人教版初中數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)第十六章：二次根式(全章教案)

第十六章二次根式

教材簡(jiǎn)析

本章的內(nèi)容主要包括：二次根式的概念和性質(zhì)、二次根式的乘除、二次根式的加減.

在中考中，本章重在考查二次根式的概念和性質(zhì)以及運(yùn)用二次根式的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)、

求值.

教學(xué)指導(dǎo)

【本章重點(diǎn)】

二次根式的性質(zhì)和運(yùn)算.

【本章難點(diǎn)】

靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)及運(yùn)算法則進(jìn)行相關(guān)的化簡(jiǎn)與實(shí)數(shù)的簡(jiǎn)單運(yùn)算.

【本章思想方法】

1.掌握類比思想.如：類比算術(shù)平方根的概念理解二次根式的性質(zhì)，類比整式的運(yùn)算法

則理解二次根式的運(yùn)算法則.

2.掌握分類討論思想.如：在進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)時(shí)，當(dāng)被開(kāi)方數(shù)中有字母且沒(méi)有給出

字母的取值范圍時(shí)，應(yīng)考慮對(duì)字母的取值進(jìn)行分類討論.

3.體會(huì)整體思想.如：在求含有二次根式的代數(shù)式的值時(shí)，有時(shí)從整體角度考慮，將已

知條件和待求值的式子進(jìn)行變形后整體代入求值.

課時(shí)計(jì)劃

16.1二次根式2課時(shí)

16.2二次根式的乘除2課時(shí)

16.3二次根式的加減2課時(shí)

16.1二次根式

第1課時(shí)二次極式的概念

教學(xué)目標(biāo)

一、基本目標(biāo)

【知識(shí)與技能】

理解并掌握二次根式的概念，掌握二次根式中被開(kāi)方數(shù)的取值范圍和二次根式的取值范

圍.

【過(guò)程與方法】

經(jīng)歷觀察、比較、總結(jié)二次根式概念和被開(kāi)方數(shù)取值范圍的過(guò)程，發(fā)展學(xué)生的歸納概括

能力.

【情感態(tài)度與價(jià)值觀】

經(jīng)歷觀察、比較和應(yīng)用等數(shù)學(xué)活動(dòng)，感受數(shù)學(xué)活動(dòng)充滿了探索性和創(chuàng)造性，體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)的

快樂(lè)，并提高應(yīng)用意識(shí).

二、重難點(diǎn)目標(biāo)

【教學(xué)重點(diǎn)】

二次根式的概念，二次根式有意義的條件.

【教學(xué)難點(diǎn)】

求二次根式中字母的取值范圍.

教學(xué)過(guò)程

環(huán)節(jié)1自學(xué)提綱，生成問(wèn)題

[5min閱讀】

閱讀教材P2?P3的內(nèi)容，完成下面練習(xí).

[3min反饋】

1.一個(gè)正數(shù)有甄個(gè)平方根；0的平方根為。；在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根.因此,

在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)開(kāi)平方時(shí)，被開(kāi)方數(shù)只能是正數(shù)或0.

2.一般地，我們把形如如320）的式子叫做二次根式，稱為二次根號(hào).

3.下列式子中，不是二次根式的是（B）

A.y[45B.N

C.y-+3D.

環(huán)節(jié)2合作探究，解決問(wèn)題

活動(dòng)1小組討論（師生互學(xué)）

2

【例1】下列各式中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？

一—7）2,y[13,

2

y）3—x（xW3）,yj—x（x2O）,yj（a~I）f

y/—x2—5,\l（a—b）2（ab20）.

【互動(dòng)探索】（引發(fā)學(xué)生思考）要判斷一個(gè)根式是不是二次根式，一是看根指數(shù)是不是2,

二是看被開(kāi)方數(shù)是不是非負(fù)數(shù).

【解答】因?yàn)間n,q（—7>,咫,-3—x（%w3）,1）2,q（a—座壁1。）

中的根指數(shù)都是2,且被開(kāi)方數(shù)均為非負(fù)數(shù)，所以都是二次根式.狗的根指數(shù)不是2,，二，

/G（x20）,、一x?-5的被開(kāi)方數(shù)都小于0,所以不是二次根式.

