2023-2024學(xué)年河南省南陽市高二年級上冊期末數(shù)學(xué)模擬試題（含解析）

2023-2024學(xué)年河南省南陽市高二上冊期末數(shù)學(xué)模擬試題

一、單選題

1.過點（T,2）且與直線y=2x+l垂直的直線方程為（）

A.2x-y+4=0B.x-2y+5=0

C.2x+y=0D.x+2y-3=0

【正確答案】D

【分析】利用兩直線互相垂直斜率的關(guān)系及點斜式即可求解.

【詳解】與直線y=2x+i垂直的直線的斜率左=-；,

.?.所求的直線方程為y-2=-；（x+1）,即為x+2y-3=0,

故選.D

2.在空間四邊形力8co中，點”，G分別是8c和C。的中點，則彳豆+；（85+8心）=（）

A.ADB.GAC.AGD.MG

【正確答案】C

【分析】根據(jù)向量加法的三角形法則即可求解

【詳解】如圖所示，G是CO的中點，則!西=而，

2

刀+；(而+隔=翔+1(阮+而+西^AB+BC+^Cb^AC+CG^~A(,

故選：C.

3.設(shè)隨機變量X8(2,p),y~8(4,p),若尸則。(y)=()

【正確答案】D

【分析】根據(jù)隨機變量x8(2,p)和尸(X21)=，，寫出概率的表示式，得到關(guān)于P的方程,

9

解出°的值，再根據(jù)y~8(4,p),由二項分布的方差公式求得到結(jié)果.

【詳解】隨機變量X5(2,P{X>1)=1=0)=1-C?(1-p)2=|,解得"；，

二y~44,[,則D(y)=4x；x(l-jq

故選：D.

4.直線3x+y-a=0截圓x2+V+2x-4y-5=0所得的弦長為2回，則實數(shù)。的值為()

A.-1B.1C.-3D.3

【正確答案】A

【分析】根據(jù)弦長等于直徑確定直線過圓心即可求解.

【詳解】圓x2+V+2x-4y-5=0的圓心為(-1,2),

半徑一5+16+2”阿

2

因為直線截圓所得的弦長為2J6=2r,

所以直線經(jīng)過圓的圓心，所以-3+2-〃=0解得〃=-1,

故選:A.

5.將甲，乙等5名志愿者全部分派到4個核酸采樣點協(xié)助工作(每個采樣點至少1人)，其

中甲，乙兩人不能去同一個采樣點，則不同的分派方案共有()

A.120種B.216種C.240種D.432種

【正確答案】B

【分析】先分成四組，再排列即可求解.

【詳解】依題意，

情況一：甲，乙單獨作為一組，剩余3人分成2組，

則有C；A：=3x24=72種方案；

情況二：甲與其他三人中的一人作為一組，剩余乙和其他2人作為3組，

則有C；A：=3x24=72種方案；

情況三：乙與其他三人中的一人作為一組，剩余甲和其他2人作為3組，

則有C；A：=3x24=72種方案；

所以總共的方案為：72+72+72=216種.

故選：B.

6.與圓（x-3『+（y-2/=4相切，且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)的直線有（）

A.1條B.2條C.3條D.4條

【正確答案】C

【分析】在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)的直線，斜率為1或直線過原點，由直線與圓相切,

圓心到直線的距離等于半徑，列出方程求解即可.

【詳解】圓（x-3y+（y—2）2=4,圓心坐標(biāo)為（3,2）,半徑為『=2,

滿足題意的直線方程斜率可以為1,設(shè)直線方程為，

——幣?=2解得a—\+2&,?,?此

因為直線與圓相切，所以圓心到直線的距離"=/，即

時滿足條件的直線有兩條：x-y-1-2y/2=0和x-y-l+2近=0；

滿足題意的直線可以過原點時，直線傾斜角為90"時顯然不與圓相切，設(shè)直線方程為夕=日,

因為直線與圓相切，所以圓心到直線的距離1=廠，即畢三=2,解得無=0或左其

a+i5

I?

中左=0時，直線為x軸，不合題意，故此時滿足條件的直線有一條：y=yx;

綜上所述：滿足條件的直線有三條，如圖所示，

故選：C.

7.如圖，在正方體/BCD—48GA中，點E,F分別為D?,的中點，則直線NC與

平面EFC所成的角的正弦值為（）

3E￡

o

AB

A.；B.平C.

t巾

【正確答案】B

【分析】利用空間向量的坐標(biāo)運算求線面夾角.

