廣東省深圳實(shí)驗(yàn)中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)模擬試題

2023-2024學(xué)年廣東省深圳實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二上學(xué)期期中模擬數(shù)學(xué)試題考試范圍：空間向量與立體幾何、直線與圓的方程、圓錐曲線的方程2023.11試卷滿分：150分考試用時(shí)：120分鐘是符合題目要求的.判斷，提出了四個(gè)命題：甲：可以是圓的方程；乙：可以是拋物線的方程；丙：可以是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；丁：可以是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.其中，真命題有()2．從點(diǎn)A(2,3)射出的光線沿與向量=(8,4)平行的直線射到y(tǒng)軸上，則反射光線所在直線的方程為()3．已知點(diǎn)A(-2,-1)，B(3,0)，若點(diǎn)M(x,y)在線段AB上，則的取值范圍()4．若圓M：x2+y2+4x+2y+1=0上的任意一點(diǎn)P(m,n)關(guān)于直線l：2ax+3by+9=0對稱則(m-a)2+(n-b)2的最小值為()5．已知A(2,0)，點(diǎn)P為直線x-y+5=0上的一點(diǎn)，點(diǎn)Q為圓x2+y2=1上的一點(diǎn)，則PQ+AQ的最小值為() ABCD6．已知直線l的方向向量為=(1,0,1)，點(diǎn)A(1,2,-1)在l上，則點(diǎn)P(3,1,1)到l的距離為()7．已知圓的方程為x2+y2-2x-4y-4=0，設(shè)該圓過點(diǎn)M(2,3)的最長弦和最短弦分別為AC和BD，則四邊形ABCD面積為()8．已知點(diǎn)F1,F2是橢圓E:+=1(a>b>0)的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)M為橢圓E上一點(diǎn)，點(diǎn)F1關(guān)于經(jīng)F1MF2平分線的對稱點(diǎn)N也在橢圓E上，若cos經(jīng)F1MF2=7，則橢圓E的離心率為()8二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.C．當(dāng)m=2時(shí)，l1//l2D．當(dāng)l1//l2時(shí)，兩直線l1,l2之間的距離為110．設(shè)圓C:(x3)2+(y4)2=9，過點(diǎn)P(1,2)的直線l與C交于A,B兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的為()A．P可能為AB中點(diǎn)B．|AB|的最小值為3C．若|AB|=2，則l的方程為y=2D．‘ABC的面積最大值為11．如圖，正方體ABCD一A1B1C1D1的棱長為2，E是DD1的中點(diǎn)，則()C．直線B1E與平面B1C1C所成的角的正弦值為B．點(diǎn)E到直線B1C的距離為32323D．點(diǎn)C1到平面B1CE2323△BF1F2內(nèi)切圓的半徑，則()A．點(diǎn)M在直線PQ上B．點(diǎn)M在直線PQ的左側(cè)F2三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.14．過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，則AB等于.15．已知F1、F2分別為橢圓+=1的左、右焦點(diǎn)，P是過橢圓右頂點(diǎn)且與長軸垂直的直線上的動(dòng)點(diǎn)，16．已知雙曲線x2y24-b2=1(b>0)，過原點(diǎn)的直線l與雙曲線交于B，C兩點(diǎn)，A為雙曲線的右頂點(diǎn)，F(xiàn)為雙曲線的左焦點(diǎn)，直線AB，AC的斜率之積為，則b若經(jīng)BFC=120。，則△BFC的面積為.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17本小題滿分10分）(1)過點(diǎn)A，B且周長最小的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)A，B且圓心在直線2x-y-4=0上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.18本小題滿分12分）:x=-my+1相交于點(diǎn)P，其中m<1.(1)求證：l1、l2分別過定點(diǎn)A、B，并求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；(2)當(dāng)m為何值時(shí)，ΔABP的面積S取得最大值，并求出最大值.19本小題滿分12分）如圖，在三棱錐A-BCD中，平面ABD」平面BCD，AB=AD，O為BD的中點(diǎn).（2）若ΔOCD是邊長為1的等邊三角形，點(diǎn)E在棱AD上，DE=2EA，且二面角E-BC-D的大小為45。，求三棱錐A-BCD的體積.20本小題滿分12分）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)，拋物線C過點(diǎn)M(6,-6).(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，且OA」OB，證明：直線l過定點(diǎn).21本小題滿分12分）(2)點(diǎn)P在棱BB1上，當(dāng)二面角P一A2C2一D2為150O時(shí)，求B2P.22．