2023年導(dǎo)數(shù)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)練習(xí)

導(dǎo)數(shù)一輪復(fù)習(xí)練習(xí)

［基礎(chǔ)題組練］

1.函數(shù)yu)=a+2〃)(x—〃)2的導(dǎo)數(shù)為()

A.2(x2—。2)B.2(x2+/72)

C.3(x2—a2)D.3(尤2+。2)

解析：選C.f(x)=(X-a)2+U+2〃)?(2_r-2。)二(x-〃)?(x-〃+2x+4〃)=3(應(yīng)-a2).

1—21rlx

2.(2020?安徽江南十校檢測(cè))曲線犬x)=---在點(diǎn)P(1,人1))處的切線/的方程為()

A.x+y~2=0B.2x+y~3=0

C.3x+)，+2=0D.3x+y—4=0

1-21nx-3+21nx

解析：選D.因?yàn)?)=---,所以/(x)=------------>所以/(1)=-3,又負(fù)1)=1,

所以所求切線方程為y-1=-3(x-1),即3x+y-4=0.

3.(2020?安徽宣城八校聯(lián)考)若曲線y=a\nx+箝(a>0)的切線的傾斜角的取值范圍是

~7t兀、

y引，則。=()

A±B3

入24D-8

一3

C,4D.2

解析：選B.因?yàn)閥=alnx+x23>0),所以f+2%》人所，因?yàn)榍€的切線的傾斜角

的取值范圍是［全生所以斜率?5，因此小=2/，所以故選B.

4.如圖所示為函數(shù)y=/(x),y=g(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，那么y=/(x),y=g(x)的圖象可能

是()

解析：選D.由y=/(x)的圖象知y=/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，說明函數(shù)y=?x)的切

線的斜率在(0，+8)上也單調(diào)遞減，故排除A、C.又由圖象知y=_f(x)與y=g，(x)的圖象在x

二七處相交，說明)，=於)與y=g(x)的圖象在x=x0處的切線的斜率相同，故排除B.

5.(2020?廣東佛山教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)(一))若曲線y=ex在x=0處的切線也是曲線y=lnx+b

的切線，則b=()

A.-1B.1

C.2D.e

解析：選C.)，=e、的導(dǎo)數(shù)為y'=e”則曲線y=e,在x=0處的切線斜率k=l，則曲線y

=e*在x=0處的切線方程為y-1=x,即y=x+1.y=Inx+6的導(dǎo)數(shù)為V=：,設(shè)切點(diǎn)為(加，

n),則\=1，解得機(jī)=1，則"=2,即有2=lnl+b,解得b=2.故選C.

6.設(shè)函數(shù)式x)在(0,+8)內(nèi)可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為/(x),且/Unx)=_r+lnx/!|/(l)=.

解析：因?yàn)?(lnx)=x+lnx,所以式x)=x+e”

所以/(x)=1+0,

所以/(1)=1+e,=1+e.

答案：1+e

7.(2020?江西重點(diǎn)中學(xué)4月聯(lián)考)已知曲線y=：+乎在x=l處的切線/與直線2x+3y

=0垂直，則實(shí)數(shù)〃的值為.

解析：y=-5+2,當(dāng)x=l時(shí)，y'=-1+J由于切線/與直線”+3y=0垂直，所以

(T+4G1)=-晨解得。=京

答案:f2

8.若過點(diǎn)A(a,0)作曲線C：y=xe,的切線有且僅有兩條，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

解析：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(.%，/“0)，y'=(x+l)et,也="=，+1)%，所以切線方程為丫-

jcoeAO=(x0+1)eA0(x-x0),將點(diǎn)A(a，0)代入可得-%%=(%+1)%(a-%),化簡(jiǎn)，得xg-公°

-a=0,過點(diǎn)A(a,0)作曲線C的切線有且僅有兩條，即方程.%-/-〃=0有兩個(gè)不同的

解，則有/=。2+4“>0,解得“>0或。<-4,故實(shí)數(shù)”的取值范圍是(-8,-4)U(0,+

°°).

答案：(一8,-4)U(0,+8)

9.已知函數(shù)?r)=x3+(l—a)x2-a(a+2)x+優(yōu)a,b￡R).

(1)若函數(shù)外)的圖象過原點(diǎn)，且在原點(diǎn)處的切線斜率為-3,求小b的值；

(2)若曲線)，=/U)存在兩條垂直于y軸的切線，求a的取值范圍.

解：/(%)=3x2+2(1-a)x-a(a+2).

/(0)=b=0,

⑴由題意得|

/(0)=-a(a+2)=-3,

解彳導(dǎo)匕=0,a=-3或a=l.

(2)因?yàn)榍€y=小)存在兩條垂直于y軸的切線，

所以關(guān)于V的方程/(X)=3必+2(1-a)x-a(a+2)=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

所以J=4(1-a)2+12a(a+2)>0,

即4a2+4a+1>0,

所以

所以a的取值范圍為(…，-加(弓，+8).