【詳解】建系如圖，設(shè)正方體邊長為2,

/5

所以4(2,0,0),C(0,2,0),￡(0,1,2),F(l,2,2),

所以Z=(-2,2,0),E^=(1,1,0),￡T=(0,1,-2),

設(shè)平面EFC的法向量為m=(x,y,z),

EF-TH=x+y=0,

所以｛—,^x=2,y=-2,z=-\f

ECm=y-2z=0,

所以送=(2,-2,-1),

AK-AC,m_82yf2

所以C0S</CM>=同同=折=一亍，

所以ZC與平面E尸c所成的角的正弦值為2包.

3

故選:B.

8.5個人排成一列，已知甲排在乙的前面，則甲、乙兩人不相鄰的概率為()

4

D.-

5

【正確答案】C

【分析】利用插空法，結(jié)合古典概率模型求解即可.

【詳解】5個人全排列且甲排在乙的前面有田=60種方法，

2

將剩余三人排成一列有A；中排法，產(chǎn)生4個空位，

讓甲、乙選擇兩個空位插空，則有A：種方法，

所以甲、乙兩人不相鄰的安排方法有A；A；種方法，

其中甲排在乙的前面的有包＞=36種方法，

2

所以甲、乙兩人不相鄰的概率為要=占，

605

故選:C.

9.已知點4(0,1,1),80,2,1),C(2,l,3),則平面43C的方程為()

A.x-y-z+2=0B.x-y+z=0

C.x+y+z+2=0D.x-y-z=0

【正確答案】A

【分析】設(shè)平面的方程為"+cz+d=0,代入4民C三點的坐標(biāo)求系數(shù)即可.

【詳解】設(shè)平面/18C的方程為ax+by+cz+d=0,"也c不同時為0,

b+c+d=0

代入48,C三點的坐標(biāo)，得＜4+2b+c+d=0,解得6=-凡。=-2d=24,

2a+b+3c+d=0

所以平面NBC的方程為x—y—z+2=0.

故選：A

10.已知雙曲線Ud—/=1的左，右焦點分別為耳，工，過耳的直線與雙曲線。僅有一個公

共點產(chǎn)，則儼￡|=()

A.yB.-C.-D.-

2222

【正確答案】C

【分析】利用已知條件求出過G且與雙曲線僅有一個交點的直線方程，將該直線與雙曲線

聯(lián)立求得點P的坐標(biāo)，最后利用雙曲線的定義求出I尸國即可.

【詳解】由已知得「2=/+/=1+]=2,.?.左焦點耳的坐標(biāo)為卜"0）,

?.?過丹的直線與雙曲線C僅有一個公共點P,

.??該直線與雙曲線的漸近線N=X或y=-x平行，

...不妨設(shè)該直線方程為y=x+VI,

3五

[x2-y2=1苫=-丁f3V2近

將直線與雙曲線聯(lián)立廣，解得廣4,即p一個,4

y=x+y/2V2I44

又力叫|一|尸制=2,.?.|P國=2+|歷|=:，

故選.C

11.若(X-1產(chǎn)3-(x.產(chǎn)，=旬+%*+/*2+…+出023姆”,則

232023

2ai+2a2+2ai+---+2a2023=()

A.22022+2B.2M22-2C.22022+lD.22022-l

【正確答案】A

【分析】根據(jù)二項展開式，令x=0求出%=-1-22022,再令X=2即可求解.

【詳解】令x=0,則有（-1『⑵即%=-1-22022,

2023

再令x=2可得1—0=a0+2al+2~a?+…+2”"a，o”,

所以2%+2?%+2,%+…+22°23a2必=1-4=22022+2,

故選:A.

12.已知拋物線C：j?=2px的（p>0）焦點為尸，準(zhǔn)線為/,過尸的直線相交拋物線C于

A,B兩點，若在直線/上存在一點使是等邊三角形，則直線，〃的斜率為（）

A.士@B?士也C.±5/2D.士、

32

【正確答案】B

【分析】設(shè)直線，"的方程為x=5+H（/HO）,N8的中點為。，結(jié)合題意，可

得|加0|=@根8|且加。，力8,將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理和弦長公式即

可求解.

【詳解】設(shè)直線〃7的方程為X=5+”（fWO）,"（國,凹）,8（々,外），48的中點

為。，

聯(lián)立方程組」二萬十",整理可得V-2pW-p2=0,

y2=2px

則凹+為=2。/,凹?歹2=-〃2,所以0（_^+p汽p/）,

[4回=J1+”|必-央2|=jl+/,4.2/+4夕2=2夕(r+1),

要使AMAB是等邊三角形，則|M0|=^-\AB\且,

+3。-pt7=^yx2p(l+/：

即.y。-pt一.‘

PP.2~

----------pi

122

所以[(P+P/)2+(M-4=3/(1+產(chǎn)『①，

t=3

[y0-Ppt+pf?

