2023年北京中考數(shù)學(xué)一模試題分類匯編-幾何綜合 含詳解

2023年北京中考數(shù)學(xué)一模分類匯編一一幾何綜合

1.(2023?海淀區(qū)一模)如圖，正方形ABC。中，點(diǎn)E,F分別在BC,C。上，BE=CF,

AE,BF交于點(diǎn)、G.

(1)求N4GF的度數(shù)；

(2)在線段4G上截取MG=BG,連接NAG尸的角平分線交。M于點(diǎn)M

①依題意補(bǔ)全圖形；

②用等式表示線段MN與N￡＞的數(shù)量關(guān)系，并證明.

備用圖

2.(2023?西城區(qū)一模)如圖，直線AB,CC交于點(diǎn)O,點(diǎn)E是280c平分線的一點(diǎn)，點(diǎn)

M,N分別是射線04,OC上的點(diǎn)，且ME=NE.

(1)求證：NMEN=NAOC；

(2)點(diǎn)F在線段NO上，點(diǎn)G在線段NO延長(zhǎng)線上，連接EF,EG,若EF=EG,依題

意補(bǔ)全圖形，用等式表示線段NF,OG,之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

A\M

D

C

'EB

3.(2023?東城區(qū)一模)如圖，在△ABC中，AB=AC,NBAC=a,點(diǎn)力在BC邊上，以

點(diǎn)A為中心，將線段AZ)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a得到線段AE,連接BE.

(1)求證：BA平分/E8C；

(2)連接。E交AB于點(diǎn)尸，過點(diǎn)C作CG〃AB,交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.補(bǔ)全圖形，用

等式表示線段EF與。G之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

4.(2023?朝陽區(qū)一模)如圖，ZMON=a,點(diǎn)A在CW上，過點(diǎn)A作OM的平行線，與/

MON的平分線交于點(diǎn)8,點(diǎn)C在線段08上(不與點(diǎn)O,B重合)，連接AC,將線段

AC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°-a,得到線段AO,連接BZ).

(1)直接寫出線段A。與AB之間的數(shù)量關(guān)系，并證明NMOB=NQ8A；

(2)連接DC并延長(zhǎng)，分別交AB,0M于點(diǎn)E,F.若a=60°,用等式表示線段EF

與AC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

0AN

5.（2023?豐臺(tái)區(qū)一模）在正方形ABC。中，點(diǎn)。為對(duì)角線AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在對(duì)角線4c

上，連接E8,點(diǎn)尸在直線AO上（點(diǎn)F與點(diǎn)。不重合），且EF=EB.

（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在線段AO上（不與端點(diǎn)重合）時(shí)，

①求證：NAFE=/ABE；

②用等式表示線段AB,AE,AF的數(shù)量關(guān)系并證明；

（2）如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在線段OC上（不與端點(diǎn)重合）時(shí)，補(bǔ)全圖形，并直接寫出線段A3,

6.（2023?石景山區(qū)一模）在△ABC中，NACB=90°,C4=CB,點(diǎn)。為射線C4上一點(diǎn)，

過點(diǎn)D作DE//CB且DE=（點(diǎn)E在點(diǎn)。的右側(cè)），射線即交射線BA于點(diǎn)F,點(diǎn)

〃是AF的中點(diǎn)，連接HC,HE.

（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)。在線段CA上時(shí)，判斷線段“E與HC的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系；

（2）當(dāng)點(diǎn)。在線段CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，依題意補(bǔ)全圖2.用等式表示線段CB,CD,CH

之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

圖1圖2

7.(2023?通州區(qū)一模)直線M。是線段AB的垂直平分線，垂足為點(diǎn)。，點(diǎn)C是直線

上一點(diǎn)，連接AC.以AC為斜邊作等腰直角△AC。，連接OD

(1)如圖1,若CO=AB,求NAO。的度數(shù)；

(2)如圖2所示，點(diǎn)E是射線MO上一點(diǎn)，且CE=AB,連接。E,延長(zhǎng)￡>0至點(diǎn)凡

使得OF=OQ，連接AR根據(jù)題意補(bǔ)全圖2,寫出線段QE,AF之間的關(guān)系，并證明.

8.(2023?平谷區(qū)一模)在△ABC中，BDLAC,E為AB邊中點(diǎn)，連接CE,與CE相

交于點(diǎn)F,過E作交BD于點(diǎn)、M,連接CM.

(1)依題意補(bǔ)全圖形；

(2)求證：ZEMF^ZACFi

(3)判斷BM、CM、AC的數(shù)量關(guān)系，并證明.

