線性代數(shù)第三章 向量與向量空間及線性空間練習(xí)題

線性代數(shù)練習(xí)題第三章向量與向量空間系專業(yè)班姓名學(xué)號第一節(jié)n維向量第二節(jié)向量間的線性關(guān)系一．選擇題1．n維向量線性相關(guān)的充分必要條件是[D]（A）對于任何一組不全為零的數(shù)組都有（B）中任何個向量線性相關(guān)（C）設(shè)，非齊次線性方程組有無窮多解（D）設(shè)，A的行秩＜s.2．若向量組線性無關(guān)，向量組線性相關(guān)，則[C]（A）必可由線性表示（B）必不可由線性表示（C）必可由線性表示（D）比不可由線性表示二．填空題：設(shè)則設(shè)，其中，，則已知線性相關(guān)，則2設(shè)向量組線性無關(guān)，則滿足關(guān)系式abc=0三．計(jì)算題：設(shè)向量，，，，試問當(dāng)為何值時（1）可由線性表示，且表示式是唯一？（2）可由線性表示，且表示式不唯一？（3）不能由線性表示？(向量組的秩ppt)設(shè)向量，，，，試問當(dāng)為何值時，（1）不能由線性表示？（2）有的唯一線性表達(dá)式？并寫出表達(dá)式。a=-1,b≠0.a≠-1線性代數(shù)練習(xí)題第三章向量與向量空間系專業(yè)班姓名學(xué)號第三節(jié)向量組的秩一．選擇題：1．已知向量組線性無關(guān)，則下列向量組中線性無關(guān)的是[C]（A）（B）（C）（D）過渡矩陣滿秩2．設(shè)向量可由向量組線性表示，但不能由向量組（Ⅰ）：線性表示，記向量組（Ⅱ）：，則[B]（A）不能由（Ⅰ）線性表示，也不能由（Ⅱ）線性表示（B）不能由（Ⅰ）線性表示，但可由（Ⅱ）線性表示（C）可由（Ⅰ）線性表示，也可由（Ⅱ）線性表示（D）可由（Ⅰ）線性表示，但不可由（Ⅱ）線性表示3．設(shè)n維向量組的秩為3，則[C]（A）中任意3個向量線性無關(guān)（B）中無零向量（C）中任意4個向量線性相關(guān)（D）中任意兩個向量線性無關(guān)4．設(shè)n維向量組的秩為，則[C]（A）若，則任何n維向量都可用線性表示（B）若，則任何n維向量都可用線性表示（C）若，則任何n維向量都可用線性表示（D）若，則二．填空題：1．已知向量組的秩為2，則t=32．已知向量組，，，，則該向量組的秩為2向量組，，，的秩為2，則a=2b=5三．計(jì)算題：1．設(shè)，，，，（1）試求的極大無關(guān)組（2）d為何值時，可由的極大無關(guān)組線性表示，并寫出表達(dá)式（1）（2）2．已知3階矩陣A有3維向量x滿足，且向量組線性無關(guān)。（1）記，求3階矩陣，使；（2）求|A|線性代數(shù)練習(xí)題第三章向量與向量空間系專業(yè)班姓名學(xué)號第四節(jié)向量空間綜合練習(xí)一．選擇題：1．設(shè)向量組線性無關(guān)，則下列向量組中，線性無關(guān)的是[C]（A）（B）（C）（D）2．設(shè)矩陣A的秩，Em為m階單位矩陣，下列結(jié)論中正確的是[D]（A）A的任意m個列向量必線性無關(guān)（B）A通過初等行變換，必可以化為（Em0）的形式（C）A的任意m階子式不等于零（D）非齊次線性方程組一定有無窮多組解二．填空題：1．設(shè)，三維列向量，已知與線性相關(guān)，則a=-12．從的基，到基，的過渡矩陣為三．計(jì)算題：1．設(shè)，試用施密特正交化方法將向量組標(biāo)準(zhǔn)正交化。參考課本P107頁例2．已知的兩個基為，，及，，求由基到基的過渡矩陣P。則線性空間練習(xí)題一、單項(xiàng)選擇題R3中下列子集（）不是R3的子空間．A．B．C．D．二、判斷題1.設(shè)則是的子空間.2、已知為上的線性空間，則維(）＝2.3、設(shè)線性空間V的子空間W中每個向量可由W中的線性無關(guān)的向量組線性表出，則維(W)＝s4、設(shè)是線性空間V的子空間，如果則必有三、1．已知,是的兩個子空間，求的一個基和維數(shù)．2．已知關(guān)于基的坐標(biāo)為（1，0，2），由基到基的過渡矩陣為，求關(guān)于基的坐標(biāo)．四、設(shè)是數(shù)域P上的n維列向量空間，記1.證明：都是的子空間；2.證明：.線性變換練習(xí)題一、填空題1．設(shè)是線性空間的一組基，的一個線性變換在這組基下的矩陣是則在基下的矩陣＝_________，而可逆矩陣T＝_________滿足在基下的坐標(biāo)為_________.2．