【互動(dòng)總結(jié)】（學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng)）判斷一個(gè)式子是不是二次根式，要看所給的式子是

否具備以下條件：（1）帶二次根號(hào)；（2）被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù).

【例2】當(dāng)x,在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義.

【互動(dòng)探索】（引發(fā)學(xué)生思考）二次根式有意義要滿足什么條件？本題是否還要考慮其他

條件？

【分析】要使正方+Sy在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，必須同時(shí)滿足被開(kāi)方數(shù)尤+3》。和分

母x+lW0,解得X》一3且xW—1.

【答案】3且尤W—1

【互動(dòng)總結(jié)】（學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng)）使一個(gè)代數(shù)式有意義的未知數(shù)的取值范圍通常要考

慮三種情況：一是分母不為零，二是偶次方根的被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)，三是零次第的底數(shù)不為

零.

活動(dòng)2鞏固練習(xí)（學(xué)生獨(dú)學(xué)）

1.下列式子中，是二次根式的是（A）

A.一巾B.折

C.yjxD.x

2.使式子4一武一5）2有意義的未知數(shù)又有（B）

A.0個(gè)B.1個(gè)

C.2個(gè)D.無(wú)數(shù)個(gè)

3.當(dāng)x是多少時(shí)，耳蠶十爐在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？

3

「3

[2x+320,7,

解：依題意，得解得12

〔VLwo.

二當(dāng)xN—|且xWO時(shí)，夸秀+/在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)沒(méi)有意義.

活動(dòng)3拓展延伸（學(xué)生對(duì)學(xué)）

【例3】若實(shí)數(shù)x、y滿足丫>5—2+^6-3x+3,求|y—3]一可（%—yp的值.

【互動(dòng)探索】要求|y—3|—，（x—y）2的值,需確定出x、y的取值范圍.根據(jù)式子>>小-2

+、6—3x+3,可以確定出尤、y的取值范圍.

【解答】由題意，得了—220且6—3x20,

解得尤=2,則y>3.

故.-3|一叱尤-y）2=y-3_y+2=2-3=-1.

【互動(dòng)總結(jié)】（學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng)）利用二次根式有意義的條件求出尤的值，從而確定y

的取值范圍，然后利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)代數(shù)式.

環(huán)節(jié)3課堂小結(jié)，當(dāng)堂達(dá)標(biāo)

（學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng)）

_、h1概念

一次根式i有意義的條件一被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)

練習(xí)設(shè)計(jì)

請(qǐng)完成本課時(shí)對(duì)應(yīng)訓(xùn)練！

4

第2課時(shí)二次極式的性質(zhì)

教學(xué)目標(biāo)

一、基本目標(biāo)

【知識(shí)與技能】

理解犯伍20）是一個(gè)非負(fù)數(shù)、（g）2=a（a20）和而=a（a》O）,并利用它們進(jìn)行計(jì)算和化

簡(jiǎn)；了解代數(shù)式的概念.

【過(guò)程與方法】

在明確（犯）2="（。20）和亞="（?！?）的算理的過(guò)程中，感受數(shù)學(xué)的實(shí)用性；通過(guò)小組合

作交流，培養(yǎng)學(xué)生的合作意識(shí).

【情感態(tài)度與價(jià)值觀】

通過(guò)二次根式的相關(guān)計(jì)算，進(jìn)而解決一些實(shí)際問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的能力.

二、重難點(diǎn)目標(biāo)

【教學(xué)重點(diǎn)】

二次根式的性質(zhì).

【教學(xué)難點(diǎn)】

運(yùn)用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)計(jì)算.

教學(xué)過(guò)程

環(huán)節(jié)1自學(xué)提綱，生成問(wèn)題

[5min閱讀】

閱讀教材P3?P4的內(nèi)容，完成下面練習(xí).

