高中數(shù)學(xué) 圓的方程

§8.3圓的方程

基礎(chǔ)落實(shí)回扣基礎(chǔ)知識(shí)訓(xùn)練基礎(chǔ)題目

f知遲梳理

圓的定義與方程

定義平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定員的點(diǎn)的軌跡叫做圓

標(biāo)準(zhǔn)圓心為（〃，b）

(x-a)2+(y—。)2=7^(r>0)

式半徑為2

方充要條件：。2+E2-477>0

程圓心坐標(biāo)：f~T，~1）

般x1+y2+Dx+Ey+F=0

式半徑r=K/r)2+E2-4F

【概念方法微思考】

1.二元二次方程Ajr+Bxy+Cy+Dx+Ey+F^O表示圓的條件是什么？

A=CWO,

提示《2=0，

D2+E2~4AF>0.

2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有幾種？如何判斷？

提示點(diǎn)和圓的位置關(guān)系有三種.

已知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（X—4）2+。-6）2=凡點(diǎn)M（xo,州），

⑴點(diǎn)在圓上：（Xo—a）2+（yo一切2=/；

⑵點(diǎn)在圓外：（刈一aA+So—>）2>凡

(3)點(diǎn)在圓內(nèi)：(xo—"+3廠》)2<戶.

r基昨測(cè)

題組一思考辨析

i.判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“義”)

(1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑.(V)

⑵已知點(diǎn)A(X1，yi),B(X2,竺)，則以AB為直徑的圓的方程是(x—X1)(X—龍2)+。-yi)(y—〉2)=0.(V)

(3)若點(diǎn)M(xo，yo)在圓x2+y2+￡)x+Ey+尸=0外，則端+y8+￡>xo+Eyo+QO.(V)

(4)方程。+。)2+3+勿2=產(chǎn)”6對(duì)表示圓心為(°,b),半徑為/的圓.(X)

題組二教材改編

2.圓心為(1,1)且過原點(diǎn)的圓的方程是()

A.(x-l)2+(y-l)2=lB.(x+1)2+&+lp=l

C.(x+1)2+8+1)2=2D.(x—lA+S—1)2=2

答案D

解析因?yàn)閳A心為(1,1)且過原點(diǎn)，所以該圓的半徑廠=嚴(yán)彳=地，則該圓的方程為(X—1戶+。―1)2=2.

3.以點(diǎn)(3,—1)為圓心，并且與直線3x+4y=0相切的圓的方程是()

A.(尤一3)2+3+1產(chǎn)1

B.(X-3)2+(J-1)2=1

C.(X+3)2+(J-1)2=1

D.(尤+3)2+3+1>=1

答案A

4,圓C的圓心在x軸上，并且過點(diǎn)和8(1,3),則圓C的方程為.

答案(X-2)2+/=10

解析設(shè)圓心坐標(biāo)為C(a,O),

?.,點(diǎn)4(-1,1)和2(1,3)在圓C上，：.CA=CB,

即y](a+1/+1=y/(a~1)2+9,解得。=2,

二圓心為C(2,0),

半徑CA=yj(2+l)2+l=V10,

.?.圓C的方程為(x-2)2+y2=io.

題組三易錯(cuò)自糾

5.若方程f+V+wu—2y+3=。表示圓，則機(jī)的取值范圍是（）

A.（一8,一低U（6，+oo）

B.（—8,一2吸）U（2吸，+8）

C.（一8,一?。︰（小，+8）

D.（—8,一26）U（2小，+8）

答案B

由其表示圓可得片一2>0,解得m<—2書或m>2巾.

6.半徑為3,圓心的縱、橫坐標(biāo)相等且與兩條坐標(biāo)軸都相切的圓的方程為.

答案（x—3）2+（j—3）2=9或（x+3）2+（y+3）2=9

解析由題意知圓心坐標(biāo)為（3,3）或（一3,—3）,故所求圓的方程為（x—3）2+。-3）2=9或（x+3>+（y+3）2=

9.

