2023-2024學(xué)年河南省鄭州市高二年級(jí)上冊(cè)期末數(shù)學(xué)模擬試題（含解析）

2023-2024學(xué)年河南省鄭州市高二上冊(cè)期末數(shù)學(xué)模擬試題

一、單選題

1.已知￡=（2,1,-3）,否=（?,若大區(qū)，則實(shí)數(shù)2等于（）

33

A.—6B.C.—D.6

22

【正確答案】C

【分析】由空間向量平行的坐標(biāo)表示求解即可

【詳解】因?yàn)椤?（2,1,-3）,坂且￡//九

2-3

所以7一1一二~，

2

3

解得

故選：C

2.若直線過兩點(diǎn)（2,1+6）,則此直線的傾斜角是（）

A.30°B.45°C.60°D,90°

【正確答案】A

【分析】根據(jù)兩點(diǎn)的斜率公式，算出直線的斜率，再由傾斜角與斜率的關(guān)系和傾斜角的范圍,

得出傾斜角的大小.

【詳解】???直線過點(diǎn)（2,1+6）

直線的斜率k=L=比，即直線的傾斜角a滿足tana=正；

-1-233

v0°<a<180°,：.a=30°

故選：A.

本題主要考查利用兩點(diǎn)的坐標(biāo)求直線斜率與傾斜角的應(yīng)用問題，屬于基礎(chǔ)題.

3.如圖，在平行六面體力中，AB+AD-CC]=（）

UUUL

A.AC,B.4cC.印D.國(guó)

【正確答案】B

【分析】由空間向量的加法的平行四邊形法則和三角形法則，可得所求向量.

【詳解】

連接zc、4C,可得在+力=左，又西=而,

所以=AC-A4=qc.

故選：B.

4.在平面直角坐標(biāo)系口中，橢圓c的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)耳、外在y軸上，離心率為冬

過不的直線/交橢圓于A、8兩點(diǎn)，且用的周長(zhǎng)為16,則橢圓C的方程為（）.

x2y2B+y2-1

AK.—+—=1B-T+T_1

84

22

C”1I

D.—+^-=1

168816

【正確答案】D

【分析】利用橢圓的定義可求得。的值，結(jié)合橢圓的離心率公式可求得。的值，進(jìn)而可求得

。的值，結(jié)合橢圓的焦點(diǎn)位置可得出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【詳解】由題意可知，△48月的周長(zhǎng)為

|4川+以周+忸周=。耳|+|4%）+（忸凰+忸&）=4a=16,;.a=4,

又因?yàn)闄E圓C的離心率為e=￡=￡=且，可得c=2&，.?）="7丁'=2立，

Q42

又因?yàn)闄E圓c的焦點(diǎn)在y軸上，因此，橢圓c的方程為!+《=1.

816

故選：D.

5.已知雙曲線C:3/-/=3,則。的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為（）

A.V2B.73C.2D.3

【正確答案】B

【分析】求出雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)及漸近線方程,根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性，取其中一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)和

漸近線即可,根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式求出結(jié)果即可.

【詳解】解:由題知雙曲線。：3/-/=3,

即/亶=],

3

故焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±2,0）,

漸近線方程為:y=±6x,

即y±y/3x=0,

由雙曲線的對(duì)稱性，

不妨取焦點(diǎn)（2,0）到漸近線y+Gx=0的距離，

故焦點(diǎn)到其漸近線的距離為咨=百.

故選:B

6.已知過點(diǎn)唱,1）的直線/與圓C:x2+（y-2?=4交于48兩點(diǎn)，則當(dāng)弦13最短時(shí)直線/

的方程為（）

A.2x-4y+3=0B.x-4y+3=0

C.2x+4y+3=0D.2x+4y+l=0

【正確答案】A

【分析】根據(jù)直線過定點(diǎn)產(chǎn)，當(dāng)N8LPC時(shí)弦最短，由互相垂直的直線斜率乘積為-1,

求出直線方程，然后由點(diǎn)斜式求出直線方程，可得答案.

