高中數(shù)學(xué)第二章平面向量2 2向量的線性運(yùn)算2 2 3向量的數(shù)乘教案蘇教版必修4

2.2.3向量的數(shù)乘eq\o(\s\up7(),\s\do5(整體設(shè)計(jì)))教學(xué)分析向量的數(shù)乘運(yùn)算，其實(shí)是加法運(yùn)算的推廣及簡化，與加法、減法統(tǒng)稱為向量的三大線性運(yùn)算．教學(xué)時從加法入手，引入數(shù)乘運(yùn)算，充分展現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系．實(shí)數(shù)與向量的乘積，仍然是一個向量，既有大小，也有方向．特別是所得向量與已知向量是共線向量，進(jìn)而引出共線向量定理．共線向量定理是本章節(jié)中重要的內(nèi)容，應(yīng)用相當(dāng)廣泛，且容易出錯．尤其是定理的前提條件：向量a是非零向量．共線向量定理的應(yīng)用主要用于證明點(diǎn)共線或平行等幾何性質(zhì)，且與后續(xù)的知識有著緊密的聯(lián)系．三維目標(biāo)1．通過經(jīng)歷探究數(shù)乘運(yùn)算法則及幾何意義的過程，掌握實(shí)數(shù)與向量積的定義，理解實(shí)數(shù)與向量積的幾何意義．掌握實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律．理解兩個向量共線的等價(jià)條件，能夠運(yùn)用兩向量共線條件判定兩向量是否平行．2．通過探究，體會類比遷移的思想方法，滲透研究新問題的思想和方法，培養(yǎng)創(chuàng)新能力和積極進(jìn)取精神．通過解決具體問題，體會數(shù)學(xué)在生活中的重要作用．重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：1.實(shí)數(shù)與向量積的意義．2．實(shí)數(shù)與向量積的運(yùn)算律．3．兩個向量共線的等價(jià)條件及其運(yùn)用．教學(xué)難點(diǎn)：對向量共線的等價(jià)條件的理解運(yùn)用．課時安排1課時eq\o(\s\up7(),\s\do5(教學(xué)過程))導(dǎo)入新課思路1.(直接引入)前面兩節(jié)課，我們一起學(xué)習(xí)了向量加減法運(yùn)算，這一節(jié)，我們將在加法運(yùn)算的基礎(chǔ)上研究相同向量和的簡便計(jì)算及推廣．在代數(shù)運(yùn)算中，a＋a＋a＝3a，故實(shí)數(shù)乘法可以看成是相同實(shí)數(shù)加法的簡便計(jì)算方法，所以相同向量的求和運(yùn)算也有類似的簡便計(jì)算．思路2.(問題引入)一物體做勻速直線運(yùn)動，一秒鐘的位移對應(yīng)的向量為a，那么在同一方向上3秒鐘的位移對應(yīng)的向量怎樣表示？是3a嗎？怎樣用圖形表示？由此展開新課．推進(jìn)新課eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(新知探究))實(shí)數(shù)與向量積的定義及運(yùn)算律．活動：教師引導(dǎo)學(xué)生回顧相關(guān)知識并猜想結(jié)果，對于運(yùn)算律的驗(yàn)證，點(diǎn)撥學(xué)生通過作圖來進(jìn)行．通過學(xué)生的動手作圖，讓學(xué)生明確向量數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算律及其幾何意義．教師要引導(dǎo)學(xué)生特別注意0·a＝0，而不是0·a＝0.這個零向量是一個特殊的向量，它似乎很不起眼，但又處處存在，稍不注意就會出錯，所以要引導(dǎo)學(xué)生正確理解和處理零向量與非零向量之間的關(guān)系．實(shí)數(shù)與向量可以求積，但是不能進(jìn)行加、減運(yùn)算，比如λ＋a，λ－a都無法進(jìn)行．向量數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算律與實(shí)數(shù)乘法的運(yùn)算律很相似，只是數(shù)乘運(yùn)算的分配律有兩種不同的形式：(λ＋μ)a＝λa＋μa和λ(a＋b)＝λa＋λb，數(shù)乘運(yùn)算的關(guān)鍵是等式兩邊向量的模相等，方向相同．判斷兩個向量是否平行(共線)，實(shí)際上就是看能否找出一個實(shí)數(shù)，使得這個實(shí)數(shù)乘以其中一個向量等于另一個向量．一定要切實(shí)理解兩向量共線的條件，它是證明幾何中的三點(diǎn)共線和兩直線平行等問題的有效手段．