7.已知實(shí)數(shù)無，y滿足方程f+丁一2x+4y=0,則x—2y的最大值是,最小值是.

答案100

解析原方程可化為(x—l)2+(y+2)2=5,表示以(1,—2)為圓心，小為半徑的圓.設(shè)x—2》=。，即x—2y

—。=0,作出圓(x—1-+。+2)2=5與一組平行線x—2y—。=0,如圖所示，當(dāng)直線1—2y一8=0與圓相切

11—2X(—2)一例注

時(shí)，在y軸上的截距一與取得最大值或最小值，此時(shí)圓心到直線的距離』=g=S解骨b

=10或b=0,

所以x—2y的最大值為10,最小值為0.

圓的方程

1.(2019?西安模擬)已知圓C過點(diǎn)A(6,0),3(1,5),且圓心在直線I：2x—7y+8=0上，則圓C的方程為

答案(x—3)2+。-2)2=13

解析方法一(幾何法)七5=^―7——1,

1—O

57

則AB的垂直平分線方程為y-l=x-j,

[x—y—1=0,q=3,

即X—y—1=0,聯(lián)立方程c-八解得c

[2x-7y+8=0,ly=2,

r=^(6-3)2+(0-2)2=V13，

故圓C的方程為(x—3)2+。-2)2=13.(圓的任何一條弦的垂直平分線過圓心)

方法二(待定系數(shù)法)設(shè)所求圓的方程為(x—ap+G—勿2=廣

(6—a)2+(0—fe)2=r2,〃=3,

由題意可得(1—a>+(5—6)2=/,解得<b=2,

2a—76+8=0,7=13,

故所求圓C的方程為(x—3)2+(y—2)2=13.

2.已知圓心在x軸上，半徑為小的圓位于y軸右側(cè)，且截直線x+2y=0所得弦的長(zhǎng)為2,則圓的方程為

答案(無一2小＞+產(chǎn)=5

解析根據(jù)題意，設(shè)圓的圓心坐標(biāo)為(。,0)(。＞0),則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(尤一。)2+產(chǎn)=53＞0),則圓心到直線x+

“介5|a+2X0|小

2y=0的距局d="2+2，=5。

又該圓截直線x+2y=0所得弦的長(zhǎng)為2,所以可得I?+償，2=5,解得。=2小.故圓的方程為(x—2小了+

y2=5.

3.若不同的四點(diǎn)A(5,0),8(—1,0),C(—3,3),0m,3)共圓，則a的值是.

答案7

解析四點(diǎn)共圓，設(shè)圓的方程為1++.+與+/=0,

"25+0+5D+0+F=0,1"=-4,

則'l+0-D+0+F=Q,解得jE=一亍25，

.9+9—3D+3E+/=0,口__＜

所以圓的方程為d+y2-4x一年25y—5=0,

將￡)(a,3)代入得。2—4“-21=0.

解得＜2=7或a=—3(舍).

思維升華(1)直接法：直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，寫出方程.

⑵待定系數(shù)法

①若已知條件與圓心(a,b)和半徑r有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出a,b,r的值；

②選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于。，E,尸的方程組，進(jìn)而求出。，E,P的值.

與圓有關(guān)的軌跡問題

例1已知RtZXABC的斜邊為A3,且4(一1,0)，2(3,0).求：

(1)直角頂點(diǎn)C的軌跡方程；

(2)直角邊BC的中點(diǎn)M的軌跡方程.

解(1)方法一設(shè)C(x,y),因?yàn)锳,B,C三點(diǎn)不共線，所以yWO.

因?yàn)锳CL3C,且BC,AC斜率均存在，

所以kAc-k.Bc=11,

又k^c=士[，ksc——所以士[?~—1)

x+1x-3x+1x-3

化簡(jiǎn)得/+產(chǎn)一2x—3=0.

因此，直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為x2+y2—2x—3=0?/0).

