向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算第2課時高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教B版（2019）必修第三冊

向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算第2課時新知探究問題1

向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算公式是什么？如何利用坐標(biāo)運算公式求向量的模、向量夾角？兩點間的距離公式呢？如果A（x1，y2），B（x2，y2），則設(shè)

＝（x1，y1），

＝（x2，y2），則新知探究問題2如何利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算公式證明垂直呢？設(shè)

＝（x1，y1），

＝（x2，y2），則初步應(yīng)用例1

如圖所示，已知點A（2，1），將向量繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到，求點B的坐標(biāo)．又因為由圖可知x＜0，所以B（－1，2）．yxBAO解答：由已知可得：又因為

＝（2，1），設(shè)B（x，y），則

＝（x，y），從而有解得或初步應(yīng)用例2

在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點，求證：AF

DE．證明：以A為直角坐標(biāo)原點，以AB所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系．不妨設(shè)正方形ABCD邊長為2，則A（0，0），E（1，0），F(xiàn)（2，1），D（0，2），所以AF

DE．所以＝（2，1），

＝（1，－2），

＝2×1＋1×（－2）＝0，ABCDEF初步應(yīng)用例3

在△ABC中，＝（2，3），＝（1，k），且△ABC的一個內(nèi)角為直角，求k值．解答：A

＝90

時，∴2×1＋3×k

＝0∴當(dāng)B

＝90

時，＝（1

2，k

3）＝（

1，k

3）∴2×（

1）＋3×（k

3）＝0∴當(dāng)C

＝90

時，∴

1＋k（k

3）＝0∴綜上，或或初步應(yīng)用例4

已知a＝（1，2），b＝（1，λ），分別確定實數(shù)λ的取值范圍，使得：解答：a·b＝（1，2）·（1，λ）＝1＋2λ．（1）因為a與b的夾角為直角，所以cosθ＝0，所以a·b＝0，（1）a與b的夾角為直角；（2）a與b的夾角為鈍角；（3）a與b的夾角為銳角．即1＋2λ＝0，所以λ＝初步應(yīng)用例4

已知a＝（1，2），b＝（1，λ），分別確定實數(shù)λ的取值范圍，使得：（2）因為a與b的夾角為鈍角，所以a·b＜0，且a與b不反向．（1）a與b的夾角為直角；（2）a與b的夾角為鈍角；（3）a與b的夾角為銳角．所以cosθ＜0，且cosθ≠－1，由a與b共線得λ＝2，故a與b不可能反向．由a·b＜0，得1＋2λ＜0，故λ＜所以λ的取值范圍為（－∞，

）．初步應(yīng)用例4

已知a＝（1，2），b＝（1，λ），分別確定實數(shù)λ的取值范圍，使得：（3）因為a與b的夾角為銳角，所以a·b＞0且a，b不同向．（1）a與b的夾角為直角；（2）a與b的夾角為鈍角；（3）a與b的夾角為銳角．所以cosθ＞0，且cosθ≠1，由a與b同向得λ＝2．由a·b＞0，得λ＞所以λ的取值范圍為（

，2）∪（2，＋∞）．初步應(yīng)用例5

如圖所示，已知正方形ABCD中，P為對角線AC不在端點上的任意一點，PE⊥AB，PF⊥BC，連接DP，EF，求證：DP⊥EF．證明：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，由已知，可設(shè)P（a，a），其中0＜a＜1，則E（a，0），F(xiàn)（1，a），ABCDEFPyxO則A（0，0），B（1，0），D（0，1），從而

＝（1，0），

＝（0，1）．所以，因此DP⊥EF．又因為

＝a（1－a）＋（a－1）a＝0，因此＝（a，a－1），

＝（1－a，a）初步應(yīng)用建立合理的平面直角坐標(biāo)系之后，可以方便地借助向量的坐標(biāo)來解決有關(guān)幾何問題．利用向量處理幾何問題的一般步驟為：建立平面直角坐標(biāo)系；設(shè)點的坐標(biāo)；求出有關(guān)向量的坐標(biāo)；利用向量的運算計算結(jié)果；得到結(jié)論．練習(xí)1B在△ABC中，A（4，6），B（－4，10），C（2，4），則△ABC是（）A．銳角三角形B．鈍角三角形C．直角三角形D．等邊三角形解析：因為

＝（4，6）－（2，4）＝（2，2）＝（－4，10）－（2，4）＝（－6，6）所以

＝（2，2）·（－6，6）＝2×（－6）＋2×6＝0．因此，即∠ACB＝90°，故△ABC是直角三角形．練習(xí)解答：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)DC＝h，則A（2，0），B（1，h）．2在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的動點，求的最小值．ABCPyxD設(shè)P（0，y）（0≤y≤h），則＝（2，－y），＝（1，h－y），∴當(dāng)且僅當(dāng)3h＝4y，即DP＝DC時，等號成立．故

的最小值為5．練習(xí)練習(xí)3：教科書練習(xí)A：5．歸納小結(jié)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算向量坐標(biāo)表示兩個向量垂直的充要條件向量的坐標(biāo)使向量“代數(shù)身份”得以充分顯現(xiàn)，更是利用向量的“坐標(biāo)法”解決幾何問題的基礎(chǔ)．在實際解題的過程中，我們可以結(jié)合題目的圖形特征（比如：正方形、長方形、直角三角形），選定正交基底，建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量的“坐標(biāo)”體現(xiàn)題目的幾何特征（垂直、共線、角度）代數(shù)化的特點．作業(yè)布置作業(yè)：教科書練習(xí)B：5，6．1目標(biāo)檢測如圖，以原點和A（5，2）為頂點作等腰直角△OAB，使

B

＝90

，求點B和向量的坐標(biāo)．解答：設(shè)B點坐標(biāo)（x，y），則＝（x，y），＝（x

5，y

2）∵∴x（x

5）＋y（y

2）＝0即：x2

＋y2

5x

2y

＝0又∵∴x2

＋y2

＝（x

5）2

＋（y

2）2即：10x

＋4y

＝29AByxO由∴B點坐標(biāo)或；2目標(biāo)檢測已知＝（2，0），＝（3，1）．（1）當(dāng)k為何值時，與垂直；（2）若且A，B，C三點共線，求m的值．解答：（1）因為＝（2，0），＝（3，1），所以＝（2k－3，－1）與＝（8，2），由與垂直，得8（2k－3）＋2（－1）＝0，所以2目標(biāo)檢測已知＝（2，0），＝（3，1）．（1）當(dāng)k為何值時，與垂直；（2）若