2023-2024學(xué)年上海市高二年級上冊期末數(shù)學(xué)試題 二（含答案）

2023-2024學(xué)年上海市高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

一、填空題

1.甲校有3600名學(xué)生,乙校有5400名學(xué)生,丙校有1800名學(xué)生.為統(tǒng)計(jì)三校學(xué)生某方面的情

況,計(jì)劃采用分層抽樣法,抽取一個樣本容量為90人的樣本,則應(yīng)在甲校抽取的學(xué)生數(shù)是

【正確答案】30

【分析】根據(jù)分層抽樣時(shí)樣本容量與總體容量成正比,可以求出甲校抽取的學(xué)生數(shù).

【詳解】因?yàn)榧仔Ｓ?600名學(xué)生，乙校有5400名學(xué)生，丙校有1800名學(xué)生,計(jì)劃采用分層

抽樣法.

所以3600:5400:1800=2:3:1,因此抽取一個樣本容量為90人的樣本,甲校抽取的學(xué)生數(shù)是

故答案為30

本題考查了分層抽樣定義,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.

2.現(xiàn)有高一學(xué)生9人，高二學(xué)生12人，高三學(xué)生7人，自發(fā)組織參加數(shù)學(xué)課外活動小組，

從中推選兩名來自不同年級的學(xué)生做一次活動的主持人，則不同的選法有一種.

【正確答案】255

【分析】可以從所有學(xué)生中抽取2人，減去從每個年級中各抽取2人的組合數(shù)，從而得出結(jié)

果.

【詳解】所有的選法共有C1=378種，

這2名學(xué)生屬于同一個年級的選法有C；+C%+C；=123種，

故此2名學(xué)生不屬于同一個年級的選出方法有378-123=255種.

故255.

111^∣*

3,若1+3+5++(2〃-I)=Ilo—+—++-----------(/7∈N),則

1?22?3π?(n+l)

【正確答案】10

【分析】利用等差數(shù)列的求和公式和裂項(xiàng)相消即可求出答案.

【詳解】由題意得創(chuàng)W』=IIO(I-―二)，

2〃+1

所以“("+1)=110,

所以〃=10.

故10.

4.如圖所示，RtAAOB繞直角邊AO所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成一個圓錐，已知在空間直角坐

標(biāo)系。-肛Z中，點(diǎn)(2,0,0)和點(diǎn)(0,2,-1)均在圓錐的母線上，則圓錐的體積為.

【正確答案】g萬

【分析】根據(jù)坐標(biāo)確定圓錐的高與底面半徑，再根據(jù)圓錐體積公式得結(jié)果.

(詳解】由題意得圓錐的高為IOAI,底面半徑為2,.?.?=啜3，

2?OA?

所以圓錐體積為g∕x22χ4=等.

.16

故4丁

本題考查圓錐體積公式，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.

5.己知直線/的方向向量為α=(l,0,l),點(diǎn)A(l,2,-1)在/上，則點(diǎn)P(3,1,1)至IJ/的距離為

【正確答案】1

【分析】求出AP與直線/的方向向量的夾角的余弦，轉(zhuǎn)化為正弦后可得點(diǎn)到直線的距離.

【詳解】AP=(2,T,2),

Ce告/筆平=延

同APl√2×√93

1

所以sin<a,AP>==—，

3

/

點(diǎn)P(3,l,l)到/的距離為d=3P卜in<〃,AP>=3x；=l.

故1.

6.圖1中的機(jī)械設(shè)備叫做“轉(zhuǎn)子發(fā)動機(jī)”，其核心零部件之一的轉(zhuǎn)子形狀是“曲側(cè)面三棱柱”,

圖2是一個曲側(cè)面三棱柱，它的側(cè)棱垂直于底面，底面是“萊洛三角形“，萊洛三角形是以正

三角形的三個頂點(diǎn)為圓心，正三角形的邊長為半徑畫圓弧得到的，如圖3.若曲側(cè)面三棱柱的

高為5,底面任意兩頂點(diǎn)之間的距離為20,則其側(cè)面積為

【正確答案】100萬

【分析】由曲側(cè)面三棱柱的定義，其側(cè)面為矩形，即可根據(jù)幾何關(guān)系求側(cè)面積.

