第1章 平行線單元綜合提優(yōu)專練（解析版）-【考點(diǎn)培優(yōu)尖子生專用】2021-2022學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)專題訓(xùn)練（浙教版）

編者小k君小注：本專輯專為2022年初中浙教版數(shù)學(xué)第二學(xué)期研發(fā)，供中等及以上學(xué)生使用。思路設(shè)計(jì)：重在培優(yōu)訓(xùn)練，分選擇、填空、解答三種類型題，知識(shí)難度層層遞進(jìn)，由中等到壓軸，基礎(chǔ)差的學(xué)生選做每種類型題的前4題；基礎(chǔ)中等的學(xué)生必做前4題、選做5-8題；尖子生全部題型必做，沖刺壓軸題。第1章平行線單元綜合提優(yōu)專練（解析版）錯(cuò)誤率：___________易錯(cuò)題號(hào)：___________一、單選題1．（2021·浙江·七年級(jí)期中）小明和小亮在研究一道數(shù)學(xué)題，如圖，，垂足分別為E、D，G在上．小明說：“如果，則能得到”；小亮說：“連接，如果，則能得到”．則下列判斷正確的是（）A．小明說法正確，小亮說法錯(cuò)誤 B．小明說法正確，小亮說法正確C．小明說法錯(cuò)誤，小亮說法正確 D．小明說法錯(cuò)誤，小亮說法錯(cuò)誤【標(biāo)準(zhǔn)答案】A【思路指引】由EF⊥AB，CD⊥AB，知CD∥EF，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)與判定即可得出答案．【詳解詳析】解：∵EF⊥AB，CD⊥AB，∴CD∥EF，若∠CDG=∠BFE，∵∠BCD=∠BFE，∴∠BCD=∠CDG，∴DG∥BC，∴∠AGD=∠ACB，故小明說法正確；∵FG∥AB，∴∠B=∠GFC，故得不到∠GFC=∠ADG，故小亮說法錯(cuò)誤，故選：A．【名師指路】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是掌握平行線的性質(zhì)與判定．2．（2021·浙江·七年級(jí)期中）將一張邊沿互相平行的紙條如圖折疊后，若邊，則翻折角與一定滿足的關(guān)系是（）A． B． C． D．【標(biāo)準(zhǔn)答案】B【思路指引】根據(jù)平行可得出∠DAB+∠CBA=180°，再根據(jù)折疊和平角定義可求出．【詳解詳析】解：由翻折可知，∠DAE=2，∠CBF=2，∵,∴∠DAB+∠CBA=180°，∴∠DAE+∠CBF=180°，即，∴，故選：B．【名師指路】本題考查了平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用平行線的性質(zhì)進(jìn)行推理計(jì)算．3．（2021·浙江杭州·七年級(jí)期中）如圖，將一條對(duì)邊互相平行的紙帶進(jìn)行兩次折疊，折痕分別為AB，CD，若，若，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．【標(biāo)準(zhǔn)答案】D【思路指引】由折疊的性質(zhì)可知∠1=∠BAG，2∠BDC+∠2=180°，根據(jù)BE∥AG，得到∠CFB=∠CAG=2∠1，從而根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠CDB=2∠1，則∠2=180°-4∠1.【詳解詳析】解：由題意得：AG∥BE∥CD，CF∥BD，∴∠CFB=∠CAG，∠CFB+∠DBF=180°，∠DBF+∠CDB=180°∴∠CFB=∠CDB∴∠CAG=∠CDB由折疊的性質(zhì)得∠1=∠BAG，2∠BDC+∠2=180°∴∠CAG=∠CDB=∠1+∠BAG=2α∴∠2=180°-2∠BDC=180°-4α故選D.【名師指路】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與折疊的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.4．（2021·浙江·七年級(jí)期中）若的兩邊與的兩邊分別平行，且，那么的度數(shù)為（）A． B． C．或 D．或【標(biāo)準(zhǔn)答案】A【思路指引】根據(jù)當(dāng)兩角的兩邊分別平行時(shí)，兩角的關(guān)系可能相等也可能互補(bǔ)，即可得出答案．【詳解詳析】解：當(dāng)∠B的兩邊與∠A的兩邊如圖一所示時(shí)，則∠B＝∠A，又∵∠B＝∠A＋20°，∴∠A＋20°＝∠A，∵此方程無解，∴此種情況不符合題意，舍去；當(dāng)∠B的兩邊與∠A的兩邊如圖二所示時(shí)，則∠A＋∠B＝180°；又∵∠B＝∠A＋20°，∴∠A＋20°＋∠A＝180°，解得：∠A＝80°；綜上所述，的度數(shù)為80°，故選：A．【名師指路】本題考查了平行線的性質(zhì)，本題的解題關(guān)鍵是明確題意，畫出相應(yīng)圖形，然后分類討論角度關(guān)系即可得出答案．5．（2021·浙江杭州·七年級(jí)期中）如圖，長(zhǎng)方形中，，第一次平移長(zhǎng)方形沿的方向向右平移5個(gè)單位，得到長(zhǎng)方形，第3次平移將長(zhǎng)方形沿的方向向右平移5個(gè)單位，得到長(zhǎng)方形，…第n次平移將長(zhǎng)方形的方向平移5個(gè)單位，得到長(zhǎng)方形，若的長(zhǎng)度為2022，則n的值為（）A．403 B．404 C．405 D．406【標(biāo)準(zhǔn)答案】A【思路指引】根據(jù)平移的性質(zhì)得出AA1=5，A1A2=5，A2B1=A1B1-A1A2=7-5=2，進(jìn)而求出AB1和AB2的長(zhǎng)，然后根據(jù)所求得出數(shù)字變化規(guī)律，進(jìn)而得出ABn=（n+1）×5+2求出n即可．【詳解詳析】解：∵AB=7，第1次平移將長(zhǎng)方形ABCD沿AB的方向向右平移5個(gè)單位，得到長(zhǎng)方形A1B1C1D1，第2次平移將長(zhǎng)方形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移5個(gè)單位，得到長(zhǎng)方形A2B2C2D2…，∴AA1=5，A1A2=5，A2B1=A1B1-A1A2=7-5=2，∴AB1=AA1+A1A2+A2B1=5+5+2=12，∴AB2的長(zhǎng)為：5+5+7=17；∵AB1=2×5+2=12，AB2=3×5+2=17，∴ABn=（n+1）×5+2=2022，解得：n=403．故選：A．【名師指路】此題主要考查了平移的性質(zhì)以及一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)平移的性質(zhì)得出AA1=5，A1A2=5是解題關(guān)鍵．