高中數(shù)學 圓的方程

§8.3圓的方程

基礎(chǔ)落實回扣基礎(chǔ)知識訓練基礎(chǔ)題目

f知遲梳理

圓的定義與方程

定義平面內(nèi)到定點的距離等于定員的點的軌跡叫做圓

標準圓心為（〃，b）

(x-a)2+(y—。)2=7^(r>0)

式半徑為2

方充要條件：。2+E2-477>0

程圓心坐標：f~T，~1）

般x1+y2+Dx+Ey+F=0

式半徑r=K/r)2+E2-4F

【概念方法微思考】

1.二元二次方程Ajr+Bxy+Cy+Dx+Ey+F^O表示圓的條件是什么？

A=CWO,

提示《2=0，

D2+E2~4AF>0.

2.點與圓的位置關(guān)系有幾種？如何判斷？

提示點和圓的位置關(guān)系有三種.

已知圓的標準方程（X—4）2+。-6）2=凡點M（xo,州），

⑴點在圓上：（Xo—a）2+（yo一切2=/；

⑵點在圓外：（刈一aA+So—>）2>凡

(3)點在圓內(nèi)：(xo—"+3廠》)2<戶.

r基昨測

題組一思考辨析

i.判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“J”或“義”)

(1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑.(V)

⑵已知點A(X1，yi),B(X2,竺)，則以AB為直徑的圓的方程是(x—X1)(X—龍2)+。-yi)(y—〉2)=0.(V)

(3)若點M(xo，yo)在圓x2+y2+￡)x+Ey+尸=0外，則端+y8+￡>xo+Eyo+QO.(V)

(4)方程。+。)2+3+勿2=產(chǎn)”6對表示圓心為(°,b),半徑為/的圓.(X)

題組二教材改編

2.圓心為(1,1)且過原點的圓的方程是()

A.(x-l)2+(y-l)2=lB.(x+1)2+&+lp=l

C.(x+1)2+8+1)2=2D.(x—lA+S—1)2=2

答案D

解析因為圓心為(1,1)且過原點，所以該圓的半徑廠=嚴彳=地，則該圓的方程為(X—1戶+。―1)2=2.

3.以點(3,—1)為圓心，并且與直線3x+4y=0相切的圓的方程是()

A.(尤一3)2+3+1產(chǎn)1

B.(X-3)2+(J-1)2=1

C.(X+3)2+(J-1)2=1

D.(尤+3)2+3+1>=1

答案A

4,圓C的圓心在x軸上，并且過點和8(1,3),則圓C的方程為.

答案(X-2)2+/=10

解析設(shè)圓心坐標為C(a,O),

?.,點4(-1,1)和2(1,3)在圓C上，：.CA=CB,

即y](a+1/+1=y/(a~1)2+9,解得。=2,

二圓心為C(2,0),

半徑CA=yj(2+l)2+l=V10,

.?.圓C的方程為(x-2)2+y2=io.

題組三易錯自糾

5.若方程f+V+wu—2y+3=。表示圓，則機的取值范圍是（）

A.（一8,一低U（6，+oo）

B.（—8,一2吸）U（2吸，+8）

C.（一8,一?。︰（小，+8）

D.（—8,一26）U（2小，+8）

答案B

由其表示圓可得片一2>0,解得m<—2書或m>2巾.

6.半徑為3,圓心的縱、橫坐標相等且與兩條坐標軸都相切的圓的方程為.

答案（x—3）2+（j—3）2=9或（x+3）2+（y+3）2=9

解析由題意知圓心坐標為（3,3）或（一3,—3）,故所求圓的方程為（x—3）2+。-3）2=9或（x+3>+（y+3）2=

9.

7.已知實數(shù)無，y滿足方程f+丁一2x+4y=0,則x—2y的最大值是,最小值是.

答案100

解析原方程可化為(x—l)2+(y+2)2=5,表示以(1,—2)為圓心，小為半徑的圓.設(shè)x—2》=。，即x—2y

—。=0,作出圓(x—1-+。+2)2=5與一組平行線x—2y—。=0,如圖所示，當直線1—2y一8=0與圓相切

11—2X(—2)一例注

時，在y軸上的截距一與取得最大值或最小值，此時圓心到直線的距離』=g=S解骨b

=10或b=0,

所以x—2y的最大值為10,最小值為0.