10.已知函數(shù),/(x)=x3+x—16.

(1)求曲線y=/(x)在點(diǎn)(2,—6)處的切線的方程；

(2)直線/為曲線y="r)的切線，且經(jīng)過原點(diǎn)，求直線/的方程及切點(diǎn)坐標(biāo)；

(3)如果曲線)，=/(x)的某一切線與直線y=-%+3垂直，求切點(diǎn)坐標(biāo)與切線的方程.

解：⑴可判定點(diǎn)(2,-6)在曲線y=/(x)上.

因?yàn)?Xx)=(x3+x-16丫=3為+1.

所以心)在點(diǎn)(2,-6)處的切線的斜率為k=片2)=13.

所以切線的方程為y=13(x-2)+(-6),

即y=13元-32.

⑵設(shè)切點(diǎn)為(1％,y°),

則直線/的斜率為了(X0)=3用+1,

所以直線/的方程為

y=(3xg+l)(x-x0)+用+%-16,

又因?yàn)橹本€/過點(diǎn)(0,0),

所以0=(3xg+1)(-x0)+x3+x0-16,

整理得，Xj=-8,

所以x°=-2,

所以),0=(-2)3+(-2)-16=-26,

)=3X(-2)2+1=13.

所以直線/的方程為v=13X,切點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,-26).

(3)因?yàn)榍芯€與直線y=-%+3垂直，

所以切線的斜率k=4.

設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為(5,%),

則/(七)=3$+1=4,

所以x0=±L

所以、°=1'或％=7'

乂=-14b0=-18.

即切點(diǎn)坐標(biāo)為(1，-14)或(-1,-18),

切線方程為y=4(x-1)-14或y=4(x+l)-18.

即y=4x-18或y=4x-14.

［綜合題組練1

I.在等比數(shù)列｛”“｝中，a=2,ag=4,函數(shù)/lr)=x(x—%)?(x-4),…,(彳一心)，則/(°)

=()

A.26B.29

C.212D.215

解析：選C.因?yàn)閇(尤)="[(X-6Zj)(X-4)-4)]+口-%)G-。2)?…G-。8)]"二a

-4)a-4)?…-%)+-%)。-4)-。8)丁心

所以,(0)=(0~%)(0--av)+0=a.a,…av.

因?yàn)閿?shù)列｛2｝為等比數(shù)列，所以4%=%%=4%"產(chǎn)8=8,所以八0)=84=2匕故選C.

2.(2020?湖北武漢4月調(diào)研)設(shè)曲線C：y=3x4—2公一9m+4,在曲線C上一點(diǎn)“(1,

—4)處的切線記為/,則切線/與曲線C的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

A.1B.2

C.3D.4

解析：選C.y'=12x3-6初-18x,則y'(=1=12X13-6X屋T8X1=-12，

所以曲線y=3X4-2a-%+4在點(diǎn)M(1,-4)處的切線方程為y+4=-12(x-1),即

\2x+y-8=0,x=\,一

⑵+y-8=0.聯(lián)立彳解得或

y-3x4-2%3-9尤2+4,y=-4

=32[y=0.

故切線與曲線C還有其他的公共點(diǎn)(-2,32),Q,0),

所以切線/與曲線C的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為3.故選C.

f-Inx,0<x<l,

3.(2020?安徽淮南二模)設(shè)直線/,分別是函數(shù)<x)=(圖象上點(diǎn)乙，

2\lnx,x>l

22處的切線./|與，2垂直相交于點(diǎn)P，且乙，4分別與)'軸相交于點(diǎn)A，B,則A,B兩點(diǎn)之

間的距離是()

A.1B.2

C.3D.4

解析：選B.設(shè)Pg,婀)),P2(x2,於2))，

當(dāng)0<x<l時(shí)，/(x)=-p當(dāng)x>l時(shí)，f(x)=

不妨設(shè)'HO,1),x,W(l,+8),

故4：y=-}(x-xj-InX|,鬻里得/]：y=-pr-In+1,

/2：y=*x-々)+1吟，SS得(：y=Jx+ln4-1,

所以A(0,1-lnx”fi(o,lnx2-l).則L48I=12-比。產(chǎn)2)1,

因?yàn)?，心所以-"='b所以X|X2=L所以481=2.故選B.

X\X2

4.己知曲線y=*+x—2在點(diǎn)P0處的切線乙平行于直線4犬一＞一1=0,且點(diǎn)分在第三

象限，則/的坐標(biāo)為；若直線山I，且1也過切點(diǎn)P。，則直線I的方程為-

解析：由y=j?+x-2,得了=3必+1,

由已知得3必+1=4,解得x=±l.

當(dāng)x=l時(shí)，y=0；當(dāng)x=-l時(shí)，y=-4.