將②式代入①式整理，可得一一3〃-2=0,

所以（d+1）2（*-2）=0,所以產(chǎn)=2,所以/=土忘,

所以直線加的斜率為左=±正，

2

故選.B

二、填空題

13.已知隨機變量J服從正態(tài)分布N（10,〃），若尸償43。+1）=0.5,則實數(shù)。=.

【正確答案】3

【分析】由正態(tài)分布曲線的特點可知，得正態(tài)曲線關(guān)于x=10對稱，且RXM10）=0.5,結(jié)

合題意得到。的值.

【詳解】隨機變量g服從正態(tài)分布N（10,b2）,正態(tài)曲線關(guān)于x=10對稱，且尸（X410）=0.5,

由尸偌43。+1）=0.5,可知3a+l=10,解得a=3.

故3.

14.若卜-展開式的二項式系數(shù)和為32,則展開式中的常數(shù)項為.（用數(shù)字作

答）

【正確答案】40

【分析】根據(jù)二項式系數(shù)和為2"=32,求出〃，即可求出二項式展開式中常數(shù)項.

【詳解】因為二項式系數(shù)和2"=32,

因此〃=5,

又小=541年］=c（2）r『

令人=2,常數(shù)項為C；（一2『=40.

故40.

15.如圖，已知四棱柱/8CD-44GA的底面/8C。是邊長為1的正方形，且

ZClCD=ZClCfi=DD1=2,貝川同卜.

【正確答案】歷

【分析】記赤=萬，CD=b，CC}=c,利用基底表示所求向量，然后將向量的模轉(zhuǎn)化為數(shù)

量積計算即可.

【詳解】設(shè)CB=a，CD=b，CCt=c,則AC^AC+CC^CC.-CB-CD^c-a-b,

TT

底面48CZ）是邊長為1的正方形，且NGCQ=NGC8=5，DD\=2,

一一1-1

則有,2=1,廬=1，c2=4,萬齒=0，5-c=lx2x—=1,A??=lx2x—=1,

則|屬『=（5一萬一5）2=萬2+52+52+蜀方-2萬g-歷W=I+I+4+O-2-2=2,

所以I用卜啦.

故也

_..r2v2,,

16.已知。為坐標(biāo)原點，尸為雙曲線F-5=Ia>06>0的左焦點，P是該雙曲線上的一

a2b2

點，且尸。尸是等腰直角三角形，則該雙曲線的離心率為.

【正確答案】立工或反+近

22

【分析】雙曲線的右焦點為乙，由已知條件計算尸運用雙曲線的定義和離心率公式,

計算即可.

【詳解】設(shè)雙曲線的右焦點為死,

當(dāng)NP尸0=90"時，如圖，連接尸鳥，

OF-c，F(xiàn)F2=2c

所以/PF?+尸8=&,2a=PF「PF=&-c,

則雙曲線的離心率為e=￡=——=巫里

aV5-12

V2y/277Z7O

—OF=J-FF=2C

222

在△PFB中,^PFF2=^f由余弦定理得尸=尸尸+尸6_2尸尸/685：=:，，

Gj7hlpj7yf^0nrDJ76

nF以PF.=--c,2a=PF、-PF=--c---c，

2_22

4M+6

雙曲線的離心率為e=-

aVio-^/2-2

故”或W+&

2

三、解答題

17.某車間生產(chǎn)一批零件，現(xiàn)從中隨機抽取10個，測量其內(nèi)徑的數(shù)據(jù)如下(單位：mm)：

192,192,193,197,200,202,203,204,208,209.設(shè)這10個數(shù)據(jù)的均值為〃，標(biāo)準(zhǔn)

差為?

(1)求〃和。；

(2)已知這批零件的內(nèi)徑X(單位：mm)服從正態(tài)分布NJ。?)，若該車間又新購一臺設(shè)

備，安裝調(diào)試后，試生產(chǎn)了5個零件，測量其內(nèi)徑(單位：mm)分別為：181,190,198,

204,213,如果你是該車間的負(fù)責(zé)人，以原設(shè)備生產(chǎn)性能為標(biāo)準(zhǔn)，試根據(jù)3o■原則判斷這臺

設(shè)備是否需要進一步調(diào)試？并說明你的理由.