【3min反饋】

1.（1）當(dāng)a>0時(shí)，，表示a的算術(shù)平方根，因此

⑵當(dāng)。=0時(shí)，/表示0的算術(shù)平方根，因此W=0.

概括：一般地，F(xiàn)（a概0）是一個(gè)非負(fù)數(shù).

2.教材P3“探究”，根據(jù)算術(shù)平方根的意義填空：

（1）（皿）2=4；（柩2=2；

（通2號(hào)；（優(yōu)）2=&

（2）一般地，（W）2=g（a20）.

3.教材P4“探究”，填空：

（1）卷=2；A/0.012=0.01；

A/BM；舸

(2)一般地，4^=0(〃20).

5

教師點(diǎn)撥：二次根式的三個(gè)性質(zhì)：(1卜口(0N0)是一個(gè)非負(fù)數(shù)；(2)(g)2=a(aN0)；(3)，1

=。(心0).

4.用基本運(yùn)算符號(hào)把數(shù)或表示數(shù)的字母連結(jié)起來(lái)的式子，我們稱這樣的式子為代數(shù)式.

5.計(jì)算:"0196X22500=21；#|=*

環(huán)節(jié)2合作探究，解決問(wèn)題

活動(dòng)1小組討論(師生互學(xué))

【例1】計(jì)算：

(1)(VT3)2；⑵(2小)2；

(3)716；(4-(一5F

【互動(dòng)探索】(引發(fā)學(xué)生思考)一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于什么？當(dāng)二次根式的

被開(kāi)方數(shù)是一個(gè)完全平方數(shù)，開(kāi)方時(shí)有什么規(guī)則？

［解答］(1)(VT3)2=1.5.(2)(2巾)2=22X(4)2=4X5=20.(3)標(biāo)=(聲)=4.

(4).(-5)2=后=5.

【互動(dòng)總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于這個(gè)非負(fù)數(shù).當(dāng)

—fa(a^O)；

二次根式的被開(kāi)方數(shù)是一個(gè)完全平方數(shù)時(shí)，］1=同=<

I—a(a<0).

【例2】化簡(jiǎn)下列二次根式.

(l)V^(a2O，后0);

(2A/(-36)X169X(-9).

【互動(dòng)探索】(引發(fā)學(xué)生思考)根據(jù)開(kāi)方的定義化簡(jiǎn).注意：二次根式的結(jié)果是最簡(jiǎn)二次

根式.

［解答］(1hjSa3b=y］22-a2-2ab='\l(2a)2-yj2ab=2a\］2ab.

(2)A/(-36)X169X(-9)=^/36X169X9=6X13X3=234.

【互動(dòng)總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))(1)若被開(kāi)方數(shù)中含有負(fù)因數(shù)，則應(yīng)先化成正因數(shù)；

⑵將二次根式盡量化簡(jiǎn)，使被開(kāi)方數(shù)(式)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)(式)，即化為最簡(jiǎn)二次根式.

活動(dòng)2鞏固練習(xí)(學(xué)生獨(dú)學(xué))

1.下列各式正確的是(D)

A.^/(-4)X(-9)=V-4X^ZZ9

B.^16+1=716X^1

C.^|=V4X^|

D.、4X9=^X小

6

2.計(jì)算：

⑴響2；⑵一(小)2；

(3)^64；(4岫2+2々+1.

解：(1)9.(2)-3.(3)8.

(4，層+2°+1=7(。+1)2=。+1].當(dāng)a》一1時(shí),原式=a+l；當(dāng)a<—1時(shí)，原式=-a

-1.

3.已知

實(shí)數(shù)a、6在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡(jiǎn)：yJ(a+l)2+2-\/(b-l)2-la-bi

11]ig[I1.1III-

-S-4-3-2-1012345

解：從數(shù)軸上。、Z?的位置關(guān)系，可知一2V〃V—1JV6V2,且b>a,故。+1<0,b-

l>0,a—1V0,原式=|a+1|+2|Z?—11—\a—b\=—(a+l)+2(Z?—1)+(〃-b)=b—3.