又因?yàn)辄c(diǎn)尸。在第三象限，

所以切點(diǎn)勺的坐標(biāo)為(-1,-4).

因?yàn)橹本€/，(，4的斜率為4,

所以直線/的斜率為

因?yàn)?過切點(diǎn)P。，點(diǎn)PQ的坐標(biāo)為(-1,-4),

所以直線I的方程為y+4=-l(x+1),

即x+4y+17=0.

答案：(一1,-4)x+4y+17=0

Q

5,設(shè)有拋物線C：y=-x2+|x-4,過原點(diǎn)。作C的切線y=心;，使切點(diǎn)尸在第一象

限.

(1)求k的值；

(2)過點(diǎn)P作切線的垂線，求它與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)。的坐標(biāo).

9

解：⑴由題意得，y'=-2x4-2.

設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為您，M),

則=kx「①

9

片=-4,②

-2X]+2=k,③

聯(lián)立①②③得，X|=2,&=-2(舍去).

所以％=

(2)過戶點(diǎn)作切線的垂線，

其方程為y=-2x+5.④

將④代入拋物線方程得，

13

X2--yx+9=0.

設(shè)。點(diǎn)的坐標(biāo)為(\%)，則與=9,

所以X=*y=-4.

所以。點(diǎn)的坐標(biāo)為及，-4).

6.設(shè)函數(shù)/(外=如一*曲線y=/(x)在點(diǎn)(2,犬2))處的切線方程為7x-4y-12=0.

(1)求./(x)的解析式；

(2)證明：曲線y=/(x)上任一點(diǎn)處的切線與直線x=0和直線y=x所圍成的三角形的面

積為定值，并求此定值.

7

解：⑴方程71-4y-12=0可化為〉=肝?3.

1

當(dāng)

X=2孫y=

21

2

a+

X2

0-

2a-2-

于〃二1,2

-解得｛故於）=x-±

3

⑵證明：設(shè)p(x0,%)為曲線上任意一點(diǎn)，由y=i+￡,知曲線在點(diǎn)P(%，%)處的切線

方程為

令x=0,得v=--,

xo

從而得切線與直線x=0的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,

令y二x，得y二九二2\),

從而得切線與直線y二X的交點(diǎn)坐標(biāo)為(*0,2^).

所以點(diǎn)P(X0,%)處的切線與直線x=0,y=x所圍成的三角形的面積為S=；|

=6.

故曲線.Y=於)上任一點(diǎn)處的切線與直線K=0,)，=X所圍成的三角形的面積為定值，目

此定值為6.

第2講導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

r最新考綱考向林測(cè)

考查南散的單湖性,極俏,限值，利

1.了斛雨敷單制性和導(dǎo)數(shù)的美系；能利用9敢研究所敏的單劑性，公求函數(shù)的用函數(shù)的性質(zhì)求畚數(shù)也由：與方程、

中湖區(qū)間31中第項(xiàng)式雨敗一般不招過三次).命題f等式等知識(shí)楣結(jié)合命題.用化啪數(shù)

趨勢(shì)。方程思想、轉(zhuǎn)化與化八思想.分類

2.了制成效在臬苴取得極侑的，必要條件和充分條fl:會(huì)用導(dǎo)數(shù)求隔數(shù)的收大值.

討論思.想的3m總機(jī)：曲型以敘答題

極小值1此中多項(xiàng)式闡數(shù)一般不昭過三次);會(huì)求閉區(qū)間上函數(shù)的最大侑.

為主,一皎難度較大.

最小值(其中多項(xiàng)式函數(shù)?殷不的過三次).

核

3.會(huì)利用導(dǎo)牧解決某些實(shí)際問腮(生活中的優(yōu)化問題》.心

素

養(yǎng)遺粕推理.立祀想數(shù)學(xué)運(yùn)算

1

&須知識(shí)，小◎回顧

[學(xué)生用書P42]

―密圖受遺

一、知識(shí)梳理

1.函數(shù)的單調(diào)性

在某個(gè)區(qū)間3")內(nèi)，如果/(x)沙那么函數(shù)y=%)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果/(x)<0,

那么函數(shù)y=")在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.

2.函數(shù)的極值

(1)一般地，求函數(shù)y=/m)的極值的方法

解方程/(x)=0,當(dāng)/(%)=0時(shí)：

①如果在飛附近的左側(cè)也M，右側(cè)外口<0,那么兀引是極大值；

②如果在附近的左側(cè)r(x)<0,右側(cè)ZV)>0,那么人/)是極小值.

(2)求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟

①求/(x)；

②求方程萬x)=O的根;

③考查/G)在方程萬x)=0的根附近的左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)值的符號(hào).如果左正右負(fù)，那么/(x)

在這個(gè)根處取得極大值:如果左負(fù)右正，那么*x）在這個(gè)根處取得極小值.

