專題01 線段周長面積最大值（含答案）-2024年中考數(shù)學(xué)壓軸滿分突破之二次函數(shù)篇

2024中考數(shù)學(xué)壓軸題--二次函數(shù)第1節(jié)線段周長面積最大值內(nèi)容導(dǎo)航方法點撥例題演練題組1：線段的最大值例1．如圖，拋物線y＝+mx+n與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸交x軸于點D，已知A(﹣1，0)，C(0，2)．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)線段BC上有一動點P，過點P作y軸的平行線，交拋物線于點Q，求線段PQ的最大值．練1.1如圖所示，二次函數(shù)y＝ax2﹣x+c的圖象經(jīng)過點A(0，1)，B(﹣3，)，A點在y軸上，過點B作BC⊥x軸，垂足為點C．(1)求直線AB的解析式和二次函數(shù)的解析式；(2)點N是二次函數(shù)圖象上一點(點N在AB上方)，過N作NP⊥x軸，垂足為點P，交AB于點M，求MN的最大值；練1.2如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+2的圖象與x軸相交于點A(﹣1，0)、B(4，0)，與y軸相交于點C．(1)求該函數(shù)的表達(dá)式；(2)點P為該函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象上一點，過點P作PQ⊥BC，垂足為點Q，連接PC．①求線段PQ的最大值；題組2：周長的最大值例2．已知：如圖，直線y＝﹣x+2與x軸交于B點，與y軸交于C點，A點坐標(biāo)為(﹣1，0)．(1)求過A、B、C三點的拋物線的解析式．(2)在直線BC上方的拋物線上有一點D，過D作DE⊥BC于E，作DF∥y軸交BC于F，求△DEF周長的最大值．練2.1如圖所示，拋物線y＝ax2+bx﹣3交x軸交于A(﹣1，0)，B(3，0)兩點，與y軸交于點C．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖，直線BC下方的拋物線上有一點D，過點D作DE⊥BC于點E，作DF平行x軸交直線BC點F，求△DEF周長的最大值；練2.2如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c的圖象與x軸交于A(﹣5，0)，B(1，0)兩點，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸與x軸交于點D．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)如圖1，點E(x，y)為拋物線上一點，且﹣5＜x＜﹣2，過點E作EF∥x軸，交拋物線的對稱軸于點F，作EH⊥x軸于點H，得到矩形EHDF，求矩形EHDF周長的最大值；練2.3如圖，拋物線y＝x2﹣4x﹣5與x軸交于A，B兩點(點B在點A的右側(cè))，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸與x軸交于點D．(1)求A，B，C三點的坐標(biāo)及拋物線的對稱軸．(2)如圖1，點E(m，n)為拋物線上一點，且2＜m＜5，過點E作EF∥x軸，交拋物線的對稱軸于點F，作EH⊥x軸于點H，求四邊形EHDF周長的最大值．練2.4如圖1，拋物線y＝x2﹣(a+1)x+a與x軸交于A，B兩點(點A位于點B的左側(cè))，與y軸負(fù)半軸交于點C，若AB＝4．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖2，E是第三象限內(nèi)拋物線上的動點，過點E作EF∥AC交拋物線于點F，過E作EG⊥x軸交AC于點M，過F作FH⊥x軸交AC于點N，當(dāng)四邊形EMNF的周長最大值時，求點E的橫坐標(biāo)；練2.5綜合與探究如圖，拋物線y＝﹣x2﹣2x+3與x軸交于A，B兩點(A在B的左側(cè))，與y軸交于點C，點D(m，0)為線段OA上一個動點(與點A，O不重合)，過點D作x軸的垂線與線段AC交于點P，與拋物線交于點Q，連接BP，與y軸交于點E．(1)求A，B，C三點的坐標(biāo)；(2)當(dāng)點D是OA的中點時，求線段PQ的長；(3)在點D運(yùn)動的過程中，探究下列問題：是否存在一點D，使得PQ+PC取得最大值？若存在，求此時m的值；若不存在，請說明理由；題組3：面積的最大值例3．