【詳解】由題意得一4BC為等邊三角形，且邊長為20,如圖所示，

所以弧AC的長度為∕=(?20=等，

曲側(cè)面三棱柱的三個側(cè)面展開后，均是長為等，寬為5的矩形，

所以曲側(cè)面三棱柱的側(cè)面積為3χ蜉χ5=IOO".

故IOO萬

7.A,B兩人下棋，每局兩人獲勝的可能性一樣.某一天兩人要進(jìn)行一場三局兩勝的比賽，最

終勝利者贏得IOO元獎金.第一局比賽A勝，后因?yàn)橛衅渌露兄贡荣?，則將IOO元獎

金公平分給AB兩人，則A應(yīng)該得到的獎金數(shù)為一元.

【正確答案】75

【分析】A贏得這場比賽的情況為第二局A勝；第二局A輸，第三局A勝，求出A贏得這場

比賽的概率，即可求出A應(yīng)該得到的獎金數(shù).

【詳解】A贏得這場比賽的情況為第二局A勝；第二局A輸，第三局A勝，

1113

故A贏得這場比賽的概率P=7+<x==:,

2224

所以A應(yīng)該得到的獎金數(shù)為IooX=3=75元.

故75.

8.復(fù)印紙幅面規(guī)格只采用A系列和B系列，其中A系列的幅面規(guī)格為：①4，A，4，，4所

有規(guī)格的紙張的幅寬（以X表示）和長度（以y表示）的比例關(guān)系都為x：y=1:71；②將4

紙張沿長度方向?qū)﹂_成兩等分，便成為4規(guī)格；A紙張沿長度方向?qū)﹂_成兩等分，便成為4

規(guī)格；…；如此對開至4規(guī)格.現(xiàn)有4，A，4，，4紙各一張.若4紙的幅寬為2dm,則這

9張紙的面積之和等于_dn?.

【正確答案】“逑##"夜

44

【分析】根據(jù)題意先逐一得出4,A，A2,4,A4紙張的長和寬，進(jìn)而求得4的面積，再由

4,A，4，，A紙張的面積是以64夜為首項(xiàng)，公比為T的等比數(shù)列，再根據(jù)等比數(shù)列的求和

公式即可求得這9張紙的面積之和.

【詳解】依題意可得，

A」的長、寬分別為是2j5dm,2dm;A.,的長、寬分別為4dm,20dm;

A2的長、寬分別為4拒dm，4dm；4的長、寬分別為8dm,4j5dm;

4的長、寬分別為8√f∑dm,8dm,

所以4紙的面積為8√5χ8=64√5dπ?;

則4,A，42，，4紙張的面積是以640為首項(xiàng)，以T為公比的等比數(shù)列，

故"

4

9.己知球。的半徑為1,4B是球面上的兩點(diǎn)，且AB=6,若點(diǎn)P是球面上任意一點(diǎn)，則

PA-PB的取值范圍是.

【正確答案】-最"I

【分析】以球心為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)4,8,P的坐標(biāo)，用來表示PA?P3,

進(jìn)而求出答案.

【詳解】由題意，可得OA=OB=I,AB=百，

l212*I2

W∣JcosZAOB=+-?^)=_1,又由ZAOB∈[0㈤，所以NAO8==,

2×1×123

以球心O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)A為X軸正方向，平面。4B的垂線為Z軸建立空間坐標(biāo)系，

則A(l,0,0),8(-L且,0)，設(shè)P(x，)'，z),

22

3

12_2

1X,停

y)-y)+z2=X2+y2+z2---^(x+y∕3y),

2-b(-

,

+v^2+z=1,所以f+y2≤l,

所以P4P8=g-g(x+6y),

設(shè)〃?=χ+6y,當(dāng)x+6y-〃2=O與圓Y+)a=1相切時(shí)，團(tuán)取得最值.

∣O+O+7∕2∣

=1

又由22,解得M=2,

λ∕l+(√3)

所以一2≤"Z≤2,所以P4P3=!-!(x+gy)e[-1，m

2222

I3

故答案為.I-彳,彳]

22

本題主要考查了空間向量的應(yīng)用，向量的數(shù)量積的運(yùn)算，以及直線與圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)

用，其中解答中建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，結(jié)合直線與圓

的位置關(guān)系求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題.