3.函數(shù)的最值

（1）在閉區(qū)間［。，句上連續(xù)的函數(shù)/U）在［a,句上必有最大值與最小值.

（2）若函數(shù)J（x）在［a,切上單調(diào)遞增，則&1為函數(shù)的最小值，?為函數(shù)的最大值；若函

數(shù)人x）在［a,以上單調(diào)遞減，則為函數(shù)的最大值，遜為函數(shù)的最小值.

（3）設(shè)函數(shù)./（X）在［a,切上連續(xù)，在（a,6）內(nèi)可導(dǎo)，求/U）在以，句上的最大值和最小值的

步驟如下：

①求函數(shù)y=_/i＞）在3，一內(nèi)的極值;

②將函數(shù)v="）的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值*a）,式力做比較，其中最大的一個(gè)為最大

值，最小的一個(gè)為最小值.

常用結(jié)論

1.在某區(qū)間內(nèi)r（x）＞0（r（x）＜0）是函數(shù)/⑴在此區(qū)間上為增（減）函數(shù)的充分不必要條件.

2.可導(dǎo)函數(shù)人x）在伍，加上是增（減）函數(shù)的充要條件是對(duì)VxW（a,力,都有/（x）20/（x）WO）

且/（x）在①，刀上的任何子區(qū)間內(nèi)都不恒為零.

3.對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)/⑴，/（%）=0是函數(shù)J（x）在x=x0處有極值的必要不充分條件.

二、習(xí)題改編

1.（選修2-2P32A組T4改編）如圖是函數(shù)丫=%）的導(dǎo)函數(shù)y=/（x）的圖象，則下面判斷

正確的是（）

A.在區(qū)間（一2,1）上式x）是增函數(shù)

B.在區(qū)間（1,3）上次外是減函數(shù)

C.在區(qū)間（4,5）上/（X）是增函數(shù)

D.當(dāng)x=2時(shí)，/（X）取到極小值

解析：選C.在（4,5）上了。）＞0恒成立，所以於）是增函數(shù).

2

2.（選修2-2P28例4改編）設(shè)函數(shù)/（x）=-+lnx,則（）

A.光=；為/0）的極大值點(diǎn)

B.為汽x）的極小值點(diǎn)

C.x=2為段）的極大值點(diǎn)

D.x=2為＜x）的極小值點(diǎn)

21x-2

解析：選D/(x)=--+-=-^~(x>0),

當(dāng)0<x<2時(shí)，/(x)<0,當(dāng)x>2時(shí)，/(x)>0,所以戈=2為/U)的極小值點(diǎn).

「71~|

3.(選修2-2P30例5改編)函數(shù)y=x+2cosx在區(qū)間|_0,上的最大值是.

解析:因?yàn)?=1-2sinx,

所以當(dāng)xe[o,/時(shí)，y'>0；

當(dāng)x喏,9時(shí)，y<o.

\o2」

所以當(dāng)x=gyJ+p

Omax6Y

答案：&+5

一、思考辨析

判斷正誤(正確的打“J”，錯(cuò)誤的打“X”)

(1)若函數(shù)兀0在3,6)內(nèi)單調(diào)遞增，那么一定有_f(x)>0.()

(2)如果函數(shù)_/(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有/(x)=0,則於)在此區(qū)間內(nèi)沒有單調(diào)性.()

(3)函數(shù)的極大值不一定比極小值大.()

(4)對(duì)可導(dǎo)函數(shù)兀<),/。0)=0是七點(diǎn)為極值點(diǎn)的充要條件.()

(5)函數(shù)的最大值不一定是極大值，函數(shù)的最小值也不一定是極小值.()

答案：(1)X(2)V(3)V(4)X(5)V

二、易錯(cuò)糾偏

常見誤區(qū)收⑴原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系不清致誤；

(2)極值點(diǎn)存在的條件不清致誤；

(3)忽視函數(shù)的定義域.

1.函數(shù)/U)的定義域?yàn)镽,導(dǎo)函數(shù)/(X)的圖象如圖所示，則函數(shù),/(x)()

A.無極大值點(diǎn)、有四個(gè)極小值點(diǎn)

B.有三個(gè)極大值點(diǎn)、一個(gè)極小值點(diǎn)

C.有兩個(gè)極大值點(diǎn)、兩個(gè)極小值點(diǎn)

D.有四個(gè)極大值點(diǎn)、無極小值點(diǎn)

解析：選C.導(dǎo)函數(shù)的圖象與X軸的四個(gè)交點(diǎn)都是極值點(diǎn)，第一個(gè)與第三個(gè)是極大值點(diǎn),

第二個(gè)與第四個(gè)是極小值點(diǎn).

2.設(shè)“CR,若函數(shù)y=ex+or有大于零的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

解析：因?yàn)閥=5+依，所以y'=e,r+a.

因?yàn)楹瘮?shù)y=eA+ax有大于零的極值點(diǎn)，

所以方程y'=ex+a=O有大于零的解，

因?yàn)楫?dāng)x>。時(shí)，-eA<-1,所以a=--1.