如圖，拋物線y＝ax2﹣3ax﹣4a(a＜0)與x軸交于A，B兩點，直線y＝x+經(jīng)過點A，與拋物線的另一個交點為點C，點C的橫坐標(biāo)為3，線段PQ在線段AB上移動，PQ＝1，分別過點P、Q作x軸的垂線，交拋物線于E、F，交直線于D，G．(1)求拋物線的解析式；(2)當(dāng)四邊形DEFG為平行四邊形時，求出此時點P、Q的坐標(biāo)；(3)在線段PQ的移動過程中，以D、E、F、G為頂點的四邊形面積是否有最大值，若有求出最大值，若沒有請說明理由．練3.1如圖，拋物線y＝ax2+bx+2交x軸于點A(﹣3，0)和點B(1，0)，交y軸于點C．(1)求這個拋物線的函數(shù)表達(dá)式．(2)點D的坐標(biāo)為(﹣1，0)，點P為第二象限內(nèi)拋物線上的一個動點，求四邊形ADCP面積的最大值．練3.2如圖，對稱軸為直線x＝2的拋物線經(jīng)過點A(﹣1，0)，C(0，5)兩點，與x軸另一交點為B，已知M(0，1)，E(a，0)，F(xiàn)(a+1，0)，點P是第一象限內(nèi)的拋物線上的動點．(1)求此拋物線的解析式；(2)當(dāng)a＝1時，求四邊形MEFP面積的最大值，并求此時點P的坐標(biāo)．2024中考數(shù)學(xué)壓軸題--二次函數(shù)第1節(jié)線段周長面積最大值中考數(shù)學(xué)壓軸題--二次函數(shù)第2節(jié)將軍飲馬求最值1--對稱內(nèi)容導(dǎo)航方法點撥一、兩條線段和的最小值?；緢D形解析：(一)、已知兩個定點：1、在一條直線m上，求一點P，使PA+PB最小；(1)點A、B在直線m兩側(cè)：(2)點A、B在直線同側(cè)：A、A’是關(guān)于直線m的對稱點。2、在直線m、n上分別找兩點P、Q，使PA+PQ+QB最小。(1)兩個點都在直線外側(cè)：(2)一個點在內(nèi)側(cè)，一個點在外側(cè)：(3)兩個點都在內(nèi)側(cè)：(4)、臺球兩次碰壁模型變式一：已知點A、B位于直線m,n的內(nèi)側(cè)，在直線n、m分別上求點D、E點，使得圍成的四邊形ADEB周長最短.變式二：已知點A位于直線m,n的內(nèi)側(cè),在直線m、n分別上求點P、Q點PA+PQ+QA周長最短.二、求兩線段差的最大值問題(運(yùn)用三角形兩邊之差小于第三邊)基本圖形解析：1、在一條直線m上，求一點P，使PA與PB的差最大；(1)點A、B在直線m同側(cè)：解析：延長AB交直線m于點P，根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，P’A—P’B＜AB，而PA—PB=AB此時最大，因此點P為所求的點。(2)點A、B在直線m異側(cè)：解析：過B作關(guān)于直線m的對稱點B’,連接AB’交點直線m于P,此時PB=PB’，PA-PB最大值為AB’例題演練題組1：兩定點一動點問題例1．已知，如圖1，拋物線y＝x2﹣2x﹣3與x軸交于點A，在拋物線第一象限的圖象上存在一點B，x軸上存在一點C，使∠ACB＝90°，AC＝BC，拋物線的頂點為D．(1)求直線AB的解析式；(2)如圖2，若點E是AB上一動點(點A、B除外)，連接CE，OE，當(dāng)EC+OE的值最小時，求△BDE的面積；練1.1如圖，已知拋物線y＝x2+3x﹣8的圖象與x軸交于A，B兩點(點A在點B的右側(cè))，與y軸交于點C．(1)求直線BC的解析式；(2)點F是直線BC下方拋物線上的一點，當(dāng)△BCF的面積最大時，在拋物線的對稱軸上找一點P，使得△BFP的周長最小，請求出點F的坐標(biāo)和點P的坐標(biāo)；題組2：兩動點一定點問題例2．如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與直線y＝mx+n相交于點A(1，8)和點B(5，4)．(1)求拋物線和直線AB的解析式．(2)如圖1，直線AB上方的拋物線上有一點P，過點P作PQ垂直于AB所在直線，垂足為Q，在x軸正半軸和y軸正半軸上分別有兩個動點M和N，連接PN，NM，MB，BP．當(dāng)線段PQ的長度最大時，求四邊形PNMB周長的最小值．練2.1如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+x+3，分別交x軸于A、B兩點，交y軸交于C點，頂點為D．(1)如圖1，連接AD，R是拋物線對稱軸上的一點，當(dāng)AR⊥AD時，求點R的坐標(biāo)；(2)在(1)的條件下．在直線AR上方，對稱軸左側(cè)的拋物線上找一點P，過P作PQ⊥x軸，交直線AR于點Q，點M是線段PQ的中點，過點M作MN∥AR交拋物線對稱軸于點N，當(dāng)平行四邊形MNRQ周長最大時，在拋物線對稱軸上找一點E，y軸上找一點F，使得PE+EF+FA最小，并求此時點E、F的坐標(biāo)．