已知橢圓E：+=1(a>b>0)的離心率為，橢圓E的短軸長等于4.(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)A(0,1)，B(0,2)，過A且斜率為k1的動(dòng)直線l與橢圓E交于M，N兩點(diǎn)，直線BM，BN分別交。C：x22=1于異于點(diǎn)B的點(diǎn)P，Q，設(shè)直線PQ的斜率為k2，直線BM，BN的斜率分別為k3,k4.①求證：k3.k4為定值；②求證：直線PQ過定點(diǎn).參考答案：21是圓的方程，故方程可以是圓的方程；2-y-2=0，即y=x2-2是拋物線的方程，故方程可以是拋物線的方程；22可以是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；可以是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；所以真命題有3個(gè).【詳解】A(2,3)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為(-2,3)，所以反射光線的斜率是-=-，所以反射光線所在直線方程為y-3=-x+2),x+2y-4=0.故選：A.【詳解】因?yàn)閳AM上的任意一點(diǎn)P(m,n)關(guān)于直線l：2ax+3by+9=0對稱的點(diǎn)仍在圓M上，所以圓M關(guān)于直線l對稱，即直線l過圓M的圓心；又P(m,n)是圓M：x2+y2+4x+2y+)2表示圓M上的點(diǎn)P到直線4x+3y9=0距離的平方；所以圓M上的點(diǎn)P到直線4x+3y一9=0距離的最小值為d一r=2，)2的最小值為4.【詳解】設(shè)M(x,0),Q(x1,y1)，令A(yù)Q=MQ，xx12222xx1122牽x+1 44x23PQ+MQ有最小值，為PM，即直線如圖，當(dāng)P,Q,M三點(diǎn)共線時(shí)，且PM垂直于直線x一y+5=0時(shí)，1 2x 2故選：D【詳解】由題可知，點(diǎn)P到l的距離為.sin,sin,=，故點(diǎn)P到l的距離為sin,=，故點(diǎn)P到l的距離為a.PA1=1.3222過點(diǎn)M的弦過圓心時(shí)，弦長取最大值，即AC=2r=6，當(dāng)過M的弦與ME垂直時(shí)，弦長取最小值，即BD=2r2一ME2=2，此時(shí)AC」BD，此時(shí)，四邊形ABCD的面積為S=AC.BD=x6x2=6.【詳解】由題意可作圖如下：MF1MF+MF2MF=NF1NF+NF2NF由N是M關(guān)于直線MP的對稱點(diǎn)，則N,F2,M共線，F(xiàn)1P=NF1，MP」F1N，MF1=MN，代入可得：4c2所以其離心率e222xaxax22恒過定點(diǎn)(3,1)，A不正確；B不正確；//l2，C正確；對于A(13)2+(24)2=8<9，即點(diǎn)P在圓的內(nèi)部，當(dāng)CP」直線l時(shí)，P為AB中點(diǎn)，故A正確；則圓心(3,4)到直線l的距離d=故C錯(cuò)誤；3k4k+2kk2+12，即d時(shí)等號成立，所以ΔABC2,2的面積最大值為，故D正確.11．AC【詳解】如圖以點(diǎn)A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，-------------.+BE.+BEBCxBEBC則cosB1E,B1C------------111 2 2---BE---BE1DC.BEDDC.BEDCBE-------42--------------1則直線B1E與平面B1C1C所成的角的正弦值為cosD1C1,B1E==-------42--------------1設(shè)平面B1CE的法向量為=(x,y,z)，----CC1.n4n3則點(diǎn)C1到平面B1CE的距離為----CC1.n4n3故選：AC.【詳解】先證明一個(gè)結(jié)論：焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線焦點(diǎn)三角形的內(nèi)切圓圓心橫坐標(biāo)為土a.過F2的直線與C的右支交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P為△AF1F2的內(nèi)心，設(shè)圓P與AF1,AF2,F1F2的切點(diǎn)分別為S,T,W，則AS=AT,F1S=F1W,F2T=F2W，(|AFAF=FW(|AFAF=FWFW=2a(|FW=a+c則切點(diǎn)W的坐標(biāo)為(a,0).切點(diǎn)W與雙曲線C的右頂點(diǎn)M重合，則圓P與x軸的切點(diǎn)為雙曲線C的右頂點(diǎn)M，同理可得圓Q與x軸的切點(diǎn)為雙曲線C的右頂點(diǎn)M.則直線PQ的方程為x=a，雙曲線C的右頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為(a,0)，則點(diǎn)M在直線PQ上.則選項(xiàng)A判斷正確；選項(xiàng)B判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：由直線PQ的方程為x=a，可得PQ」F1F2.