圓的方程

1.(2019?西安模擬)已知圓C過點A(6,0),3(1,5),且圓心在直線I：2x—7y+8=0上，則圓C的方程為

答案(x—3)2+。-2)2=13

解析方法一(幾何法)七5=^―7——1,

1—O

57

則AB的垂直平分線方程為y-l=x-j,

[x—y—1=0,q=3,

即X—y—1=0,聯(lián)立方程c-八解得c

[2x-7y+8=0,ly=2,

r=^(6-3)2+(0-2)2=V13，

故圓C的方程為(x—3)2+。-2)2=13.(圓的任何一條弦的垂直平分線過圓心)

方法二(待定系數(shù)法)設(shè)所求圓的方程為(x—ap+G—勿2=廣

(6—a)2+(0—fe)2=r2,〃=3,

由題意可得(1—a>+(5—6)2=/,解得<b=2,

2a—76+8=0,7=13,

故所求圓C的方程為(x—3)2+(y—2)2=13.

2.已知圓心在x軸上，半徑為小的圓位于y軸右側(cè)，且截直線x+2y=0所得弦的長為2,則圓的方程為

答案(無一2?。?產(chǎn)=5

解析根據(jù)題意，設(shè)圓的圓心坐標為(。,0)(。＞0),則圓的標準方程為(尤一。)2+產(chǎn)=53＞0),則圓心到直線x+

“介5|a+2X0|小

2y=0的距局d="2+2，=5。

又該圓截直線x+2y=0所得弦的長為2,所以可得I?+償，2=5,解得。=2小.故圓的方程為(x—2小了+

y2=5.

3.若不同的四點A(5,0),8(—1,0),C(—3,3),0m,3)共圓，則a的值是.

答案7

解析四點共圓，設(shè)圓的方程為1++.+與+/=0,

"25+0+5D+0+F=0,1"=-4,

則'l+0-D+0+F=Q,解得jE=一亍25，

.9+9—3D+3E+/=0,口__＜

所以圓的方程為d+y2-4x一年25y—5=0,

將￡)(a,3)代入得。2—4“-21=0.

解得＜2=7或a=—3(舍).

思維升華(1)直接法：直接求出圓心坐標和半徑，寫出方程.

⑵待定系數(shù)法

①若已知條件與圓心(a,b)和半徑r有關(guān)，則設(shè)圓的標準方程，求出a,b,r的值；

②選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于。，E,尸的方程組，進而求出。，E,P的值.

與圓有關(guān)的軌跡問題

例1已知RtZXABC的斜邊為A3,且4(一1,0)，2(3,0).求：

(1)直角頂點C的軌跡方程；

(2)直角邊BC的中點M的軌跡方程.

解(1)方法一設(shè)C(x,y),因為A,B,C三點不共線，所以yWO.

因為ACL3C,且BC,AC斜率均存在，

所以kAc-k.Bc=11,

又k^c=士[，ksc——所以士[?~—1)

x+1x-3x+1x-3

化簡得/+產(chǎn)一2x—3=0.

因此，直角頂點C的軌跡方程為x2+y2—2x—3=0?/0).

方法二設(shè)AB的中點為，由中點坐標公式得。(1,0),由直角三角形的性質(zhì)知O)=1AB=2.由圓的定義知,

動點C的軌跡是以。(1,0)為圓心，2為半徑的圓(由于A,B,C三點不共線，所以應除去與x軸的交點).

所以直角頂點C的軌跡方程為(x—l)2+y2=4(yW0).

(2)設(shè)M(x,y),C(xo,yo),因為2(3,0),M是線段BC的中點，由中點坐標公式得工=嗎^,>=嗎2

所以xo=2尤-3,y0=2y.

由(1)知，點C的軌跡方程為(x—l)2+y2=4CyW0),

將xo=2x—3,yo=2y代入得(2x—4)2+(2y>=4,

即(x—2)2+y2=l.

因此動點M的軌跡方程為(x—2)2+y2=l(jW0).

思維升華求與圓有關(guān)的軌跡問題時，根據(jù)題設(shè)條件的不同常采用以下方法：

①直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程.

②定義法：根據(jù)圓、直線等定義列方程.

③幾何法：利用圓的幾何性質(zhì)列方程.

④相關(guān)點代入法：找到要求點與已知點的關(guān)系，代入已知點滿足的關(guān)系式.

跟蹤訓練1設(shè)定點/(—3,4),動點N在圓爐+9=4上運動，以O(shè)N為兩邊作平行四邊形MONP,

求點尸的軌跡方程.

