山西2023~2024年度教育發(fā)展聯(lián)盟高二10月份調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題含答案解析

山西2023~2024年度教育發(fā)展聯(lián)盟

高二10月份調(diào)研測(cè)試

數(shù)學(xué)試題

一、單選題(共24分)

1.已知五=(1,2,1),另=(-2,3,1),則(d+B)?成=()

A.-19B.-20C.20D.19

【答案】D

【分析】

由空間向量的數(shù)量積坐標(biāo)公式求得結(jié)果.

【詳解】

因?yàn)?=(1,2,1)石=(-2,3,1),

所以a+b=(-1,5,2),貝伍+b)-b=-1X(-2)+3x5+1x2=19,

故選：D.

2.直線A，%,%對(duì)應(yīng)的斜率分別為七,心，七，對(duì)應(yīng)的傾斜角分別為。1，。2，。3，若已知右>版>0>13，則()

A.8[>02>03B.%>03>e2

C.03>%>。2D.%>。2>%

【答案】c

【分析】

根據(jù)傾斜角與斜率的關(guān)系即可求解.

【詳解】

由題知，如圖所示：

直線的傾斜角為銳角時(shí)，斜率大于0且傾斜角越大斜率k越大，

直線的傾斜角為鈍角時(shí)，斜率小于0且傾斜角越大斜率k越大；

故選：C.

3.空間直角坐標(biāo)系0-xyz中，經(jīng)過點(diǎn)P(xo，yo，z()),且法向量為布=(4B,C)的平面方程為A(x—&)+B(y-%)+C(z-z0)=

0,經(jīng)過點(diǎn)P(xo，y(),zo)且一個(gè)方向向量為另=(a,b,c)(abc#0)的直線/的方程為詈=望=望，閱讀上面的內(nèi)容并解決下面

問題：現(xiàn)給出平面a的方程為2x-7y+z-4=0,經(jīng)過(0,0,0)的直線1的方程為：=馬=彳，則直線/與平面a所成角的正弦值為

()

A.叵B.叵C.叵D.叵

79146

【答案】A

【分析】

由題意得到直線[的方向向量和平面a的法向量，利用線面角的向量求解公式得到答案.

【詳解】

由題意得，直線1的方向向量為用*=（2,3,-1）,平面a的法向量為沅；=（2,-7,1）,

設(shè)直線/與平面a所成角的大小為。，

則sinJ=|cos〈耳沆7)|=|(2,3,-l)(2,-7J)|_VzT

V4+9+1XV4+49+1714X754-7

故選：A

4.圓Ci：/+y?一4%+2y+i=o與圓+y2-2y—3=0相交于48兩點(diǎn)，則|力8|等于（）

A.2V3B.2V2C.V3D.V2

【答案】B

【分析】

先求出相交弦4B所在直線的方程，然后根據(jù)圓的弦長(zhǎng)的求法求解即可.

【詳解】

由圓Ci：/+y2-+2y+1=0與圓。2：/+y2-2y—3=0,

將兩圓方程相減整理得直線48的方程：x-y-l=0,

又Ci：/4-y2—4%+2y+1=0,即（x—2）2+（y+l）2=4,

圓心為G（2,一l）,半徑為r=2,

所以Ci（2,—1）到直線％—y—1=0的距離為d=9=>/2?

所以|4B|=2Vr2-d2=274^2=272.

故選：B.

5.已知正方體力BCD-AB'C'D'的棱長(zhǎng)為1,以。為原點(diǎn)，ZM,DC,DD'所在直線分別為%軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則

以下坐標(biāo)表示的點(diǎn)在平面A8L內(nèi)的是（）

AC肅羽C.&另）1）

【答案】B

【分析】

建立空間坐標(biāo)系，標(biāo)出點(diǎn)坐標(biāo)，由共面向量定理得，存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)（兒〃），使麗=入瓦不+〃正依次驗(yàn)證即可.