6．（2021·浙江·七年級(jí)期中）下列說法正確的是（）A．如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么它們的角平分線必互相垂直B．如果兩條直線被第三條直線所截，那么同位角的角平分線必平行C．如果兩條直線被第三條直線所截，那么內(nèi)錯(cuò)角必相等D．如果兩角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角必相等【標(biāo)準(zhǔn)答案】A【思路指引】根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)定理，角平分線的定義分別判斷各選項(xiàng)即可．【詳解詳析】解：A、如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么它們的角平分線必互相垂直；符合題意；如圖所示：∵∠BGH+∠DHG=180°，PG平分∠BGH，PH平分∠DHG，∴∠PGH+∠PHG=×180°=90°，∴∠GPH=90°，∴PG⊥PH，故正確；B、如果兩條直線被第三條直線所截，那么同位角的角平分線必平行；不符合題意；如圖所示：直線AB和CD被直線EF所截，∠BGE≠∠DHG，∵GM平分∠BGE，HN平分∠DHG，∴∠EGM≠∠GHN，∴GM與HN不平行，故錯(cuò)誤；C、如果兩條直線被第三條直線所載，那么內(nèi)錯(cuò)角必相等；不符合題意；如圖所示：直線AB和CD被直線EF所截，∠AGH≠∠DHG；D、如果兩角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角必相等；不符合題意；理由如下：如圖所示：AB∥DF，AC∥BD，∴∠A=∠DBE，∠DBE+∠D=180°，∴∠A+∠D=180°，即互補(bǔ)；故選A．【名師指路】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，角平分線的定義．用到的知識(shí)點(diǎn)為：兩直線平行，同位角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．7．（2021·浙江·七年級(jí)期中）已知，如圖，點(diǎn)D是射線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，過點(diǎn)D作交直線于點(diǎn)E，若，，則的度數(shù)為（）A． B． C．或 D．或【標(biāo)準(zhǔn)答案】D【思路指引】分點(diǎn)D在線段AB上及點(diǎn)D在線段AB的延長(zhǎng)線上兩種情況考慮：當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上時(shí)，由DE∥BC可得出∠ADE的度數(shù)，結(jié)合∠ADC=∠ADE+∠CDE可求出∠ADC的度數(shù)；當(dāng)點(diǎn)D在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，由DE∥BC可得出∠ADE的度數(shù)，結(jié)合∠ADC=∠ADE-∠CDE可求出∠ADC的度數(shù)．綜上，此題得解．【詳解詳析】解：當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上時(shí)，如圖1所示．∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC=84°，∴∠ADC=∠ADE+∠CDE=84°+20°=104°；當(dāng)點(diǎn)D在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2所示．∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC=84°，∴∠ADC=∠ADE-∠CDE=84°-20°=64°．綜上所述：∠ADC=104°或64°．故選：D．【名師指路】本題考查了平行線的性質(zhì)，分點(diǎn)D在線段AB上及點(diǎn)D在線段AB的延長(zhǎng)線上兩種情況，求出∠ADC的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．8．（2021·浙江杭州·七年級(jí)期末）如圖，將一副三角板按如圖所示放置，，則下列結(jié)論中：①；②若平分，則有；③若平分，則有：④若，則；其中結(jié)論正確（）A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④【標(biāo)準(zhǔn)答案】B【思路指引】①根據(jù)同角的余角相等得∠1=∠3，但不一定得45°；②和③都是根據(jù)角平分線的定義、內(nèi)錯(cuò)角相等，兩條直線平行，可得結(jié)論；④根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及同角的余角相等，可得結(jié)論．【詳解詳析】解：①如圖，∵∠CAB=∠DAE=90°，即∠1+∠2=∠3+∠2=90°；∴∠1=∠3，但不一定是45°，故①不正確；②∵AD平分∠CAB∴∠1=∠2=45°，∵∠1=∠3∴∠3=45°，又∵∠C=∠B=45°，∴∠3=∠B∴BC∥AE；故②正確；③∵AB平分∠DAE，∴∠2=∠3=45°∴∠3=∠B，∴BC∥AE；故③正確；④∵∠3=2∠2，∠1=∠3，∴∠1=2∠2，∠1+∠2=90°，∴3∠2=90°，∴∠2=30°，∴∠3=60°，又∠E=30°，設(shè)DE與AB交于點(diǎn)F，則∠AFE=90°，∵∠B=45°，∴∠4=45°，∴∠C=∠4．故④正確．故選B．【名師指路】本題主要考查了同角的余角相等、角平分線定義、平行線的判定的運(yùn)用，解題關(guān)鍵是熟練掌握同角的余角相等及平行線的判定．9．（2021·浙江長(zhǎng)興·七年級(jí)月考）將圖1中周長(zhǎng)為32的長(zhǎng)方形紙片剪成1號(hào)、2號(hào)、3號(hào)、4號(hào)正方形和5號(hào)長(zhǎng)方形，并將它們按圖2的方式放入周長(zhǎng)為48的長(zhǎng)方形中，則沒有覆蓋的陰影部分的周長(zhǎng)為（）A．16 B．24 C．30 D．