活動(dòng)3拓展延伸(學(xué)生對(duì)學(xué))

[例3]已知4、b、C是△A8C的三邊長(zhǎng)，化簡(jiǎn))(〃+6+c)2—一〃)2+,9一/?一〃)2.

【互動(dòng)探索】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得出b+c>〃，b+a>c根據(jù)二次根式的性質(zhì)得出

含有絕對(duì)值的式子，然后去絕對(duì)值符號(hào)合并即可.

【解答】:〃、b、c是△ABC的三邊長(zhǎng)，*.b-\-c>a,b+a>c,.二原式=|〃+Z?+c|一

+c—a|+|c-b—-S+c—〃)+(/7+〃-C)=Q+Z?+C-/?—<?+〃+/?+〃-c=3〃+/?

【互動(dòng)總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得出不等

關(guān)系，進(jìn)行變換后，結(jié)合二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn).

環(huán)節(jié)3課堂小結(jié)，當(dāng)堂達(dá)標(biāo)

(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))

(6)2=〃(心0)

二次根式的性質(zhì)〈

a(〃N0)

y[^=\a\=

a(a<0)

練習(xí)設(shè)計(jì)

請(qǐng)完成本課時(shí)對(duì)應(yīng)訓(xùn)練!

7

16.2二次根式的乘除

第1課時(shí)二次根灰的塞法

教學(xué)目標(biāo)

一、基本目標(biāo)

【知識(shí)與技能】

理解如避=^^(心0,6》0),y[ab=yja--\[b(a0,b20),并利用它們進(jìn)行計(jì)算和化簡(jiǎn).

【過(guò)程與方法】

經(jīng)歷“探索——發(fā)現(xiàn)——猜想——驗(yàn)證”的過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)合情推理與演繹推理的

相互依賴、相互補(bǔ)充的關(guān)系；培養(yǎng)學(xué)生用規(guī)范的數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行表達(dá)的習(xí)慣和能力.

【情感態(tài)度與價(jià)值觀】

鼓勵(lì)學(xué)生積極參與數(shù)學(xué)活動(dòng)，激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲，體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)中的探索和創(chuàng)

新，感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性.

二、重難點(diǎn)目標(biāo)

【教學(xué)重點(diǎn)】

二次根式的乘法運(yùn)算法則.

【教學(xué)難點(diǎn)】

運(yùn)用二次根式的乘法運(yùn)算法則進(jìn)行簡(jiǎn)單的運(yùn)算.

教學(xué)過(guò)程

環(huán)節(jié)1自學(xué)提綱，生成問(wèn)題

[5min閱讀】

閱讀教材P6?P7的內(nèi)容，完成下面練習(xí).

[3min反饋】

1.教材P6“探究”，計(jì)算下列各式，觀察計(jì)算結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

(1他X也=6,14X9=6；

(2)716X^/25=20,116X25=22；

(3)^25X^36=30,^25X36=30.

規(guī)律：一般地，二次根式的乘法法則是3.或=迎(?！?,。與0).

2.把/?小=迎反過(guò)來(lái),就得到的=如S，利用它可以進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn).

環(huán)節(jié)2合作探究，解決問(wèn)題

活動(dòng)1小組討論(師生互學(xué))

【例1】計(jì)算：

8

⑴小x小;（2）y|x*；

⑶小x叵⑷情X返

【互動(dòng)探索】（引發(fā)學(xué)生思考）利用二次根式的乘法運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算.

[解答]（1處書(shū)=而

(2)-

(3地Xp=^9X27=792X3=9^3.

(4)-

【互動(dòng)總結(jié)】（學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng)）利用二次根式的乘法運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算時(shí)，注意被

開(kāi)方數(shù)必須是非負(fù)數(shù).

【例2】化簡(jiǎn)：

（1）9義遮；（2^/16X81；（3）81X100；

（4岫序）3；（5討乳

【互動(dòng)探索】（引發(fā)學(xué)生思考）利用二次根式積的算術(shù)平方根的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)時(shí)，需要注

意什么？

【角翠答】（Ih/9X16=V9XV16=3X4=12.

