的性質可得B。的長，由二面角的定義可得N