10.如圖，現(xiàn)將一張正方形紙片進(jìn)行如下操作：第一步，將紙片以。為頂點(diǎn)，任意向上翻

折，折痕與BC交于點(diǎn)然后復(fù)原，記NCDE=%；第二步，將紙片以。為頂點(diǎn)向下翻折,

使AO與EQ重合，得到折痕E?。，然后復(fù)原，記NADE?=。?：第三步，將紙片以。為頂

點(diǎn)向上翻折，使8與芻。重合，得到折痕E0,然后復(fù)原，記NCDE3=α3;按此折法從第

二步起重復(fù)以上步驟L,得到%%，，%，，則:吧%=

第一步第二步第三步

【正確答案】E

6

【分析】先分析出遞推式，再求出｛%｝的通項(xiàng)，最后算出極限即可.

【詳解】由第二步得a?=，]-%)；由第三步得α3=g成-α?),

依此類推4=-∣(y-a,,-l)(n>2),所以％,-看=-，*-?),

①若α∣=J,則α,=J,此時(shí)Iim%=5；

66286

②若e則數(shù)歹」｛%-芻是以為首項(xiàng)，二為公比的等比數(shù)列，

6662

所以％—￡=(α∣-5)(-；)”'，即=Q-T+T'

662626

所以?imɑ,,=lim[(ɑ,-??n^'+芻=g.

〃T8“T96266

綜上，lim%=f.

"→a06

π

故ιzk

II.取棱長為”的正方體的一個頂點(diǎn)，過從此頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱的中點(diǎn)作截面，依次進(jìn)行下

去，對正方體的所有頂點(diǎn)都如此操作，所得的各截面與正方體各面共同圍成一個多面體，如

圖所示.則此多面體：

①有12個頂點(diǎn)；②有24條棱；③有12個面；

④表面積為3標(biāo)；⑤體積為.

以上結(jié)論正確的是.(填上所有正確的序號)

【正確答案】①②⑤

【分析】根據(jù)題意結(jié)合圖形可知，原來的六個面還在，只是變成了六個小正方形，再添加了

八個三角形面，計(jì)算或者數(shù)數(shù)可得到頂點(diǎn)、棱和面的個數(shù)，再利用割補(bǔ)法求出多面體的表面

積和體積即可.

【詳解】由圖可知，原來的六個面還在，只是變成了六個小正方形，再添加了八個三角形面,

總計(jì)有6+8=14個面，則③錯誤；

每個正方形有4條邊,每個三角形3條邊,而每條邊對應(yīng)兩個面,所以共有;(4χ6+3χ8)=24

條棱，則②正確；

每個頂點(diǎn)對應(yīng)4條棱，每條棱對應(yīng)兩個頂點(diǎn)，所以頂點(diǎn)數(shù)是棱數(shù)的一半，即12個，則①正

確；

三角形和小正方形的邊長都是也“，所以小正方形的總面積為6χ<∕=3/,三角形的總面

積為8xgxg/xsin60。=有/,即多面體的表面積為(3+6)/,則④錯誤；

多面體的體積為原正方體的體積減去8個三棱錐的體積，8個三棱錐的體積為

82X(XfM于是多面體的體積為則⑤正確.

32<2JJ666

故①@⑤

12.設(shè)數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和為S"，q=l,a2=a^a>?),?all+2-an+l?=?an+l-all?+d(d>0,

〃eN").且｛a2n｝Jα2,,-1｝均為等差數(shù)列，則S*=.

【正確答案】S2,,=n(l÷a)

根據(jù)已知條件知數(shù)列｛應(yīng)川-q|｝是首項(xiàng)為公差為d的等差數(shù)列，可求出

%-%∣=α-l+(…l)d，再根據(jù)已知條件轉(zhuǎn)化求出等差數(shù)列｛%“｝、｛%ι｝的通項(xiàng)公式，再利

用分組求和即可得解.