【詳解】因?yàn)橹本€/過定點(diǎn)嗒,1}

由V+O-2)2=4,則圓心C(0,2),半徑r=2,

當(dāng)PC時(shí)，弦最短，此時(shí)直線C尸的斜率自/丁=-2,

2

所以直線/的斜率3B=；，

故直線/為則2x-4y+3=0.

故選：A.

7.拋物線卜=以2的準(zhǔn)線方程為y=l,則。的值為()

A.—B.—2C.—D.—4

24

【正確答案】C

【分析】先求得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，可得其準(zhǔn)線方程，根據(jù)題意，列出方程，即可得答案.

【詳解】由題意得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為準(zhǔn)線方程為y=

a4a

又準(zhǔn)線方程是y=i,所以-1=1,

4a

所以a=-1.

4

故選：C

8.若圓V+V=l上總存在兩個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)(a,1)的距離為2,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.(-2>/2,0)u(0,272)B.(-2五,2偽

C.(-l,0)U(0,l)D.(-U)

【正確答案】A

【分析】將問題轉(zhuǎn)化為圓(x-a)2+(y-l)2=4與x?+y2=i相交，從而可得

2-l<777F<2+b進(jìn)而可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.

［詳解］到點(diǎn)(。,1)的距離為2的點(diǎn)在圓(x-a)2+(y_1)2=4上,

所以問題等價(jià)于圓(X-a)2+⑶-1)2=4上總存在兩個(gè)點(diǎn)也在圓V+V=1上,

即兩圓相交，故2-1<<2+1，

解得-2夜<a<0或0<a<2&，

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-2&,0）。（0,2收），

故選：A.

9.在直三棱柱中，側(cè)棱長(zhǎng)為4,底面是邊長(zhǎng)為4的正三角形，則異面直

線與8C'所成角的余弦值為（）

A.；B.正C.-D.在

2345

【正確答案】C

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解夾角的余弦值.

【詳解】由題意，取/C中點(diǎn)O,建系如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則4(2,0,0),8(0,2瓜0),*(0,2瓜4),C,(-2,0,4),

所以行=(-2,254),苑=(-2,-20,4),

AB^BC1_8

所以cos<AB：BC>=

西網(wǎng)=324

所以,與5C,所成角的余弦值為:’

故選:C.

10.希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯（約公元前262?公元前190年）的著作《圓錐曲線論》是古

代世界光輝的科學(xué)成果，著作中有這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)左（左>0

且的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓.已知0（0,0）,力（3,0）,圓

。:（、-2）2+/=/&>0）上有且僅有一個(gè)點(diǎn)尸滿足歸旬=2|尸0|,則廠的取值可以為（）.

A.2B.3C.4D.5

【正確答案】D

【分析】設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用已知條件列出方程，化簡(jiǎn)可得點(diǎn)P的軌跡方程，由點(diǎn)尸是

圓C:(x-2)2+/=/(r>0)上有且僅有的一點(diǎn)，可得兩圓相切，進(jìn)而可求得r的值.

【詳解】設(shè)動(dòng)點(diǎn)尸(xj)，由1PH=2|PO|,得(》-3)2+/=底+4/,

整理得(x+l)2+/=4,即點(diǎn)P軌跡方程為(X+1)2+/=4,表示圓，

又點(diǎn)P是圓U(x-2)2+/=r2(r>0)上有且僅有的一點(diǎn)

所以兩圓相切，圓(x+1了+/=4的圓心坐標(biāo)為(-1,0),半徑為2,

圓C:(x-2)2+/=/(,.>())的圓心坐標(biāo)為(2,0),半徑為廠，兩圓的圓心距為3,

當(dāng)兩圓外切時(shí)，，-2=3,得r=l,

當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，W-2|=3,?->0,得廠=5.

故選：D.