（2）.16X81=716X^/81=4X9=36.

（3）^81X100^^81XV1OO=9X10=90.

（4）\[4aV==2-a-y]b2-b=2ab\[b.

（5）四川9X6=*X,=3#.

【互動(dòng)總結(jié)】（學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng)）積的算術(shù)平方根是二次根式乘法法則的逆用，注意

被開(kāi)方數(shù)必須是非負(fù)數(shù).

活動(dòng)2鞏固練習(xí)（學(xué)生獨(dú)學(xué)）

1.等式寸尤+1+無(wú)一1=1尤2—1成立的條件是（A)

A.B.

C.一IWXWID.或xW—1

2.計(jì)算：

(1)6又??；(2)^|X3715

解：(1)6.(2)3710.(3)18.

9

3.判斷下列各式是否正確，不正確的請(qǐng)予以改正:

（DA/（-4）X（-9）=V^4XV~9；

改正：^/(―4)X(—9)=^/4X9=A/36=6.

(2)不正確.

活動(dòng)3拓展延伸（學(xué)生對(duì)學(xué)）

【例3】比較大小:

⑴3小與5?。虎埔?也與一5寸iT

【互動(dòng)探索】由于根號(hào)外的因數(shù)不為1,可以將根號(hào)外的因數(shù)移到根號(hào)內(nèi)，再比較被開(kāi)

方數(shù)的大小.

【解答】（1）3巾=也乂巾=回，

5^/3=725X^3=^75.

因?yàn)楹檬?，所??。?小.

（2）-4VT3=-VT6XV13=-V208,

~5y[u=~y[25Xy[u=-^275.

因?yàn)槔?方，所以一也而赤，所以一4回＞一5加1

【互動(dòng)總結(jié)】（學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng)）要比較兩個(gè)二次根式的大小，可以先運(yùn)用二次根式

的乘法運(yùn)算法則，將根號(hào)外的數(shù)移到根號(hào)內(nèi)，再比較被開(kāi)方數(shù)的大小.

環(huán)節(jié)3課堂小結(jié)，當(dāng)堂達(dá)標(biāo)

（學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng)）

I二次根式的乘告法制心。）|

，逆用

術(shù)卜而匚四?W（aNO，bMO）|

練習(xí)設(shè)計(jì)

請(qǐng)完成本課時(shí)對(duì)應(yīng)訓(xùn)練！

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第2課時(shí)二次板式的除法

教學(xué)目標(biāo)

一、基本目標(biāo)

【知識(shí)與技能】

L理魄=小心。，

6>0）和精飛（心0,6>0汲利用它們進(jìn)行運(yùn)算;

2.理解最簡(jiǎn)二次根式的概念，并運(yùn)用它把不是最簡(jiǎn)二次根式的化成最簡(jiǎn)二次根式.

【過(guò)程與方法】

通過(guò)計(jì)算或化簡(jiǎn)的結(jié)果來(lái)提煉出最簡(jiǎn)二次根式的概念，并根據(jù)它的特點(diǎn)來(lái)檢驗(yàn)最后結(jié)果

是否滿足最簡(jiǎn)二次根式的要求.

【情感態(tài)度與價(jià)值觀】

在經(jīng)歷二次根式除法運(yùn)算法則的過(guò)程中，獲得成就感，建立學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心和興趣.

二、重難點(diǎn)目標(biāo)

【教學(xué)重點(diǎn)】

最簡(jiǎn)二次根式的概念，二次根式的除法運(yùn)算法則.

【教學(xué)難點(diǎn)】

二次根式商的算術(shù)平方根的運(yùn)用.

教學(xué)過(guò)程

環(huán)節(jié)1自學(xué)提綱，生成問(wèn)題

【5min閱讀】

閱讀教材P8?P10的內(nèi)容，完成下面練習(xí).