【詳解】Q∣a2-Λl∣=∣α-l∣=a-l

^?an+2-a,,+l?=?an+l-an?+d,B∣J|??+2-?+l∣-∣?+l=

，數(shù)列｛∣4M-4|｝是首項(xiàng)為。-1，公差為"的等差數(shù)列，aJ="7+5-1)”①，

又｛生“｝，｛%ι｝分別構(gòu)成等差數(shù)列，根據(jù)①式可得

a2n-a2n,x=±[α-1+(2n-2)d](n≥2)(g),

a

2n+?-?1=±[^-l÷(2∕ι-1)J](∏≥1)(3),

?w÷2-?∏+1=±[β-1+2nJ](n≥1)?,

由②+③,得?π+∣-?π-ι=?-l+(2π-l)rf]±[β-l+Qn-2)d](〃≥1),

又｛%τ｝是等差數(shù)列，所以4向一％.7必為常數(shù)，

所以a2n+l-a2n-?=[^-?+(2?—l)t/]—[<7—1+(2/1—2)4]=≥2),

0-aα--

2w+ιin-?~~t?÷?)^?]÷[^-?+(2n-2)d]=-d(n≥2)9

由①得|6一。2|=。-1+〃，即/一%=±(。一l+d),

Qa2=af％=±(々-l+d)+α,又〃ι=l,

.?a3-aλ=67-l±(a-l+J),即%一勾=一1或G=2(〃_1)+"(舍去)，

??a2n+l~a2n-?=-〃，

｛?π,,｝是首項(xiàng)為1,公差為-d的等差數(shù)列，???%T=I-S-IM,

同理，由③+④得，a2llt.2-a2π=±[<2-1+2nd]±[α-1+(2n-1)<√](∏>1),

所以的“+2一生“=4或?2,.+2-?2?=-d,

Q4—〃■>=—a+1—d,/—%=±3—1+2d),%=-Q+1-d±(a-1+2d),

即4一%二d或〃4一。2=—2a+2—3d(舍去)，

*'?a2n+2~=d,

.??｛%,｝是首項(xiàng)為〃，公差為d的等差數(shù)列，???%,="+("7)”,

從而α2*.l+a2k=a2k+l+a2li+1=a+?(keN'),

所以8”=4+6++。2”=(1+。)++(l+α)="(l+0).

故S2,="O+")

方法點(diǎn)睛：本題考查遞推關(guān)系求等差數(shù)列求通項(xiàng)公式，分組求數(shù)列和，求數(shù)列的和常用的方

法有：(1)分組求和法；(2)倒序相加法；(3)H=H(數(shù)列｛?“｝為等差數(shù)列)：裂

項(xiàng)相消法；(4)等差X等比數(shù)列：錯位相減法，考查學(xué)生的邏輯推理能力與運(yùn)算求解能力，

屬于難題.

二、單選題

13.若P為兩條異面直線/,機(jī)外的任意一點(diǎn)，則()

A.過點(diǎn)P有且僅有一條直線與/,機(jī)都平行

B.過點(diǎn)尸有且僅有一條直線與/,“都垂直

C.過點(diǎn)尸有且僅有一條直線與"都相交

D.過點(diǎn)尸有且僅有一條直線與/,〃?都異面

【正確答案】B

【詳解】解：因?yàn)槿酎c(diǎn)P是兩條異面直線/,〃?外的任意一點(diǎn)，則過點(diǎn)P有且僅有一條直線

與/,，〃都垂直，選B

14.已知數(shù)列｛4｝滿足q,+4l+4=%+∣+%+3,那么()?

A.｛4｝是等差數(shù)列B.｛%-｝是等差數(shù)列

C.｛%“｝是等差數(shù)列D.｛%,｝是等差數(shù)列

【正確答案】D

a

【分析】通過an+αn+4=an+,+anti(neN)可知?t4-aπ+,=an+i-an,進(jìn)而可得?+6-?÷J=?3-,,，

從而數(shù)列｛%,｝是等差數(shù)列.

a+

【詳解1由4+?+4=n+?4*3得J-4+1=4+3-4，

a”+5-4+2=?÷4~a^ι?a?6-β,,÷3=?÷5-4+2，

故。”+6-?！?3=。"3一/，

0=a-θ

即有。3("+2)—3(n÷l)3(n+l))ιt

故數(shù)列｛%,｝是等差數(shù)列，

故選：D

15.空間直角坐標(biāo)系O-DZ中，經(jīng)過點(diǎn)P(Xz。)，且法向量為機(jī)=(A8,C)的平面方程

為A(X-Λ0)+8(y-%)+C(z-ZO)=0,經(jīng)過點(diǎn)P(X0,%,ZO)且一個方向向量為

n=(〃,U,co)｛μυω≠0)的直線I的方程為=與產(chǎn)=三包，閱讀上面的材料并解決下面

問題：現(xiàn)給出平面ɑ的方程為3x-5y+z-7=0,經(jīng)過（0,0,0）的直線/的方程為W=I=匕,

則直線/與平面。所成角的正弦值為（）

A.叵B.aC.叵D.在

103557

【正確答案】B

根據(jù)題設(shè)給出的材料可得平面的法向量和直線的方向向量，利用公式可求直線/與平面。所

成角的正弦值.