答案：（一8,—1）

3.函數(shù),/（x）=x—Inx的單調(diào)遞減區(qū)間為.

解析：由/（x）=l-*O,得:>1,即x<l,又x>0,所以函數(shù)/（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0,

1).

答案：（0，1）

>西電演練，③后突破練好施?突破目分的頸，

［學(xué)生用書P342（單獨(dú)成冊(cè)）］

［基礎(chǔ)題組練］

1.已知定義在R上的函數(shù)_Ax）,其導(dǎo)函數(shù)人x）的大致圖象如圖所示，則下列敘述正確的

是（）

A.他)/c)>J@

B./e)

C.

D.

解析：選C.由題意得，當(dāng)xG（-8,°）時(shí)，加）>0,所以函數(shù)於）在（-8,。上是增函

數(shù)，

因?yàn)閍<Z?<c,所以九A/SA/S）,故選C.

2.（2020?江西紅色七校第一次聯(lián)考）若函數(shù)?r）=2x3-3*2+6x在區(qū)間（1,+8）上為增

函數(shù)，則實(shí)數(shù)〃，的取值范圍是（）

A.（—8,I]B.（一8,I）

C.(一8,2]D?(-8,2)

解析：選C./(x)=6x2-6g+6,由已知條件知xe(l,+8)時(shí),/(%)20恒成立?設(shè)g(x)

=6x2-6加工+6,則g(x)20在(1,+8)上恒成立.

當(dāng)/=36(牝-4)<0,即-2W/%W2時(shí)，滿足g(x)20在(1,+8)上恒成立；

tn,

kW1,

當(dāng)/=36(租2-4)>0,即m<-2或m>2時(shí)，則需j2解得機(jī).，

(1)=6-6m+620,

所以m<-2.

綜上得所以實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是(-8,2].

InX

3.己知人》)=丁，貝4()

A._A2)Me)/3)B.式3AAe)42)

C.式3)/2)/e)D./(e)/3)/2)

解析：選口用)的定義域是(0,+8),

1-Inx

/W=——，令/(x)=0,^x=e.

所以當(dāng)xG(0,e)時(shí)，/(x)>0,/)單調(diào)遞增，當(dāng)xG(e,+8)時(shí)，/(x)<0,於)單調(diào)遞減,

故當(dāng)x=e時(shí),加:=〃)=：,而42)=竽=野,#)=竽=野，所以汽e)R(3)/2),故

選D.

4.設(shè)函數(shù)?x)=$2-91nx在區(qū)間口-上單調(diào)遞減,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.(1,2]B.(4,+°°)

C.(一8,2)D.(0,3]

1OO

解析：選A.因?yàn)槎?=3-91nx,所以/(X)=x-；(心>0),由x-"W0,得0<vW3,所以

./U)在(0,3]上是減函數(shù)，貝a+1]￡(0,3],所以a-1>0且“+1W3,解得kaW2.

5.(2020?江西上饒第二次模擬)對(duì)任意xWR,函數(shù)y=/(x)的導(dǎo)數(shù)都存在，若/U)+〃x)>0

恒成立，且a>0,則下列說法正確的是()

A.尬)勺(0)B.尬)》(0)

C.e〃?%)<(0)D.5?式0/0)

解析：選D.設(shè)gj)=3/)，則g'(x)=+/(x)]>0,所以g(x)為R上的單調(diào)遞增函

數(shù),因?yàn)閍>0,所以g(a)>g(O),即e。加)/0),故選D.

6.函數(shù)段)x=今+5六一Inx的單調(diào)遞減區(qū)間是

解析：因?yàn)槲?=^+*Tnx,

所以函數(shù)的定義域?yàn)?0，+8),

5

151-

--X24X-

一-

說-

4X4X2

令/(X)<0,解得0<x<5,所以函數(shù)./U)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,5).

答案：(0,5)

7.若函數(shù)40=以3+3K-x恰好有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

解析：由題意知/(x)=3*2+6x-1,由函數(shù)/U)恰好有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，得/")有兩個(gè)不

相等的零點(diǎn),所以3ax2+6x-1=0需滿足aWO,且/=36+12〃>0,解得。>-3,所以實(shí)數(shù)

a的取值范圍是(-3,0)U(0,+8).

答案：(-3,0)U(0,+8)

8.已知函數(shù)/(x)=lnx+2,,若夫%2+2)勺(3x),則實(shí)數(shù)x的取值范圍是.

解析：由題可得函數(shù)段)的定義域?yàn)?0,+8),/(x)=；+27n2,所以在定義域內(nèi)加)>0,

函數(shù)單調(diào)遞增，所以由.網(wǎng)+2)勺(3x)得必+2<3x,所以l<x<2.