題組3：線段之差的最大值問題例3．如圖，二次函數(shù)y＝﹣x2+2x+1的圖象與一次函數(shù)y＝﹣x+1的圖象交于A，B兩點，點C是二次函數(shù)圖象的頂點，P是x軸下方線段AB上一點，過點P分別作x軸的垂線和平行線，垂足為E，平行線交直線BC于F．(1)當(dāng)△PEF面積最大時，在x軸上找一點H，使|BH﹣PH|的值最大，求點H的坐標(biāo)和|BH﹣PH|的最大值；練3.1已知拋物線ω：y＝﹣x2﹣x+4與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，D點為拋物線的頂點，E為拋物線上一點，點E的橫坐標(biāo)為﹣5．(1)如圖1，連接AD、OD、AE、OE，求四邊形AEOD的面積．(2)如圖2，連接AE，以AB，AE為邊作?AEFB，將拋物線w與?AEFB一起先向右平移6個單位長度，再向上平移m個單位長度，得到拋物線w′和?A′E′F′B′，在向上平移的過程中?AEFB與?A′E′F′B′重疊部分的面積為S，當(dāng)S取得最大值時，E′F′與BF交于點Q，在直線A′B′上有兩動點P，H，且PH＝2(P在H的右邊)，當(dāng)|PQ﹣HC|取得最大值時，求點P的坐標(biāo)．練3.2如圖1，二次函數(shù)y＝的圖象與x軸交于A，B兩點(點A在點B的右邊)，與y軸交于點C，直線l是它的對稱軸．(1)求直線l與直線AC交點的坐標(biāo)；(2)如圖2，在直線AC上方的拋物線上有一動點P，過點P作x軸的垂線，垂足為點D，與直線AC交于點E，過點P作直線AC的垂線，垂足為點F，當(dāng)△PEF的周長最大時，在對稱軸l上找點M，使得|BM﹣PM|的值最大，求出|BM﹣PM|的最大值，并求出對應(yīng)的點M的坐標(biāo)；練3.3如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+x+3交x軸于A，B兩點(點A在點B的左側(cè))，交y軸于點W，頂點為C，拋物線的對稱軸與x軸的交點為D．(1)求直線BC的解析式；(2)點E(m，0)，F(xiàn)(m+2，0)為x軸上兩點，其中2＜m＜4，EE′，F(xiàn)F′分別垂直于x軸，交拋物線于點E′，F(xiàn)′，交BC于點M，N，當(dāng)ME′+NF′的值最大時，在y軸上找一點R，使|RF′﹣RE′|的值最大，請求出R點的坐標(biāo)及|RF′﹣RE′|的最大值；內(nèi)容導(dǎo)航方法點撥例題演練題組1：線段的最大值例1．如圖，拋物線y＝+mx+n與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸交x軸于點D，已知A(﹣1，0)，C(0，2)．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)線段BC上有一動點P，過點P作y軸的平行線，交拋物線于點Q，求線段PQ的最大值．【解答】解：(1)拋物線y＝﹣+mx+n與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，A(﹣1，0)，C(0，2)．∴，解得：，故拋物線解析式為：y＝﹣x2+x+2；(2)令y＝0，則﹣x2+x+2＝0，解得x1＝﹣1，x2＝4，∴B(4，0)，設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b，∴，解得，∴直線BC的解析式為y＝﹣x+2，設(shè)P(m，﹣m+2)；則Q(m，﹣m2+m+2)，則PQ＝(﹣m2+m+2)﹣(﹣m+2)＝﹣m2+2m＝﹣(m﹣2)2+2，此時PQ的最大值為2．練1.1如圖所示，二次函數(shù)y＝ax2﹣x+c的圖象經(jīng)過點A(0，1)，B(﹣3，)，A點在y軸上，過點B作BC⊥x軸，垂足為點C．(1)求直線AB的解析式和二次函數(shù)的解析式；(2)點N是二次函數(shù)圖象上一點(點N在AB上方)，過N作NP⊥x軸，垂足為點P，交AB于點M，求MN的最大值；【解答】解：(1)設(shè)直線AB的解析式為：y＝kx+b，∴，∴，∴直線AB的解析式為：y＝﹣x+1；把A(0，1)，B(﹣3，)代入y＝ax2﹣x+c得，，∴二次函數(shù)的解析式為：y＝﹣x2﹣x+1；(2)設(shè)點N的坐標(biāo)為(m，﹣m2﹣m+1)(﹣3＜m＜0)，則點M的坐標(biāo)為(m，﹣m+1)，∴MN＝﹣m2﹣m+1﹣(﹣m+1)＝﹣m2﹣m+1＝﹣(m+)2+，∴當(dāng)m＝﹣時，MN取最大值，最大值為；練1.2如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+2的圖象與x軸相交于點A(﹣1，0)、B(4，0)，與y軸相交于點C．