【詳解】

在正方體中，以。為原點(diǎn)。4DCDD'所在直線為x,y,z釉，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系；

則4(1,0,1),8(1,1,0)C(0,1,1),則瓦F=(0,-l,l),BC=(-1,0,1)，

若點(diǎn)P(x,y,z),在平面ABC'中，則由共面向量定理得，

X-1=20+^,(―1)=-1/z(%=1-〃

y-l=A-(-l)+fiO=-lA,即卜=1-/1,

{z=A-l+jtz-l=A+^(z=4+〃

在A中，代入點(diǎn)坐標(biāo)管,工），無解，故A錯(cuò)誤；

在B中，代入點(diǎn)坐標(biāo)G，U，可解出?，故B正確;

在C中，代入點(diǎn)坐標(biāo)3,無解，故C錯(cuò)誤;

在D中，代入點(diǎn)坐標(biāo)(一1,|,1),無解，故D錯(cuò)誤

故選：B

6.已知直線y=2x+m與曲線y=/有兩個(gè)不同的交點(diǎn),則加的取值范圍為()

A.[0,25/5-4)B.[0,2V5-4]

C.[-2V5-4,0)D.[-2V5-4,0]

【答案】A

【分析】

根據(jù)已知條件及直線與圓相切的充要條件，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.

【詳解】

曲線y=V4x—xZ表示圓(x-2產(chǎn)+y2=4在x軸的上半部分，

當(dāng)直線y=2x+nt與圓(x-2)2+y2=4相切時(shí)，與詈=2,

解得m=±2V5-4,當(dāng)點(diǎn)(0,0)在直線y=2x+m上時(shí)，

m=0,可得m6[0,275-4),所以實(shí)數(shù)取值范圍為[0,2遍-4).

7.下列關(guān)于直線Z:y=kx+匕與圓C:/+y2-1的說法不正確的是()

A.若直線/與圓。相切，則/-kz為定值

B.若4b2-/=1,則直線[被圓C截得的弦長(zhǎng)為定值

C.若鈾2-爐=1,則圓上僅有兩個(gè)點(diǎn)到直線/的距離相等

D.當(dāng)時(shí)，直線與圓相交

【答案】C

【分析】

計(jì)算圓心到直線的距離，利用幾何法可判斷ACD選項(xiàng)的正誤，求出弦長(zhǎng)可判斷B選項(xiàng)的正誤.

【詳解】

圓C:x2+y2=1的圓心為(o,o),半徑為1.

對(duì)于A選項(xiàng)，若，:y=kx+b與圓C:/+y?=1相切，

則點(diǎn)==1,可得/-1=1,A正確；

V/c2+l

對(duì)于B選項(xiàng)，若4b2-1=1,圓心到直線的距離為懸=3此時(shí)直線被圓截得的弦長(zhǎng)為2V--盧=遍,B正確；

vkz+l2

對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)?2-1=1,圓心到直線的距離為嗡==；<1,此時(shí)圓上有3個(gè)點(diǎn)到直線/的距離相等，C錯(cuò)誤；

對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)8=弓時(shí)，直線的方程為y=kx+5即直線過定點(diǎn)(0,》，又因?yàn)椤?+(}2<1,可得點(diǎn)在圓內(nèi)，故直線與圓相

交，D正確.

故選：C

8.若圓C1：M+(y_4)2=N上存在點(diǎn)M,點(diǎn)M關(guān)于直線y=x-1的對(duì)稱點(diǎn)M，在圓。2：(x-4)2+(y-I)2=4上，貝懺的取值范圍

為()

A.[V5-2,V5+2]B.(V5-2,V5+2)

C.[\/5-2,+oo)D.(-oo,V5+2]

【答案】A

【分析】

易得出圓。1：產(chǎn)+(y-4)2=戶關(guān)于直線y=X_1對(duì)稱的圓為C3：(x-5)2+(y+I)2=r2,將問題轉(zhuǎn)化為C?：(x-4)2+

(y-I)2=4與C3：(x—5與+(y+I)2=*有交點(diǎn)即可求解.

【詳解】

由題知，如圖所示：

所以(0,4)關(guān)于直線y=x-1對(duì)稱的點(diǎn)為。3(5,-1),

所以圓CQX?+(y-4)2=戶關(guān)于直線y=x-1對(duì)稱的圓為C3：(x-5)2+(y+l)2=r2,

若要圓(71：/+0-4)2=「2上存在點(diǎn)“，點(diǎn)”關(guān)于直線,=丫-1的對(duì)稱點(diǎn)5/'

在圓。2：(x-4)2+(y-I)2=4上，

其中圓的圓心為(4,1)，半徑為2,

則只需。2：(X-4)2+(y-1)2=4與C3：(X-5)2+(y+I)2=/有交點(diǎn)即可，

又IC3QI=J(5-4尸+(-1-=V5>2

所以。3(5,-1)在C2：(x-4)2+(y-l)2=4外，

根據(jù)兩圓有交點(diǎn)，則兩圓心的距離大于半徑等于之差的絕對(duì)值，小于等于半徑之和.