實(shí)數(shù)λ與向量a相乘，叫做向量的數(shù)乘(scalarmultiplicationofvectors)．事實(shí)上，通過作圖1可發(fā)現(xiàn)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋a＋a.類似數(shù)的乘法，可把a(bǔ)＋a＋a記作3a，即eq\o(OC,\s\up6(→))＝3a.顯然3a的方向與a的方向相同，3a的長度是a的長度的3倍，即|3a|＝3|a|.同樣，由圖可知，eq\o(PN,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))＋eq\o(QM,\s\up6(→))＋eq\o(MN,\s\up6(→))＝(－a)＋(－a)＋(－a)，圖1即(－a)＋(－a)＋(－a)＝3(－a)．顯然3(－a)的方向與a的方向相反，3(－a)的長度是a的長度的3倍，這樣，3(－a)＝－3a.上述過程推廣后即為實(shí)數(shù)與向量的積．我們規(guī)定實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作λa，它的長度與方向規(guī)定如下：(1)|λa|＝|λ||a|.(2)當(dāng)λ>0時，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ<0時，λa的方向與a的方向相反．由(1)可知，λ＝0時，λa＝0.根據(jù)實(shí)數(shù)與向量的積的定義，我們可以驗(yàn)證下面的運(yùn)算律．設(shè)λ、μ為實(shí)數(shù)，那么eq\x(\a\al(1λμa＝λμa；,2λ＋μa＝λa＋μa；,3λa＋b＝λa＋λb.))特別地，我們有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.關(guān)于向量共線的條件，教師要點(diǎn)撥學(xué)生做進(jìn)一步深層探究，讓學(xué)生思考，若去掉a≠0這一條件，上述條件成立嗎？其目的是通過0與任意向量的平行來加深對向量共線的等價(jià)條件的認(rèn)識．在判斷兩個非零向量是否共線時，只需看這兩個向量的方向是否相同或相反即可，與這兩個向量的長度無關(guān)．在沒有指明非零向量的情況下，共線向量可能有以下幾種情況：(1)有一個為零向量；(2)兩個都為零向量；(3)同向且模相等；(4)同向且模不等；(5)反向且模相等；(6)反向且模不等．教師與學(xué)生一起歸納總結(jié)：數(shù)與向量的積仍是一個向量，向量的方向由實(shí)數(shù)的正負(fù)及原向量的方向確定，大小由|λ||a|確定．它的幾何意義是把向量a沿a的方向或a的反方向放大或縮?。蛄康钠叫信c直線的平行是不同的，直線的平行是指兩條直線在同一平面內(nèi)沒有公共點(diǎn)；而向量的平行既包含沒有交點(diǎn)的情況，又包含兩個向量在同一條直線上的情形．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(應(yīng)用示例))思路1例1課本本節(jié)例2.變式訓(xùn)練1．計(jì)算：(1)(－3)×4a；(2)3(a＋b)－2(a－b)－a；(3)(2a＋3b－c)－(3a－2b＋c)．解：(1)原式＝(－3×4)a＝－12a；(2)原式＝3a＋3b－2a＋2b－a＝5b；(3)原式＝2a＋3b－c－3a＋2b－c＝－a＋5b－2c.點(diǎn)評：運(yùn)用向量運(yùn)算的運(yùn)算律，解決向量的數(shù)乘．其運(yùn)算過程可以仿照多項(xiàng)式運(yùn)算中的“合并同類項(xiàng)”．2．若3m＋2n＝a，m－3n＝b，其中a、b是已知向量，求m、n.解：∵3m＋2n＝a，①m－3n＝b，②3×②，得3m－9n＝3b，③①－③，得11n＝a－3b，∴n＝eq\f(1,11)a－eq\f(3,11)b.④將④代入②，有m＝b＋3n＝eq\f(3,11)a＋eq\f(2,11)b.點(diǎn)評：此題可把已知條件看作向量m、n的方程，通過方程組的求解獲得m、n.在此題求解過程中，利用了實(shí)數(shù)與向量的積以及它所滿足的交換律、結(jié)合律，從而解向量的二元一次方程組的方法與解實(shí)數(shù)的二元一次方程組的方法一致.例2課本本節(jié)例1.變式訓(xùn)練如圖2(1)，已知任意兩個非零向量a、b，試作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(OB,\s\up6(→))＝a＋2b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝a＋3b.