(1)求該函數(shù)的表達(dá)式；(2)點P為該函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象上一點，過點P作PQ⊥BC，垂足為點Q，連接PC．①求線段PQ的最大值；【解答】解：(1)拋物線解析式為y＝a(x+1)(x﹣4)，即y＝ax2﹣3ax﹣4a，則﹣4a＝2，解得a＝﹣，所以拋物線解析式為y＝﹣x2+x+2；(2)①作PN⊥x軸于N，交BC于M，如圖，BC＝＝2，當(dāng)x＝0時，y＝﹣x2+x+2＝2，則C(0，2)，設(shè)直線BC的解析式為y＝mx+n，把C(0，2)，B(4，0)得，解得，∴直線BC的解析式為y＝﹣x+2，設(shè)P(t，﹣t2+t+2)，則M(t，﹣t+2)，∴PM＝﹣t2+t+2﹣(﹣t+2)＝﹣t2+2t，∵∠NBM＝∠NPQ，∴△PQM∽△BOC，∴＝，即PQ＝，∴PQ＝﹣t2+t＝﹣(t﹣2)2+，∴當(dāng)t＝2時，線段PQ的最大值為；題組2：周長的最大值例2．已知：如圖，直線y＝﹣x+2與x軸交于B點，與y軸交于C點，A點坐標(biāo)為(﹣1，0)．(1)求過A、B、C三點的拋物線的解析式．(2)在直線BC上方的拋物線上有一點D，過D作DE⊥BC于E，作DF∥y軸交BC于F，求△DEF周長的最大值．【解答】解：(1)直線y＝﹣x+2與x軸交于B(2，0)，與y軸交于C點(0，2)，設(shè)過A、B、C的拋物線的解析式為y＝ax2+bx+c，把A(﹣1，0)、B(2，0)、C(0，2)的坐標(biāo)代入，∴a＝﹣1，b＝1，c＝2，∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2+x+2，(2)設(shè)D(x，﹣x2+x+2)，F(xiàn)(x，﹣x+2)，∴DF＝(﹣x2+x+2)﹣(﹣x+2)＝﹣x2+2x，所以x＝1時，DF最大＝1，∵OB＝OC，∴△OBC為等腰直角三角形，∵DE⊥BC，DF∥y軸，∴△DEF為等腰直角三角形，∴△DEF周長的最大值為1+練2.1如圖所示，拋物線y＝ax2+bx﹣3交x軸交于A(﹣1，0)，B(3，0)兩點，與y軸交于點C．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖，直線BC下方的拋物線上有一點D，過點D作DE⊥BC于點E，作DF平行x軸交直線BC點F，求△DEF周長的最大值；【解答】解：(1)∵拋物線y＝ax2+bx﹣3交x軸交于A(﹣1，0)，B(3，0)兩點，∴解得：∴拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣3(2)∵拋物線y＝x2﹣2x﹣3與y軸交于點C∴點C坐標(biāo)為(0，﹣3)∴直線BC解析式為：y＝x﹣3∵點B(3，0)，點C(0，﹣3)∴OB＝OC＝3，∴∠OBC＝∠OCB＝45°∵DF∥AB，∴∠EFD＝45°＝∠OBC，∵DE⊥BC，∴∠EFD＝∠EDF＝45°，∴DE＝EF，∴DF＝EF，∴EF＝DE＝DF，∴△DEF周長＝DE+EF+DF＝(1+)DF，設(shè)點D(a，a2﹣2a﹣3)，則F(a2﹣2a，a2﹣2a﹣3)∴DF＝a﹣a2+2a＝﹣a2+3a＝﹣(a﹣)2+∴當(dāng)a＝時，DF有最大值為，即△DEF周長有最大值為(1+)×＝，練2.2如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c的圖象與x軸交于A(﹣5，0)，B(1，0)兩點，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸與x軸交于點D．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)如圖1，點E(x，y)為拋物線上一點，且﹣5＜x＜﹣2，過點E作EF∥x軸，交拋物線的對稱軸于點F，作EH⊥x軸于點H，得到矩形EHDF，求矩形EHDF周長的最大值；【解答】解：(1)把A(﹣5，0)，B(1，0)兩點坐標(biāo)代入y＝﹣x2+bx+c，得到，解得，∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣x2﹣4x+5．