可得：|r-2|<V5<r+2,兩圓分別內(nèi)切與外切的時(shí)候取等號(hào)，

解得：V5-2<r<^+2.

故選：A.

二、多選題(共12分)

9.已知空間中三點(diǎn)4(0,l,0),B(2,2,0),C(-l,3,l),則下列說法正確的是()

A.網(wǎng)=V6

B.血與玩是共線向量

C.而和前夾角的余弦值是I

D.與BC同向的單位向量是(-以之答,*■)

【答案】AD

【分析】

對(duì)于A,求出模長(zhǎng)即可：對(duì)于B,向量共線定理；對(duì)于C,向量數(shù)量積求角度：對(duì)于D,計(jì)算了同向的單位向量，再比較即可

【詳解】

對(duì)于A,^AC=(—1,2,1),|J4C|=.y(—I)2+22+l2=y/6,A正確；

對(duì)于B,AB=(2,1,0),BC=(-3,1,1),-.-AB^ABC,所以不共線，B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,cos(四，而)=卷詈=0,C錯(cuò)誤：

對(duì)于D,BC=(-3,1,1),

所以其同向的單位向量為蒜=，^=（-誓，當(dāng)，察），D正確.

故選：AD

10.正方體4BCD-4'8'C'D'的棱長(zhǎng)為3,E,F分別為線段DD'和BB'中點(diǎn)，則（）

A.4到直線BE的距離為3

B.直線4E到直線FC'的距離為3

C.點(diǎn)B到平面4B'E的距離為苧

D.直線FC'到平面48'E的距離為1

【答案】AD

【分析】

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用直線的方向向量和平面的法向量逐項(xiàng)計(jì)算后可得正確的選項(xiàng).

【詳解】

根據(jù)正方體建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則4(000),B(3,0,0),C(3,3,0),。(0,3,0),4(0,0,3),B<3,0,3),

C，(3,3,3),D'(0,3,3),故E(0,3,§,F(3,0,1).

對(duì)于A,前=(-3,0,3),前=(-3,3。，

故4'到直線BE的距離為-瓦研?|贏篇）=718^9=3,

故A成立.

對(duì)于B,AE=（0,3,1）,FC=（0,3,1）,^F=（3,0,1）,

故荏=超HIAE//FC',

故直線4E到直線"，的距離為J/F2-（國(guó)?|焉篇6=小+9卷=等，

故B錯(cuò)誤.

對(duì)于C,而7=（3,0,3）,設(shè)平面AB'E的法向量為元=（x,y,z）,

3%+3z--0

{3y+-z=0,取z=2，則y=_l,x=_2,故五=（一2,-1,2）,

而麗=(3,-3,§,故B到平面WE的距離為|鬻|=?=2,故C錯(cuò)誤.

對(duì)于D,由A中分析可得4E〃FC',而4Eu平面4夕E,FC'C平面4B'E,

故FC'〃平面4B'E,直線FC'到平面4B'E的距離即為尸到平面4B，E的距離,

且該距離為|誓|=|三斗=1,故D正確.

故選：AD.

11.下列結(jié)論正確的有()

A.直線y=2x關(guān)于y=x+1對(duì)稱的直線為x-2y+3=0

B.若一直線的方向向量為(V5,3),則此直線傾斜角為60°

C.若直線x+ay+1=0與直線x-2y+a=0垂直，則a=1

D.已知點(diǎn)4(4,2),8(1,1),若直線y=k(x-2)與線段4B相交，則k的取值范圍是[-1,1]

【答案】ABC

【分析】

對(duì)選項(xiàng)A,求出直線y=2x關(guān)于y=x+l對(duì)稱的直線方程即可判斷A正確，對(duì)選項(xiàng)B,根據(jù)直線斜率k=V5,即可判斷B正

確，對(duì)選項(xiàng)C,根據(jù)兩條直線垂直，斜率相乘等于-I,即可判斷C正確，對(duì)選項(xiàng)D,根據(jù)直線y=k(x-2)恒過定點(diǎn)C(2,0),畫

出圖形，結(jié)合圖形即可得到斜率的取值范圍，即可判斷D錯(cuò)誤.