40【標(biāo)準(zhǔn)答案】D【思路指引】設(shè)1號(hào)正方形的邊長(zhǎng)為x，2號(hào)正方形的邊長(zhǎng)為y，則3號(hào)正方形的邊長(zhǎng)為x+y，4號(hào)正方形的邊長(zhǎng)為2x+y，5號(hào)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為3x+y，寬為y-x，根據(jù)圖1中長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為32，求得x+y=4，根據(jù)圖2中長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為48，求得AB=24-3x-4y，根據(jù)平移得：沒有覆蓋的陰影部分的周長(zhǎng)為四邊形ABCD的周長(zhǎng)=2（AB+AD），計(jì)算即可得到答案．【詳解詳析】設(shè)1號(hào)正方形的邊長(zhǎng)為x，2號(hào)正方形的邊長(zhǎng)為y，則3號(hào)正方形的邊長(zhǎng)為x+y，4號(hào)正方形的邊長(zhǎng)為2x+y，5號(hào)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為3x+y，寬為y-x，由圖1中長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為32，可得，y+2（x+y）+（2x+y）=16，解得：x+y=4，如圖，∵圖2中長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為48，∴AB+2（x+y）+2x+y+y-x=24，∴AB=24-3x-4y，根據(jù)平移得：沒有覆蓋的陰影部分的周長(zhǎng)為四邊形ABCD的周長(zhǎng)，∴2（AB+AD）=2(24-3x-4y+x+y+2x+y+y-x)=2（24-x-y）=48-2（x+y）=48-8=40，故選：D．．【名師指路】此題考查整式加減的應(yīng)用，平移的性質(zhì)，利用平移的性質(zhì)將不規(guī)則圖形變化為規(guī)則圖形進(jìn)而求解，解題的關(guān)鍵是設(shè)出未知數(shù)，列代數(shù)式表示各線段進(jìn)而解決問題．10．（2021·浙江·七年級(jí)期末）如果兩個(gè)角的兩邊分別平行，而其中一個(gè)角比另一個(gè)角的3倍少20°，那么這兩個(gè)角是（）A．50°、130° B．都是10°C．50°、130°或10°、10° D．以上都不對(duì)【標(biāo)準(zhǔn)答案】C【思路指引】首先由兩個(gè)角的兩邊分別平行，可得這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．然后設(shè)其中一角為x°，由其中一個(gè)角比另一個(gè)角的3倍少20°，然后分別從兩個(gè)角相等與互補(bǔ)去分析，即可求得答案，注意別漏解．【詳解詳析】解：∵兩個(gè)角的兩邊分別平行，∴這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．設(shè)其中一角為x°，若這兩個(gè)角相等，則x＝3x﹣20，解得：x＝10，∴這兩個(gè)角的度數(shù)是10°和10°；若這兩個(gè)角互補(bǔ)，則180﹣x＝3x﹣20，解得：x＝50，∴這兩個(gè)角的度數(shù)是50°和130°．∴這兩個(gè)角的度數(shù)是50°、130°或10°、10°．故選：C．【名師指路】此題考查了平行線的性質(zhì)與一元一次方程的解法．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是掌握如果兩個(gè)角的兩邊分別平行，則這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)，注意方程思想的應(yīng)用．二、填空題11．（2021·浙江·七年級(jí)期中）如圖，，直線交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，點(diǎn)G在上，點(diǎn)P在直線左側(cè)，且在直線和之間，連接，，，若平分，，，則_________．【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路指引】先根據(jù)角平分線的定義可得，設(shè)，，從而可得，，，，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，然后根據(jù)平角的定義可得，據(jù)此代入計(jì)算即可得．【詳解詳析】解：平分，，設(shè)，，則，，，，，，，，，，，解得，即，故答案為：．【名師指路】本題考查了角平分線的定義、平行線的性質(zhì)、平角的定義等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．12．（2021·浙江·七年級(jí)期中）已知直線，點(diǎn)分別在上，如圖所示，射線按順時(shí)針方向以每秒的速度旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)，并不斷往返旋轉(zhuǎn)；射線按順時(shí)針方向每秒旋轉(zhuǎn)至停止，此時(shí)射線也停止旋轉(zhuǎn)，若射線先轉(zhuǎn)45秒，射線才開始轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)射線旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為_____秒時(shí)，．【標(biāo)準(zhǔn)答案】15或63或135【思路指引】分三種情況：①當(dāng)0s＜t≤45時(shí)，②當(dāng)45s＜t≤67.5s時(shí)，③當(dāng)67.5s＜t＜135s時(shí)，根據(jù)平行線的性質(zhì)，得出角的關(guān)系，列出t的方程便可求得旋轉(zhuǎn)時(shí)間．【詳解詳析】解：①當(dāng)0s＜t≤45時(shí)，如圖2，則∠BPB′=4t°，∠CQC′=45°+t°，∵AB∥CD，PB′∥QC′，∴∠BPB′=∠PEC=∠CQC′，即4t=45+t，解得，t=15（s）；②當(dāng)45s＜t≤67.5s時(shí)，如圖3，則∠APB′=（4t）°-180°，∠CQC'=t°+45°，∵AB∥CD，PB′∥QC′，∴∠APB′=∠PED=180°-∠CQC′，即4t-180=180-（45+t），解得，t=63（s）；③當(dāng)67.5s＜t≤135s時(shí)，如圖4，則∠BPB′=（4t）°-360°，∠CQC′=t°+45°，∵AB∥CD，PB′∥QC′，∴∠BPB′=∠PEC=∠CQC′，即4t-360=t+45，解得，t=135（s）；綜上，當(dāng)射線PB旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為15秒或63秒或135秒時(shí)，PB′∥QC′．