【詳解】因?yàn)槠矫妯坏姆匠虨?x-5y+z-7=0,故其法向量為“=（3,-5,1）,

因?yàn)橹本€/的方程為9=彳=5，故其方向向量為加=（3,2,-1）,

32—1

_9__-_1_0_-_1_2√io

故直線/與平面”所成角的正弦值為

√I4×√35-7√I0^35'

故選：B.

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題為材料題，需從給定的材料中提煉出平面的法向量和直線的方向向量的求

法，這是解決此題的關(guān)鍵.

16.北京大興國際機(jī)場的顯著特點(diǎn)之一是各種彎曲空間的運(yùn)用.刻畫空間的彎曲性是兒何研

究的重要內(nèi)容.用曲率刻畫空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂點(diǎn)的曲率等于2萬與多面體在該點(diǎn)的

面角之和的差（多面體的面的內(nèi)角叫像多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點(diǎn)的

曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點(diǎn)的曲率之和.例如：正四面體在每個頂點(diǎn)

有3個面角，每個面角是所以正四面體在各頂點(diǎn)的曲率為2）-3xg=%,故其總曲率

為4萬.給出下列三個結(jié)論：

①正方體各頂點(diǎn)的曲率為9；

2

②任意三棱錐的總曲率均為4萬；

③將棱長為3的正方體正中心去掉一個棱長為1的正方體所形成的幾何體的總曲率為8萬.

其中，所有正確結(jié)論的序號是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【正確答案】D

【分析】根據(jù)幾何體頂點(diǎn)的曲率和幾何體總曲率的定義求解.

【詳解】①因?yàn)檎襟w的每個頂點(diǎn)有3個面角，每個面角是所以正方體在各頂點(diǎn)的曲

TTTT

率為2…3?=5'故正確;

A點(diǎn)的曲率為：2兀一NBAC-NDAC-NBAD,

B點(diǎn)的曲率為：2兀一NABC-NABD-NCBD,

C點(diǎn)的曲率為：2兀-ZACB-NACD-NBCD,

力點(diǎn)的曲率為：2兀一NADC-NADB-NBDC,

則三棱錐的總曲率均為8萬一(NABC+ZACB+ZBAC)-(ZDAB+NABD+NBDA),

-(ZADC+ZACD-ZDAC)-(ZSCD+ZBDC+CBD)=4π,故正確；

■JTTT

③此幾何體有16個頂點(diǎn)，每個頂點(diǎn)的曲率為2一5=于所以該幾何體的總曲率為

TT

16×-=8^?,故正確.

2

故選：D

三、解答題

17.如圖，在直三棱柱ABC-ABlG中，BAlBC.

⑴若BA=BBI,求證：4月，平面ABC；

⑵若BA=BC=BBl=2,M是棱BC上的一動點(diǎn).試確定點(diǎn)M的位置,使點(diǎn)M到平面9C的

距離等于也.

2

【正確答案】(1)證明見解析?

(2)當(dāng)點(diǎn)M為棱BC的中點(diǎn)時(shí)，使點(diǎn)M到平面ABC的距離等于—

12

【分析】(1)先證明BC±AB1和As_LAB,再根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可證ABt±平

面ABC；

(2)以B為原點(diǎn)，BA,網(wǎng),BC分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系：設(shè)M(0,0∕)(0WW2),

利用點(diǎn)面距的向量公式列式可求出結(jié)果.

【詳解】(1)在直三棱柱ABC-ΛlB,Cl中，Bfi1I平面ABC,所以BB、1BC,BBt±BA,

又因?yàn)锽4LBC,BAnBBt=B,所以BCl平面BAA四，所以BCLAB-

因?yàn)锽B∣BA=BBi,所以四邊形BAAE為正方形，所以AB∣,AB,

因?yàn)锳BlBC=B,所以ABl_L平面ABC.