BC

9.(2023?門頭溝區(qū)一模)已知正方形4BCD和一動(dòng)點(diǎn)E,連接CE,將線段CE繞點(diǎn)C順

時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段CF,連接BE,DF.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在正方形4BC。內(nèi)部時(shí)：

①依題意補(bǔ)全圖1;

②求證：BE=DF；

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在正方形A8CQ外部時(shí)，連接AF,取AF中點(diǎn)M,連接AE,DM,

10.(2023?房山區(qū)一模)如圖，正方形ABC。中，點(diǎn)E是邊8C上的一點(diǎn)，連接AE,將射

線4E繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)凡連接EF,取E/中點(diǎn)G,連接。G.

(1)依題意補(bǔ)全圖形；用等式表示N4DG與NCDG的數(shù)量關(guān)系，并證明；

(2)若DG=?DF,用等式表示線段3C與3E的數(shù)量關(guān)系，并證明.

AB

11.（2023?延慶區(qū)一模）如圖，在△ABC中，NB4C=90°,AB=AC,AD是8c邊上的

高，點(diǎn)E是邊AB上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A,8重合），連接CE交AD于點(diǎn)F.將線段CF

繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段CG,連接AG.

（1）如圖1,當(dāng)CE是/4CB的角平分線時(shí)，

①求證：AE=AF；

②直接寫出/C4G=°.

圖1圖2

12.（2023?大興區(qū)一模）在△ABC中，AC^BC,/C=90°,點(diǎn)。為射線CB上一動(dòng)點(diǎn)（不

與B,C重合），連接AO,點(diǎn)E為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且￡>E=AD,作點(diǎn)E關(guān)于射線CB

的對(duì)稱點(diǎn)F，連接BF,DF.

（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)。在線段CB上時(shí)，

①依題意補(bǔ)全圖形，求證：NDAB=/DFB；

②用等式表示線段B。，BF,BC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

（2）如圖2,當(dāng)點(diǎn)￡>在線段C8的延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)直接用等式表示線段8￡>,BF,BC之

間的數(shù)量關(guān)系.

圖1圖2E

13.（2023?順義區(qū)一模）已知：如圖，ZVIBC中，AC=BC,NACB=90°,點(diǎn)。在AB

邊上，點(diǎn)A關(guān)于直線C。的對(duì)稱點(diǎn)為E,射線BE交直線CD于點(diǎn)凡連接AF.

（1）設(shè)NAC￡>=a,用含a的代數(shù)式表示/CBF的大小，并求/CFB的度數(shù)；

（2）用等式表示線段4凡CF,8尸之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

14.（2023?燕山一模）如圖，△A8C中，ZACB=90Q,AC=BC,。為邊8c上一點(diǎn)（不

與點(diǎn)B,C重合），連接AD,過點(diǎn)C作CE1AD于點(diǎn)E,過點(diǎn)B作BF1CE,交直線

CE于點(diǎn)F.

（1）依題意補(bǔ)全圖形；用等式表示線段CE與BF的數(shù)量關(guān)系，并證明；

（2）點(diǎn)G為AB中點(diǎn)，連接FG,用等式表示線段AE,BF,FG之間的數(shù)量關(guān)系，并證

明.

C

/

AB

2023年北京中考數(shù)學(xué)一模分類匯編一一幾何綜合

參考答案與試卷解析

1.(2023?海淀區(qū)一模)如圖，正方形A8CD中，點(diǎn)E,F分別在8C,CDk,BE=CF,

AE,BF交于點(diǎn)G.

(1)求NAGF的度數(shù)；

(2)在線段AG上截取MG=BG,連接QM,NAGF的角平分線交于點(diǎn)N.

①依題意補(bǔ)全圖形；

②用等式表示線段MN與ND的數(shù)量關(guān)系，并證明.

備用圖

【分析】(1)由“SAS”可證△ABEgZ\BCF,可得由余角的性質(zhì)可得

結(jié)論；

(2)①由題意補(bǔ)全圖形；

②由“SAS”可證aABG絲△AOH,可得。H=BG,ZAHD^ZAGB=90°,由“A4S”

可證△MNG四△DV”，可得結(jié)論.

【解答】解：(1)；四邊形ABCD是正方形，

：.AB=BC,NA8C=NC=90°,

又,：BE=CF,

.".^ABE^/XBCF(SAS),

ZBAE=NCBF,

:NBAE+NAEB=90°,

：.ZCBF+ZAEB^90Q,

：.ZBGE=90°=ZAGF；

(2)①如圖所示：

②MN=DN,理由如下：過點(diǎn)A作交硒的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,

H

\'AH.LAE9

：.ZEAH=90°=NBAD,

：.NBAE=/DAH,

〈GN平分NAGF,

AZAGN=ZNGF=45°,

???NAGN=N4”G=45°,

：.AH=AGf

又???A5=A。，

A/\ABG^/\ADH(SAS),

:.DH=BG,ZAHD=ZAGB=90°,

：?NAHN=NDHN=45°,

又,：BG=MG,

:.MG=HD,

又?：/DHN=/AGN=45°,/MNG=/DNH,

：?AMNGW/\DNH(A4S),

；?MN=DN.