(2)如圖1中，∵拋物線的對稱軸x＝﹣2，E(x，﹣x2﹣4x+5)，∴EH＝﹣x2﹣4x+5，EF＝﹣2﹣x，∴矩形EFDH的周長＝2(EH+EF)＝2(﹣x2﹣5x+3)＝﹣2(x+)2+，∵﹣2＜0，∴x＝﹣時，矩形EHDF的周長最大，最大值為．練2.3如圖，拋物線y＝x2﹣4x﹣5與x軸交于A，B兩點(點B在點A的右側(cè))，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸與x軸交于點D．(1)求A，B，C三點的坐標(biāo)及拋物線的對稱軸．(2)如圖1，點E(m，n)為拋物線上一點，且2＜m＜5，過點E作EF∥x軸，交拋物線的對稱軸于點F，作EH⊥x軸于點H，求四邊形EHDF周長的最大值．【解答】解：(1)當(dāng)x＝0時，y＝﹣5，∴C(0，﹣5)，當(dāng)y＝0時，x2﹣4x﹣5＝0，x1＝5，x2＝﹣1，∴A(﹣1，0)，B(5，0)，由對稱性得：拋物線的對稱軸是：x＝＝2；(2)如圖1，∵E(m，n)，且2＜m＜5，∴E在第四象限，∴EF＝m﹣2，EH＝n＝﹣m2+4m+5，設(shè)四邊形EHDF周長為W，則W＝2(EF+EH)＝2(m﹣2﹣m2+4m+5)＝﹣2m2+10m+6＝﹣2(m﹣)2+，∵﹣2＜0，∴當(dāng)m＝時，四邊形EHDF周長的最大值是；練2.4如圖1，拋物線y＝x2﹣(a+1)x+a與x軸交于A，B兩點(點A位于點B的左側(cè))，與y軸負(fù)半軸交于點C，若AB＝4．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖2，E是第三象限內(nèi)拋物線上的動點，過點E作EF∥AC交拋物線于點F，過E作EG⊥x軸交AC于點M，過F作FH⊥x軸交AC于點N，當(dāng)四邊形EMNF的周長最大值時，求點E的橫坐標(biāo)；【解答】解：(1)x2﹣(a+1)x+a＝0，則x1+x2＝a+1，x1x2＝a，則AB＝＝(a﹣1)2＝16，解得：a＝5或﹣3，拋物線與y軸負(fù)半軸交于點C，故a＝5舍去，則a＝﹣3，則拋物線的表達(dá)式為：y＝x2+2x﹣3…①；(2)由y＝x2+2x﹣3得：點A、B、C的坐標(biāo)分別為：(﹣3，0)、(1，0)、(0，﹣3)，設(shè)點E(m，m2+2m﹣3)，OA＝OC，故直線AC的傾斜角為45°，EF∥AC，直線AC的表達(dá)式為：y＝﹣x﹣3，則設(shè)直線EF的表達(dá)式為：y＝﹣x+b，將點E的坐標(biāo)代入上式并解得：直線EF的表達(dá)式為：y＝﹣x+(m2+3m﹣3)…②，聯(lián)立①②并解得：x＝m或﹣3﹣m，故點F(﹣3﹣m，m2+4m)，點M、N的坐標(biāo)分別為：(m，﹣m﹣3)、(﹣3﹣m，m+3)，則EF＝(xF﹣xE)＝(﹣2m﹣3)＝MN，四邊形EMNF的周長S＝ME+MN+EF+FN＝﹣2m2﹣(6+4)m﹣6，∵﹣2＜0，故S有最大值，此時m＝﹣，故點E的橫坐標(biāo)為：﹣；練2.5綜合與探究如圖，拋物線y＝﹣x2﹣2x+3與x軸交于A，B兩點(A在B的左側(cè))，與y軸交于點C，點D(m，0)為線段OA上一個動點(與點A，O不重合)，過點D作x軸的垂線與線段AC交于點P，與拋物線交于點Q，連接BP，與y軸交于點E．(1)求A，B，C三點的坐標(biāo)；(2)當(dāng)點D是OA的中點時，求線段PQ的長；(3)在點D運(yùn)動的過程中，探究下列問題：是否存在一點D，使得PQ+PC取得最大值？若存在，求此時m的值；若不存在，請說明理由；【解答】解：(1)令y＝0，得﹣x2﹣2x+3＝0，解方程得x1＝1，x2＝﹣3，∴A(﹣3，0)，B(1，0)令x＝0，得y＝3∴C(0，3)(2)當(dāng)點D是OA的中點時，點D(﹣，0)，Q(，)，∵直線AC的解析式為y＝x+3∴P(﹣，)∴PQ＝(3)①如圖，作PF⊥CO設(shè)D(m，0)，則P(m，m+3)，Q(m，﹣m2﹣2m+3)PQ+PC＝(﹣m2﹣2m+3)﹣(m+3)+(﹣m)═﹣(m+2)2+4∴當(dāng)m＝﹣2時，PQ+PC有最大值4題組3：面積的最大值例3．如圖，拋物線y＝ax2﹣3ax﹣4a(a＜0)與x軸交于A，B兩點，直線y＝x+經(jīng)過點A，與拋物線的另一個交點為點C，點C的橫坐標(biāo)為3，線段PQ在線段AB上移動，PQ＝1，分別過點P、Q作x軸的垂線，交拋物線于E、F，交直線于D，G．(1)求拋物線的解析式；(2)當(dāng)四邊形DEFG為平行四邊形時，求出此時點P、Q的坐標(biāo)；(3)在線段PQ的移動過程中，以D、E、F、G為頂點的四邊形面積是否有最大值，若有求出最大值，若沒有請說明理由．