設(shè)為數(shù)域上秩為的階矩陣，定義維列向量空間的線性變換：,則＝_______，＝______，＝_____.3．復(fù)矩陣的全體特征值的和等于________，而全體特征值的積等于_______.4．設(shè)是維線性空間的線性變換，且在任一基下的矩陣都相同，則為________變換.5．?dāng)?shù)域上維線性空間的全體線性變換所成的線性空間為_______維線性空間，它與________同構(gòu).6．設(shè)階矩陣的全體特征值為，為任一多項(xiàng)式，則的全體特征值為________.二、判斷題1．設(shè)是線性空間的一個線性變換，線性無關(guān)，則向量組也線性無關(guān).（）2．設(shè)為維線性空間的一個線性變換，則由的秩＋的零度＝，有（）3．在線性空間中定義變換：，則是的一個線性變換.（）4．若為維線性空間的一個線性變換，則是可逆的當(dāng)且僅當(dāng)＝｛0｝.（）5．設(shè)為線性空間的一個線性變換，為的一個子集，若是的一個子空間，則必為的子空間.（）三、計(jì)算與證明1．設(shè)，問為何值時，矩陣可對角化?并求一個可逆矩陣，使.2．在線性空間中定義變換：（1）證明：是的線性變換.（2）求與（3）3．若是一個階矩陣，且，則的特征值只能是0和1.歐氏空間練習(xí)題一、填空題1．設(shè)是一個歐氏空間，，若對任意都有，則＝_________．2．在歐氏空間中，向量，，那么＝_________，＝_________．3．在維歐氏空間中，向量在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的坐標(biāo)是，那么＝_________，＝_________．4．兩個有限維歐氏空間同構(gòu)的充要條件是__________________．5．已知是一個正交矩陣，那么＝_________，＝_________．二、判斷題1．在實(shí)線性空間中，對于向量，定義，那么構(gòu)成歐氏空間。()2．在維實(shí)線性空間中，對于向量，定義，則構(gòu)成歐氏空間。()3．是維歐氏空間的一組基，與分別是V中的向量在這組基下的坐標(biāo)，則。()4．對于歐氏空間中任意向量，是中一個單位向量。()5．是維歐氏空間的一組基，矩陣，其中，則A是正定矩陣。()6．設(shè)是一個歐氏空間，，并且，則與正交。()7．設(shè)是一個歐氏空間，,并且，則線性無關(guān)。()8．若都是歐氏空間的對稱變換，則也是對稱變換。()三、計(jì)算題1．把向量組，擴(kuò)充成中的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.2．求正交矩陣，使成對解角形。四、證明題1．設(shè)，為同級正交矩陣，且，證明：．2．設(shè)為半正定矩陣，且，證明：．3．證明：維歐氏空間與同構(gòu)的充要條件是，存在雙射，并且有小測驗(yàn)九一、填空題1、已知三維歐式空間中有一組基，其度量矩陣為，則向量的長度為。2、設(shè)在此內(nèi)積之下的度量矩陣為。3、在n維歐幾里德空間中，一組標(biāo)準(zhǔn)正交基的度量矩陣為。4、在歐氏空間中，已知，則，與的夾角為（內(nèi)積按通常的定義）。5、設(shè)為歐氏空間，則有柯西-施瓦茨不等式：。二、已知二次型（1）t為何值時二次型f是正定的？（2）取，用正交線性替換化二次型f為標(biāo)準(zhǔn)形三、設(shè)是3維歐氏空間V的一組基，這組基的度量矩陣為（1）令，證明是一個單位向量；（2）若與正交，求四、設(shè)為n維歐氏空間V中一個單位向量，定義V的線性變換A如下：證明：（1）A為第二類的正交變換（稱為鏡面反射）。（2）V的正交變換B是鏡面反射的充要條件為1是B的特征值，且對應(yīng)的特征子空間的維數(shù)為n-1.五、已知是對稱變換，證明：的不變子空間的正交補(bǔ)也是的不變子空間．小測驗(yàn)(六)一、填空題1、已知是的一個子空間，則維（V）＝，V的一組基是.2、在P4中，若線性無關(guān)，則k的取值范圍是.3、已知a是數(shù)域P中的一個固定的數(shù)，而是Pn+1的一個子空間，則a＝，而維(W)＝.4、設(shè)Pn是數(shù)域P上的n維列向量空間，記則W1、W2都是Pn的子空間，且W1＋W2＝，＝.5、設(shè)是線性空間V的一組基，，則由基到基的過渡矩陣T＝，而在基下的坐標(biāo)是.二