解如圖，設(shè)尸(x,y),N(xo,州),

則線段OP的中點坐標為住號,

線段的中點坐標為

因為平行四邊形的對角線互相平分,

所以尹x。一3yyo+4

2，2=2

xo=x+3,

整理得

jo—y—4,

12

又點N(XQ9yo)在圓x+y=4上，

所以(x+3)2+。-4)2=4.

所以點尸的軌跡是以(一3,4)為圓心，2為半徑的圓,

直線與軌跡相交于兩點-y,§),不符合題意，舍去,

21

所以點尸的軌跡為。+3)2+。-4)2=4,除去兩點5

與圓有關(guān)的最值問題

例2(1)(2020?保定質(zhì)檢)已知A(0,2),點尸在直線x+y+2=0上，點。在圓C：^+產(chǎn)一4x—2y=0上，則

PA+PQ的最小值是.

答案2鄧

解析因為圓C：f+y2—4x—2y=0,

故圓C是以C(2,l)為圓心，半徑r=小的圓.

設(shè)點A(0,2)關(guān)于直線尤+y+2=0的對稱點為A'(加，n),

"m+0,n+2,

―5-+-—+2=0,

225r\m_——.4,

故〈c解得c故A'(―4,-2).

n-21〃=一2,

、根—0L

連結(jié)A'。交圓。于Q,由對稱性可知

PA+PQ=A'P+PQ^A'Q=ArC—r=24.

(2)已知實數(shù)x,y滿足方程W+y2—4x+l=0,求*的最大值和最小值.

解原方程可化為(x—2>+y2=3,

表示以(2,0)為圓心，小為半徑的圓.

*的幾何意義是圓上一點與原點連線的斜率，

所以設(shè)*=上即y=Ax

當直線丫=履與圓相切時，斜率左取最大值和最小值,

此時吃秘=小，解得k=±^3.

所以*的最大值為小，最小值為一小.

本例(2)中，求y~x的最大值和最小值.

解y—x可看作是直線在y軸上的截距，當直線y=x+。與圓相切時，直線在y軸上的截距。取得

12—0+方

最大值和最小值，此時過=小,解得。=-2±^危所以y—尤的最大值為一2+加，最小值為一2一黃.

本例(2)中，求x?+y2的最大值和最小值.

解f+V表示圓上的一點與原點距離的平方，由平面幾何知識知，在原點和圓心連線與圓的兩個交點處取

得最大值和最小值.

又圓心到原點的距離為叱2—0)2+(0—0)2=2,

所以x?+y2的最大值是(2+小)2=7+4小，

x2+y2的最小值是(2—小了=7—45.

思維升華與圓有關(guān)的最值問題的常見類型及解題策略

(1)與圓有關(guān)的長度或距離的最值問題的解法.一般根據(jù)長度或距離的幾何意義，利用圓的幾何性質(zhì)數(shù)形結(jié)

合求解.

(2)與圓上點(x,y)有關(guān)代數(shù)式的最值的常見類型及解法.

①形如:型的最值問題,可轉(zhuǎn)化為過點(a,6)和點(x,y)的直線的斜率的最值問題；②形如t—ax+by

型的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線的截距的最值問題；③形如Q—d)2+。一型的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動點

到定點(a,6)的距離的平方的最值問題.

跟蹤訓練2已知M(x,y)為圓C：/+〉2一標-14》+45=0上任意一點，且點。(-2,3).

(1)求MQ的最大值和最小值；

⑵求評的最大值和最小值；

(3)求j—x的最大值和最小值.

解⑴由圓C：^十產(chǎn)一4%—14了+45=0,

可得(x—2)2+。-7)2=8,

.?.圓心(7的坐標為(2,7),半徑r=2，l

又如川(2+2)2+(7—3)2=4廬

MQmax=4^2+2y[2=6y]2,

“Qmin=4正—2也=2也.

y—3

（2）可知壬表示直線MQ的斜率k.

設(shè)直線MQ的方程為y—3=-尤+2),

即kx—y+2A+3=0.

?.?直線M。與圓C有交點，

”-7+2%+3]

W2班,

可得2—小WZ2+S，

.??那的最大值為2+小，最小值為2—小.

⑶設(shè)y—x=b,則%—y+Z?=O.

當直線與圓。相切時，截距。取到最值,

|2—7+Z?|I—.