【解答】解：(1)∵點C的橫坐標(biāo)為3，∴y＝×3+＝2，∴點C的坐標(biāo)為(3，2)，把點C(3，2)代入拋物線，可得2＝9a﹣9a﹣4a，解得：a＝，∴拋物線的解析式為y＝；(2)設(shè)點P(m，0)，Q(m+1，0)，由題意，點D(m，m+)m，E(m，)，G(m+1，m+1)，F(xiàn)(m+1，)，∵四邊形DEFG為平行四邊形，∴ED＝FG，∴()﹣(m+)＝()﹣(m+1)，即＝，∴m＝0.5，∴P(0.5，0)、Q(1.5，0)；(3)設(shè)以D、E、F、G為頂點的四邊形面積為S，由(2)可得，S＝()×1÷2＝(﹣m2+m+)＝，∴當(dāng)m＝時，S最大值為，∴以D、E、F、G為頂點的四邊形面積有最大值，最大值為．練3.1如圖，拋物線y＝ax2+bx+2交x軸于點A(﹣3，0)和點B(1，0)，交y軸于點C．(1)求這個拋物線的函數(shù)表達(dá)式．(2)點D的坐標(biāo)為(﹣1，0)，點P為第二象限內(nèi)拋物線上的一個動點，求四邊形ADCP面積的最大值．【解答】解：(1)拋物線的表達(dá)式為：y＝a(x+3)(x﹣1)＝a(x2+2x﹣3)＝ax2+2ax﹣3a，即﹣3a＝2，解得：a＝﹣，故拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣x2﹣x+2，(2)連接OP，設(shè)點P(x，﹣x2﹣x+2)，則S＝S四邊形ADCP＝S△APO+S△CPO﹣S△ODC＝×AO×yP+×OC×|xP|﹣×CO×OD＝(﹣x2﹣x+2)×2×(﹣x)﹣＝﹣x2﹣3x+2，∵﹣1＜0，故S有最大值，當(dāng)x＝﹣時，S的最大值為；練3.2如圖，對稱軸為直線x＝2的拋物線經(jīng)過點A(﹣1，0)，C(0，5)兩點，與x軸另一交點為B，已知M(0，1)，E(a，0)，F(xiàn)(a+1，0)，點P是第一象限內(nèi)的拋物線上的動點．(1)求此拋物線的解析式；(2)當(dāng)a＝1時，求四邊形MEFP面積的最大值，并求此時點P的坐標(biāo)．【解答】解：(1)∵對稱軸為直線x＝2，∴設(shè)拋物線解析式為y＝a(x﹣2)2+k．將A(﹣1，0)，C(0，5)代入得：，解得，∴y＝﹣(x﹣2)2+9＝﹣x2+4x+5．(2)當(dāng)a＝1時，E(1，0)，F(xiàn)(2，0)，OE＝1，OF＝2．設(shè)P(x，﹣x2+4x+5)，如答圖2，過點P作PN⊥y軸于點N，則PN＝x，ON＝﹣x2+4x+5，∴MN＝ON﹣OM＝﹣x2+4x+4．S四邊形MEFP＝S梯形OFPN﹣S△PMN﹣S△OME＝(PN+OF)?ON﹣PN?MN﹣OM?OE＝(x+2)(﹣x2+4x+5)﹣x?(﹣x2+4x+4)﹣×1×1＝﹣x2+x+＝﹣(x﹣)2+，∴當(dāng)x＝時，四邊形MEFP的面積有最大值為，把x＝時，y＝﹣(﹣2)2+9＝．此時點P坐標(biāo)為(，)．中考數(shù)學(xué)壓軸題--二次函數(shù)第2節(jié)將軍飲馬求最值1--對稱內(nèi)容導(dǎo)航方法點撥一、兩條線段和的最小值?；緢D形解析：(一)、已知兩個定點：1、在一條直線m上，求一點P，使PA+PB最??；(1)點A、B在直線m兩側(cè)：(2)點A、B在直線同側(cè)：A、A’是關(guān)于直線m的對稱點。2、在直線m、n上分別找兩點P、Q，使PA+PQ+QB最小。(1)兩個點都在直線外側(cè)：(2)一個點在內(nèi)側(cè)，一個點在外側(cè)：(3)兩個點都在內(nèi)側(cè)：(4)、臺球兩次碰壁模型變式一：已知點A、B位于直線m,n的內(nèi)側(cè)，在直線n、m分別上求點D、E點，使得圍成的四邊形ADEB周長最短.變式二：已知點A位于直線m,n的內(nèi)側(cè),在直線m、n分別上求點P、Q點PA+PQ+QA周長最短.二、求兩線段差的最大值問題(運(yùn)用三角形兩邊之差小于第三邊)基本圖形解析：1、在一條直線m上，求一點P，使PA與PB的差最大；(1)點A、B在直線m同側(cè)：解析：延長AB交直線m于點P，根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，P’A—P’B＜AB，而PA—PB=AB此時最大，因此點P為所求的點。(2)點A、B在直線m異側(cè)：解析：過B作關(guān)于直線m的對稱點B’,連接AB’交點直線m于P,此時PB=PB’，PA-PB最大值為AB’例題演練題組1：兩定點一動點問題例1．已知，如圖1，拋物線y＝x2﹣2x﹣3與x軸交于點A，在拋物線第一象限的圖象上存在一點B，x軸上存在一點C，使∠ACB＝90°，AC＝BC，拋物線的頂點為D．