【詳解】

對(duì)選項(xiàng)A，二:'即交點(diǎn)為做1，2)?

設(shè)直線y=2%上點(diǎn)(0,0)關(guān)于y=無+1對(duì)稱的點(diǎn)為M(a,b),

則卜「憶；’即M(T，D

\22

kMA=士^-=

MA-1-12

所以直線y=2x關(guān)于y=x+1對(duì)稱的直線為y-2=1(x-1),即％-2y+3=0.

故A正確.

對(duì)選項(xiàng)B,因?yàn)閗==所以傾斜角為60。，故B正確.

對(duì)選項(xiàng)C,當(dāng)Q=0時(shí)，直線％+1=0,斜率不存在，

直線％—2y=0,斜率為直線：，不滿足題意，故QH0.

因?yàn)閮蓷l直線垂直，所以(一；)6)=-1，解得a=｝故C正確.

對(duì)選項(xiàng)D,直線y=fc(x-2)恒過定點(diǎn)C(2,0).

因?yàn)橹本€y=k(x-2)與線段4B相交，

所以或kV-1,故D錯(cuò)誤.

故選：ABC

12.已知正方體4BCD-4/iGDi樓長(zhǎng)為1,M為棱CCi中點(diǎn)，P為正方形為反弓功上的動(dòng)點(diǎn)，則()

A.滿足MP±AM的點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為手

B.滿足MP〃平面8D&的點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為日

C.存在點(diǎn)P,使得平面4Mp經(jīng)過點(diǎn)B

D.存在點(diǎn)P滿足P4+PM=6

【答案】AB

【分析】

對(duì)于A,建立空間直角坐標(biāo)系，找出4M的坐標(biāo)，設(shè)P(x,y,l),進(jìn)而對(duì)B進(jìn)行計(jì)算驗(yàn)證即可；

對(duì)于B,利用線面平行的判定定理找出P的軌跡，進(jìn)而求解判斷即可；

對(duì)于C,連接BM,取0%的中點(diǎn)連接4H,HM,得到平面4BM截正方體所得截面與正方形A8述1。1沒有交點(diǎn)，進(jìn)而即可判

斷；

對(duì)于D,借助空間直角坐標(biāo)系，求得P4+PM的最小值及P處于邊界處的P4+PM的值，進(jìn)而判斷即可.

【詳解】

如圖，以D為原點(diǎn)，以D40C0D1所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則4(1,0,0),設(shè)P(x,y,l),且OVxVl,0<y<1,

所以而=(x_l,y,l),MP=(x,y-AM=(-1,1,1).

對(duì)于A,由MP-L4M,得宿?而=-x+y-l+；=O,即曠=x+%

因?yàn)镺WxWl,0<y<l,所以點(diǎn)P的軌跡為線段EF,且E(O,：,1),

則|EF|=0+表=(,即點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為號(hào)，故A正確;

對(duì)于B,取BiG的中點(diǎn)Q,。傳1的中點(diǎn)N,如圖,

因?yàn)辄c(diǎn)M為eq的中點(diǎn)，由正方體的性質(zhì)知MQ〃4D,NQ//BD,

因?yàn)镸QC平面80%,u平面8n41，

所以MQ〃平面BEM1，同理可得NQ〃平面BD41，

又MQCNQ=Q,AXDCBD=D,

所以平面MQN〃平面BZMi，又MPu平面MQN,

所以MP〃平面8D&,

所以點(diǎn)P的軌跡為線段|NQ|=曰三=與，故B正確;

對(duì)于C,如圖，連接BM,取DDi的中點(diǎn)H,連接4H,HM,

則平面4BM截正方體所得截面為4BMH,與正方形48傳1。1沒有交點(diǎn),

所以不存在點(diǎn)P,使得平面4Mp經(jīng)過點(diǎn)B,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,由A知，點(diǎn)M關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)為秋(0,1,3

所以當(dāng)P,4M'三點(diǎn)共線時(shí)P4+PM最小，

即

P4+PMN4M'=71+1+-4=—2<6,

且當(dāng)與重合時(shí)，PA+PM=1+-=-<6,

P41122

當(dāng)P與％重合時(shí)，P4+PM=&+曰<6,

當(dāng)P與々重合時(shí)，PA+PM=y[2+^-<6,

當(dāng)P與G重合時(shí)，PA+PM=yf3+^<6,

綜上所述，不存在點(diǎn)P滿足P4+PM=6,故D錯(cuò)誤.