故答案為：15或63或135．【名師指路】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是作平行線，分情況討論，運(yùn)用方程思想解決幾何問題．13．（2021·浙江·七年級(jí)期中）如圖，將一副三角板按如圖放置，，則①；②；③如果，則有；④如果，則有．上述結(jié)論中正確的是________________（填寫序號(hào)）．【標(biāo)準(zhǔn)答案】①②③④【思路指引】根據(jù)余角的概念和同角的余角相等判斷①；根據(jù)①的結(jié)論判斷②；根據(jù)平行線的判定定理判斷③和④，即可得出結(jié)論．【詳解詳析】解：∵∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°，∴∠1=∠3，故①正確；∵∠CAD+∠2=∠1+∠2+∠3+∠2=90°+90°=180°，故②正確；∵∠2=30°，∴∠1=60°=∠E，∴AC∥DE，故③正確；∵∠2=45°，∴∠3=45°=∠B，∴BC∥AD，故④正確；故答案為：①②③④．【名師指路】本題考查的是平行線的性質(zhì)和余角、補(bǔ)角的概念，掌握平行線的性質(zhì)定理和判定定理是解題的關(guān)鍵．14．（2021·浙江·七年級(jí)期中）如圖．已知點(diǎn)為兩條相互平行的直線之間一動(dòng)點(diǎn)，和的角平分線相交于，若，則的度數(shù)為________．【標(biāo)準(zhǔn)答案】120°【思路指引】由角平分線的定義可得，，又由，得，；設(shè)，，則；再根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理得到，最后根據(jù)即可求解．【詳解詳析】解：和的角平分線相交于，，，又，，，設(shè)，，，在四邊形中，，，，，，，，故答案為：．【名師指路】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．15．（2021·浙江·七年級(jí)期中）一副直角三角板疊放如圖①，．現(xiàn)將含角的三角板固定不動(dòng)，把含角的三角板（其中）繞頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角．（1）如圖②，當(dāng)______度時(shí)，邊和邊所在的直線互相垂直；（2）當(dāng)旋轉(zhuǎn)角在的旋轉(zhuǎn)過程中，使得兩塊三角板至少有一組對(duì)應(yīng)邊（所在的直線）互相平行，此時(shí)符合條件的______．【標(biāo)準(zhǔn)答案】1560°或105°或135°【思路指引】（1）根據(jù)條件只需證BC⊥AE即可，α=∠DEA-∠BAC=45°-30°=15°；（2）分情況畫出圖形，根據(jù)平行線的性質(zhì)計(jì)算即可．【詳解詳析】解：（1）在△ABC中，AC⊥BC，AE與AC重合，則AE⊥BC，α=∠DEA-∠BAC=45°-30°=15°，∴當(dāng)α=15°時(shí)，BC⊥AE．故答案為15；（2）當(dāng)BC∥AD時(shí)，∠C=∠CAD=90°，∴α=∠BAD=90°-30°=60°；如圖，當(dāng)AC∥DE時(shí)，∠E=∠CAE=90°，則α=∠BAD=45°+60°=105°，此時(shí)∠BAE=90°-30°=60°=∠B，則AE∥BC；如圖，當(dāng)AB∥DE時(shí)，∠E=∠BAE=90°，∴α=∠BAD=45°+90°=135°；綜上：符合條件的α為60°或105°或135°，故答案為：（1）15；（2）60°或105°或135°．【名師指路】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角板的角度計(jì)算，正確確定△ABC旋轉(zhuǎn)的過程中可以依次出現(xiàn)幾次平行的情況是關(guān)鍵．16．（2021·浙江金東·七年級(jí)期中）如圖，分別作和的角平分線交于點(diǎn)，稱為第一次操作，則_______；接著作和的角平分線交于，稱為第二次操作，繼續(xù)作和的角平分線交于，稱方第三次操作，如此一直操作下去，則______．【標(biāo)準(zhǔn)答案】90°【思路指引】過P1作P1Q∥AB，則P1Q∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠AEF+∠CFE=180°，∠AEP1=∠EP1Q，∠CFP1=∠FP1Q，結(jié)合角平分線的定義可計(jì)算∠EP1F，再同理求出∠P2，∠P3，總結(jié)規(guī)律可得．【詳解詳析】解：過P1作P1Q∥AB，則P1Q∥CD，∵AB∥CD，∴∠AEF+∠CFE=180°，∠AEP1=∠EP1Q，∠CFP1=∠FP1Q，∵和的角平分線交于點(diǎn)，∴∠EP1F=∠EP1Q+∠FP1Q=∠AEP1+∠CFP1=（∠AEF+∠CFE）=90°；同理可得：∠P2=（∠AEF+∠CFE）=45°，∠P3=（∠AEF+∠CFE）=22.5°，...，∴，故答案為：90°，．【名師指路】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，規(guī)律性問題，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造內(nèi)錯(cuò)角，依據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等進(jìn)行計(jì)算求解．17．（2021·浙江杭州·七年級(jí)期中）如圖，，平分，平分，若設(shè)，則______度（用x，y的代數(shù)式表示），若平分，平分，可得，平分，平分，可得…，依次平分下去，則_____度．【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路指引】過點(diǎn)P1作PG∥AB∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等即可證得，再根據(jù)角平分線的定義總結(jié)規(guī)律可得．【詳解詳析】解：過點(diǎn)作∥AB，可得∥CD，設(shè)，，∴，，∴；同理可得：，，...，∵平分，平分，∴，，...，∴，故答案為：，．【名師指路】本題考查了平行線性質(zhì)的應(yīng)用和角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造平行線解決問題，學(xué)會(huì)探究規(guī)律，利用規(guī)律解決問題，屬于中考?？碱}型．18．