答案：(1，2)

InY~\~k

9.已知函數(shù),/(x)=——~~(k為常數(shù)，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,ZU))

處的切線與x軸平行.

(1)求％的值;

(2)求犬x)的單調(diào)區(qū)間.

--Inx-

_X

解：(口由題意得片箝=1~~--，

又因?yàn)?(1)=-----0,故4二1.

e

--Inx-1

x

(2)由(1)知，/?=---，

設(shè)h[x}=i-Inx-l(x>0),

貝！Ih'(x)=--

X2X

即//(x)在(0,+8)上是減函數(shù).

由力⑴=0知,當(dāng)0<xvl時(shí),h(x)>0,從而/(x)>0；

當(dāng)x>l時(shí)，h(x)<0,從而/(x)<0.

綜上可知，式x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,1)，單調(diào)遞減區(qū)間是(I，+8).

10.已知函數(shù)式X)=X3—OX—I.

(1)若./U)在R上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)若函數(shù)式x)在(-1,1)上為單調(diào)遞減函數(shù)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(3)若函數(shù)式犬)的單調(diào)遞減區(qū)間為(一1,1),求實(shí)數(shù)a的值；

(4)若函數(shù)式x)在區(qū)間(-1,1)上不單調(diào)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解：⑴因?yàn)?)在(-8,+8)上是增函數(shù)，

所以7(x)=3X2-。20在(-8,+8)上恒成立,

即aW3x2對(duì)xGR恒成立.

因?yàn)?x220,

所以只需aWO.

又因?yàn)椤?0時(shí)，/(X)=3X220,

?=X3-?在R上是增函數(shù)，所以“W0,即實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-8,0].

(2)由題意知/(x)=3x2-aWO在(-1,1)上恒成立，

所以a23名在(-1,1)上恒成立，

因?yàn)楫?dāng)-1UV1時(shí)，3依3,所以a23,所以a的取值范圍為[3,+?>).

(3)由題意知片x)=3柔-則|x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-華，陪,

又7U)的單調(diào)遞減區(qū)間為(7,1)，

所以華=1，解得"3.

⑷由題意知了(x)=3X2-。，當(dāng)時(shí)，/(X)20,此時(shí)式X)在(-8，+8)上為增函數(shù),

不合題意，故a>0.

令f(x)=O,解得x=士千.

因?yàn)樾?在區(qū)間(-1,1)上不單調(diào)，所以/(x)=0在(-1,1)上有解，需0＜甲＜],得Ova＜3,

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍為(0,3).

［綜合題組練］

1.設(shè)凡r),g(x)是定義在R上的恒大于0的可導(dǎo)函數(shù)，且/(x)g(x)—/(x)g，(x)<:0,則當(dāng)a<x<b

時(shí)，有()

A.於)g(x)次Z>)gS)

B.?g(a)/a)g(x)

C.㈱g?次力g(x)

D.I/(x)g(x)次a)g(a)

、4./(x)/(X)g(X)--(x)g，(x)

解析：選c.令F(x)=,則F(x)=-----------------------<0,所以F(x)在R

g(x)［g(x)也

上單調(diào)遞減.又a<x<b,所以4~~~.又段)>0,g(x)>0,所以/(x)gSA/(6)g(x).

g(a)g(x)g(b)

2.(2020?石家莊模擬)定義在R上的連續(xù)函數(shù)兀v)滿足兀v)+八-x)=x2,且x<0時(shí)，/'

(x)<x恒成立，則不等式/(X)—式1—x)Nx—3的解集為()

A.(-8,￡|B,(V，￡)

C.仕，+8)D.(-8,0)

解析：選A.令g(x)=/(x)-夕2,

貝11g(x)+g(-x)=0=>g(x)為奇函數(shù)，

又x<0時(shí)，g'(x)=/(x)-xv(Mg(x)在(-8,0)上單調(diào)遞減，

則g(x)在(-8,+8)上單調(diào)遞減，

由於)-/(I-X)2X-；知危)-.X2期1-X)-1(17)2,即g(X)2g(l-X),

從而xW1-x=>xwg,

所以所求不等式的解集為(-8,幺故選A.

3.已知函數(shù)兀V)=—%2+4x-31nX在區(qū)間［f,f+1］上不單調(diào)，則t的取值范圍是

3

解析：由題意知〃X)=-x+4-"

_(x-1)(x-3)

="，

由/(x)=0,得函數(shù)兀0的兩個(gè)極值點(diǎn)為1和3,

則只要這兩個(gè)極值點(diǎn)有一個(gè)在區(qū)間Q，r+1)內(nèi)，

函數(shù)段)在區(qū)間上，r+1］上就不單調(diào)，

由t<\<t+1或t<3<t+1,得0<r<l或2<r<3.

答案:(0,1)U(2,3)

4.函數(shù)於)是定義在(0,+8)上的可導(dǎo)函數(shù)，r(X)為其導(dǎo)函數(shù)，若燈Xx)+/(x)=ev(x

—2)且式3)=0,則不等式式x)V0的解集為.