【3min反饋】

（一）二次根式的除法

1.教材P8“探究”，計(jì)算下列各式，觀察計(jì)算結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

⑴亞_2邛_2.

（1）V9-313，

規(guī)律：一般地，二次根式的除法法則是$=1|（。巳0,6>0）.

2.把*=反過(guò)來(lái),就得到y(tǒng)|=*（aNO,匕>0），利用它可以進(jìn)行二次根式的化

簡(jiǎn).

11

（二）最簡(jiǎn)二次根式

1.觀察教材P8?P9例4、例5、例6中各小題的最后結(jié)果，比如2W，米,平等,

可以發(fā)現(xiàn)這些式子有如下兩個(gè)特點(diǎn)：

（1）被開(kāi)方數(shù)不含分母；

（2）被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式.

我們把滿足上述兩個(gè)條件的二次根式，叫做最簡(jiǎn)二次根式.

2.在二次根式的運(yùn)算中，一般要把最后結(jié)果化為最簡(jiǎn)二次根式,并且分母中不含二次根

式.

環(huán)節(jié)2合作探究，解決問(wèn)題

活動(dòng)1小組討論（師生互學(xué)）

【例1】計(jì)算：

［互動(dòng)探索］（引發(fā)學(xué)生思考）利用二次根式的除法運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算.

【解答】（1）原式=\肉=5=2.

11

--

（）原式=4--

316

（4）原式=

【互動(dòng)總結(jié)】（學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng)）利用二次根式的除法運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算時(shí)，注意被

開(kāi)方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)，結(jié)果必須是最簡(jiǎn)二次根式.

【例2】化簡(jiǎn):

【互動(dòng)探索】（引發(fā)學(xué)生思考）利用二次根式的除法運(yùn)算法則和商的算術(shù)平方根的性質(zhì)將

二次根式進(jìn)行化簡(jiǎn).

V3_^3

【解答】（1）原式=

y[648

yj64Z>23b

（2）原式=

49a23d

12

V3_V3XV5_VT5

⑶原式=

小一小X巾—5?

陋X(/+1)苦=2+比

(4)原式=

(^2-1)(^2+1)

【互動(dòng)總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))利用二次根式的除法運(yùn)算法則和商的算術(shù)平方根的

性質(zhì)將二次根式進(jìn)行化簡(jiǎn)時(shí)，注意將結(jié)果化為最簡(jiǎn)二次根式.

活動(dòng)2鞏固練習(xí)(學(xué)生獨(dú)學(xué))

1.計(jì)算的結(jié)果是(A)

A.y\/5B.1

C.A/2D.當(dāng)

2.如果y&v>o)是二次根式，那么化為最簡(jiǎn)二次根式是(c)

A.乎U>。)B.y[xy(y>0)

C.中。>0)D.以上都不對(duì)

3.化簡(jiǎn)：

(1圈(2師;(4^^.

(3)K;

\3—1yf6+y[5'

解:(1)4.(2相.

(3)小+1.(4)11-2^30.

活動(dòng)3拓展延伸(學(xué)生對(duì)學(xué))

【例3】已知,=冷了2—5%+4

，且次為偶數(shù)，求(1+冷的值.

X2—1

【互動(dòng)探索】等式形式符合商的算術(shù)平方根公式一確定X的取值范圍一化簡(jiǎn)所求式子

(9——20尤W9,

【解答】由題意,4->/即

60x>6,

6aW9.

???尤為偶數(shù)，；.x=8,

...原式=(1+x情;;=(1+x)^||=(l+x)^^=、(l+x)(x—4).

當(dāng)x=8時(shí)，原式==4義9=6.

【互動(dòng)總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))根據(jù)商的算術(shù)平方根的性質(zhì)化簡(jiǎn)時(shí)，分子中被開(kāi)方

數(shù)是非負(fù)數(shù)，分母中被開(kāi)方數(shù)是正數(shù).

