2023-2024學(xué)年河北省秦皇島市新世紀高級中學(xué)高二（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2023?2024學(xué)年河北省秦皇島市新世紀高級中學(xué)高二(上)開學(xué)

數(shù)學(xué)試卷

一、單選題(本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項)

1.己知α∈R,(l+αi)i=3+i(i為虛數(shù)單位)，則α=()

A.-1B.1C.-3D.3

2.在ZMBC中，內(nèi)角4,B,C所對的邊為α,b,c,若α=4,6=4門，B=60°,則4=()

A.30oB.30。或150。C.60oD.60?；?20。

3.若一個樣本容量為8的樣本的平均數(shù)為5,方差為2.現(xiàn)樣本中又加入一個新數(shù)據(jù)5,此時樣

本容量為9,平均數(shù)為3方差為S2,則()

A.%=5?s2>2B.%=5-s2<2C.χ>5>s2<2D.%>5,S2>2

4.如圖，在梯形ABCO中，BC=2AD,DE=EC,設(shè)麗=落F?=b，則證=()

A.^a+^bB.^a+γbC.α÷16D.；方+'b

24363324

5.若Sina=主暮，戊6(全兀)，則tan(3τr-2α)=()

A??4B--?c?5d?

6.已知四=蒼+5瓦瓦f=-2五+8反而=30-W,則()

?A、B、D三點共線B.A.B、C三點共線

C.B、C、D三點共線D.4、C、D三點共線

7.海倫公式是利用三角形的三條邊的邊長α,b,C直接求三角形面積S的公式，表達式為:

S=Jp(p—a)(p-b)(p-c),P="盧：它的特點是形式漂亮，便于記憶.中國宋代的數(shù)

學(xué)家秦九韶在1247年獨立提出了“三斜求積術(shù)”，雖然它與海倫公式形式上有所不同，但它

與海倫公式完全等價，因此海倫公式又譯作海倫-秦九韶公式.現(xiàn)在有周長為10+2「的4

ABC滿足sinΛ:sinB：SinC=2：3：「，則用以上給出的公式求得△?!BC的面積為()

A.8√π7B.4。C.6√~3D.12

8.已知函數(shù)/O)=sin(3x+9)(3>0,∣a∣W今，X=—彳為/(x)的零點，X=彳為y=∕QO圖

象的對稱軸，且/(X)在(弓,空)上單調(diào)，則3的最大值為()

IoJo

A.11B.9C.7D.5

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求)

9.復(fù)數(shù)Z=色，i是虛數(shù)單位，則下列結(jié)論正確的是()

A.IZl=CB.Z的共輾復(fù)數(shù)為I+與

C.Z的實部與虛部之和為2D.Z在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點位于第一象限

10.下列函數(shù)中是奇函數(shù)，且最小正周期是兀的函數(shù)是()

Ay=sin2xB.y=sin∣x∣

C.y=cos(2x-y)D.y=sin(2x+

11.已知函數(shù)/'O)=4sin(3x+w)(4>0,3>0,⑼<])的部分vA

圖象如圖所示，下列說法正確的是()Z?\

A函數(shù)y=f(χ)的最小正周期為2萬：\

B.函數(shù)y=/(X)在[一第一白單調(diào)遞減θ∣?y?!

C.函數(shù)y=/Q)的圖象關(guān)于直線X=-雪對稱_21________UZ

D.該圖象向右平移看個單位可得y=2sin2x的圖象

12.三角形ABC的三邊α,b,c所對的角為4,B,C,1一(sinA-sinB)2=SinAsinB+cos2C,

則下列說法正確的是()

*rπ

AC=E

B.若AABC面積為4/豆，則△ABC周長的最小值為12

C.當(dāng)b=5,c=7時，a=9

D.若b=4,8=彳，則BC面積為6+2q

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.某校共有師生2400人，其中教師200人，男學(xué)生1200人，女學(xué)生IOoO人.現(xiàn)用比例分配

的分層隨機抽樣方法從所有師生中抽取一個容量為n的樣本，已知從女學(xué)生中抽取的人數(shù)為

80,那么n=.

14.sin21°cos9°+sin69°sin9°=.

15.在邊長為6的正BC中，若點。滿足眇=2萬乙則而?能=.

16.在AABC中，4C=?AC=2,M為4B邊上的中點，且CM的長度為，7,則力B=.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

設(shè)向量α,b滿足a?6=3，I五I=3,b—(√-3,1)?

(1)求向量優(yōu)方的夾角及同一昨

(2)若(￡+2?1口方一辦，則實數(shù)k的值.

18.(本小題12.0分)

△4BC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為α,b,c,己知√~ΣcosB(αcosC+ccos4)=匕.

(1)求8；

(II)若C=60。，b=2,求α,C的值.

19.(本小題12.0分)

2023年6月4日，神舟十五號載人飛船返回艙在預(yù)定區(qū)域成功著陸，航天員費俊龍，鄧清明，

張陸順利出艙，神舟十五號載人飛行任務(wù)圓滿完成.為紀念中國航天事業(yè)所取得的成就，發(fā)揚

并傳承中國航天精神，某市隨機抽取IOOo名學(xué)生進行了航天知識競賽并記錄得分(滿分：100

分)，將學(xué)生的成績整理后分成五組，從左到右依次記為[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),

[90,100],并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)請補全頻率分布直方圖：

(2)估計這IooO名學(xué)生成績的眾數(shù)、平均數(shù)和計算80%分位數(shù)(求平均值時同一組數(shù)據(jù)用該組

區(qū)間的中點值作代表，80%分位數(shù)小數(shù)點后面保留兩位有效數(shù)字).

20.(本小題12.0分)

為了應(yīng)對日益嚴重的氣候問題，某氣象儀器科研單位研究出一種新的“彈射型”氣候儀器，

這種儀器可以彈射到空中進行氣候觀測，如圖所示，B,C,。三地位于同一水平面上，這種

儀器在B地進行彈射實驗，觀測點C,。兩地相距IOoJn,乙BCD=60°,在C地聽到彈射聲音

的時間比D地晚看秒，在C地測得該儀器至最高點4處的仰角為30。.(已知聲音的傳播速度為

340τn∕s)

求：(I)B,C兩地間的距離；

(2)這種儀器的垂直彈射高度4B.

21.(本小題12.0分)

B^EIl??α=(cosx,sinx),b=(3,-√^3).×∈[0,π].

(I)若五〃方,求尤的值；

(2)記=α?ft,求/Q)的最大值和最小值以及對應(yīng)的X的值.

22.(本小題12.0分)

在銳角△ABC中，角A,B,C的對邊分別為α,b,c,若COSB+?∕-3sinB=+=ι

bCV3sine

(1)求角B的大小和邊長b的值；

(2)求AABC面積的取值范圍.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解:因為(l+αi)i=3+i,即一α+i=3+i,

由復(fù)數(shù)相等的定義可得，一α=3,即α=-3.

故選：C.

利用復(fù)數(shù)相等的定義求解即可.

本題考查了復(fù)數(shù)相等定義的理解和應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】A

【解析】解：因為Q=4,b=4-?Λ3,B=60。,

所以由正弦定理有：-?b

SinB

z

所以S譏4=asin8_^×~一1，

b~4?門2

因為b>a,所以60。=8>4>0。,

所以4=30。.

故選：A.

由正弦定理可得S譏A=去再結(jié)合大邊對大角即可求得.

本題考查正弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】B

【解析】解：???某8個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5,方差為2,現(xiàn)又加