方法二設(shè)AB的中點(diǎn)為，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得。(1,0),由直角三角形的性質(zhì)知O)=1AB=2.由圓的定義知,

動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是以。(1,0)為圓心，2為半徑的圓(由于A,B,C三點(diǎn)不共線，所以應(yīng)除去與x軸的交點(diǎn)).

所以直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為(x—l)2+y2=4(yW0).

(2)設(shè)M(x,y),C(xo,yo),因?yàn)?(3,0),M是線段BC的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得工=嗎^,>=嗎2

所以xo=2尤-3,y0=2y.

由(1)知，點(diǎn)C的軌跡方程為(x—l)2+y2=4CyW0),

將xo=2x—3,yo=2y代入得(2x—4)2+(2y>=4,

即(x—2)2+y2=l.

因此動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為(x—2)2+y2=l(jW0).

思維升華求與圓有關(guān)的軌跡問題時(shí)，根據(jù)題設(shè)條件的不同常采用以下方法：

①直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程.

②定義法：根據(jù)圓、直線等定義列方程.

③幾何法：利用圓的幾何性質(zhì)列方程.

④相關(guān)點(diǎn)代入法：找到要求點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系，代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式.

跟蹤訓(xùn)練1設(shè)定點(diǎn)/(—3,4),動(dòng)點(diǎn)N在圓爐+9=4上運(yùn)動(dòng)，以O(shè)N為兩邊作平行四邊形MONP,

求點(diǎn)尸的軌跡方程.

解如圖，設(shè)尸(x,y),N(xo,州),

則線段OP的中點(diǎn)坐標(biāo)為住號(hào),

線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為

因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膶?duì)角線互相平分,

所以尹x。一3yyo+4

2，2=2

xo=x+3,

整理得

jo—y—4,

12

又點(diǎn)N(XQ9yo)在圓x+y=4上，

所以(x+3)2+。-4)2=4.

所以點(diǎn)尸的軌跡是以(一3,4)為圓心，2為半徑的圓,

直線與軌跡相交于兩點(diǎn)-y,§),不符合題意，舍去,

21

所以點(diǎn)尸的軌跡為。+3)2+。-4)2=4,除去兩點(diǎn)5

與圓有關(guān)的最值問題

例2(1)(2020?保定質(zhì)檢)已知A(0,2),點(diǎn)尸在直線x+y+2=0上，點(diǎn)。在圓C：^+產(chǎn)一4x—2y=0上，則

PA+PQ的最小值是.

答案2鄧

解析因?yàn)閳AC：f+y2—4x—2y=0,

故圓C是以C(2,l)為圓心，半徑r=小的圓.

設(shè)點(diǎn)A(0,2)關(guān)于直線尤+y+2=0的對(duì)稱點(diǎn)為A'(加，n),

"m+0,n+2,

―5-+-—+2=0,

225r\m_——.4,

故〈c解得c故A'(―4,-2).

n-21〃=一2,

、根—0L

連結(jié)A'。交圓。于Q,由對(duì)稱性可知

PA+PQ=A'P+PQ^A'Q=ArC—r=24.

(2)已知實(shí)數(shù)x,y滿足方程W+y2—4x+l=0,求*的最大值和最小值.

解原方程可化為(x—2>+y2=3,

表示以(2,0)為圓心，小為半徑的圓.

*的幾何意義是圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，

所以設(shè)*=上即y=Ax

當(dāng)直線丫=履與圓相切時(shí)，斜率左取最大值和最小值,

此時(shí)吃秘=小，解得k=±^3.

所以*的最大值為小，最小值為一小.

本例(2)中，求y~x的最大值和最小值.

解y—x可看作是直線在y軸上的截距，當(dāng)直線y=x+。與圓相切時(shí)，直線在y軸上的截距。取得

12—0+方

最大值和最小值，此時(shí)過=小,解得。=-2±^危所以y—尤的最大值為一2+加，最小值為一2一黃.

本例(2)中，求x?+y2的最大值和最小值.

解f+V表示圓上的一點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方，由平面幾何知識(shí)知，在原點(diǎn)和圓心連線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)處取

得最大值和最小值.