你能判斷A、B、C三點(diǎn)之間的位置關(guān)系嗎？為什么？活動：本題給出了利用向量共線判斷三點(diǎn)共線的方法，這是判斷三點(diǎn)共線常用的方法．教學(xué)中可以先引導(dǎo)學(xué)生作圖，通過觀察圖形得到A、B、C三點(diǎn)共線的猜想，再將平面幾何中判斷三點(diǎn)共線的方法轉(zhuǎn)化為用向量共線證明三點(diǎn)共線．本題只需引導(dǎo)學(xué)生理清思路，具體過程可由學(xué)生自己完成．另外，本題是一個很好的與信息技術(shù)整合的題材，教學(xué)中可以通過計(jì)算機(jī)作圖，進(jìn)行動態(tài)演示，揭示向量a、b變化過程中，A、B、C三點(diǎn)始終在同一條直線上的規(guī)律．(1)(2)圖2解：如圖2(2)分別作向量eq\o(OA,\s\up6(→))、eq\o(OB,\s\up6(→))、eq\o(OC,\s\up6(→))，過點(diǎn)A、C作直線AC〔如圖2(2)〕．觀察發(fā)現(xiàn)，不論向量a、b怎樣變化，點(diǎn)B始終在直線AC上，猜想A、B、C三點(diǎn)共線．事實(shí)上，因?yàn)閑q\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝a＋2b－(a＋b)＝b，而eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝a＋3b－(a＋b)＝2b，于是eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→)).所以A、B、C三點(diǎn)共線．點(diǎn)評：關(guān)于三點(diǎn)共線問題，學(xué)生接觸較多，這里是用向量證明三點(diǎn)共線，方法是必須先證明兩個向量共線，并且有公共點(diǎn)．教師引導(dǎo)學(xué)生解完后進(jìn)行反思，體會向量證法的新穎獨(dú)特．例3課本本節(jié)例3.變式訓(xùn)練如圖3，ABCD的兩條對角線相交于點(diǎn)M，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，你能用a、b表示eq\o(MA,\s\up6(→))、eq\o(MB,\s\up6(→))、eq\o(MC,\s\up6(→))和eq\o(MD,\s\up6(→))嗎？圖3活動：本題的解答要用到平行四邊形的性質(zhì)．另外，用向量表示幾何元素(點(diǎn)、線段等)是用向量方法證明幾何問題的重要步驟，教學(xué)中可以給學(xué)生明確指出這一點(diǎn)．解：在ABCD中，∵eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝a－b，又∵平行四邊形的兩條對角線互相平分，∴eq\o(MA,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)(a＋b)＝－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b，eq\o(MB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a－b)＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b，eq\o(MC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b，eq\o(MD,\s\up6(→))＝－eq\o(MB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(DB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b.點(diǎn)評：結(jié)合向量加法和減法的平行四邊形法則和三角形法則，將兩個向量的和或差表示出來，這是解決這類幾何題的關(guān)鍵.思路2例1凸四邊形ABCD的邊AD、BC的中點(diǎn)分別為E、F，求證：eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))．活動：教師引導(dǎo)學(xué)生探究，能否構(gòu)造三角形，使EF作為三角形的中位線，借助于三角形中位線定理解決．或創(chuàng)造相同起點(diǎn)，以建立向量間的關(guān)系．鼓勵學(xué)生多角度觀察思考問題．圖4證明：方法一：過點(diǎn)C在平面內(nèi)作eq\o(CG,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，則四邊形ABGC是平行四邊形，故F為AG的中點(diǎn)(如圖4)．