參考數(shù)據(jù)：若X貝IJ：

P(〃-<7<XW〃+cr)=0.6826,P(〃-2b<XW〃+2b)a0.9544,

P(〃-3b<X4〃+3o?卜0.9974,0.9974、0.99.

【正確答案】(1)〃=200,(r=6

(2)這臺設(shè)備需要進一步調(diào)試，理由見解析

【分析】(1)利用公式計算出平均數(shù)和方差，進而求出標(biāo)準(zhǔn)差；

(2)計算出五個零件的內(nèi)徑中恰有1個不在(〃-3b,〃+3內(nèi)的概率約為0.01485,而又試產(chǎn)

的5個零件中內(nèi)徑出現(xiàn)了1個不在(〃-3b,〃+3內(nèi)內(nèi)，根據(jù)3b原則，得到結(jié)論.

【詳解】(1)=-^(192+192+193+197+200+202+203+204+208+209)=200,

cr2=^[82+82+72+32+02+22+32+42+82+92]=36,

故cr=^36=6;

(2)由題意得：XN(200,36),

尸(200-18<X4200+18),0.9974,即尸(182<X4218)=0.9974,

所以五個零件的內(nèi)徑中恰有1個不在(〃-36〃+3司的概率為

C；(0.997)4x(1-0.997)?0.01485,

又試產(chǎn)的5個零件中內(nèi)徑出現(xiàn)了1個不在(〃-3b,〃+3b］內(nèi)，

所以小概率事件出現(xiàn)了，根據(jù)3b原則，這臺設(shè)備需要進一步調(diào)試.

18.已知四個點：1(-2,0),5(6,0),C(-l,7),0(5,-1).

(1)從A,B,C,。四點中選3個點確定一個三角形，求出該三角形的外接圓加的方程;

(2)過點E(3,1)作直線/交圓加于P,。兩點，若|PQ|=4而,求直線/的方程.

【正確答案】(1)/+)，-4》-6了-12=0

(2)X=3或3》+4”13=0

【分析】(1)利用圓的一般方程，待定系數(shù)法求解；

(2)根據(jù)弦長公式求出直線/的距離為1,再根據(jù)點到直線距離公式求解.

【詳解】(1)設(shè)所求圓方程為/+/+必+4+尸=0,

⑴選力(-2,0),8(6,0),C(-l,7),

4-2。+尸=0[￡>=-4

則有<36+6。+尸=0解得，E=-6,

50-O+7E+尸=0尸=-12

所以所求圓方程為/+/-4x-6_y-12=0；

(ii)選4(-2,0),8(6,0),￡>(5,-1),

4-2。+尸=0￡>=-4

則有.36+6。+尸=0解得?￡=-6,

26+5￡>-E+F=0F=-12

所以所求圓方程為x2+y2-4x-6j^-12=0；

(iii)選4(-2,0),C(-l,7),0(5,-1),

(4—20+尸=0D=-4

則有〈50—Q+7E+尸=0解得｛E=-6,

26+5D—E+F=0F=-12

所以所求圓方程為/+/-4x-6^-12=0；

(iiii)選8(6,0),C(-l,7),0(5,-1),

‘36+60+尸=0伊=-4

則有卜0-。+7￡+尸=0解得＜￡=-6

26+5D-E+F=0尸=一12

所以所求圓方程為工2+/一以一6尸12=0.

(2)由(1)可知圓心為(2,3),半徑「=46+36+48=5,

2

設(shè)圓心(2,3)到直線/的距離為d,

因為=2\Jr2-d2=4\[b解得d-\,

若直線/的斜率不存在，則方程為x=3,

此時圓心到直線x=3的距離為3-2=1滿足題意；

若直線/的斜率存在，則設(shè)方程為y-1=以》-3),

即fcv-y+1-3無=0,

\~k-2\3

因為圓心到直線的距離〃=匕一=1解得％=-=,

VA2+14

所以直線/的方程為y-l=-*-3)即3x+4y—13=0.

綜上直線/的方程為x=3或3x+4y-13=0.

19.已知點P到點F(2,0)的距離比它到直線x=-l的距離大1.

(1)求點尸的軌跡C的方程；

(2)點M為軌跡C上任意一點，過點〃作圓N：(x-6>+y2=4的切線，切點分別為A,B,

求四邊形MANB面積的最小值.

【正確答案】(l)/=8x

(2)四邊形MANB面積的最小值為4近.

【分析1(1)設(shè)點尸(x,y),由條件公式列等式化簡可得軌跡方程.

⑵求|MN|的最小值，由此可求四邊形M4N8面積的最小值.