(2)由(1)知，BA,BB∣,8C兩兩垂直,

以B為原點(diǎn)，BA,BBl,BC分別為X,yz軸建立空間直角坐標(biāo)系:

因?yàn)锽A=BC=Bg=2,則8(0,0,0),At(2,2,0),S1(0,2,0),C(0,0,2),

設(shè)M(0,0,f)(0WW2),

則MC=(0,0,2-f),A4=(-2,0,0),B1C=(0,-2,2),

設(shè)平面ABC的一個法向量為"=(x,y,z),

n?AB=-2x=0[x=0

則1，則

=z

n?B1C=-2y÷2z=0[y

取y=ι,貝∣Jz=ι,n=(θ,ι,i),

l2d∣2τ∣

所以點(diǎn)M到平面Aβ,c的距離等于!"0：=^

|/?|√oj+ι+ι?

又已知點(diǎn)M到平面ABC的距離等于變,所以等考,

2

解得r=l,t=3(舍)，

所以點(diǎn)M為棱BC的中點(diǎn)時(shí)，使點(diǎn)M到平面ABC的距離等于走.

2

18.現(xiàn)有31行67列表格一個，每個小格都只填1個數(shù)，從左上角開始，第一行依次為

1,2,,67；第二行依次為68,79,,134；L依次把表格填滿.現(xiàn)將此表格的數(shù)按另一方式填寫，

從左上角開始，第一列從上到下依次為1,2,,31；第二列從上到下依次為32,33,,62；L依

次把表格填滿.若因自(1≤i≤3U≤/≤67)分別表示第一次和第二次填法中第i行第j列的數(shù).

(1)求%的表達(dá)式(用i,/表示);

(2)若兩次填寫中，在同一小格里兩次填寫的數(shù)相同的個數(shù)為N,求N的值.

【正確答案】⑴他=67(1)+j

(2)7

【分析】(1)第i行的第一個數(shù)為67(i-l)+l,第i行的第J個數(shù)為67(z?-l)+∕?,得到答案.

⑵計(jì)算％=31(j-l)+i,根據(jù)得到lli-5∕=6,驗(yàn)證得到答案.

【詳解】(1)第一種填法中：第i行的第一個數(shù)為67(iT)+l,

第i行的第j個數(shù)為67(I)+1+_/-1=67(I)+J,

即為=67("1)+/

(2)第二種填法中：第/列的第一個數(shù)為31。-1)+1,

第/列的第i個數(shù)為31(/—l)+l+I=31(j-l)+i,

故4=31(∕-l)+i

當(dāng)67(z-l)+,∕=31(/-1)+i時(shí)，在同一小格里兩次填的數(shù)相同，整理得lh-5j=6.

當(dāng)i=l,j=l時(shí)，aij=?.

當(dāng)i=6,/=12時(shí)，%=347；

當(dāng)i=ll,/=23時(shí)，％=693；

當(dāng)i=16,尸34時(shí),旬=1039；

當(dāng)i=21,/=45時(shí)，%=1385；

當(dāng)i=26,/=56時(shí)，%=1731；

當(dāng)i=31,/=67時(shí)，aij=2077,

故N=7.

19.已知數(shù)列｛叫和｛幻的通項(xiàng)公式分別為4=3"+6,?=2n+7(w∈N"),將集合

｛x?x=aι,,neN*｝u｛x?x=hn,nGN*｝中的元素從小到大依次排列，構(gòu)成數(shù)列

C,??2,C,

∣3,Cfl,.

(1)cl,c2,c3,C4;

⑵求證：在數(shù)列｛%｝中、但不在數(shù)列也｝中的項(xiàng)恰為出,％,,%,，；

⑶求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式.

【正確答案】(1)C1=9,C2=11,C3=12,C4=13;(2)證明見解析；(3)

6Jt+3(π=4?-l)

l6?÷5(―)L

c.=f.?∈Λ.

6卜6(n=4?-l)

?6?+7(w=4?)