11.已知拋物線C：y?=8x,點(diǎn)P為拋物線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P向圓。：x2+y2-4x+3=0

作切線，切點(diǎn)分別為A,B,則四邊形尸的面積的最小值為()

A.1B.2C.石D.y[s

【正確答案】C

【分析】由題意圓的圓心與拋物線的焦點(diǎn)重合，可得連接?。，則S四邊物=2SR?。=歸旬，

而照|=J|叫2所以當(dāng)|尸。|最小時(shí)，四邊形尸4)8的面積最小，再拋物線的定義轉(zhuǎn)化為

點(diǎn)P到拋物線的準(zhǔn)線的距離的最小值，結(jié)合拋物線的性質(zhì)可求得結(jié)果

【詳解】如圖，連接P。，圓。：(X-2)2+J?=I,該圓的圓心與拋物線的焦點(diǎn)重合，半徑

為L(zhǎng)

則S四邊形尸血=2又少仞=|尸力|.

又照|=J|叫2-1,所以當(dāng)四邊形尸458的面積最小時(shí)，|電>|最小.

過點(diǎn)P向拋物線的準(zhǔn)線x=-2作垂線，垂足為E,則歸。|=歸同，

當(dāng)點(diǎn)P與坐標(biāo)原點(diǎn)重合時(shí)，伊司最小，此時(shí)|P￡|=2.

故($四邊形R4DB)min=(5尸。|6'

'/min

故選：C

12.如圖，在四棱錐P-/8CO中，是以4。為斜邊的等腰直角三角形，BC//AD,

ADVCD,/。=尸6=2。=2。8=2,￡為2。的中點(diǎn)，則下列結(jié)論不正確的是（）

B.平面平面/BCD

C.點(diǎn)E到平面為8的距離為日

D.二面角”-尸8-。的正弦值為日

【正確答案】B

【分析】利用線面平行的判定定理即可判斷A；幾何法找二面角的平面角，確定角度大小即

可判斷B；建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)空間向量計(jì)算點(diǎn)到平面的距離，即可判斷C；根據(jù)空

間向量計(jì)算二面角的余弦值，進(jìn)而求正弦值，從而判斷D：

【詳解】對(duì)于A：取尸4的中點(diǎn)為連接

因?yàn)镋為尸。的中點(diǎn)，所以EM”AD"BC,EM==AD=BC,

2

所以四邊形為平行四邊形，所以CE//8M,

因?yàn)镃EU平面R48,BMu平面P4B,所以CE〃平面H4B,故A正確；

對(duì)于B：取/。為N,連接BN,PN,所以BN=CD=1,且BNLND,

又因?yàn)槭堑妊苯侨切危訮N=ND=1,PNLND,

且PN,NBu平面PNB,且PNINB=N,

所以ND1平面PNB,所以NPNB為平面尸/￡)與平面ABCD的夾角，

又因?yàn)?C//N。，所以平面PN8,且PBu平面PN5,所以BC1PB,

PB=NPC2-BC，=6,而PB°#BN、PN),所以NPN8#90°,故B錯(cuò)誤;

對(duì)于C：以8為原點(diǎn)，8c所在直線為x,y軸，在平面PN5內(nèi)，作BzJ.平面488,建

立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,

則8(0,0,0),/(-1,1,0),0(1,1,0),C(l,0,0),

因?yàn)?N=PN=\,所以cos/PNB=士二座=一!』尸痔=120°,

2PN-NC2

所以0°'5'E'E2'^T'

\7\/

所以加=(0,|，爭(zhēng)而=(-1,1,0)衣=(1,0,0),而=(15?

設(shè)平面PAB的法向量為加=(x,%z),

3,也n

麗.麗

=0□-yH-----z=0

則有，即ltj22,令X=L則y=],2=—,

m-BA=0

-x+y=0

DC

所以碗=(1,1,-百)，所以點(diǎn)E到平面PAB的距離為Tp正故C正確;

5

對(duì)于D:設(shè)平面尸8c的法向量為萬=(a,4c),

[n-BP=0、b+?c=G

則有_即22，令人=1,則c=-6，”0,

\n-BC^0n

ia=0

所以7=(0,1,-道),

4275

設(shè)二面角/-P8-C的大小為。，則|cose|=kos<m,〃

邛=~T

所以sin?=^.故D正確.

