常見曲線的參數(shù)方程

關(guān)于常見曲線的參數(shù)方程1旋輪線

2旋輪線也叫擺線3旋輪線是最速降線4心形線5

星形線6

圓的漸伸線7

笛卡兒葉形線8雙紐線9阿基米德螺線10雙曲螺線

主目錄（1–10）第2頁,共46頁，2024年2月25日，星期天xa曲線,是一條極其迷人的曲線，在生活中應(yīng)用廣泛。1.

旋輪線一圓沿直線無滑動(dòng)地滾動(dòng)，圓上任一點(diǎn)所畫出的第3頁,共46頁，2024年2月25日，星期天x來看動(dòng)點(diǎn)的慢動(dòng)作.第4頁,共46頁，2024年2月25日，星期天2a2

a0yx

ax=a(t–sint)y=a(1–

cost)t

的幾何意義如圖示ta當(dāng)

t

從02，x從02a即曲線走了一拱a.參數(shù)方程第5頁,共46頁，2024年2月25日，星期天oaCAxy這就是旋輪線的參數(shù)方程。第6頁,共46頁，2024年2月25日，星期天將旋輪線的一拱一分為二，并倒置成擋板2.

旋輪線也叫擺線（單擺）第7頁,共46頁，2024年2月25日，星期天.第8頁,共46頁，2024年2月25日，星期天第9頁,共46頁，2024年2月25日，星期天兩個(gè)旋輪線形狀的擋板,

使擺動(dòng)周期與擺幅完全無關(guān)。在17世紀(jì)，旋輪線即以此性質(zhì)出名，所以旋輪線又稱擺線。第10頁,共46頁，2024年2月25日，星期天BA答案是：當(dāng)這曲線是一條翻轉(zhuǎn)的旋輪線。最速降線問題:

質(zhì)點(diǎn)在重力作用下沿曲線從固定點(diǎn)A滑到固定點(diǎn)B，當(dāng)曲線是什么形狀時(shí)所需要的時(shí)間最短？3.旋輪線是最速降線生活中見過這條曲線嗎？第11頁,共46頁，2024年2月25日，星期天BA第12頁,共46頁，2024年2月25日，星期天BA第13頁,共46頁，2024年2月25日，星期天BA滑板的軌道就是這條曲線.第14頁,共46頁，2024年2月25日，星期天xyoaa一圓沿另一圓外緣無滑動(dòng)地滾動(dòng)，動(dòng)圓圓周上任一點(diǎn)所畫出的曲線。4.

心形線(圓外旋輪線)第15頁,共46頁，2024年2月25日，星期天xyoa來看動(dòng)點(diǎn)的慢動(dòng)作.a第16頁,共46頁，2024年2月25日，星期天xyoaa2a來看動(dòng)點(diǎn)的慢動(dòng)作.第17頁,共46頁，2024年2月25日，星期天xyo2aP

r.r=a(1+cosθ)參數(shù)方程第18頁,共46頁，2024年2月25日，星期天xyoa–a一圓沿另一圓內(nèi)緣無滑動(dòng)地滾動(dòng)，動(dòng)圓圓周上任一點(diǎn)所畫出的曲線。5.星形線(圓內(nèi)旋輪線)第19頁,共46頁，2024年2月25日，星期天xyoa–a來看動(dòng)點(diǎn)的慢動(dòng)作.第20頁,共46頁，2024年2月25日，星期天xyoa–a來看動(dòng)點(diǎn)的慢動(dòng)作.第21頁,共46頁，2024年2月25日，星期天xyoa–a0

2極坐標(biāo)方程為.P

.直角坐標(biāo)方程為：.第22頁,共46頁，2024年2月25日，星期天0xy一直線沿圓周滾轉(zhuǎn)（無滑動(dòng)）直線上一個(gè)定點(diǎn)的軌跡6.

圓的漸伸線a

參數(shù)方程為第23頁,共46頁，2024年2月25日，星期天0xy.a再看一遍第24頁,共46頁，2024年2月25日，星期天0xy.a第25頁,共46頁，2024年2月25日，星期天0xy.a第26頁,共46頁，2024年2月25日，星期天a0xMttaat(x,y)0xy試由這些關(guān)系推出曲線的方程.參數(shù)方程為第27頁,共46頁，2024年2月25日，星期天1.曲線關(guān)于y=x對(duì)稱2.曲線有漸進(jìn)線x+y+a=0分析3.令

y=tx,

得參數(shù)式故在原點(diǎn)，曲線自身相交.7.狄卡兒葉形線4.第28頁,共46頁，2024年2月25日，星期天0xyx+y+a=0曲線關(guān)于

y=x

對(duì)稱曲線有漸近線

x+y+a=0.第29頁,共46頁，2024年2月25日，星期天0xyPr

...........曲線在極點(diǎn)自己相交，與此對(duì)應(yīng)的角度為

=.....距離之積為a2的點(diǎn)的軌跡直角系方程8.雙紐線第30頁,共46頁，2024年2月25日，星期天0xy.所圍面積...由對(duì)稱性.例1求雙紐線第31頁,共46頁，2024年2月25日，星期天0rr=a

曲線可以看作這種點(diǎn)的軌跡：動(dòng)點(diǎn)在射線上作等速運(yùn)動(dòng)同時(shí)此射線又繞極點(diǎn)作等速轉(zhuǎn)動(dòng)從極點(diǎn)射出半射線9.

阿基米德螺線第32頁,共46頁，2024年2月25日，星期天0r.第33頁,共46頁，2024年2月25日，星期天0r再看一遍請(qǐng)問：動(dòng)點(diǎn)的軌跡什么樣？.第34頁,共46頁，2024年2月25日，星期天0r.第35頁,共46頁，2024年2月25日，星期天0r.第36頁,共46頁，2024年2月25日，星期天0rr=a

.阿基米德螺線第37頁,共46頁，2024年2月25日，星期天r這里

從0+8r=a

02

a每?jī)蓚€(gè)螺形卷間沿射線的距離是定數(shù).阿基米德螺線第38頁,共46頁，2024年2月25日，星期天0r8當(dāng)

從0–r=a

.阿基米德螺線第39頁,共46頁，2024年2月25日，星期天r0.這里

從0+8a..10雙曲螺線第40頁,共46頁，2024年2月25日，星期天r0.當(dāng)

從0–8a.雙曲螺線第41頁,共46頁，2024年2月25日，星期天xyo例22..S=

=1+cos

3r=3cos

由3cos=1+cos

得交點(diǎn)的坐標(biāo)S2...第42頁,共46頁，2024年2月25日，星期天....例3.10xy令cos2

=0,由sin>0,

聯(lián)立后得交點(diǎn)坐標(biāo)...[S=2].第43頁,共46頁，2024年2月25日，星期天xyo例41s1s2......sS=

=1+cos

第44頁