∴EF是△ADG的中位線．∴EFeq\f(1,2)DG，∴eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DG,\s\up6(→)).而eq\o(DG,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CG,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))．方法二：如圖5，連EB、EC，則有eq\o(EB,\s\up6(→))＝eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(EC,\s\up6(→))＝eq\o(ED,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))，圖5又∵E是AD的中點(diǎn)，∴有eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(ED,\s\up6(→))＝0，即有eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(EC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)).以eq\o(EB,\s\up6(→))與eq\o(EC,\s\up6(→))為鄰邊作EBGC，則由F是BC的中點(diǎn)，可得F也是EG的中點(diǎn)．∴eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(EG,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(EC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))．點(diǎn)評：向量的運(yùn)算主要從以下幾個方面加強(qiáng)練習(xí)：(1)加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合思想的訓(xùn)練，畫出草圖幫助解決問題；(2)加強(qiáng)三角形法則和平行四邊形法則的運(yùn)用練習(xí)．做到準(zhǔn)確熟練運(yùn)用．例2課本本節(jié)例4.變式訓(xùn)練1．若非零向量a、b滿足|a＋b|＝|b|，則()A．|2a|>|2a＋b|B．|2a|<|2a＋b|C．|2b|>|a＋2b|D．|2b|<|a＋2b|答案：C2．在△ABC中，已知D是AB邊上一點(diǎn)，若eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(DB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋λeq\o(CB,\s\up6(→))，則λ等于()A.eq\f(2,3)B.eq\f(1,3)C．－eq\f(1,3)D．－eq\f(2,3)答案：Aeq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(知能訓(xùn)練))課本本節(jié)練習(xí)．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(課堂小結(jié)))1．讓學(xué)生回顧本節(jié)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識，向量的數(shù)乘運(yùn)算法則，向量的數(shù)乘運(yùn)算律，向量共線的條件．體會本節(jié)學(xué)習(xí)中用到的思想方法：特殊到一般、歸納、猜想、類比、分類討論、等價(jià)轉(zhuǎn)化．2．向量及其運(yùn)算與數(shù)及其運(yùn)算可以類比，這種類比是我們提高思想性的有效手段，在今后的學(xué)習(xí)中應(yīng)予以充分的重視，它是我們學(xué)習(xí)中偉大的引路人．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(作業(yè)))課本習(xí)題2.28、9.eq\o(\s\up7(),\s\do5(設(shè)計(jì)感想))1．本教案的設(shè)計(jì)流程符合新課程理念，充分抓住本節(jié)教學(xué)中的學(xué)生探究、猜想、推證等活動，引導(dǎo)學(xué)生畫出草圖幫助理解題意和解決問題．先由學(xué)生探究向量數(shù)乘的結(jié)果還是向量(特別地，0·a＝0)，它的幾何意義是把向量a沿a的方向或a的反方向放大或縮小，當(dāng)λ>0時，λa與a方向相同，當(dāng)λ<0時，λa與a方向相反；向量共線定理用來判斷兩個向量是否共線，然后對所探究的結(jié)果進(jìn)行運(yùn)用拓展．