【點(diǎn)評(píng)】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰

直角三角形的性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.

2.(2023?西城區(qū)一模)如圖，直線A8,CO交于點(diǎn)。，點(diǎn)E是NBOC平分線的一點(diǎn)，點(diǎn)

M,N分別是射線04,0C上的點(diǎn)，且ME=NE.

(1)求證：NMEN=NA0C；

(2)點(diǎn)尸在線段N。上，點(diǎn)G在線段N。延長(zhǎng)線上，連接EF,EG,若EF=EG,依題

意補(bǔ)全圖形，用等式表示線段NF,0G,0M之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【分析】(1)作EPJLOC于點(diǎn)P,EQJL08于點(diǎn)。，則EQ=EP,可證明Rt/\EQM^Rl

△EPN,得NEMQ=NENP,設(shè)EM交ON于點(diǎn)I,則NM/N=NEMQ+NA0C=/ENP+

/MEN,所以/MEN=/A0C；

(2)在0尸上取一點(diǎn)R,使RP=OP,可證明R尸=0G,再證明OP=OQ,則RP=OQ,

即可由QM=PN,推導(dǎo)出NF+OG=PN-RP=QM-OQ=OM.

【解答】(1)證明：作EP_LOC于點(diǎn)尸，EQJ_OB于點(diǎn)Q,則NEQW=NEPN=NOQE

=/OPE=90°,

；0E平分NBOC,

：.EQ=EP,

在Rt/\EQM和RtZ\EPN中，

[ME=NE,

1EQ=EP，

.".RtA￡(2M^RtA￡P(guān)7V(HL),

NEMQ=NENP,

設(shè)EM交ON于點(diǎn)/,則NMIN=ZEMQ+ZAOC^NENP+NMEN,

：.ZMEN=ZAOC.

(2)解：在線段NO和線段NO的延長(zhǎng)線上分別取點(diǎn)F、點(diǎn)G,連接EF、EG,使EF=

EG,

NF+OG=OM,

證明：在。尸上取一點(diǎn)R,使RP=OP,

"：EF=EG,EPLFG,

：.PF=PG,

：.PF-RP=PG-OP,

：.RF=OG,

在RtZ\OEP和RtZ\OEQ中，

rop=op；

IEP=EQ'

.".RtA0￡P(guān)^RtA0￡(2(HL),

：.OP=OQ,

：.RP=OQ,

Rt/\EQM^Rt^EPN,

:.QM=PN,

：.NF+OG=NF+RF=PN-RP=QM-OQ=OM.

【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的“三

線合一”、三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和等知識(shí)，正確地作出所需

要的輔助線是解題的關(guān)鍵.

3.(2023?東城區(qū)一模)如圖，在△ABC中，AB=AC,ZBAC=a,點(diǎn)。在BC邊上，以

點(diǎn)A為中心，將線段AD順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a得到線段AE,連接BE.

(1)求證：BA平分/E8C；

(2)連接。6交48于點(diǎn)凡過點(diǎn)C作CG〃A8,交ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.補(bǔ)全圖形，用

【分析】(1)由旋轉(zhuǎn)得ND4E=N8AC可得NBAE=/CA￡>,然后“SAS”可證△A8E絲

t\ACD,可得結(jié)論：

(2)在AC上截取A，=AF,連接￡>“,在CG延長(zhǎng)線時(shí)取點(diǎn)/,使CI=CH,連接。/,

由“SAS”可證△AEF絲△AQH,△HCDQ/\ICD(SAS),可得EF=Z)H,DI=DH,Z

CID=ZCHD,由平行線的性質(zhì)及等量代換得NC7O=/OG/,D1=DG,即可得結(jié)論.

【解答】(1)證明：ZDAE=ZBAC=a,

:"DAE-ZBAD=ZBAC-/BAD,

即/8AE=NC4。，

在AABE和△AC。中，

'AB=AC

-ZBAE=ZCAD?

AE=AD

.?.△ABEg△AC。(SAS),

ZABE=ZACD,

\'AB=AC,

：.NA8C=ZACD,

：.NA8C=/ABE,

：.BA平分NEBC；

(2)解：EF=DG,

證明：如圖，在AC上截取A4=AF,連接在CG延長(zhǎng)線時(shí)取點(diǎn)/,使C/=C4,連

在△AEF和中，

，AE=AD

<ZBAE=ZCAD>

AF=AH

：./\AEF^/\ADH(SAS),

：.EF=DH,ZAFE=ZAHD,

，/AFD=/CHD,

?:CG//AB,

：.ZAFD=ZDGL

:.ZDGI=ZCHD9

9

：AB=ACf

：.ZABC=NACO,

■:CG//AB,

：.ZABC=/ICD,

：./ACD=/ICD,

在和△/CO中，

'CH=CI

,ZHCD=ZICD，

CD=CD

：./\HCD^/\ICD(SAS),

：.ZCID=ZCHD,DI=DH,

ZDGI=ZCHD,

:?/CID=/DGl,

:.D1=DG,

:?DG=DH,

?:EF=DH,

:.EF=DG.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平

分線的判定等知識(shí)，作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵.