故選：AB.

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：立體幾何中關(guān)于動(dòng)點(diǎn)軌跡問題，常常結(jié)合線、面判定定理及性質(zhì)尋求，或借助空間直角坐標(biāo)系進(jìn)行輔助計(jì)算求解.

三、填空題(共12分)

13.若直線公2x+ay-4=0與直線％：(a-l)x+3y-4=0平行，則實(shí)數(shù)a的值為.

【答案】-2

【分析】

由直線(i12不相交，求出a值并驗(yàn)證即可.

【詳解】

由直線2》+ay—4=0與%：(a—l)x+3y—4=0不相交，得a(a—1)—2x3=0,解得Q=—2或a=3,

當(dāng)a=-2時(shí)，直線A的縱截距為￡=-2,直線％的縱截距為%貝”1〃%，

當(dāng)a=3時(shí)，直線，1的縱截距為?=￡直線，2的縱截距為2則直線兒，2重合，

所以實(shí)數(shù)a的值為-2.

故答案為：-2

14.已知直線/的方向向量為(-3,m,2),平面a的法向量為(n,3,4),且Z_La,貝屹m+n=

【答案】-3

【分析】

根據(jù)平面法向量的性質(zhì)，結(jié)合空間向量平行的性質(zhì)的坐標(biāo)進(jìn)行求解即可.

【詳解】

設(shè)平面的法向量(n,3,4)為沅

因?yàn)椋?a,

所以沅〃;，

所以有二="=2=>(血-5=>2m+n=2x--6=—3.

n34In=-62

故答案為：-3

15.已知圓G：(x—a)?+y2=36與圓。2：/+(y—b)?=4只有一條公切線，則a?+爐=

【答案】16

【分析】

首先求出兩圓的圓心坐標(biāo)與半徑，依題意可知兩圓相內(nèi)切，即可得到IGCzl=1-上,從而得解.

【詳解】

圓G：(x-a)2+y2=36的圓心為C\(a,0),半徑q=6,

圓C?：/+(y—b)2=4的圓心為(0,b),半徑q=2,

因?yàn)閳ACi：(X-a)2+/=36與圓C2：/+(y-b)2=4只有一條公切線，

所以兩圓相內(nèi)切，所以IC1C2I=「1-萬，即皿2+(-6)2=4,

所以/+/=16.

故答案為：16

16.四面體4BCD各頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,2,1),(2,1,0),(0,1,1),(0,2,0),則它的外接球的表面積為.

【答案】6K

【分析】

畫出滿足題意的四面體4BCD,進(jìn)而結(jié)合四面體4BCD的外接球的直徑長(zhǎng)度為長(zhǎng)方體BBiDDi-414cle的體對(duì)角線長(zhǎng)度進(jìn)行求解

即可.

【詳解】

由題意，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，四面體4BCD的各個(gè)頂點(diǎn)如圖所示，

可見四面體4BCD的各個(gè)頂點(diǎn)恰好在長(zhǎng)方體BBiDDi-414cle的其中四個(gè)頂點(diǎn)上，

所以四面體4BC0的外接球的直徑長(zhǎng)度為長(zhǎng)方體BBiDDi-414cle的體對(duì)角線長(zhǎng)度，

而長(zhǎng)方體BBiD。-&4C1C的體對(duì)角線長(zhǎng)度為，N+22+U=瓜

所以四面體4BCD的外接球的半徑為爭(zhēng)

則四面體4BCD的外接球的表面積為4TtX(苧?=6n.

故答案為：6Tl.

G

四、解答題(共42分)

如圖，M,N分別是四面體04BC的棱04BC的中點(diǎn)，P,Q是MN的三等分點(diǎn)(點(diǎn)P靠近點(diǎn)N),若刀=d,方=9,而=3.

17.以低工,丹為基底表示的；

18.若|回=|瓦=l,|c|=2,Z.0AB=Z.OAC=或/G48=p求|麗|的值.