2．向量具有的幾何形式和代數(shù)形式的雙重身份在本節(jié)中得以充分體現(xiàn)，因而成為中學(xué)數(shù)學(xué)知識網(wǎng)絡(luò)的一個交匯點(diǎn)，由此可看出在中學(xué)數(shù)學(xué)教材中的地位的重要，也成為近幾年各地高考命題的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，教師要引導(dǎo)學(xué)生對平面向量中有關(guān)知識要點(diǎn)進(jìn)行歸納整理．eq\o(\s\up7(),\s\do5(備課資料))一、向量的數(shù)乘運(yùn)算律的證明設(shè)a、b為任意向量，λ、μ為任意實(shí)數(shù)，則有(1)λ(μa)＝(λμ)a；①(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；②(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.③證明：(1)如果λ＝0或μ＝0或a＝0，則①式顯然成立．如果λ≠0，μ≠0，且a≠0，則根據(jù)向量數(shù)乘的定義有：|λ(μa)|＝|λ||μa|＝|λ||μ||a|，|(λμ)a|＝|λμ||a|＝|λ||μ||a|，所以|λ(μa)|＝|(λμ)a|.如果λ、μ同號，則①式兩邊向量的方向都與a同向；如果λ、μ異號，則①式兩邊向量的方向都與a反向．因此，向量λ(μa)與(λμ)a有相等的模和相同的方向，所以這兩個向量相等．(2)如果λ＝0或μ＝0或a＝0，則②顯然成立．如果λ≠0，μ≠0且a≠0，可分如下兩種情況：當(dāng)λ、μ同號時，則λa和μa同向，所以|(λ＋μ)a|＝|λ＋μ||a|＝(|λ|＋|μ|)|a|，|λa＋μa|＝|λa|＋|μa|＝|λ||a|＋|μ||a|＝(|λ|＋|μ|)|a|，即有|(λ＋μ)a|＝|λa＋μa|.由λ、μ同號，知②式兩邊向量的方向或都與a同向，或都與a反向，即②式兩邊向量的方向相同．綜上所述，②式成立．如果λ、μ異號，當(dāng)λ>μ時，②式兩邊向量的方向都與λa的方向相同；當(dāng)λ<μ時，②式兩邊向量的方向都與μa的方向相同．還可證|(λ＋μ)a|＝|λa＋μa|.因此②式也成立．(3)當(dāng)a＝0，b＝0中至少有一個成立，或λ＝0，λ＝1時，③式顯然成立．當(dāng)a≠0，b≠0且λ≠0，λ≠1時，可分如下兩種情況：當(dāng)λ>0且λ≠1時，如圖6，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OA1,\s\up6(→))＝λa，eq\o(A1B1,\s\up6(→))＝λb；則eq\o(OB,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(OB1,\s\up6(→))＝λa＋λb.圖6由作法知eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(A1B1,\s\up6(→))，有∠OAB＝∠OA1B1，|eq\o(A1B1,\s\up6(→))|＝λ|eq\o(AB,\s\up6(→))|，所以eq\f(|\o(OA1,\s\up6(→))|,|\o(OA,\s\up6(→))|)＝eq\f(|\o(A1B1,\s\up6(→))|,|\o(AB,\s\up6(→))|)＝λ.所以△AOB∽△A1OB1.所以eq\f(|\o(OB1,\s\up6(→))|,|\o(OB,\s\up6(→))|)＝λ，∠AOB＝∠A1OB1.因此O、B、B1在同一條直線上，|eq\o(OB1,\s\up6(→))|＝|λeq\o(OB,\s\up6(→))|，eq\o(OB1,\s\up6(→))與λeq\o(OB,\s\up6(→))的方向也相同．所以λ(a＋b)＝λa＋λb.當(dāng)λ<0時，由圖7可類似證明λ(a＋b)＝λa＋λb.圖7所以③式也成立．二、備用習(xí)題1.eq\f(1,3)[eq\f(1,2)(2a＋8b)－(4a－2b)]等于()A．2a－bB．2b－aC．b－aD．a(chǎn)－b2．設(shè)兩非零向量e1、e2不共線，且ke1＋e2與e1＋ke2共線，則k的值為()A．1B．－1C．±1D．03．若向量方程2x－3(x－2a)＝0，則向量x等于()A.eq\f(6,5)aB．－6aC．6aD．－eq\f(6,5)a4．在△ABC中，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)eq\o(AB,\s\up6(→))