4.(2023?朝陽區(qū)一模)如圖，NMON=a，點(diǎn)A在。N上，過點(diǎn)A作。M的平行線，與/

MCW的平分線交于點(diǎn)8,點(diǎn)C在線段。8上(不與點(diǎn)O,8重合)，連接AC,將線段

AC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°-a,得到線段AD,連接8D.

(1)直接寫出線段A。與AB之間的數(shù)量關(guān)系，并證明NMOB=N￡>Z?A；

(2)連接DC并延長(zhǎng)，分別交AB,OM于點(diǎn)E,F.若a=60°,用等式表示線段EF

與AC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【分析】(1)結(jié)論：A0=A8.證明/NOB=/ABO,可得結(jié)論，再證明△AOC四

(SAS),即可解決問題；

(2)結(jié)論：EF=-/3AC.在0M上截取OH=BE,連接CH.證明△0”C會(huì)△8EO

(SAS),推出CH=￡)E,ZOHC=ZBED,

【解答】解：(1)結(jié)論：AO=AB.

理由：YOB平分NMON,

:.NMOB=NNOB,

'JOM//AB,

:.NMOB=NABO,

：.ZNOB=ZABO,

：.AO=AB,

由題意，AC=AD,ZOAB=ZCAD,

：.ZCAO^ZDAB,

在△AOC和△ABO中，

ZAO=AB

-Z0AC=ZBAD-

AC=AD

A(SAS),

：.ZCOA^ZDBA,

：.ZMOB=ZDBA；

(2)結(jié)論：EF=MAC.

理由：在OM上截取OH=BE,連接C”.

:△OAC四△BAO,

：.OC=BD,ZAOC=AABD,

OB平分/MON,

：.ZOCH=ZAOC=/ABD,

OH=BE,

:?△OHg/\BED(SA5),

:.CH=DE,ZOHC=ZBEDf

*：OM//AB,

:"MFC=4BED,

：.ZMFC=ZOHC,

:?CF=CH,

:?CF=DE,

:.CD=EF,

?.,a=60°,

???NC4O=180°-a=120°,

過點(diǎn)A作AK_LQF于點(diǎn)K.

\'AC=AD,

：.ZACK=30°,CK=DK=LCD,

_2

；.CK=^-AC1

AN

【點(diǎn)評(píng)】本題考查旋轉(zhuǎn)變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔

助線，構(gòu)造全等三角形解決問題.

5.（2023?豐臺(tái)區(qū)一模）在正方形ABC。中，點(diǎn)。為對(duì)角線AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在對(duì)角線4c

上，連接EB,點(diǎn)尸在直線AO上（點(diǎn)F與點(diǎn)。不重合），且EF=EB.

（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在線段4。上（不與端點(diǎn)重合）時(shí)，

①求證：NAFE=NABE；

②用等式表示線段AB,AE,AF的數(shù)量關(guān)系并證明；

（2）如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在線段OC上（不與端點(diǎn)重合）時(shí)，補(bǔ)全圖形，并直接寫出線段AB,

AE,4尸的數(shù)量關(guān)系.

圖1圖2

【分析】（1）①由aHL"可證可得由平行線的

性質(zhì)可得結(jié)論；

②由線段的和差關(guān)系可求解；

（2）由“HL”可證可得EM=FN,由線段的和差關(guān)系可求解.

【解答】（1）①證明：如圖1,過點(diǎn)E作A/NLA。于N,交BC于M,

圖1

?.?四邊形ABCZ）是正方形,

.,.N4BC=/BAO=90°,AB=BC=A￡),ZDAC=45°,

'：MN1AD,

二四邊形ABMN是矩形，△ANE是等腰直角三角形,

：.AB=MN,AN=BM,AN=NE,AE=MAN,

:.NE=BM,

又?：EF=BE,

：.Rt/\EFN^Rt^BEM(HL),

：?EM=FN,/AFE=NBEM,

?:AB"MN,

：.ZABE=/BEM,

：.NAFE=NABE；

②解：AB=y/2AE+AFf理由如下：

■:AB=MN=NE+EM,

：.AB=NE+AF+NE=2NE+AF=&AE+AF；

(2)解：AB=42AE-AF,理由如下：

如圖2,過點(diǎn)上作。于N,交于M,

圖2

???四邊形ABC。是正方形，

AZABC=ZBAD=90°,AB=BC=AD,Z￡>AC=45°,

9：MNLAD,

??.四邊形A8MN是矩形，△ANE是等腰直角三角形，

:.AB=MN,AN=BM,AN=NE,AE=?NE,

；?NE=BM,

又〈EF=BE,

：.Rl/\EFN^Rt/\BEMQHL),

:.EM=FN,

?:AB=MN=NE+EM,

：.AB=NE+AN-AF=2NE-AF=&AE-AF.