(1)求直線AB的解析式；(2)如圖2，若點E是AB上一動點(點A、B除外)，連接CE，OE，當(dāng)EC+OE的值最小時，求△BDE的面積；【解答】解：(1)由題意A(﹣1，0)，B(3，0)，C(0，﹣3)設(shè)C(m，0)，則B(m，m+1)，把點B坐標(biāo)代入拋物線的解析式得到：m+1＝m2﹣2m﹣3，解得m＝4或﹣1(舍棄)，∴C(4，0)，B(4，5)，設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+b，則有，∴，∴直線AB的解析式為y＝x+1．(2)如圖1中，如圖作點C關(guān)于直線AB的對稱點C′，連接OC′交直線AB于E，連接EC、EO，此時EO+EC的值最?。逤(4，0)，CC′關(guān)于直線AB對稱，∴C′(﹣1，5)，∴直線OC′的解析式為y＝﹣5x，由，解得，∴E(﹣，)，∵D(1，﹣4)，∴S△BDE＝9×(4+)﹣×3×9﹣×(1+)(4+)﹣×(4+)(5﹣)＝12.5．練1.1如圖，已知拋物線y＝x2+3x﹣8的圖象與x軸交于A，B兩點(點A在點B的右側(cè))，與y軸交于點C．(1)求直線BC的解析式；(2)點F是直線BC下方拋物線上的一點，當(dāng)△BCF的面積最大時，在拋物線的對稱軸上找一點P，使得△BFP的周長最小，請求出點F的坐標(biāo)和點P的坐標(biāo)；【解答】解：(1)對于拋物線y＝x2+3x﹣8，令y＝0，得到x2+3x﹣8＝0，解得x＝﹣8或2，∴B(﹣8，0)，A(2，0)，令x＝0，得到y(tǒng)＝﹣8，∴A(2，0)，B(﹣8，0)，C(0，﹣8)，設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b，則有，解得，∴直線BC的解析式為y＝﹣x﹣8．(2)如圖1中，作FN∥y軸交BC于N．設(shè)F(m，m2+3m﹣8)，則N(m，﹣m﹣8)∴S△FBC＝S△FNB+S△FNC＝?FN×8＝4FN＝4[(﹣m﹣8)﹣(m2+3m﹣8)]＝﹣2m2﹣16m＝﹣2(m+4)2+32，∴當(dāng)m＝﹣4時，△FBC的面積有最大值，此時F(﹣4，﹣12)，∵拋物線的對稱軸x＝﹣3，點B關(guān)于對稱軸的對稱點是A，連接AF交對稱軸于P，此時△BFP的周長最小，設(shè)直線AF的解析式為y＝ax+b，則有，解得，∴直線AF的解析式為y＝2x﹣4，∴P(﹣3，﹣10)，∴點F的坐標(biāo)和點P的坐標(biāo)分別是F(﹣4，﹣12)，P(﹣3，﹣10)．題組2：兩動點一定點問題例2．如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與直線y＝mx+n相交于點A(1，8)和點B(5，4)．(1)求拋物線和直線AB的解析式．(2)如圖1，直線AB上方的拋物線上有一點P，過點P作PQ垂直于AB所在直線，垂足為Q，在x軸正半軸和y軸正半軸上分別有兩個動點M和N，連接PN，NM，MB，BP．當(dāng)線段PQ的長度最大時，求四邊形PNMB周長的最小值．【解答】解：(1)∵拋物線y＝﹣x2+bx+c與直線y＝mx+n相交于點A(1，8)和點B(5，4)．∴，，解得，，∴拋物線解析式為y＝﹣x2+5x+4，直線y解析式為＝﹣x+9．(2)如圖1中，設(shè)直線AB與x軸交于點F，與y軸交于點E，則E(0，9)，F(xiàn)(9，0)，連接PE、PF、PO．當(dāng)PQ最大時，△PEF的面積最大，設(shè)P(m，﹣m2+5m+4)∵S△PEF＝S△POE+S△POF﹣S△EOF＝×9×m+×9×(﹣m2+5m+4)﹣×9×9＝﹣(m﹣3)2+18，∵﹣＜0，∴m＝3時，△PEF的面積最大值為18，此時P(3，10)，作點P關(guān)于y軸的對稱點P′，B關(guān)于x軸的對稱點B′，連接P′B，與y軸交于點N，與x軸交于點M，此時四邊形PNMB的周長最?。碛桑核倪呅蜳NMB周長＝PN+MN+MB+PB＝P′N+MN+MB′+PB＝P′B′+PB，∵PB是定長，兩點之間線段最短，∴此時四邊形PNMB周長最?。逷′(﹣3，10)，B′(5，﹣4)，∴P′B′＝＝2，∵PB＝＝2，∴四邊形PNMB周長的最小值為2+2．練2.1如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+x+3，分別交x軸于A、B兩點，交y軸交于C點，頂點為D．(1)如圖1，連接AD，R是拋物線對稱軸上的一點，當(dāng)AR⊥AD時，求點R的坐標(biāo)；(2)在(1)的條件下．