又圓心到原點(diǎn)的距離為叱2—0)2+(0—0)2=2,

所以x?+y2的最大值是(2+小)2=7+4小，

x2+y2的最小值是(2—小了=7—45.

思維升華與圓有關(guān)的最值問題的常見類型及解題策略

(1)與圓有關(guān)的長(zhǎng)度或距離的最值問題的解法.一般根據(jù)長(zhǎng)度或距離的幾何意義，利用圓的幾何性質(zhì)數(shù)形結(jié)

合求解.

(2)與圓上點(diǎn)(x,y)有關(guān)代數(shù)式的最值的常見類型及解法.

①形如:型的最值問題,可轉(zhuǎn)化為過點(diǎn)(a,6)和點(diǎn)(x,y)的直線的斜率的最值問題；②形如t—ax+by

型的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線的截距的最值問題；③形如Q—d)2+。一型的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)

到定點(diǎn)(a,6)的距離的平方的最值問題.

跟蹤訓(xùn)練2已知M(x,y)為圓C：/+〉2一標(biāo)-14》+45=0上任意一點(diǎn)，且點(diǎn)。(-2,3).

(1)求MQ的最大值和最小值；

⑵求評(píng)的最大值和最小值；

(3)求j—x的最大值和最小值.

解⑴由圓C：^十產(chǎn)一4%—14了+45=0,

可得(x—2)2+。-7)2=8,

.?.圓心(7的坐標(biāo)為(2,7),半徑r=2，l

又如川(2+2)2+(7—3)2=4廬

MQmax=4^2+2y[2=6y]2,

“Qmin=4正—2也=2也.

y—3

（2）可知壬表示直線MQ的斜率k.

設(shè)直線MQ的方程為y—3=-尤+2),

即kx—y+2A+3=0.

?.?直線M。與圓C有交點(diǎn)，

”-7+2%+3]

W2班,

可得2—小WZ2+S，

.??那的最大值為2+小，最小值為2—小.

⑶設(shè)y—x=b,則%—y+Z?=O.

當(dāng)直線與圓。相切時(shí)，截距。取到最值,

|2—7+Z?|I—.

???1"（—1）2=2P，或b=L

???丁一%的最大值為9,最小值為1.

g基礎(chǔ)保分練

1.圓M：/+廿+2尤+24y—5=0的圓心坐標(biāo)為（

A.（1,?。〣.（1,~y[3）

C.（-1,?。〥.（-1,一?。?/p>

答案D

解析圓M的圓心坐標(biāo)為X=—￥=—1.

Er-

y=_,=一$.故選D.

2.已知圓C：%2+^-2%+43；+1=0,那么與圓C有相同的圓心，且經(jīng)過點(diǎn)(一2,2)的圓的方程是()

A.(x-l)2+(y+2)2=5

B.(x—1)2+0+2)2=25

C.(x+lp+Cy—2＞=5

D.(尤+1)2+6-2)2=25

答案B

解析圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x—1尸+。+2)2=4,圓心C(l,-2),故排除C,D,代入(一2,2)點(diǎn)，只有B項(xiàng)經(jīng)

過此點(diǎn).也可以設(shè)出要求的圓的方程為(X—1)2+。+2)2=已再代入點(diǎn)(一2,2),可以求得圓的半徑為5.故選

B.

3.已知圓C：x1+y2+Dx+Ey+F^O,貝U"￡=歹=0且。＜0”是“圓C與y軸相切于原點(diǎn)”的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案A

解析圓C與y軸相切于原點(diǎn)＜4圓C的圓心在x軸上(設(shè)坐標(biāo)為(a,0)),且半徑廠=同..?.當(dāng)￡=歹=0且。＜0

時(shí)，圓心為(一號(hào)0),半徑為黑圓C與y軸相切于原點(diǎn)；圓(x+l)2+y2=i與y軸相切于原點(diǎn)，但￡)=2＞0,

故選A.