【點(diǎn)評(píng)】本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等

腰直角三角形的性質(zhì)，三角形面積公式等知識(shí)，本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握正方形的性質(zhì)

和等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型.

6.（2023?石景山區(qū)一模）在△ABC中，NACB=90°,C4=CB,點(diǎn)。為射線CA上一點(diǎn)，

過點(diǎn)D作DE//CB且DE=CB（點(diǎn)E在點(diǎn)O的右側(cè)），射線ED交射線于點(diǎn)F,點(diǎn)

”是AF的中點(diǎn)，連接HC,HE.

（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)。在線段C4上時(shí)，判斷線段HE與"C的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系；

（2）當(dāng)點(diǎn)力在線段CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，依題意補(bǔ)全圖2.用等式表示線段C8,CD,CH

之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

圖1圖2

【分析】（1）連接根據(jù)，/ACB=90°,CA=CB,OE〃C8且OE=C8,”是4尸

的中點(diǎn)，證明△ACWg/iDE”，得出再根據(jù)DHLAF,得出CHLEH,從而

得出結(jié)論：

（2）連接OH,CE,用和（1）相同的方法證明CAH絲△￡：￡?,再根據(jù)在RtZ\C7/E中，

CH2+EH2=CE1,得出2c42=Cf2,在RtZ\COE中，Ca+DE^=C區(qū),得出CJ+CB2：

CE2,從而得出結(jié)論.

【解答】解：（1）數(shù)量關(guān)系：HE=HC；位置關(guān)系：HELHC.

理由：如圖，連接

；NACB=90°,CA^CB,

，/BAC=/ABC=45°,

:DE〃CB且DE=CB,

ZADE=ZACB=90°,CA=DE,

:點(diǎn)”是AF的中點(diǎn)，

:.DH=AH=FH,

:.NADH=NHDF=45°,

ZBAC=ZHDF,

:.△ACH迫ADEH(SAS),

：.HE=HC,NAHC=NDHE,

又：。

：.NAHD=NCHE=90°,

：.CH±EH,

：.HE=HC,KHELHC；

(2)依題意補(bǔ)全圖形，如圖：

數(shù)量關(guān)系：CB2+CD1^2CH2.

理由：連接OH,CE,

"：CA=CB,NACB=90°,

：.ZBAC=ZABC=45°,

\'DE//CB,且DE=CB,

C.CA^DE,ZADF=ZACB=90>>,

是A尸的中點(diǎn)，

：.DH=AH,

：.ZBAC^ZDAH=ZADH=45Q,

：.NCAH=NHDE=45°,

:.△CAgXEDH(SAS),

：.CH=EH,NCHB=NEHD,

:.NCHD=NAHD,

'：ZDAH^ZADH=45°,

AZAHD=90°,

：.ZCHE=90°,

在RdCHE中，Cffi+EH?=CE2,

：.2CH2=C田,

在Rt/XCCE中，CD2+DE2=CE2,

:.CN+CB2=C呼,

:.ca+cbFcii1.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等，關(guān)鍵是利用等

三角形的判定證明△CA”彩△EDH.

7.(2023?通州區(qū)一模)直線M。是線段AB的垂直平分線，垂足為點(diǎn)。，點(diǎn)C是直線

上一點(diǎn)，連接AC以AC為斜邊作等腰直角△AC￡>,連接OD

(1)如圖1,若CO=A8,求的度數(shù)；

(2)如圖2所示，點(diǎn)E是射線MO上一點(diǎn)，且CE=AB,連接DE,延長(zhǎng)DO至點(diǎn)F,

使得。尸=。。，連接AR根據(jù)題意補(bǔ)全圖2,寫出線段OE,AF之間的關(guān)系，并證明.

【分析】(1)通過證明點(diǎn)4,點(diǎn)。，點(diǎn)。，點(diǎn)C四點(diǎn)共圓，可得NC4￡)=/COD=45°,

即可求解；

(2)由“SAS”可證△AOF四△B。。，可得AF=BD,由“SAS”可證△ABO絲△<?￡?,

可得BD=DE,即可求解.

【解答】解：(1)是AB的垂直平分線，

NAOC=NBOC=90°,AO=BO,

???△AC。是等腰直角三角形，

AZADC=90Q=/AOC,ZCAD=45°,

.?.點(diǎn)4,點(diǎn)0,點(diǎn)。，點(diǎn)C四點(diǎn)共圓，

：.ZCAD=ZCOD=45°,

AZA00=135°；

(2)DE=AF,理由如下：如圖2,連接

在△AOF和△BOO中，

fAO=BO

<ZA0F=ZB0D>

OF=OD

.?.△A。修△BOO(SAS),

J.AF^BD,

：△AC。是等腰直角三角形，

：.ZACD+ZCAD=90°,

AZACO+ZDCO+ZCAD=90°,

又?.,/ACO+NC4O+ND4O=90°,

ZDCO=Z.DAO,

在△A8O和△(?￡￡)中，

'AD=CD

<NDA0=NDC0，

AB=CE

:.△ABDWACED(SAS),

：.BD=DE,

：.AF=DE.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，圓的有關(guān)知

識(shí)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.