???1"（—1）2=2P，或b=L

???丁一%的最大值為9,最小值為1.

g基礎(chǔ)保分練

1.圓M：/+廿+2尤+24y—5=0的圓心坐標為（

A.（1,?。〣.（1,~y[3）

C.（-1,小）D.（-1,一?。?/p>

答案D

解析圓M的圓心坐標為X=—￥=—1.

Er-

y=_,=一$.故選D.

2.已知圓C：%2+^-2%+43；+1=0,那么與圓C有相同的圓心，且經(jīng)過點(一2,2)的圓的方程是()

A.(x-l)2+(y+2)2=5

B.(x—1)2+0+2)2=25

C.(x+lp+Cy—2＞=5

D.(尤+1)2+6-2)2=25

答案B

解析圓C的標準方程為(x—1尸+。+2)2=4,圓心C(l,-2),故排除C,D,代入(一2,2)點，只有B項經(jīng)

過此點.也可以設(shè)出要求的圓的方程為(X—1)2+。+2)2=已再代入點(一2,2),可以求得圓的半徑為5.故選

B.

3.已知圓C：x1+y2+Dx+Ey+F^O,貝U"￡=歹=0且。＜0”是“圓C與y軸相切于原點”的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案A

解析圓C與y軸相切于原點＜4圓C的圓心在x軸上(設(shè)坐標為(a,0)),且半徑廠=同..?.當￡=歹=0且。＜0

時，圓心為(一號0),半徑為黑圓C與y軸相切于原點；圓(x+l)2+y2=i與y軸相切于原點，但￡)=2＞0,

故選A.

4.(2019?貴陽模擬)圓C與x軸相切于點7(1,0),與y軸正半軸交于A,8兩點，且48=2,則圓C的標準

方程為()

A.(x-l)2+(y-V2)2=2

B.(x-1)2+52)2=2

C.(x+1)2+。+的2=4

D.(x-l)2+(y-V2)2=4

答案A

解析由題意得，圓C的半徑為護力=正，圓心坐標為(1,g)，，圓C的標準方程為(X—1尸+。一,)2

=2,故選A.

5.已知圓Ci：(x+l)2+(y—1尸=4,圓C2與圓Ci關(guān)于直線x—y—1=0對稱，則圓C2的方程為()

A.(x+2)2+(y—2>=4

B.(X-2)2+(J+2)2=4

C.(x+2)2+(y+2)2=4

D.(龍一2)2+3—2)2=4

答案B

解析根據(jù)題意，設(shè)圓C2的圓心為(a,b),

圓Ci：(x+1)2+。-1)2=4,其圓心為(一1,1),半徑為2,

若圓。2與圓G關(guān)于直線x—y—1=0對稱，則圓G與。2的圓心關(guān)于直線無-y—1=0對稱，且圓。2的半徑

p-1

-1,

a+14=2,

為2,則有v解得

a—1b+1b=-2,

~2~1=0,

則圓C2的方程為(x—2>+(y+2)2=4.

6.點P(4,—2)與圓f+V=4上任一點連線的中點的軌跡方程是()

A.(尤一2)2+3+1)2=1

B.(A—2)2+(y+l)2=4

C.(X+4)2+(J—2尸4

D.(x+2)2+(y-l)2=l

答案A

解析設(shè)圓上任意一點為(%i,%),中點為(x,y),

X[=2x4,

即

,yi=2y+2.

代入x2+y2=4得(2x—4)2+(2y+2)2=4,

化簡得(無-2)2+。+1)2=1.

7.(多選)設(shè)有一組圓C：(x—1)2+。一?2=S(4GN*),下列四個命題正確的是()

A.存在公使圓與x軸相切

B.存在一條直線與所有的圓均相交

C.存在一條直線與所有的圓均不相交

D.所有的圓均不經(jīng)過原點

答案ABD

解析對于A,存在左，使圓與x軸相切Qk=F(AGN*)有正整數(shù)解=%=1,故A正確；

對于B,因為圓心(1,?恒在直線x=l上，故B正確；

對于C,當左取無窮大的正數(shù)時，半徑產(chǎn)也無窮大，

因此所有直線與圓都相交，故C不正確；

對于D,將(0,0)代入得1+標=六，即1=出(標-1),

因為右邊是兩個相鄰整數(shù)相乘為偶數(shù)，而左邊為奇數(shù)，

故方程恒不成立，故D正確.