（2021·浙江·七年級(jí)期中）定義：兩個(gè)幾何圖形距離指的是這兩個(gè)幾何圖形中最近兩個(gè)點(diǎn)的距離，如圖，邊長(zhǎng)為4的正方形沿直線m平移，若平移后的正方形與原來的邊距離為1，則正方形平移方法是_______．若向左平移后的正方形與原來的邊距離小于等于1，則正方形平移方法是________．【標(biāo)準(zhǔn)答案】向右平移1個(gè)單位，或向左平移5個(gè)單位向左平移距離小于等于5個(gè)單位【思路指引】根據(jù)幾何圖形的距離，結(jié)合平移的定義判斷即可．【詳解詳析】解：如圖，若平移后的正方形與原來的邊AB距離為1，則正方形平移方法是向右平移1個(gè)單位，或向左平移5個(gè)單位；若向左平移后的正方形與原來的AB距離小于等于1，則平移方法是向左平移距離小于等于5個(gè)單位．故答案為：向右平移1個(gè)單位，或向左平移5個(gè)單位；向左平移距離小于等于5個(gè)單位．【名師指路】本題考查了平移的性質(zhì)，讀懂題意，理解幾何圖形的距離是解題的關(guān)鍵．19．（2021·浙江·七年級(jí)期中）如圖1，為巡視夜間水面情況，在筆直的河岸兩側(cè)（）各安置一探照燈A，BC（A在B的左側(cè)），燈A發(fā)出的射線AC從AM開始以a度/秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AN后立即回轉(zhuǎn)，燈B發(fā)出的射線BD從BP開始以1度/秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至BQ后立即回轉(zhuǎn)，兩燈同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)，經(jīng)過55秒，射線AC第一次經(jīng)過點(diǎn)B，此時(shí)，則________，兩燈繼續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)，射線AC與射線BD交于點(diǎn)E（如圖2），在射線BD到達(dá)BQ之前，當(dāng)，的度數(shù)為________．【標(biāo)準(zhǔn)答案】2或．【思路指引】（1）由平行線的性質(zhì)，得到角之間的關(guān)系，然后列出方程，解方程即可；（2）由題意，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，可對(duì)運(yùn)動(dòng)過程分成兩種情況進(jìn)行分析：①射線AC沒到達(dá)AN時(shí)，；②射線AC到達(dá)AN后，返回旋轉(zhuǎn)的過程中，；分別求出答案即可．【詳解詳析】解：（1）如圖，射線AC第一次經(jīng)過點(diǎn)B，∵，∴，∴，∴，解得：；故答案為：2．（2）①設(shè)射線AC的轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則如圖，作EF//MN//PQ，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，則，，∵EF//MN//PQ，∴，，∵，∴，∴（秒），∴；②設(shè)射線AC的轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則如圖，作EF//MN//PQ，此時(shí)AC為達(dá)到AN之后返回途中的圖像；與①同理，∴，，∵，∴，解得：（秒）；∴；綜合上述，的度數(shù)為：或；故答案為：或．【名師指路】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識(shí)，正確的分析題意，作出輔助線，運(yùn)用分類討論的思想進(jìn)行解題．20．（2021·浙江·七年級(jí)期中）如圖，，BC平分，設(shè)為，點(diǎn)E是射線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若，則的度數(shù)為__________．（用含的代數(shù)式表示）．【標(biāo)準(zhǔn)答案】或【思路指引】根據(jù)題意可分兩種情況，①若點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到上方，根據(jù)平行線的性質(zhì)由可計(jì)算出的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，計(jì)算出的度數(shù)，再由，，列出等量關(guān)系求解即可得出結(jié)論；②若點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到下方，根據(jù)平行線的性質(zhì)由可計(jì)算出的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，計(jì)算出的度數(shù)，再由，列出等量關(guān)系求解即可得出結(jié)論．【詳解詳析】解：如圖，若點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到l1上方，，，平分，，，又，，，解得；如圖，若點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到l1下方，，，平分，，，又，，，解得．綜上的度數(shù)為或．故答案為：或．【名師指路】本題主要考查平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)，兩直線平行，同位角相等．兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，合理應(yīng)用平行線的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．三、解答題21．（2021·浙江柯橋·七年級(jí)期中）已知，直線，點(diǎn)P為平面內(nèi)一點(diǎn)，連接與．（1）如圖1，點(diǎn)P在直線、之間，若，，求的度數(shù)．（2）如圖2，點(diǎn)P在直線、之間，與的角平分線相交于點(diǎn)K，寫出與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）如圖3，點(diǎn)P在直線、下方，與的角平分線相交于點(diǎn)K，直接寫出與之間的數(shù)量關(guān)系．