8.(2023?平谷區(qū)一模)在△ABC中，BDA.AC,E為AB邊中點(diǎn)，連接CE,8力與CE相

交于點(diǎn)尸，過E作EMLEF,交于點(diǎn)M,連接CM.

(1)依題意補(bǔ)全圖形；

(2)求證：NEMF=NACF；

(3)判斷BM、CM,AC的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【分析】(1)根據(jù)要求作出圖形即可；

(2)根據(jù)等角的余角相等證明即可；

(3)結(jié)論：AC2+BM2=MC2.證明CG=CM,在RtZ\AGC中，AC2+AG2^GC2,由此可

得結(jié)論.

【解答】(1)解：補(bǔ)全圖形如圖所示：

：.ZDCF+ZDFC=90a,

；EMLEF,

；.NEMF+NEFM=90°,

■:NEFM=/DFC,

:.NEMF=NDCF；

(3)解：結(jié)論：AC2+BM2=MC1.

理由：延長(zhǎng)ME到G使EG=EM,連接AG、CG.

在AAGE和中，

，EA=EB

,ZAEG=ZBEM-

EG=EM

.?.△AGE畛△BME(SAS),

：.BM=AG,BM//AG,

\"BDLAC,：.ZGAC^ZBDA=90Q,

"：CELEM,EM=EG,

垂直平分MG,

：.CG=CM,

在Rtz^AGC中，AC2+AG2=GC2,

:.AC2+BM2=MC1.

【點(diǎn)評(píng)】本題屬于三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，

解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題.

9.(2023?門頭溝區(qū)一模)已知正方形A8C。和一動(dòng)點(diǎn)E,連接CE,將線段CE繞點(diǎn)C順

時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段CF,連接BE,DF.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在正方形ABC。內(nèi)部時(shí)：

①依題意補(bǔ)全圖1:

②求證：BE=DF；

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在正方形4BCZ)外部時(shí)，連接AF,取Af1中點(diǎn)連接AE,DM,

用等式表示線段AE與QM的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【分析】(1)①按題中要求補(bǔ)全圖形即可；

②由旋轉(zhuǎn)得CE=CF,NECF=90°,由正方形的性質(zhì)得CB=CD,NBCD=90°,則

NBCE=NDCF=90°-ZDCE,即可根據(jù)全等三角形的判定定理“S45”證明ABCE

名△QCF,貝ijBE=OF；

(2)先證明△BCE也△￡>(7F，得BE=DF,/CBE=NCDF,再延長(zhǎng)0M到點(diǎn)G,使GM

=OM,連接AG,可證明得AG^DF,NG=NMDF,所以BE=

AG,AG//DF,可推導(dǎo)出ND4G=180°-ZADF=\S00-(360°-90°-NCDF)=

ZCDF-90°,而NABE=/CBE-90°,所以NA8E=NOAG,即可證明

DAG,則AE=￡>G=2ZW.

【解答】解：(1)①如圖1,將線段CE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段C凡連接BE,

DF.

②證明：由旋轉(zhuǎn)得CE=CF,NECF=90：

:四邊形ABCD是正方形，

：.CB=CD,ZBCD=90°,

NBCE=ZDCF=900-NDCE,

在△8CE和△￡>(7/中，

'CE=CF

<ZBCE=ZDCF>

CB=CD

:ABCE會(huì)ADCF(SAS),

；.BE=DF.

(2)AE^2DM,

證明：如圖2,將線段CE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段C凡連接BE,DF,取AF

中點(diǎn)M,連接AE,DM,

由旋轉(zhuǎn)得CE=CF,NECF=90°,

,四邊形A8CD是正方形，

：.CB=CD=AB=DA,ZBCD=ZABC=ZADC=90°,

：.ZBCE=ZDCF=900-ZDCE,

在△8CE和△￡>(7〃中，

'CE=CF

<ZBCE=ZDCF)

CB=CD

:ABCE學(xué)ADCF(SAS),

：.BE=DF,NCBE=/CDF,

：.ZCBE-900=NCDF-90°,

延長(zhǎng)。例到點(diǎn)G,使GM=DM,連接4G,

是A尸的中點(diǎn),

：.AM=FM,

在△4GM和△FDW中，

'AM=FM

"ZAHG=ZFMD>

GM=DM

A(SAS),

：.AG=DF,NG=NMDF,

：.BE=AG,AG//DF,

AZDAG=180°-ZADF=180°-(360°-90°-NCDF)=NCDF-90°,

VZABE^ZCBE-90°,

NA8E=ZDAG,

在△A8E和△D4G中，

'AB=DA

,ZABE=ZDAG>

BE=AG

AAABE^ADAG(SAS),

：.AE=DG=2DM.