故選ABD.

8.已知aGR,方程a2/+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圓，則圓心坐標是,半徑是

答案(一2,-4)5

解析由已知方程表示圓，則/=。+2,

解得a=2或a——\.

當〃=2時，方程不滿足表示圓的條件，故舍去.

當a=—\時，原方程為/+9+4%+8丁一5=0,

化為標準方程為。+2)2+&+4)2=25,

表示以(-2,—4)為圓心，5為半徑的圓.

9.(2020?長沙模擬)圓2x—2y+l=0上的點到直線x—y=2的距離的最大值是.

答案1+小

解析將圓的方程化為(X—1)2+。-1)2=1,圓心坐標為(1,1),半徑為1,則圓心到直線X—y=2的距離d

=/產(chǎn)=也，故圓上的點到直線X—y=2的距離的最大值為1+1=也+1.

10.如果圓(x—a)2+(j—a>=8上總存在到原點的距離為限的點，則實數(shù)a的取值范圍是.

答案[-3,-1]U[1,3]

解析圓(無一—。)2=8的圓心(a,a)到原點的距離為半徑廠=2寸^,由圓(x—a)~~\~(y—a)?=8上

總存在點到原點的距離為也，得2也一也也+也，.?.lW|a|W3,解得lWaW3或一3WaW-l.

二實數(shù)。的取值范圍是[—3,-1]U[1,3].

11.已知點(尤，y)在圓(x—2)2+。+3)2=1上.

(1)求尤+y的最大值和最小值；

(2)求'f+尸+法一4y+5的最大值和最小值.

解(1)設(shè)/=x+y,則y=—x+r,/可視為直線y=—x+f在y軸上的截距，

???x+y的最大值和最小值就是直線與圓有公共點時直線縱截距的最大值和最小值，即直線與圓相切時在y

軸上的截距.

由直線與圓相切得圓心到直線的距離等于半徑，

即艮土旨3=1,解得/=也—1或：=—也—1.

:?x+y的最大值為也一1,最小值為一港一1.

(2)-\/x2+y2+2x—4y+5=-\/(x+l)2+(y—2)2,求它的最值可視為求點(x,y)到定點(一1,2)的距離的最值，可

轉(zhuǎn)化為求圓心(2,—3)到定點(一1,2)的距離與半徑的和或差.又圓心到定點(一1,2)的距離為強，

?*.yA+V+Zx—4y+5的最大值為^34+1,最小值為yf3A—1.

12.已知點A(—3,0),8(3,0),動點P滿足B4=2PB

(1)若點P的軌跡為曲線C,求此曲線的方程；

⑵若點。在直線/i：x+y+3=0上，直線，2經(jīng)過點。且與曲線C只有一個公共點M，求QW的最小值.

解(1)設(shè)點尸的坐標為(x,y),

則7(X+3)2+;/=2-\/(x—3)2+J2,

化簡可得(x—5)2+y2=i6,此方程即為所求.

(2)曲線C是以點(5,0)為圓心，4為半徑的圓，如圖所示.

由題意知直線b是此圓的切線,

連結(jié)CQ,

則QM^C^-CM2

=、C°2—16,

當QM最小時，CQ最小，此時CQJJi,

|5+3|「

則的最小值為=32—16=4.

13.已知圓C：(X-3)2+(J-4)2=1,設(shè)點尸是圓C上的動點.記1=2序+出2,其中4(0,1),2(0,—1),

則d的最大值為.

答案74

解析設(shè)P(xo,yo),]=尸82+%2=意+。0+1)2+焉+。0—1)2=2(京+宛)+2.焉+M為圓上任一點到原點距離

的平方，.,.(焉+y3)max=(5+l)2=36,

,,"max-74.

14.(2019?大同模擬)已知點尸為圓C：一+產(chǎn)一4X一2》+1=0上任意一點，A,B為直線3尤+4y+5=0上的

兩動點，且AB=2,則AABP的面積的取值范圍是.

答案[1,5]

解析圓C的標準方程為(x—2)2+(y—1產(chǎn)=4,

圓心C(2,l),半徑R=2,

|6+4+5|

圓心C到直線3x+4y+5=0的距離d=V?+45=3

設(shè)尸到直線42的距離為h,

則SAABP=1-AB-/I=/I,

?：d—RWhWd+R,???1★底5,

[1,5],

即△ABP的面積的取值范圍為