【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）70°；（2），見解析；（3）【思路指引】（1）過點(diǎn)作∥，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，，然后根據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可；（2）過作∥，根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義可得出與的數(shù)量關(guān)系；（3）過作∥，根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義可得出與的數(shù)量關(guān)系．【詳解詳析】解：（1）如圖1，過P作，∵，∴，∴，，∴；（2）．理由：如圖2，過K作，∵，∴，∴，，∴，過P作，同理可得，，∵與的角平分線相交于點(diǎn)K，∴，∴；（3）．理由：如圖3，過作∥，∵∥，∴∥∥．∴，．∴．過作∥，同理可得，．∵與的平分線交于點(diǎn)，∴，∴．【名師指路】本題考查了平行線的性質(zhì)和角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是作出平行線構(gòu)造內(nèi)錯(cuò)角相等計(jì)算．22．（2021·浙江樂清·七年級(jí)期末）如圖，BF交DE于點(diǎn)C，，∠ABC＝∠ADC．（1）AD與BF平行嗎？請(qǐng)說明理由．（2）若BD平分∠ABC，且∠1+∠2＝110°，求∠DCF的度數(shù)．【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）平行，理由見解析；（2）．【思路指引】（1）先根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，再根據(jù)等量代換得到，然后根據(jù)平行線的判定即可得出結(jié)論；（2）先根據(jù)角平分線的定義可得，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，然后根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義可得，從而可得，最后根據(jù)可求出的度數(shù)，由此即可得出答案．【詳解詳析】解：（1），理由如下：，，，，；（2）平分，，，，，，即，，，解得，．【名師指路】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)、角平分線的定義等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．23．（2021·浙江杭州·七年級(jí)期中）問題情境：如圖1，，，，求的度數(shù)．小明的思路是：過P作，通過平行線性質(zhì)來求．（1）按小明的思路，易求得的度數(shù)為__________度：（直接寫出答案）（2）問題遷移：如圖2，，點(diǎn)P在射線上運(yùn)動(dòng)，記，，當(dāng)點(diǎn)P在B、D兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，問與、之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由；（3）在（2）的條件下，如果點(diǎn)P在B、D兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)O、B、D三點(diǎn)不重合），請(qǐng)直接寫出與、之間的數(shù)量關(guān)系．【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）110；（2）∠APC=α+β，理由見解析；（3）見解析【思路指引】（1）過P作PE∥AB，通過平行線性質(zhì)求∠APC即可；（2）過P作PE∥AB交AC于E，推出AB∥PE∥DC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出α=∠APE，β=∠CPE，即可得出答案；（3）分兩種情況：P在BD延長(zhǎng)線上；P在DB延長(zhǎng)線上，分別畫出圖形，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出α=∠APE，β=∠CPE，即可得出答案．【詳解詳析】解：（1）過點(diǎn)P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°，∵∠PAB=130°，∠PCD=120°，∴∠APE=50°，∠CPE=60°，∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°．（2）∠APC=α+β，理由：如圖2，過P作PE∥AB交AC于E，∵AB∥CD，∴AB∥PE∥CD，∴α=∠APE，β=∠CPE，∴∠APC=∠APE+∠CPE=α+β；（3）如圖所示，當(dāng)P在BD延長(zhǎng)線上時(shí)，過點(diǎn)P作PE∥CD交ON于E，則PE∥AB，∴∠APE=α，∠CPE=β，∴∠CPA=∠APE-∠CPE=α-β；如圖所示，當(dāng)P在DB延長(zhǎng)線上時(shí)，過點(diǎn)P作PE∥CD交ON于E，則PE∥AB，∴∠CPE=β，∠APE=α，∴∠CPA=∠CPE-∠APE=β-α．【名師指路】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力，題目是一道比較典型的題目，解題時(shí)注意分類思想的運(yùn)用．24．（2021·浙江蕭山·七年級(jí)期中）如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，AD∥BC，E為邊BC上一點(diǎn)，將長(zhǎng)方形沿AE折疊（AE為折痕），使點(diǎn)B與點(diǎn)F重合，EG平分∠CEF交CD于點(diǎn)G，過點(diǎn)G作HG⊥EG交AD于點(diǎn)H．（1）請(qǐng)判斷HG與AE的位置關(guān)系，并說明理由．（2）若∠CEG＝20°，請(qǐng)利用平行線相關(guān)知識(shí)求∠DHG的度數(shù)．【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）HG∥AE，理由見解析；（2）∠DHG＝70°．【思路指引】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)得∠AEB=∠AEF，根據(jù)角平分線定義及垂直的定義得AE⊥EG，最后由平行的判定可得結(jié)論；（2）由余角的性質(zhì)得∠AEB=70°，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)可得答案．