【詳解】(1)c∣=9,c2=ll,c3=12,c4=13；

(2)①任意〃eN”,設(shè)“2,1=3(2〃—1)+6=6〃+3=4=24+7,

貝Ij左=3〃一2,即%1=%,-2；

②假設(shè)a2"=6“+6=4=2k+7ok=3“_gwN*(矛盾)，.?.%,任｛4｝

.?.在數(shù)列｛%｝中、但不在數(shù)列也｝中的項(xiàng)恰為4，，，M2“，.

(3)b3k_2=2(3?-2)+7=6?+3=a2k_],

%τ=6L+5,a2k=6?+6,%=6k+7,

?：6?+3<6?+5<6?+6<6?÷7,

，當(dāng)A=I時(shí)，依次有a=4=?,?2=c2,?=c3,?3=c4,

64+3(〃=44-3)

6?÷5(∏≡4?-2).

用JV

6?+6(π≡4?-l)

6k-7(π≡4?)

20.為了求一個棱長為力的正四面體的體積，某同學(xué)設(shè)計(jì)如下解法.構(gòu)造一個棱長為1的正

方體，如圖1：則四面體ACq2為棱長是正的正四面體，且有

%面體AC比外=KE方體-VB_ACBI—匕,-AfiiDi-Vc「BiCDi-正方體=~.

Si

(I)類似此解法，如圖2,一個相對棱長都相等的四面體，其三組棱長分別為逐，√13,√Γδ,

求此四面體的體積；

⑵對棱分別相等的四面體ASCD中，AB=CD,AC=BD,AD=BU求證：這個四面體的

四個面都是銳角三角形；

（3）有4條長為2的線段和2條長為膽的線段，用這6條線段作為棱且長度為，〃的線段不相

鄰，構(gòu)成一個三棱錐，問加為何值時(shí)，構(gòu)成三棱錐體積最大，最大值為多少？

【正確答案】（1）2

（2）證明見解析

（3）,”=攣時(shí)，構(gòu)成的三棱錐體積最大，最大值為電I

327

【分析】（1）類比已知條件中的解法，構(gòu)造一個長方體，求出長方體的棱長，在由長方體的

體積減去四個三棱錐體積即可得到答案；

（2）在四面體ABC。中，由已知可得四面體ABCD的四個面為全等三角形，設(shè)長方體的長、

寬、高分別為“'b、c,證明AABC為銳角三角形，即可證明這個四面體的四個面都是銳角

三角形；

（3）當(dāng)2條長為〃7的線段不在同一個三角形中，寫出三棱錐體積的表達(dá)式，利用基本不等

式求最值.

【詳解】（1）設(shè)四面體ABe。所在長方體的棱長分別為α,Ac,

'a2+b2=5Fa2=4

則</+/=13,解得，從=1,

?2+c2=10c2=9

所以四面體的體積』——或X4=E=2.

（2）在四面體ABCO中，

因?yàn)锳β=8,AC=BD,AD=BC,

所以四面體ABC。的四個面為全等三角形，

即只需證明一個面為銳角三角形即可.

設(shè)長方體的長、寬、高分別為。、b、c,

則AB?=。2+/??,BC2=h2+c2>AC2=a1+c2,

AB'+BC->AC2,AB2+AC2>BC2,AC2+BC2>AC2,

所以ABC為銳角三角形，則這個四面體的四個面都是銳角三角形;

(3)當(dāng)2條長為〃?的線段不在同一個三角形中,

如圖，不妨設(shè)A0=BC="2,BD=CD=AC=2,取BC的中點(diǎn)E,

連接AE、DE,

則AEd.8C,DE±BC,而AEl-JoE=E,所以BCl平面AEO,

則三棱錐的體積V=∣sAI)K-BC,

在ZVlED中，AE=DE=^4-^~,AD=m,

2

S_1LM∏Γ1/1.λm.

AED~~2m'4-------------=-?//n(4-------),

442V2

2

所以V=?J∕w?AW2(4--^―)=?-4

6V26

/W2m"2tn2

2

因?yàn)閙MZ7＞彳+一"相364,所以V≤——

----------(4------)≤(―----------------)=—?7

442327/

224

當(dāng)且僅當(dāng)T=4-絲，即m=κ時(shí)取等號,

42√3

怨時(shí)，構(gòu)成的三棱錐體積最大，最大值為吧.

故機(jī)=

27

A

C

21.已知｛%｝是無窮數(shù)歹∣J.給出兩個性質(zhì)：①