高中數(shù)學(xué)橢圓公式大全

高中數(shù)學(xué)橢圓公式大全高中數(shù)學(xué)橢圓方程全解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程包含兩種形式，取決于焦點所處的坐標(biāo)軸：1)當(dāng)焦點位于X軸時，標(biāo)準(zhǔn)方程為：\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)（其中\(zhòng)(a>b>0\)）。2)焦點在Y軸時，標(biāo)準(zhǔn)方程為：\(\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1\)（其中\(zhòng)(a>b>0\)）。這里\(a>0,b>0\)，在\(a\)和\(b\)中較大的是橢圓的長半軸長，較小的是短半軸長（橢圓有兩條對稱軸，對稱軸被橢圓所截，有兩條線段，分別稱為橢圓的長半軸和短半軸，或半長軸和半短軸）。當(dāng)\(a>b\)時，焦點位于X軸上，焦距為\(2\sqrt{a^2-b^2}\)，焦距與長、短半軸的關(guān)系為：\(b^2=a^2-c^2\)，準(zhǔn)線方程為\(x=\frac{a^2}{c}\)和\(x=-\frac{a^2}{c}\)。此外，如果橢圓的中心位于原點，但焦點的位置不明確在X軸或Y軸時，方程可表示為\(mx^2+ny^2=1\)（其中\(zhòng)(m>0,n>0,m\neqn\)），這是標(biāo)準(zhǔn)方程的統(tǒng)一形式。橢圓的面積是\(\piab\)，橢圓可以看作是圓在某個方向上的拉伸，其參數(shù)方程為：\(x=a\cos\theta,\quady=b\sin\theta\)。在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)形式下，在\((x_0,y_0)\)點的切線方程為：\(\frac{xx_0}{a^2}+\frac{yy_0}{b^2}=1\)。橢圓的面積公式為：\[S=\pi\timesa\timesb\quad\text{或}\quadS=\frac{\pi}{4}\timesA\timesB\]其中\(zhòng)(a,b\)分別是橢圓的長半軸和短半軸，\(A,B\)分別是橢圓的長軸和短軸。橢圓的周長沒有公式，通常用積分式或無限項展開式表示。橢圓周長\(L\)的精確計算需要利用積分或無窮級數(shù)的求和。例如：\[L=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}4a\sqrt{1-(e\cost)^2}\,dt\approx2\pi\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\]其中\(zhòng)(a\)是橢圓的長半軸，\(e\)是離心率。橢圓的離心率定義為橢圓上的點到某焦點的距離與該點到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離之比，設(shè)橢圓上點\(P\)到某焦點的距離為\(PF\)，到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為\(PL\)，則\[e=\frac{PF}{PL}\]橢圓的準(zhǔn)線方程為\(x=\pm\frac{a^2}{C}\)。橢圓的離心率公式為\(e=\frac{c}{a}\)。橢圓的焦準(zhǔn)距是指橢圓的焦點與相應(yīng)準(zhǔn)線（如焦點\((c,0)\)與準(zhǔn)線\(x=\pm\frac{a^2}{C}\)）的距離，其數(shù)值為\(\frac{b^2}{c}\)。橢圓焦半徑公式為\(|PF_1|=a+ex_0\)和\(|PF_2|=a-ex_0\)。過右焦點的半徑為\(r=a-ex\)，過左焦點的半徑為\(r=a+ex\)。橢圓的通徑是指過焦點并且垂直于x軸（或y軸）的直線與橢圓的兩焦點\(A,B\)之間的距離，其數(shù)值為\(\frac{2b^2}{a}\)。點與橢圓的位置關(guān)系如下：對于點\(M(x_0,y_0)\)和橢圓\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)，若點在橢圓內(nèi)，則\(\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}<1\)。點在圓上：x0^2/a^2+y0^2/b^2=1點在圓外：x0^2/a^2+y0^2/b^2>1直線與橢圓位置關(guān)系y=kx+m①x^2/a^2+y^2/b^2=1②由①②可推出x^2/a^2+(kx+m)^2/b^2=1相切△=0相離△<0無交點相交△>0可利用弦長公式：A(x1,y1)B(x2,y2)|AB|=d=√(1+k^2)|x1-x2|=√(1+k^2)[(x1+x2)^2-4x1x2]=√(1+1/k^2)|y1-y2|=√(1+1/k^2)[(y1+y2)^2-4y1y2]橢圓通徑(定義：圓錐曲線(除圓外)中,過焦點并垂直于軸的弦)公式：2b^2/a1、范圍：焦點在軸上，;焦點在軸上，2、對稱性：關(guān)于X軸對稱，Y軸對稱，關(guān)于原點中心對稱。3、頂點：(a，0)(-a，0)(0，b)(0，-b)4、離心率：或e=√(1-b^2/a2)5、離心率范圍：0<e<16、離心率越大橢圓就越扁，越小則越接近于圓。7、焦點(