在直線AR上方，對稱軸左側(cè)的拋物線上找一點P，過P作PQ⊥x軸，交直線AR于點Q，點M是線段PQ的中點，過點M作MN∥AR交拋物線對稱軸于點N，當(dāng)平行四邊形MNRQ周長最大時，在拋物線對稱軸上找一點E，y軸上找一點F，使得PE+EF+FA最小，并求此時點E、F的坐標(biāo)．【解答】解：(1)對于拋物線y＝﹣x2+x+3，令y＝0，得﹣x2+x+3＝0，解得x＝﹣2或6，∴B(﹣2，0)，A(6，0)，∵y＝﹣x2+x+3＝﹣(x﹣2)2+4，∴拋物線頂點D坐標(biāo)為(2，4)，對稱軸x＝2，設(shè)直線AD的解析式為y＝kx+b則有，解得，∴直線AD的解析式為y＝﹣x+6，∵AR⊥AD，∴直線AR的解析式為y＝x﹣2，∴點R坐標(biāo)(2，﹣)．(2)如圖1中，設(shè)P(m，﹣m2+m+3)，則Q(m，m﹣2)，M(m，﹣m2+m+)，由(1)可知tan∠DAB＝＝，∴∠DAB＝60°，∵∠DAQ＝90°，∴∠BAQ＝30°，∴平行四邊形MNRQ周長＝2(﹣m2+m+﹣m+2)+2(2﹣m)÷cos30°＝﹣m2﹣m+，∴m＝﹣時，平行四邊形MNRQ周長最大，此時P(﹣，)，如圖2中，點P關(guān)于對稱軸的對稱點為M，點M關(guān)于y軸的對稱點為N，連接AN交y軸于F，連接FM交對稱軸于E，此時PE+EF+AF最?。碛桑篜E+EF+AF＝EM+FE+AF＝FM+AF＝FN+AF＝AN，根據(jù)兩點之間線段最短，可知此時PE+EF+AF最?。進(jìn)(，)，N(﹣，)，∴直線AN的解析式為y＝﹣x+，∴點F坐標(biāo)(0，)，∴直線FM的解析式為y＝x+，∴點E坐標(biāo)(2，)．題組3：線段之差的最大值問題例3．如圖，二次函數(shù)y＝﹣x2+2x+1的圖象與一次函數(shù)y＝﹣x+1的圖象交于A，B兩點，點C是二次函數(shù)圖象的頂點，P是x軸下方線段AB上一點，過點P分別作x軸的垂線和平行線，垂足為E，平行線交直線BC于F．(1)當(dāng)△PEF面積最大時，在x軸上找一點H，使|BH﹣PH|的值最大，求點H的坐標(biāo)和|BH﹣PH|的最大值；【解答】解：(1)設(shè)點P(m，﹣m+1)，則點E(m，0)，聯(lián)立兩個函數(shù)表達(dá)式得，解得，即點A、B的坐標(biāo)分別為(0，1)、(6，﹣5)，由拋物線的表達(dá)式知，點C(2，3)，由B、C的坐標(biāo)得，直線BC的表達(dá)式為y＝﹣2x+7，當(dāng)y＝﹣2x+7＝﹣m+1時，x＝，故點F(，﹣m+1)，△PEF面積＝×PE?PF＝×(m﹣1)(﹣m)＝﹣(m﹣1)(m﹣6)，∵﹣＜0，故△PEF面積有最大值，此時m＝(1+6)＝，故點P(，﹣)，當(dāng)P、B、H三點共線時，|BH﹣PH|的值最大，即點H為直線AB與x軸的交點，故點H(1，0)，則|BH﹣PH|的最大值＝BH﹣PH＝BP＝＝；練3.1已知拋物線ω：y＝﹣x2﹣x+4與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，D點為拋物線的頂點，E為拋物線上一點，點E的橫坐標(biāo)為﹣5．(1)如圖1，連接AD、OD、AE、OE，求四邊形AEOD的面積．(2)如圖2，連接AE，以AB，AE為邊作?AEFB，將拋物線w與?AEFB一起先向右平移6個單位長度，再向上平移m個單位長度，得到拋物線w′和?A′E′F′B′，在向上平移的過程中?AEFB與?A′E′F′B′重疊部分的面積為S，當(dāng)S取得最大值時，E′F′與BF交于點Q，在直線A′B′上有兩動點P，H，且PH＝2(P在H的右邊)，當(dāng)|PQ﹣HC|取得最大值時，求點P的坐標(biāo)．【解答】解：(1)令﹣x2﹣x+4＝0，解得：x1＝﹣4，x2＝2，∴A(﹣4，0)，B(2，0)當(dāng)x＝﹣＝﹣1時，y＝，即D(﹣1，)，當(dāng)x＝﹣5時，y＝，即E(﹣5，﹣)∴S四邊形AEOD＝S△AOE+S△AOD＝?AD?(yD﹣yE)＝×4×()＝16；(2)如圖1，延長FE′交x軸于點H，由平移可知：F(1，)，F(xiàn)H⊥x軸，F(xiàn)E′＝m，F(xiàn)H＝，∴BH＝1，△FHB∽FE′Q，∴＝，即＝，∴E′Q＝，由平移可知，重疊部分四邊形為平行四邊形，S重疊四邊形＝E′Q?HE′＝()＝m2+m，當(dāng)m＝＝時，平行四邊形的面積有最大值，此時yQ＝﹣當(dāng)y＝﹣時，即Q是線段FB的中，∴xQ＝＝，即Q(，)．如圖2，作點Q關(guān)于直線A′B′的對稱點Q′，將線段CH向右平移兩個單位使點H與點