【答案】17.麗=-齊+隹+三

300

18.-

【分析】

(I)根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算結(jié)合圖形計(jì)算即可；

(2)根據(jù)|所產(chǎn)=(_；五+；3+；司2結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算即可

366

【17題詳解】

(1)OQ=0M+MQ

]__,]__,

=亞+§兩+荏f+而)

=-；d+g［一版?伍一磯

2-1_1_

=--a+-b4--c

366

【18題詳解】

\0Q\2=+-^-c2-ab-^-d-c+^-cb

?5936369918

=所以I而I=

已知圓C經(jīng)過4(0,2),8(1,1),且圓心在直線k：2x+y-4=0上.

19.求圓。的方程；

20.若從點(diǎn)M(3,5)發(fā)出的光線經(jīng)過直線切工+y-1=0反射后恰好平分圓。的圓周，求反射光線所在直線的方程.

【答案】19.(x-+(y_2>=1

20.4x-5y+6=0

【分析】

(1)先求48的垂直平分線方程，聯(lián)立直線匕的方程可得圓心坐標(biāo)，然后可得半徑，進(jìn)而得出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)M關(guān)于％的對(duì)稱點(diǎn)為N(x,y),結(jié)合反射光線原理可得其對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而利用直線的兩點(diǎn)式方程即可得出結(jié)果.

【19題詳解】

由題知4B中點(diǎn)為C，。，心8=忌=-1，

所以4B的垂直平分線方程為y-m=x-5即x-y+l=0,

聯(lián)立｛晟》解得｛浮，即圓心為(1，2)，

所以圓C的半徑為r=J(1-O)z+(2-2==1,

故圓C的方程為。-I)2+(y-2)2=1.

【20題詳解】

設(shè)M關(guān)于％的對(duì)稱點(diǎn)為N(x,y),

則直線MN與％垂直，且MN的中點(diǎn)(等，等)在直線I?上，

件2+”一1=0

2

則1v4，解得N(-4,-2),

--=1

X-3

由題意知反射光線過圓心，故亭=',

即4%-5y4-6=0.

如圖，在三棱柱4BC—41B1C1中，底面三角形/BC是邊長(zhǎng)為4的正三角形，側(cè)面4CC14是菱形，且平面L平面

分別是棱&G，BC的中點(diǎn)，C^G=2GC.

21.證明：EF||平面

22.若①三棱錐Ci-ABC的體積為8；②6。與底面48c所成角為60。；③異面直線當(dāng)8與4E所成的角的大小為30。.請(qǐng)選擇一個(gè)條

件求平面EFG與平面4BB遇1所成角(銳角)的余弦值.

【答案】21.證明見解析

22771^

?265

【分析】

(1)取A4的中點(diǎn)D,連接OE,DB,易證四邊形DEFB為平行四邊形，從而有EF〃DB,故而得證；

(2)取4C中點(diǎn)0,以O(shè)B為x軸，OC為y軸，OQ為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

依次得平面4CG①和平面EFG的法向量過與濟(jì)再由cos曰,砂=器，得解；

選擇條件②：易知，從而得，接下來同①；選擇條件③：易知，從而有，接下來同②中.

[21題詳解】

取4iBi中點(diǎn)。連接D8,則DE||B?IIBC.DE=\BC=BF,

所以四邊形DEFB為平行四邊形，故EF||DB,

又???EFU平面u平面414B81，所以EF|]平面48814好

[22題詳解】

選①，V=1x4V3xh=8,/i=2V3,

取4c中點(diǎn)0,以0B為x軸，0C為y軸，0的為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則4(0,-2,0),8(273,0,0),/li(O,-4,2V3),E(0,-2,2V3),F(V3,1,0),G(0?,等),

AB=(275,2,0),標(biāo)=(0,-2,2V3),￡T=(V3,3,-275),EG=(。，果一竽).

設(shè)平面4BB14的法向量為0=(>i，yi，Zi),

唱霏刎推盤令看5

則元=(1,-V3,-1),

設(shè)平面￡7話的法向量為5=(x2fy2fz2),

則E?更=°，即卜2+島2-2Z=0,令工2=2

2則/=(2,次3),

(V-EG=0,(10y2—4vsz2=0,

???cos。=|cos(n,v)|=

選擇條件②：?.?GC與底面ABC所成的角為60°,，“1CO=60°,

：.0C=2,.?.點(diǎn)。為AC的中點(diǎn)，：.OB±AC,

取4c中點(diǎn)0,以08為x軸，0C為y軸，0G為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

則4（0,-2,0）,B（2V3,0,0）,4（0,-4,2b）,E（0,-2,2⑸,F（V5,1,0）,G（0彳,芋）,

AB=（2%,2,0）,標(biāo)=（0,-2,2^3）,EF=（俏3,-2⑸屈=（。*，-竽）

設(shè)平面4BB141的法向量為丘=（%i，yi，Zi）,

則仔?亞=°，即］題=°，令工l1,則”（1.-V3,-1）,

z

設(shè)平面EFG的法向量為9=（x2/y2，2）?