判斷正確.2，-----------------------------------------+AD.AA1.cos60------------因此2【詳解】拋物線y2=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)F(1,0),準(zhǔn)線方程l:x=一1,設(shè)AB的中點(diǎn)為M,過A,B,M作準(zhǔn)線l的垂線，垂足分別為C,D,N,則MN為梯形ABDC的中位線，∵直線AB過拋物線的焦點(diǎn)F,∴可設(shè)直線AB的方程為：x=my+1(m為常數(shù)),設(shè)A,B的縱坐標(biāo)分別為y1,y2,線段AB中點(diǎn)M(x0,y0),tt2【分析】設(shè)點(diǎn)P在直線x=2上，設(shè)點(diǎn)P(2,t)，當(dāng)t=0時(shí)，求出sin經(jīng)F1PF2的值，當(dāng)點(diǎn)P不為長軸端點(diǎn)時(shí)，設(shè)P(2,t)(t>0)，設(shè)直線PF1、PF2的傾斜角分別為C、β,可求出tan經(jīng)F1PF2關(guān)于t的表達(dá)式，利用基本不等式可求得tan經(jīng)F1PF2的最大值，可得出經(jīng)F1PF2的最大值，即可求得sin經(jīng)F【詳解】不妨設(shè)點(diǎn)P在直線x=2上，當(dāng)點(diǎn)P不為長軸端點(diǎn)時(shí)，由對稱性，不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，設(shè)點(diǎn)P(2,t)(t>0)，F(xiàn)2b2F設(shè)直線PF1、PF2的傾斜角分別為C、β,則tanC=t當(dāng)且僅當(dāng)t=時(shí)，即當(dāng)t=時(shí)，等號成立，所以，經(jīng)F1PF2的最大值為，1=.2法二：幾何法，作外接圓，相切時(shí)取到最大補(bǔ)充：補(bǔ)充： 22 22令雙曲線的右焦點(diǎn)為F,，如圖所示，由B、C關(guān)于原點(diǎn)對稱，則CF=BF,,。，SΔBFF,2【詳解】（1）當(dāng)AB為直徑時(shí)，過A，B的圓的半徑最小，從而周長最小.即AB的中點(diǎn)(0,1)為圓心，半徑r=|AB|=，由圓心在直線2x一y一4=0上，得兩直線交點(diǎn)為圓心，即圓心坐標(biāo)是C(3,2).解法二：待定系數(shù)法2，22 2【詳解】（1）在直線l1的方程中，令x=0可得y=1，則直線l1過定點(diǎn)A(0,1)，在直線l2的方程中，令y=0可得x=1，則直線l2過定點(diǎn)B(1,0)；2所以2所以2AP=((1-m)2(m+1)222m-1m2+1((1-m)2(m+1)222m2+1, 法二：幾何法19．(1)證明見解析；(2).【詳解】（1）因?yàn)锳B=AD，O是BD中點(diǎn)，所以O(shè)A」BD，因?yàn)镺A一平面ABD，平面ABD」平面BCD，且平面ABD八平面BCD=BD，所以O(shè)A」平面BCD.因?yàn)镃D一平面BCD，所以O(shè)A」CD.（2）[方法一]：通性通法—坐標(biāo)法如圖所示，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA為z軸，OD為y軸，垂直O(jiān)D且過O的直線為x軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz， A(0,0,m),E(0,,m),C(3,1,A(0,0,m),E(0,,m),所以所以EB=(0,-,-m),BC=(,設(shè)=(x,y,z)為平面EBC的法向量，則由〈.可求得平面又平面BCD的一個(gè)法向量為O=(0,0,m)，-24+2m332VA-BCD=VC-ABD=3所以三棱錐A一BCD的體積為.[方法二]【最優(yōu)解】：作出二面角的平面角如圖所示，作EG」BD，垂足為點(diǎn)G.作GF」BC，垂足為點(diǎn)F，連結(jié)EF，則OA∥EG.因?yàn)镺A」平面BCD，所以EG」平面BCD，3‘3‘32263‘3‘3226[方法三]：三面角公式對β使用三面角的余弦公式，可得cosβ=cosC.cos30。，化簡可得cosβ=cosC.①使用三面角的正弦公式，可得sinβ=,化簡可得sinβ=sinC.②將①②兩式平方后相加，可得cos2C+2sin2C=1，由此得sin2C=cos2C，從而可得tanC=土. 12如圖可知CE(0,)，即有tan 124根據(jù)三角形相似知，點(diǎn)G為OD的三等分點(diǎn)，即可得BG=結(jié)合C的正切值，可得EG=,OA=1從而可得三棱錐A-BCD的體積為.【整體點(diǎn)評】(2)方法一：建立空間直角坐標(biāo)系是解析幾何中常用的方法，是此類題的通性通法，其好處在于將幾何問題代數(shù)化，適合于復(fù)雜圖形的處理；方法二：找到二面角的平面角是立體幾何的基本功，在找出二面角的同時(shí)可以對幾何體的幾何特征有更加深刻的認(rèn)識，該法為本題的最優(yōu)解.方法三：三面角公式是一個(gè)優(yōu)美的公式，在很多題目的解析中靈活使用三面角公式可以使得問題更加簡單、直觀、迅速.(2)證明見解析【詳解】（1）因?yàn)閽佄锞€C過點(diǎn)M(6,-6)，∴(-6)2=2p∴拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=6x.（2）設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，直線l的方程為my=x-t,(t產(chǎn)0)，2=6x，化為y2-6my21x2∴直線l的方程為my=x-6，∴直線過定點(diǎn)(6,0).21．(1)證明見解析；(2)1【詳解】（1）以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CD,CB,CC1所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，-cosn,m:-----------2C2----------2C2∥A2D2，