圖1

【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線

的判定與性質(zhì)等知識(shí)，正確地作出所需要的輔助線并且適當(dāng)選擇全等三角形的判定定理

證明三角形全等是解題的關(guān)鍵.

10.(2023?房山區(qū)一模)如圖，正方形A8CQ中，點(diǎn)E是邊8C上的一點(diǎn)，連接AE,將射

線4E繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°交CC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連接EF,取EF中點(diǎn)G,連接。G.

(1)依題意補(bǔ)全圖形；用等式表示N4DG與ZCZJG的數(shù)量關(guān)系，并證明；

(2)若DG=?DF,用等式表示線段BC與BE的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【分析】(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得NE4尸=90°=NBCD,由“SSS”可證

CDG,即可求解；

(2)通過證明△FG-S/\FEC,可得CE=2GH,FC=2FH,由等腰直角三角形的性質(zhì)

可得。G=&HG=&Z)H,即可求解.

【解答】解：(1)ZADG^ZCDG,理由如下：連接AG,CG,

???將射線AE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,

：.ZEAF=90°=NBCD,

???點(diǎn)G是E尸的中點(diǎn)，

：.EF=2CG=2AG,

：.GA=GC,

在△AQG和△CQG中，

'AD=CD

<GD=GD，

AG=CG

:./\ADG進(jìn)/\CDGCSSS)，

???ZADG=ZCDG；

(2)BC=3BE,理由如下：過點(diǎn)G作G”_LC。于H,

：.GH//BC,

:?叢FGHs/\FEC,

?GHJGUH

**CE=EF而，

：.CE=2GH,FC=2FH,

,:AADG^ACDG,

/.ZADG=ZCDG=45°,

V/7G1CD,

：.ZCDG=ZDGH=45Q,

:.DH=HG,

:.DG=?HG=?DH,

,:DG=?DF,

:.DF=HG=DH,

：.CH=FH=2DH,

：.CD=3DH=3GH=BC,

：.BE=BC-CE=GH,

：.BC=3BE,

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，相似三角

形的判定和性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵.

11.(2023?延慶區(qū)一模)如圖，在△ABC中，NBAC=90°,AB=AC,AO是BC邊上的

高，點(diǎn)E是邊AB上的一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A,B重合)，連接CE交于點(diǎn)F.將線段CF

繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段CG,連接AG.

(1)如圖1,當(dāng)CE是乙4cB的角平分線時(shí)，

①求證：AE=AF；

②直接寫出/C4G=45°.

(2)依題意補(bǔ)全圖2,用等式表示線段AF,AC,AG之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

圖1圖2

【分析】(1)①由等腰直角三角形的性質(zhì)得/ACB=/B=45°,NBAD=NCAD=

45°,再由三角形的外角性質(zhì)得即可得出結(jié)論；

②過點(diǎn)C作CMLAC于點(diǎn)C,交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)證△ACM是等腰直角三角形，得

NM=45°,CA^CM,再證△MCF也Z\ACG(SAS),即可得出結(jié)論；

(2)過點(diǎn)C作CM_L4c于點(diǎn)C,交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)證△ACM是等腰直角三角形，

得NM=45°,CA=CM,再證△MCFg/VICG(SAS),WMF=AG,即

可解決問題.

【解答】(1)①證明：在△ABC中，/BAC=90°,AB=AC,

.?.N4CB=NB=45°,

是BC邊上的高，

；./R4O=/CAZ)=kBAC=45°,

2

：.ZB=ZCAD,

；CE是NAC3的角平分線，

NACE=NBCE,

'：NAFE=ZCAD+ZACE,ZAEF=NB+NBCE,

二ZAFE=ZAEF,

：.AE^AF.

②解：如圖1,過點(diǎn)C作CM_LAC于點(diǎn)C,交A。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,

圖1

則NACM=90°,

\'ZCAD=45°,

△ACM是等腰直角三角形,

：.CA=CM,NM=45°,

VZACM=90°,

AZACF+ZMCF=90°,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：ZFCG=90°,CF=CG,

：.ZACF+ZACG=90°.

NMCF=ZACG,

：./\MCF^/\ACG(SAS),

；./CAG=NM=45°,

故答案為：45；

(2)解：依題意補(bǔ)全圖2,yj2AC=AF+AG,證明如下:

過點(diǎn)C作CMLAC于點(diǎn)C,交A。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,

則NACM=90°，

'：ZCAD=45°,

△ACM是等腰直角三角形，

；.NM=45°,CA^CM,AM=&AC,

；NACM=90°,

AZACF+ZMCF=90°,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：NFCG=90°,CF=CG,

：.ZACF+ZACG=90°.