吧配:噌牌令…

則方=（2,遮,§,

7

COS0=|cos（u,v）|=；詈.

選擇條件③：..,8BJ/441，.3414E即為異面直線BB1與4E所成的角，

即/44E=30。，Y44i=2,AtE=1,.'./.AA^=60°,

即ZGCO=60。，取4c中點(diǎn)0,以O(shè)B為x軸，0C為y軸，0Q為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

則4（0,-2,0）,B（2V3,0,0）,（0,-4,2V3）,E（0,-2,273）,F（V3,1,0）,G（0?,等）,

AB=（275,2,0）,京=（0,-2,2V3）,FF=（73,3,-275）,EG=（。，果一殍）.

設(shè)平面ABBiAi的法向量為正=（x1,ylfz1）,

則儼?亞=°，即［題+/1=°,令％=1，則丘=a-v3,-i）,

lu-AAi=0,l-Vi+恁1=0,''

設(shè)平面EFG的法向量為5=（x2,y2,z2）,

則E=°＞即修+島2-2-2=0貝帕=卜,軍），

v2,

（v-EG=0,（10y2-4V3Z2=0,

cos。=|cos（iz,v）|=.

一副三角板如圖（1）,將其中的△ABC沿BC折起，構(gòu)造出如圖（2）所示的三棱錐，E為CD的中點(diǎn)，連接4E,使得4E=BD.

23.取中點(diǎn)。，連接?！?月，設(shè)平面DBAn平面4E。=Z,求證：/〃BD：

24.證明：平面48C_L平面8C0；

25.求直線4f與平面4B0所成角的正弦值.

【答案】23.證明見解析

24.證明見解析25.手

【分析】

(1)由線線平行得到線面平行，進(jìn)而得到線線平行；

(2)取BD=2,求出其他各邊長(zhǎng)，從而得到0爐+0后2=4￡2,故0E±04,結(jié)合0EJ.BC得到線面垂直，得到面面垂直;

(3)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，得到線面角的正弦值.

[23題詳解】

TE為C。的中點(diǎn)，。為BC的中點(diǎn)，

：.0E//BD,

'：0Eu平面40E,BD《平面40E,

???BD〃平面40E,

???BDu平面4DB,平面40En平面4BD=I,

1//BD.

【24題詳解】

取BD=2,貝IJ4E=2,0E=1,BC=2百，

故04=V3,

V0A2+0E2=3+l=4=AE2,

:.0EI0A,

又???0E”BD,BD1BC,

???0E1FC,

又???0AQBC=0.0A.BCu平面ABC,

0E_L平面48C,

又，：0Eu平面BCD,

，平面平面8co.

[25題詳解】

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，0E為x軸，0C為y軸，。4為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

X

設(shè)8D=2,(1,0,0),4(0,0,V3),B(0,-V3,0),D(2,-V3,0),

AE=(1,0,-V3),BD=(2,0,0),AB=(0,-V3,-V3),

設(shè)面48D法向量為過=(x,y,z),則

(u-BD=(x,y,z)?(2,0,0)=2x=0而“洱

{u■AB=(x,y,z)-(0,-V3,—V3)=—V3y-V3z=0,

令y=l得，z=—1,則五=(0,1,—1),

怔祠_|(0,1L1)(1,0，-6)1_回

???sin。=|cos(u,^4F)|=漁

同|詞一Vl+lxVi+3-2424,

直線上(m+l)x+(2m+l)y—7m-4=0,圓C:M4-y2—6x-4y-3=0.

26.證明：直線l恒過定點(diǎn)P,并求出定點(diǎn)P的坐標(biāo)；

27.當(dāng)直線2被圓C截得的弦最短時(shí)，求此時(shí)，的方程：

28.設(shè)直線/與圓C交于4,8兩點(diǎn)，當(dāng)△48C的面積最大時(shí)，求直線1