13

環(huán)節(jié)3課堂小結(jié)，當(dāng)堂達(dá)標(biāo)

（學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng)）

二次根式的

除法法則：

_二次根式的江最簡(jiǎn)二次邈豈J

化簡(jiǎn)與計(jì)算也分母有理化

JF"

（心0]>0）

I逆用

商的算術(shù)平方根:

『叵

九Jh

（aN0,b>0）

練習(xí)設(shè)計(jì)

請(qǐng)完成本課時(shí)對(duì)應(yīng)訓(xùn)練!

14

16.3二次根式的加減

第1課時(shí)二次極式的加減

教學(xué)目標(biāo)

一、基本目標(biāo)

【知識(shí)與技能】

通過(guò)合并被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式，會(huì)進(jìn)行二次根式的加法與減法運(yùn)算.

【過(guò)程與方法】

在分析問(wèn)題的過(guò)程中，滲透對(duì)二次根式加減法的理解，再總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，用它來(lái)指導(dǎo)二次根

式的計(jì)算和化簡(jiǎn).

【情感態(tài)度與價(jià)值觀】

鼓勵(lì)學(xué)生積極參與數(shù)學(xué)活動(dòng)，體會(huì)合作學(xué)習(xí)的先進(jìn)性.

二、重難點(diǎn)目標(biāo)

【教學(xué)重點(diǎn)】

會(huì)將二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，掌握二次根式加減法的運(yùn)算.

【教學(xué)難點(diǎn)】

運(yùn)用二次根式的加減運(yùn)算解決問(wèn)題.

教學(xué)過(guò)程

環(huán)節(jié)1自學(xué)提綱，生成問(wèn)題

[5min閱讀】

閱讀教材P12?P13的內(nèi)容，完成下面練習(xí).

[3min反饋】

1.一般地，二次根式加減時(shí)，可以先將二次根式化成最直二次根式，再將被開(kāi)方數(shù)相同

的二次根式進(jìn)行合并.

2.計(jì)算下列各式.

⑴2鏡+3嫄；(2)2小一3m+5季;

(3)^7+2^7+^9X7；(4)3小一2小十娘.

解：(1)原式=(2+3)6=56.

(2)原式=(2—3+5)m=4m=8啦.

(3)原式=6+26+3市=(1+2+3)巾=6#.

(4)原式=(3—2)M§+也=小+也.

環(huán)節(jié)2合作探究，解決問(wèn)題

活動(dòng)1小組討論(師生互學(xué))

15

【例1】計(jì)算：

（1）^27+AJ|+V12;

（2）3明+退§一,+??；

（4）（76-2^2）2+（2^3-1）（2^3+1）.

【互動(dòng)探索】（引發(fā)學(xué)生思考）運(yùn)用二次根式的加減法法則及乘法公式進(jìn)行計(jì)算，在計(jì)算

時(shí)要注意哪些問(wèn)題？

【解答】（1沂+y|+6=3仍+坐+2小=梟§.

⑵3也+姆一,+小=3鏡+4/—2$+小=6+5小.

⑶小Q吸普+舊-半=2般—也+坐—半孝―矩

（4）（加—2吸y+（24—i）Q小+1）=6—4四+8+（12-1）=25—8小.

【互動(dòng)總結(jié)】（學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng)）計(jì)算二次根式的加減法時(shí)，先把二次根式化為最簡(jiǎn)

二次根式，再合并同類二次根式.計(jì)算二次根式的混合運(yùn)算時(shí)，注意運(yùn)算順序.

【例2】已知-a—小一2+46—巾+2=0,求，層+塊+7的值.

【互動(dòng)探索】（引發(fā)學(xué)生思考）根據(jù)算術(shù)平方根的非負(fù)性，可得。=3+2,b=小一2,

然后再代入求值即可.

【解答】由題意，得7a一木_2=0,y]b~\[5+2=0,解得a=巾+2,b=\[5—2,

yla2+b2+y=^5+44-4^5+5+4-4^5+7=5.

【互動(dòng)總結(jié)】（學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng)）此題主要考查了二次根式的加減，關(guān)鍵是掌握算術(shù)

平方根具有非負(fù)性.