故選：B

填空題

13.已知向量7=(2,3,4),6=(1,2,0),貝布+,=.

【正確答案】5&

【分析】求出向量z+瓦的坐標(biāo)，利用空間向量模長(zhǎng)公式可求得的值.

【詳解】因?yàn)橄蛄?=(2,3,4),彼=(1,2,0),則￡+1=(3,5,4),

因此，2+6+52+42=5技

故答案為.5庭

14.兩圓-+y2-2y-3=0與/+/+2x=0的公共弦所在直線的方程為.

【正確答案】2x+2y+3=0

【分析】?jī)蓤A相減，消去即為答案.

【詳解】/+/—2y-3=0與/+/+2》=0相減得：2x+2y+3=0,即為公共弦所在直線

的方程.

故2x+2歹+3=0

15.不論俄為何實(shí)數(shù)，直線/：(〃?-1)X+(2m-3)歹+加=0恒過定點(diǎn).

【正確答案】(-3,1)

【分析】直線/方程轉(zhuǎn)化為，"x+2y+l)-(x+3y)=0,再根據(jù)直線系方程求解即可.

【詳解】解：將直線/：(機(jī)一l)x+(2“_3)y+m=0方程轉(zhuǎn)化為機(jī)(x+2y+l)_(x+3y)=0,

所以直線/過直線x+2y+l=0與x+3y=0的交點(diǎn)，

丁=1

所以，聯(lián)立方程

x=-3

所以，直線/：("?-l)x+(2m-3)，+加=0恒過定點(diǎn)(-3,1)

故(-3,1)

16.已知耳、名為雙曲線C：W-g=l(a>0,b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P、。為。上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)

a~b~

對(duì)稱的兩點(diǎn)，且IPQH耳61，若直線尸。的傾斜角為。，則C的離心率為—.

【正確答案】G+i##i+G

【分析】由題意畫出圖形，可得為正三角形，進(jìn)一步得到四邊形學(xué)。耳為矩形，再

由雙曲線的定義求解得答案.

【詳解】如圖，

JT

,:直線PQ的傾斜角為:，；.NQOF2=60°,

又|「。|=|月瑪|,；.|00|=|08|,可得△。鑿為正三角形,

由對(duì)稱性可得，四邊形尸用?！榫匦危玫絴P耳|=c,|擘卜豉，

由雙曲線定義可得，&-c=2a，

e=y/3+1,

故答案為.百+1

三、解答題

17.如圖，在棱長(zhǎng)為。的正方體0/BC-048。中，E,尸分別是棱43,8c上的動(dòng)點(diǎn),

且==其中04x4a,以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系.

(1)寫出點(diǎn)E,E的坐標(biāo)；

(2)求證.AXF±C\E

【正確答案】⑴￡(a,x,O),F(a-x,a,O)

(2)證明見解析

【分析】(1)根據(jù)空間直角坐標(biāo)系中E,尸的位置寫出坐標(biāo)；

(2)求出乖?印=0,證明出結(jié)論.

【詳解】(1)根據(jù)空間直角坐標(biāo)系可得E(a,x,0),F(a-x,a,0).

(2)VAt(a,O,a),C,(0,a,a),

A,F=(-x,a,-a),C,E=(a,x-a,-a).

即麗.乎=-ax+a(x-a)+a2=0,

/.4?±qE,

故4F_LGE.

18.已知4BC的頂點(diǎn)4-2,0),點(diǎn)4,3),C(2,-2).

(1)求48邊上的中線所在直線的方程；

(2)求經(jīng)過點(diǎn)8,且在x軸上的截距和P軸上的截距相等的直線的方程.

【正確答案】(l)7x+2y_10=0

⑵3x-4y=0或x+y-7=0

【分析】(1)先求得N8邊中點(diǎn)坐標(biāo)，然后得斜率，由點(diǎn)斜式得直線方程并化簡(jiǎn);

(2)按直線是否過原點(diǎn)分類討論.不過原點(diǎn)時(shí)設(shè)截距式方程求解.