解析：令g(x)=m>),xW(0,+8),則8")=取》)+%)=&\。-2),可知當(dāng)x￡(0,2)

時(shí)，g(x)=0(x)是減函數(shù)，當(dāng)xG(2,+8)時(shí)，8(1)=或0是增函數(shù).又大3)=0,所以g(3)=

3點(diǎn)3)=0.在(0,+8)上，不等式式x)<0的解集就是歡刈<0的解集，又g(0)=0,所以J(x)

<0的解集是(0,3).

答案：(0,3)

Y---1

5.設(shè)函數(shù)y(x)=alnx+不口，其中a為常數(shù).

(1)若4=0,求曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,犬1))處的切線方程；

(2)討論函數(shù)兀v)的單調(diào)性.

X-1

解：⑴由題意知當(dāng)〃=0時(shí)，fix)=----，xG(0,+8),

x+1

此時(shí)，(x)=lk，

可得/⑴=；,又川)=0,

所以曲線y=/)在(1，刈))處的切線方程為X-2y-1=0.

⑵函數(shù)段)的定義域?yàn)?0,+8).

a2ar2+(2a+2)x+a

f()=-+-_,=------------------

xX(犬+1)2X(X+1)2

當(dāng)心0時(shí)，/(x)>0,函數(shù)啟)在(0,+8)上單調(diào)遞增；

當(dāng)a<0時(shí)，令g(x)=ax2+(2a+2)x+a,

△=(2a+2)2-4。2=4(2〃+1).

■!(X-1)2

①當(dāng)。=-即寸，△=()，f(X)=----------〈(J,

X(x+\)2

函數(shù)/U)在(0,+8)上單調(diào)遞減.

②當(dāng)時(shí)，A<0,g(x)v0,

/U)<0,函數(shù)40在(0,+8)上單調(diào)遞減.

③當(dāng)-；<〃<()時(shí)，A>0,

設(shè)4是函數(shù)以工)的兩個(gè)零點(diǎn)，

_(〃+1)+、12a+1

貝卜=—————,

1a

-(67+1)-2a+1

々二a

由于X1+1-4^=業(yè)2+2。+1-正71,0,

1-a-a

所以當(dāng)xC（0,勺）時(shí)，g（x）＜o(jì),/（x）＜o(jì),函數(shù)凡r）單調(diào)遞減，當(dāng)xG（X],々耐，g（x）＞0,/

（x）＞0,

函數(shù)兀v）單調(diào)遞增，

當(dāng)+8）時(shí)，g（x）＜o(jì),/（幻＜0,函數(shù)人x）單調(diào)遞減.

綜上可得：

當(dāng)時(shí)，函數(shù)兀0在（0,+8）上單調(diào)遞增；

當(dāng)aW-g時(shí)，函數(shù)於）在（0,+8）上單調(diào)遞減;

當(dāng)-1＜47＜0時(shí)，

.f-（61+1）+、,2.+11

於）在卜，V）

卜（a+1）-^71,.a]上單調(diào)遞減，

在(一(a+1：+皿］-(4+1上單調(diào)涕增.

6.己知函數(shù)?x)=alnx—分一3(aWR).

(1)求函數(shù)式x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若函數(shù)y=/(x)的圖象在點(diǎn)(2,犬2))處的切線的傾斜角為45。，對(duì)于任意的2］,

函數(shù)g(x)=x3+x2?［/(x)+募］在區(qū)間0,3)上總不是單調(diào)函數(shù)，求機(jī)的取值范圍.

解：⑴函數(shù)段)的定義域?yàn)?0,+8),

且/(x)="37),

X

當(dāng)a>0時(shí)，凡1)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),

單調(diào)遞減區(qū)間為(1，+8)；

當(dāng)a<0時(shí)，y(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1);

當(dāng)4=0時(shí)，/)為常函數(shù).

(2)由⑴及題意得/(2)=4=1，

即〃=-2,

2x-2

所以/U)=-21nx+2x-3,/(x)=-----

x?

所以g(x)=冷+e+2%-2X,

所以g'(x)=3x2+(m+4)x-2.

因?yàn)間(x)在區(qū)間⑺3)上總不是單調(diào)函數(shù)，

即/(X)在區(qū)間(/,3)上有變號(hào)零點(diǎn).

由于g'(0)=-2,

g'(t)<0,

所以

身(3)>0.

當(dāng)g")<0時(shí)，

即3f2+(m+4)t-2<0對(duì)任意,2］恒成立，

由于g'(0)<0,故只要g'(l)<o且g'⑵<0,

即mv-5且m<-9,即m<-9；

由g，（3）>0,即心-半

所以~芋<"?<-9.

即實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-孝，-9）,

》演練，③住突破

練好通?突破目分瓶頸?