【詳解詳析】解：（1）平行，理由如下：∵長(zhǎng)方形沿AE折疊，∴∠AEB＝∠AEF，∵EG平分∠CEF交CD于點(diǎn)G，∴∠FEG＝∠CEG，∵∠AEB+∠AEF+∠FEG+∠CEG＝180°，∴∠AEG＝∠AEF+∠FEG＝90°，∴AE⊥EG，∵HG⊥ED，∴HG∥AE；（2）∵∠CEG＝20°，∴∠AEB＝70°，∵長(zhǎng)方形ABCD中，AD∥BC，∴∠AEB＝∠DAE＝70°，∵HG∥AE，∴∠DHG＝∠DAE＝70°．【名師指路】此題考查了折疊問題及平行線的性質(zhì)，掌握平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．25．（2021·浙江·七年級(jí)期中）已知：直線EF分別與直線AB，CD相交于點(diǎn)G，H，并且∠AGE+∠DHE＝180°．（1）如圖1，求證：AB∥CD；（2）如圖2，點(diǎn)M在直線AB，CD之間，連接GM，HM，求證：∠M＝∠AGM+∠CHM；（3）如圖3，在（2）的條件下，射線GH是∠BGM的平分線，在MH的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)N，連接GN，若∠N＝∠AGM，∠M＝∠N+∠FGN，求∠MHG的度數(shù)．【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）60°【思路指引】（1）根據(jù)已知條件和對(duì)頂角相等即可證明；（2）如圖2，過點(diǎn)M作MR∥AB，可得AB∥CD∥MR．進(jìn)而可以證明；（3）如圖3，令∠AGM＝2α，∠CHM＝β，則∠N＝2α，∠M＝2α+β，過點(diǎn)H作HT∥GN，可得∠MHT＝∠N＝2α，∠GHT＝∠FGN＝2β，進(jìn)而可得結(jié)論．【詳解詳析】（1）證明：如圖1，∵∠AGE+∠DHE＝180°，∠AGE＝∠BGF．∴∠BGF+∠DHE＝180°，∴AB∥CD；（2）證明：如圖2，過點(diǎn)M作MR∥AB，又∵AB∥CD，∴AB∥CD∥MR．∴∠GMR＝∠AGM，∠HMR＝∠CHM．∴∠GMH＝∠GMR+∠RMH＝∠AGM+∠CHM．（3）解：如圖3，令∠AGM＝2α，∠CHM＝β，則∠N＝2α，∠M＝2α+β，∵射線GH是∠BGM的平分線，∴，∴∠AGH＝∠AGM+∠FGM＝2α+90°﹣α＝90°+α，∵，∴，∴∠FGN＝2β，過點(diǎn)H作HT∥GN，則∠MHT＝∠N＝2α，∠GHT＝∠FGN＝2β，∴∠GHM＝∠MHT+∠GHT＝2α+2β，∠CHG＝∠CHM+∠MHT+∠GHT＝β+2α+2β＝2α+3β，∵AB∥CD，∴∠AGH+∠CHG＝180°，∴90°+α+2α+3β＝180°，∴α+β＝30°，∴∠GHM＝2（α+β）＝60°．【名師指路】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，對(duì)頂角的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握平行線的判定與性質(zhì)．26．（2021·浙江·杭州市十三中教育集團(tuán)（總校）七年級(jí)期中）在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1個(gè)單位長(zhǎng)度△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上（正方形網(wǎng)格的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)）．現(xiàn)將△ABC平移，使點(diǎn)C平移到點(diǎn)D，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)．（1）在圖1中請(qǐng)畫出平移后的△DEF，此時(shí)，△DEF的面積為．（2）如圖2，格點(diǎn)P是AB的中點(diǎn)，此時(shí)S△BCP＝，請(qǐng)?jiān)趫D2的網(wǎng)格中畫出滿足S△BCQ＝的所有格點(diǎn)三角形（除點(diǎn)P以外）．【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）圖見解析，7；（2）見解析【思路指引】（1）利用點(diǎn)C、D的位置確定平移的方向與距離，然后利用此平移規(guī)律畫出A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F、E；依據(jù)割補(bǔ)法進(jìn)行計(jì)算，即可得到△DEF的面積；（2）把B點(diǎn)半平移到P點(diǎn)，則利用此平移規(guī)律平移C點(diǎn)得到Q1，畫出P點(diǎn)關(guān)于B的對(duì)稱點(diǎn)和Q1點(diǎn)關(guān)于C點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)得到Q2、Q3．【詳解詳析】解：（1）如圖1，△DEF為所作；△DEF的面積＝4×4﹣×3×2﹣×4×1﹣×4×2＝7；故答案為7；（2）如圖2，點(diǎn)Q1、Q2、Q3為所作．【名師指路】本題考查了作圖?旋轉(zhuǎn)變換：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對(duì)應(yīng)角都相等都等于旋轉(zhuǎn)角，對(duì)應(yīng)線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對(duì)應(yīng)點(diǎn)，順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形．也考查了平移變換．27．（2021·浙江·杭州市采荷中學(xué)七年級(jí)期中）如圖，已知AB∥CD，P是直線AB，CD間的一點(diǎn)，PF⊥CD于點(diǎn)F，PE交AB于點(diǎn)E，∠FPE＝120°．（1）求∠AEP的度數(shù)；（2）射線PN從PF出發(fā)，以每秒30°的速度繞P點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)PN垂直AB時(shí)，立刻按原速返回至PF后停止運(yùn)動(dòng)；射線EM從EA出發(fā)，以每秒15°的速度繞E點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至EB后停止運(yùn)動(dòng)，若射線PN，射線EM同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．①當(dāng)∠MEP＝15°時(shí)，求∠EPN的度數(shù)；②當(dāng)EM∥PN時(shí)，直接寫出t的值．