33

【詳解】(1)由已知48邊中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,二),中線斜率為_7,

/K-1一

1-22

7

中線所在直線方程為》+2=-5(%-2),即7x+2y—10=0；

(2)當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，斜率為〃=直線方程為y=即3x-4y=0,

44

直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為二+上=1,則9+a=1,a=7,直線方程為土+上=1,即

aaaa77

x+y-7=0,

所以所求直線方程為3x-4y=0或1=

19.己知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在歹軸上，且過點(diǎn)/(2,1).

(1)求拋物線的方程；

(2)若點(diǎn)8也在拋物線上，且O/_LO8,求線段48的長(zhǎng).

【正確答案】(1)公=4y

(2)5713

【分析】(1)設(shè)拋物線的方程，將點(diǎn)/代入，即可求得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)由OZ1O8,可得直線08的方程，代入拋物線方程得到8點(diǎn)坐標(biāo)，再求線段的長(zhǎng).

【詳解】(1)拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在y軸上，且過點(diǎn)”(2,1),則拋物線開口向上，

設(shè)拋物線/=2⑷(p>0),因?yàn)閽佄锞€過點(diǎn)4(2,1),所以4=22，解得p=2.

所以所求的拋物線方程為=4y；

(2)因?yàn)镺/_LO8,所以ko.-koB=T,

由%=g，所以G=-2

[y=-2x,、

所以08的方程”-2x,由j：=4y解得3(一8,16),

所以|/@=J102+152="亞=5后,即線段48的長(zhǎng)為5JR.

20.已知圓C：(x-2)2+(y-3)2=4外有一點(diǎn)P(4,-1),過點(diǎn)尸作直線/.

(1)當(dāng)直線/與圓C相切時(shí)，求直線/的方程；

(2)當(dāng)直線/的傾斜角為135。時(shí)，求直線/被圓C所截得的弦長(zhǎng).

【正確答案】(1[=4或3x+4y-8=0.

(2)2亞

【分析】(1)對(duì)斜率存在和斜率不存在兩種情況分類討論，由點(diǎn)到直線的距離為半徑即可求

得直線方程；

(2)由傾斜角可寫出直線方程，求出點(diǎn)到直線的距離，再由勾股定理即可求出弦長(zhǎng).

【詳解】(1)由題意知，圓C的圓心為(2,3),半徑r=2

當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線/的方程為x=4,此時(shí)圓C與直線/相切：

當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線/的方程為少+1=左(x—4),即h一夕一4%—1=0,

J|2A：-3-4A-l|13

則圓心到直線的距離為d=r即~7=2,解得左=-：,

y/1+k24

所以此時(shí)直線/的方程為3x+4y-8=0.

綜上，直線/的方程為x=4或3x+4y-8=0.

(2)當(dāng)直線/的傾斜角為135。時(shí)，直線/的方程為x+產(chǎn)3=0,

|2+3-3|

圓心到直線/的距離d=5/2

故所求弦長(zhǎng)為.2yJr2-d2=2M-后=272

21.如圖，已知尸41.平面力BCD,底面/BCD為正方形，PA=AD=AB=2,M,N分別為

(1)求線段的長(zhǎng)；

(2)求PD與平面PMC所成角的正弦值.

【正確答案】(1)收

【分析】(1)由題意可知，建立空間直角坐標(biāo)系分別求得m，N兩點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得線段

的長(zhǎng)；(2)利用空間向量在立體幾何中的應(yīng)用，求出而與平面的法向量的夾角即

可求出結(jié)果.

【詳解】(1)根據(jù)題意，分別以4民4),HP所在直線為x軸、>軸、z軸，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建

立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：

則M(l,0,0),尸(0,0,2),C(2,2,0),D(0,2,0),

N分別為尸C的中點(diǎn)，所以

易知加=(0,1,1),所以卜&

(2)易得蘇=(0,2,-2),赤=(-1,0,2),標(biāo)=(1,2,0),

設(shè)平面的法向量為〃=(x,y,z)

nMP--x+2z=0

則令z=l,則x=2,y=-l；

nMC=x+2y=0

所以〃=(2,7,1)

設(shè)直線PO與平面P