［學(xué)生用書P271（單獨(dú)成冊(cè)）］

［基礎(chǔ)題組練J

1.（2020?遼寧沈陽一模）設(shè)函數(shù)/（x）=xer+l,則（）

A.x=l為./（X）的極大值點(diǎn)

B.x=l為/（x）的極小值點(diǎn)

C.x=-1為兀0的極大值點(diǎn)

D.x=-l為兀v）的極小值點(diǎn)

解析：選D.由於）=x&+1，可得/（x）=Q+1）4,令/⑴乂）可得x>-1,即函數(shù)於）在（-

1,+8）上是增函數(shù)；令/（x）<0可得x<-1,即函數(shù)Ax）在（-8,-1）上是減函數(shù)，所以x

=-1為/）的極小值點(diǎn).故選D.

2.函數(shù)丫=2在［0,2］上的最大值是（）

A.iB.2

ee2

C-°D.4

1-X

解析：選A.易知；/=『，x￡［0,2］,令），>0,得OWxvl,令產(chǎn)0,得1<XW2,所

以函數(shù)y=*［0,1］上單調(diào)遞增，在（1,2］上單調(diào)遞減，所以y=人在［0,2］上的最大值是

e-v8

故選A.

3.（2020?廣東惠州4月模■擬）設(shè)函數(shù)段）在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為了⑶，且函數(shù)危）在工

=一2處取得極小值，則函數(shù)y=x/（x）的圖象可能是（）

CD

解析：選c.因?yàn)楹瘮?shù)/上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為/(x),且函數(shù)形)在x=-2處取得極

小值，所以當(dāng)x>-2時(shí)，f(x)>0；當(dāng)x=-2時(shí)，/(x)=0；當(dāng)xv-2時(shí)，f(x)<0.

所以當(dāng)-2<r<0時(shí)，xf(A)<0；當(dāng)x=-2時(shí)，xf(x)=0；

當(dāng)x<-2時(shí)，xf(x)>(1故選C.

4.(2020?河北石家莊二中期末)若函數(shù)/(x)=(l-x)(x2+ar+%)的圖象關(guān)于點(diǎn)(一2,0)對(duì)

稱，/，々分別是,/(x)的極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)，則々一%=()

A.一/B.24

C.-2^3D.小

解析：選C.由題意可得-2)=3(4-2a+b)=0,

因?yàn)楹瘮?shù)圖象關(guān)于點(diǎn)(-2,0)對(duì)稱，且式1)=0,

所以八-5)=0,

即人-5)=6(25-5a+b)=Q,

b-2a+4=0f[b=10,

聯(lián)立解得

b-5a+25=0,[a=l.

故於)=(1-x)(x2+7x+10)=-x3-6X2-3X+10,

則/(x)=-3必-12x-3=~3(Q+4x+1),

結(jié)合題意可知、，々是方程X2+4x+1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且X|>x,,

故*2-X]=_%'7(X]+)2-二產(chǎn)2=-(-4)2-4X1=-2^3.

5.己知函數(shù)y(x)=jo+3m—9x+l,若&c)在區(qū)間伙，2]上的最大值為28,則實(shí)數(shù)Z的

取值范圍為()

A.[-3,+8)B.(-3,+8)

C.(一8,-3)D.(一8,-3]

解析：選D.由題意知了(x)=3m+6x-9,令F(x)=0,解得x=1或x=-3,所以了(x),

“X)隨X的變化情況如下表：

X(-8,-3)-3(-3,1)1(1>+°°)

十0-0+

於)極大值極小值

又1-3)=28,犬1)=-4,式2)=3,於)在區(qū)間伙，2]上的最大值為28,所以《-3

6.

/

函數(shù)兀V)=x3+bx2+cx+d的大致圖象如圖所示，則x^+xj=.

解析：函數(shù)八x)的圖象過原點(diǎn)，所以d=0.又犬-1)=0且式2)=0,即-l+b-c=0且8

-

+4Z?+2c=0,解得Z?=-Lc=-2,所以函數(shù)/U)=x3-x22x?所以/U)=3x2-2x-2,

由題意知已，公是函數(shù)的極值點(diǎn)，所以%，%是八x)=o的兩個(gè)根，所以/+々=|,%々=

2Ui-、。4,4_16

-y所以k+專=(X]+々)2產(chǎn)2=3+§_亍-

答案：y

7.若函數(shù)/U)=X3-3ax在區(qū)間(一1,2)上僅有一個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

解析：因?yàn)?(%)=3(x2-〃)，所以當(dāng)aW0時(shí)，/(x)20在R上恒成立，所以於)在R上

單調(diào)遞增，/W沒有極值點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)a>0時(shí)，令/(》)=0得尢=±5，當(dāng)x變化時(shí)，/

(x)與府)的變化情況如下表所示：

X(-0°,―/)—yja(—0，而(w,+°0)

f'(x)+0—0+

危)