【詳解】(1)設(shè)P(x,?為曲線上任意一點,

因為點P到點尸(2,0)的距離比它到直線x=-l的距離大1.

所以^(x-2)2+y2=|x+l|+l,

當(dāng)》2-1時-，化簡可得/=8x,

當(dāng)X<-1時，，化簡可得y2=4x-4,又4x-4<0,矛盾,

所以點尸的軌跡C的方程為_/=8x；

(2)由圓N：(x-6)2+/=4可得N(6,0),半徑為2,

所以當(dāng)f=±4時，|初V|取最小值4VL又|M4|=新甫—M2=J|MV『-4

所以當(dāng)f=±4時，|朋聞取最小值2近，

又四邊形M4NB面積S=2X；X|K4|XMM=2|M4|，

所以SW4近，當(dāng)且僅當(dāng)點M的坐標(biāo)為(2,4)或(2,-4)時等號成立，

所以四邊形M4N8面積的最小值為4近.

20.如圖，在四棱錐尸-/BCD中，底面N5CD是直角梯形，ZABC=NBAD=90°,P8,平

?ABCD,8c=280=4/0=4.

(1)證明：PDLCD；

(2)若尸8=2,求二面角尸-CD-4的平面角的大小.

【正確答案】(1)見解析

一兀

⑵彳

【分析】(1)8為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點的坐標(biāo)，得到相關(guān)向量，計算

而?麗=0即可；

(2)求出平面2。的法向量沅=(0,0,1),求出平面NCD的法向量萬=(1,6,2),利用空間

向量夾角公式即可得到二面角大小.

【詳解】(1)-.■ZABC=ZBAD=90\:.AB1AC,

P8_L平面/BCD,AB,BCu面ABCD,；.PB上4B,PBl.BC,

故以8為U坐標(biāo)原點，BC,BA,BP為MV/軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖,

■：BC=2BD=4AD=4,：.BC=4,BD=2,AD=\,

48=省,設(shè)尸8=凡則。(4,0,0),。(1,6,0),尸(0,0,哈

.?.麗=(1,￡_0),麗=(-3,收0),

vP?CD=-3+3=0,PDA.CD.

(2)由(1)知2(0,6,0),8(0,0,0),尸(0,0,2),

平面48的法向量取而=(0,0,1),

PD=(1,^-2),CD=(-3,>^0),

設(shè)平面/CQ的法向量五=(x,y,z),

PDii^Ox+y/3y-2z=0

則即，

CDn=Q-3x+\/3y-0

取x=l得無=(1,32),

in-h_V2

cos(應(yīng),n)=

I回萬廣5"'

由圖易得此二面角的平面角為銳角，

所以二面角P-CD-A的平面角的大小為二7T.

21.本次數(shù)學(xué)考試中共有12個選擇題，每小題5分，共60分，在每小題給出的A,B,C,

D四個選項中，只有一項是符合題目要求的.本次考試的12個選擇題中，甲同學(xué)會其中的

10個，另外2個題只能隨意猜：乙同學(xué)會其中的9個，其它3個題中有2個題各能排除2

個錯誤選項，另外1個題能排除1個錯誤選項.

(1)設(shè)甲同學(xué)在本次考試中選擇題得分為X,求X的分布列及均值；

（2）設(shè)乙同學(xué)在本次考試中選擇題得分為y,求丫的分布列及均值;

（3）求甲同學(xué)和乙同學(xué)在本次考試中選擇題得分相同的概率.

【正確答案】⑴分布列見解析，E（x）=52.5；

（2）分布列見解析，后（丫）=岸：

35

(3)—.

96

【分析】（1）由條件求隨機變量X的所有可能取值，確定取各值的概率，即可確定其分布列

和均值；

（2）由條件求隨機變量y的所有可能取值，確定取各值的概率，即可確定其分布列和均值：

（3）利用概率乘法公式和加法公式求概率.

【詳解】（1）由已知隨機變量X的可能取值為50,55,60,

P（X=50）=—x—=—,P（X=55）=2x—x—=—=—,

'74416'744168

P（X=60）=—x—=—,

'74416

所以隨機變量X的分布列為

X505560

931

P

168?6

93j

E(X)=50x—+55x-+60x—=52.5

'/16816

（2）由己知隨機變量丫的可能取值為45,50,55,60,

1I241

+—X—x———

223123

所以隨機變量y的分布列為

Y45505560

]_5]_1

P

612312

￡(K)=45x-+50x—+55x-+60x—=—；

'/6123123

a515

(3)因為P(X=5O,y=5O)=而x^=R,

311

P(X=55,Y=55)=