活動(dòng)2鞏固練習(xí)（學(xué)生獨(dú)學(xué)）

1.計(jì)算3陋一表的值是（D）

A.2B.3

C.y[2D.2吸

2.若最簡(jiǎn)二次根式二次一8與717—與可以合并,則a=5.

3.計(jì)算：（1）3^48-9^1+3712;

（2）（^48+^20）+（712-^5）.

解：（1）=15*.（2）6^3+^5.

活動(dòng)3拓展延伸（學(xué)生對(duì)學(xué)）

16

【例3】已知4N+y2—4x—6y+10=0,求，小口十廣，,一口\^一51^的值.

【互動(dòng)探索】先將已知等式進(jìn)行變形，把它配成完全平方式，得（2元一1）2+。-3）2=0,

即可求出x、y的值.再根據(jù)二次根式的加減運(yùn)算，先把各項(xiàng)化成最簡(jiǎn)二次根式，再合并同類

二次根式，最后代入求值.

【解答】V4x2+y2-4x-6y+10=4x2-4x+l+y2-6y+9=（2x-l）2+（y-3）2=0,Ax=

i尸3.

=2x\[x+y[xy-x\[x+5ylxy

=x\[x-\-G\[xy.

當(dāng)％=；，y=3時(shí)，

&

原式=3義\/1+\11坐+3班.

【互動(dòng)總結(jié)】（學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng)）化簡(jiǎn)求值時(shí)一般是先化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)二次根式，再代入

求值.化簡(jiǎn)時(shí)不能跨度太大，缺少必要的步驟易造成錯(cuò)解.

環(huán)節(jié)3課堂小結(jié)，當(dāng)堂達(dá)標(biāo)

（學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng)）

二次根式的加減法則：二次根式加減時(shí)，可以先將二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再將被

開(kāi)方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并.

練習(xí)設(shè)計(jì)

請(qǐng)完成本課時(shí)對(duì)應(yīng)訓(xùn)練!

17

第2課時(shí)二次板式的混合運(yùn)算

教學(xué)目標(biāo)

一、基本目標(biāo)

【知識(shí)與技能】

掌握含有二次根式的混合運(yùn)算和含有二次根式的乘法公式的應(yīng)用.

【過(guò)程與方法】

復(fù)習(xí)整式運(yùn)算知識(shí)并將該知識(shí)應(yīng)用于含有二次根式的混合運(yùn)算.

【情感態(tài)度與價(jià)值觀】

理解知識(shí)間的類比，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法的重要性.

二、重難點(diǎn)目標(biāo)

【教學(xué)重點(diǎn)】

熟練地進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算，進(jìn)一步提高運(yùn)算能力.

【教學(xué)難點(diǎn)】

正確地運(yùn)用二次根式混合運(yùn)算法則及運(yùn)算律進(jìn)行運(yùn)算，并把結(jié)果化簡(jiǎn).

教學(xué)過(guò)程

環(huán)節(jié)1自學(xué)提綱，生成問(wèn)題

[5min閱讀】

閱讀教材P14的內(nèi)容，完成下面練習(xí).

[3min反饋】

1.二次根式的混合運(yùn)算順序與整式的混合運(yùn)算順序一樣，即先乘方,再乘除,最后加減,

有括號(hào)的先算括號(hào)里面的.

2.在二次根式的運(yùn)算中，多項(xiàng)式乘法法則和乘法公式仍然適用.

3.計(jì)算：

(l)^y|xV27;⑵,；

(3)A/80-V45；(4)(2巾一表產(chǎn)

解：(1)3.(2)雪.(3)^5.(4)22-4^10.

環(huán)節(jié)2合作探究，解決問(wèn)題

活動(dòng)1小組討論(師生互學(xué))

【例1】計(jì)算：

(2)(3/-2\打網(wǎng)+25+

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⑶位一（小+2）內(nèi)§.

【互動(dòng)探索】（引發(fā)學(xué)生思考）如何進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算？

【解答】⑴原艮=3X9XyJ卜親乂￡=99