：.NMCF=ZACG,

.".△MCF^AACG(SAS),

：.MF=AG,

"：AM=AF+MF,

：.AM=AF+AG,

：.42AC=AF+AG.

【點(diǎn)評(píng)】本題是幾何變換綜合題目，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等

腰直角三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定、三角形的外角性質(zhì)以及直角三角形的

性質(zhì)等知識(shí)，本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，正

確作出輔助線構(gòu)造三角形全等是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型.

12.(2023?大興區(qū)一模)在△4BC中，AC=BC,/C=90°,點(diǎn)。為射線CB上一動(dòng)點(diǎn)(不

與8,C重合)，連接AO,點(diǎn)E為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且。E=4O,作點(diǎn)E關(guān)于射線CB

的對(duì)稱點(diǎn)F,連接BF,DF.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)。在線段CB上時(shí)，

①依題意補(bǔ)全圖形，求證：NDAB=NDFB；

②用等式表示線段8。，BF,BC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)。在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)直接用等式表示線段BD,BF,BC之

間的數(shù)量關(guān)系.

【分析】(1)①如圖1所示，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到根據(jù)軸對(duì)稱

的性質(zhì)得到BF=BE,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到結(jié)論；

②連接EF與射線CB交于H,根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得到ZDHE=90,FH=EH,

根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DF=DE,求得NA2C=45°,得到NEBH=NABC=

45°,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CD=FH,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到根據(jù)線段的和

差即可得到結(jié)論；

(2)連接EF與射線CB交于H,根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得到/O”F=NZWE=90,FH=

EH,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DF=DE,求得NABC=45°,得到NE8H=NABC=

45°,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CD=FH,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到根據(jù)線段的和

差即可得到結(jié)論；

【解答】(1)證明：①如圖1所示，

"：DE=AD,

：.NDAB=/ABD,

,/點(diǎn)E與點(diǎn)尸關(guān)于射線CB對(duì)稱,

：.DF=DE,BF=BE,

,:DB=DB,

：./\DFB學(xué)4DEB(SSS),

：.NDFB=NDEB,

:.NDAB=4DFB；

②解：BC=BD+理BF；

2

證明：連接后產(chǎn)與射線C8交于“，

??,點(diǎn)E與點(diǎn)尸關(guān)于射線CB對(duì)稱，

:?/DHF=/DHE=90,FH=EH,

?:ADFBW4DEB,

：.DF=DE9

，AD=DF,

VAC=BC,ZC=90°,

???NABC=45°,

:?/EBH=NABC=45°,

：.ZFBH=ZEBH=45°,

AZFDB+ZDFB=ZCAD+ZDAB=45°,

:?/FDH=/CAD,

：./\ACD^/\DHFCAAS),

:.CD=FH,

VZFBW=45°,ZFHB=90°,

???△877/是等腰直角三角形，

7

：.BF=y/2fH=y[2CD9

?；BC=BD+CD,

:?BC=BD+叵BF；

2_

(2)解：BC+BD=^SF,

2

理由：???點(diǎn)E與點(diǎn)/關(guān)于射線C3對(duì)稱，

???NDHF=NDHE=90,FH=EH,

?:△DFB*ZXDEB,

:.DF=DE,

：.AD=DFf

VAC=BC,NC=90°,

，NA8C=45°,

：.ZEBH=ZABC=45°,

???NFBH=NEBH=45°,

：.ZFDH-ZDFB=ZCAD-ZDAB=45°.

:?/FDH=NCAD,

：.^ACD^/\DHF(A4S),

:?CD=FH,

VZFBH=45°,NFHB=90°,

???△5/7/是等腰直角三角形，

:.BF=?FH=?CD,

?.?BC+BD=CD=FH=亞

【點(diǎn)評(píng)】本題是幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，等

腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

13.（2023?順義區(qū)一模）已知：如圖，ZVIBC中，AC=BC,NACB=90°,點(diǎn)。在A3

邊上，點(diǎn)A關(guān)于直線CQ的對(duì)稱點(diǎn)為￡射線BE交直線8于點(diǎn)凡連接4F.

（1）設(shè)NACZ）=a,用含a的代數(shù)式表示NCB尸的大小，并求NCF3的度數(shù)；

（2）用等式表示線段A凡CF,B/之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

C

AD、B

E

F

【分析】(1)由軸對(duì)稱的性質(zhì)得NACr=NECF=a,AC=CE,再由直角三角形的性質(zhì)

得NBCE=90°-2a,進(jìn)而證BC=CE,則NCBF=NCEB=45°+a,即可解決問題；

(2)過點(diǎn)C作MC1CF交FA延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,證△CFM是等腰直角三角形，得NM=

ZAFC=45°,CM=CF,再證(A4S),得MA=BF,則MF=AF+M4

=AF+BF,然后由等腰直角三角形的性質(zhì)得即可得出結(jié)論.

【解答】解