4.(2019?貴陽模擬)圓C與x軸相切于點(diǎn)7(1,0),與y軸正半軸交于A,8兩點(diǎn)，且48=2,則圓C的標(biāo)準(zhǔn)

方程為()

A.(x-l)2+(y-V2)2=2

B.(x-1)2+52)2=2

C.(x+1)2+。+的2=4

D.(x-l)2+(y-V2)2=4

答案A

解析由題意得，圓C的半徑為護(hù)力=正，圓心坐標(biāo)為(1,g)，，圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(X—1尸+。一,)2

=2,故選A.

5.已知圓Ci：(x+l)2+(y—1尸=4,圓C2與圓Ci關(guān)于直線x—y—1=0對(duì)稱，則圓C2的方程為()

A.(x+2)2+(y—2>=4

B.(X-2)2+(J+2)2=4

C.(x+2)2+(y+2)2=4

D.(龍一2)2+3—2)2=4

答案B

解析根據(jù)題意，設(shè)圓C2的圓心為(a,b),

圓Ci：(x+1)2+。-1)2=4,其圓心為(一1,1),半徑為2,

若圓。2與圓G關(guān)于直線x—y—1=0對(duì)稱，則圓G與。2的圓心關(guān)于直線無-y—1=0對(duì)稱，且圓。2的半徑

p-1

-1,

a+14=2,

為2,則有v解得

a—1b+1b=-2,

~2~1=0,

則圓C2的方程為(x—2>+(y+2)2=4.

6.點(diǎn)P(4,—2)與圓f+V=4上任一點(diǎn)連線的中點(diǎn)的軌跡方程是()

A.(尤一2)2+3+1)2=1

B.(A—2)2+(y+l)2=4

C.(X+4)2+(J—2尸4

D.(x+2)2+(y-l)2=l

答案A

解析設(shè)圓上任意一點(diǎn)為(%i,%),中點(diǎn)為(x,y),

X[=2x4,

即

,yi=2y+2.

代入x2+y2=4得(2x—4)2+(2y+2)2=4,

化簡(jiǎn)得(無-2)2+。+1)2=1.

7.(多選)設(shè)有一組圓C：(x—1)2+。一?2=S(4GN*),下列四個(gè)命題正確的是()

A.存在公使圓與x軸相切

B.存在一條直線與所有的圓均相交

C.存在一條直線與所有的圓均不相交

D.所有的圓均不經(jīng)過原點(diǎn)

答案ABD

解析對(duì)于A,存在左，使圓與x軸相切Qk=F(AGN*)有正整數(shù)解=%=1,故A正確；

對(duì)于B,因?yàn)閳A心(1,?恒在直線x=l上，故B正確；

對(duì)于C,當(dāng)左取無窮大的正數(shù)時(shí)，半徑產(chǎn)也無窮大，

因此所有直線與圓都相交，故C不正確；

對(duì)于D,將(0,0)代入得1+標(biāo)=六，即1=出(標(biāo)-1),

因?yàn)橛疫吺莾蓚€(gè)相鄰整數(shù)相乘為偶數(shù)，而左邊為奇數(shù)，

故方程恒不成立，故D正確.

故選ABD.

8.已知aGR,方程a2/+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圓，則圓心坐標(biāo)是,半徑是

答案(一2,-4)5

解析由已知方程表示圓，則/=。+2,

解得a=2或a——\.

當(dāng)〃=2時(shí)，方程不滿足表示圓的條件，故舍去.

當(dāng)a=—\時(shí)，原方程為/+9+4%+8丁一5=0,

化為標(biāo)準(zhǔn)方程為。+2)2+&+4)2=25,

表示以(-2,—4)為圓心，5為半徑的圓.

9.(2020?長(zhǎng)沙模擬)圓2x—2y+l=0上的點(diǎn)到直線x—y=2的距離的最大值是.

答案1+小

解析將圓的方程化為(X—1)2+。-1)2=1,圓心坐標(biāo)為(1,1),半徑為1,則圓心到直線X—y=2的距離d

=/產(chǎn)=也，故圓上的點(diǎn)到直線X—y=2的距離的最大值為1+1=也+1.