【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）30°；（2）①30°或90°；②6秒或10秒【思路指引】（1）通過延長(zhǎng)PG作輔助線，根據(jù)平行線的性質(zhì)，得到∠PGE=90°，再根據(jù)外角的性質(zhì)可計(jì)算得到結(jié)果；（2）①當(dāng)∠MEP=15°時(shí)，分兩種情況，Ⅰ當(dāng)ME在AE和EP之間，Ⅱ當(dāng)ME在EP和EB之間，由∠MEP=15°，計(jì)算出EM的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t，根據(jù)運(yùn)動(dòng)時(shí)間可計(jì)算出∠FPN，由已知∠FPE=120°可計(jì)算出∠EPN的度數(shù)；②根據(jù)題意可知，當(dāng)EM∥PN時(shí)，分三種情況，Ⅰ射線PN由PF逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，EM∥PN，根據(jù)題意可知∠AEM=15t°，∠FPN=30t°，再平行線的性質(zhì)可得∠AEM=∠AHP，再根據(jù)三角形外角和定理可列等量關(guān)系，求解即可得出結(jié)論；Ⅱ射線PN垂直AB時(shí)，再順時(shí)針向PF運(yùn)動(dòng)時(shí)，EM∥PN，根據(jù)題意可知，∠AEM=15t°，ME∥PN，∠GHP=15t°，可計(jì)算射線PN的轉(zhuǎn)動(dòng)度數(shù)180°+90°-15t°，再根據(jù)PN轉(zhuǎn)動(dòng)可列等量關(guān)系，即可求出答案；Ⅲ射線PN垂直AB時(shí)，再順時(shí)針向PF運(yùn)動(dòng)時(shí)，EM∥PN，根據(jù)題意可知，∠AEM=15t°，∠GPN=40（t-6）°，根據(jù)（1）中結(jié)論，∠PEG=30°，∠PGE=60，可計(jì)算出∠PEM與∠EPN代數(shù)式，再根據(jù)平行線的性質(zhì)，可列等量關(guān)系，求解可得出結(jié)論．【詳解詳析】解：（1）延長(zhǎng)FP與AB相交于點(diǎn)G，如圖1，∵PF⊥CD，∴∠PFD=∠PGE=90°，∵∠EPF=∠PGE+∠AEP，∴∠AEP=∠EPF-∠PGE=120°-90°=30°；（2）①Ⅰ如圖2，∵∠AEP=30°，∠MEP=15°，∴∠AEM=15°，∴射線ME運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t==1秒，∴射線PN旋轉(zhuǎn)的角度∠FPN=1×30°=30°，又∵∠EPF=120°，∴∠EPN=∠EPF-∠EPN=120°-30°=90°；Ⅱ如圖3所示，∵∠AEP=30°，∠MEP=15°，∴∠AEM=45°，∴射線ME運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t==3秒，∴射線PN旋轉(zhuǎn)的角度∠FPN=3×30°=90°又∵∠EPF=120°，∴∠EPN=∠EPF-∠FPN=120°-90°=30；∴∠EPN的度數(shù)為90°或30°；②Ⅰ當(dāng)PN由PF運(yùn)動(dòng)如圖4時(shí)，EM∥PN，PN與AB相交于點(diǎn)H，根據(jù)題意可知，經(jīng)過t秒，∠AEM=15t°，∠FPN=30t°，∵EM∥PN，∴∠AEM=∠AHP=15t°，又∵∠FPN=∠EGP+∠AHP，∴30t°=90°+15t°，解得t=6（秒）；Ⅱ當(dāng)PN運(yùn)動(dòng)到PG，再由PG運(yùn)動(dòng)到如圖5時(shí)，EM∥PN，PN與AB相交于點(diǎn)H，根據(jù)題意可知，經(jīng)過t秒，∠AEM=15t°，∵EM∥PN，∴∠GHP=15t°，∠GPH=90°-15t°，∴PN運(yùn)動(dòng)的度數(shù)可得，180°-∠GPH=30t°，解得t=6（秒）；Ⅲ當(dāng)PN由PG運(yùn)動(dòng)如圖6時(shí)，EM∥PN，根據(jù)題意可知，經(jīng)過t秒，∠AEM=15t°，∠GPN=30（t-6）°，∵∠AEP=30°，∠EPG=60°，∴∠PEM=15t°-30°，∠EPN=30（t-6）°-60°，又∵EM∥PN，∴∠PEM+∠EPN=180°，∴15t°-30°+30（t-6）°-60°=180°，解得t=10（秒），當(dāng)t的值為6秒或10秒時(shí)，EM∥PN．【名師指路】本題主要考查平行線性質(zhì)，一元一次方程的應(yīng)用，合理添加輔助線和根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形是解決本題的關(guān)鍵．28．（2021·浙江上城·七年級(jí)期末）光線反射是一種常見的物理現(xiàn)象，在生活中有廣泛地應(yīng)用．例如提詞器可以幫助演講者在看演講詞的同時(shí)也能面對(duì)攝像機(jī)，自行車尾部的反光鏡等就是應(yīng)用了光的反射原理．（1）提詞器的原理如圖①，AB表示平面鏡，CP表示入射光線，PD表示反射光線，∠CPD＝90°，求∠APC的度數(shù)；（2）自行車尾部的反光鏡在車燈照射下，能把光線按原來的方向返回（如圖②），a表示入射光線，b表示反射光線，a∥b．平面鏡AB與BC的夾角∠ABC＝，求．（3）如圖③，若＝108°，設(shè)平面鏡CD與BC的夾角∠BCD＝（90°＜＜180°），入射光線a與平面鏡AB的夾角為x（0°＜x＜90°），已知入射光線a從平面鏡AB開始反射，經(jīng)過2或3次反射，當(dāng)反射光線b與入射光線a平行時(shí)，請(qǐng)直接寫出的度數(shù)．（可用含x的代數(shù)式表示）．【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）45°；（2）90°；（3）162°或（72+x）°【思路指引】（1）根據(jù)平面鏡成像原理入射角等于反射角可知：∠APC=∠BPD，即可解決問題；（2）根據(jù)平面鏡成像原理入射角等于反射角，由光線a∥b，可知同內(nèi)角互補(bǔ)，可得兩法線垂直，從而求得a的度數(shù)；（3）分兩次反射和三次反射進(jìn)行討論，兩次反射的情況可利用（2）結(jié)論；三次反射的情況畫圖進(jìn)行分析即可．【詳解詳析】解：（1）∵平面鏡成像原理入射角等于反射角，∴∠APC=∠BPD，∵∠CPD=90°，∴∠APC+∠BPD=90°，∴∠APC=45°；（2）如圖②：過點(diǎn)P作PG⊥AB，QG⊥BC，相交于點(diǎn)G，∵平面鏡成像原理入射角等于反射角，∴∠