10.如果圓(x—a)2+(j—a>=8上總存在到原點(diǎn)的距離為限的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

答案[-3,-1]U[1,3]

解析圓(無一—。)2=8的圓心(a,a)到原點(diǎn)的距離為半徑廠=2寸^,由圓(x—a)~~\~(y—a)?=8上

總存在點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為也，得2也一也也+也，.?.lW|a|W3,解得lWaW3或一3WaW-l.

二實(shí)數(shù)。的取值范圍是[—3,-1]U[1,3].

11.已知點(diǎn)(尤，y)在圓(x—2)2+。+3)2=1上.

(1)求尤+y的最大值和最小值；

(2)求'f+尸+法一4y+5的最大值和最小值.

解(1)設(shè)/=x+y,則y=—x+r,/可視為直線y=—x+f在y軸上的截距，

???x+y的最大值和最小值就是直線與圓有公共點(diǎn)時(shí)直線縱截距的最大值和最小值，即直線與圓相切時(shí)在y

軸上的截距.

由直線與圓相切得圓心到直線的距離等于半徑，

即艮土旨3=1,解得/=也—1或：=—也—1.

:?x+y的最大值為也一1,最小值為一港一1.

(2)-\/x2+y2+2x—4y+5=-\/(x+l)2+(y—2)2,求它的最值可視為求點(diǎn)(x,y)到定點(diǎn)(一1,2)的距離的最值，可

轉(zhuǎn)化為求圓心(2,—3)到定點(diǎn)(一1,2)的距離與半徑的和或差.又圓心到定點(diǎn)(一1,2)的距離為強(qiáng)，

?*.yA+V+Zx—4y+5的最大值為^34+1,最小值為yf3A—1.

12.已知點(diǎn)A(—3,0),8(3,0),動(dòng)點(diǎn)P滿足B4=2PB

(1)若點(diǎn)P的軌跡為曲線C,求此曲線的方程；

⑵若點(diǎn)。在直線/i：x+y+3=0上，直線，2經(jīng)過點(diǎn)。且與曲線C只有一個(gè)公共點(diǎn)M，求QW的最小值.

解(1)設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(x,y),

則7(X+3)2+;/=2-\/(x—3)2+J2,

化簡(jiǎn)可得(x—5)2+y2=i6,此方程即為所求.

(2)曲線C是以點(diǎn)(5,0)為圓心，4為半徑的圓，如圖所示.

由題意知直線b是此圓的切線,

連結(jié)CQ,

則QM^C^-CM2

=、C°2—16,

當(dāng)QM最小時(shí)，CQ最小，此時(shí)CQJJi,

|5+3|「

則的最小值為=32—16=4.

13.已知圓C：(X-3)2+(J-4)2=1,設(shè)點(diǎn)尸是圓C上的動(dòng)點(diǎn).記1=2序+出2,其中4(0,1),2(0,—1),

則d的最大值為.

答案74

解析設(shè)P(xo,yo),]=尸82+%2=意+。0+1)2+焉+。0—1)2=2(京+宛)+2.焉+M為圓上任一點(diǎn)到原點(diǎn)距離

的平方，.,.(焉+y3)max=(5+l)2=36,

,,"max-74.

14.(2019?大同模擬)已知點(diǎn)尸為圓C：一+產(chǎn)一4X一2》+1=0上任意一點(diǎn)，A,B為直線3尤+4y+5=0上的

兩動(dòng)點(diǎn)，且AB=2,則AABP的面積的取值范圍是.

答案[1,5]

解析圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x—2)2+(y—1產(chǎn)=4,

圓心C(2,l),半徑R=2,

|6+4+5|

圓心C到直線3x+4y+5=0的距離d=V?+45=3

設(shè)尸到直線42的距離為h,

則SAABP=1-AB-/I=/I,

?：d—RWhWd+R,???1★底5,

[1,5],

即△ABP的面積的取值范圍為