2023年高考數(shù)學(xué)一模試卷（文科）附答案解析

2023年高考數(shù)學(xué)一模試卷(文科)附答案解析

一、單選題(本大題共12小題，共60.0分。在每小題列出的選項中，

選出符合題目的一項)

1.已知集合力={%|0<x<2},B={xEZ\x>0},則力nB子集的

個數(shù)為()

A.2B.3C.4D.8

2.復(fù)數(shù)Zi*2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點關(guān)于虛軸對稱，若Zi=1-2i為

虛數(shù)單位，則Z2=()

A.l+2iB.-l-2iC.-1+2iD.2+i

3.若sina+cosa=j,貝Usizi2a=()

3尸3-3

AAyB.-C.--D.--

4.已知f(%)是定義域為R的奇函數(shù)，當(dāng)%>。時，/(%)=log2x,則

/(-4)=()

A.2B.-2C.1D.-1

5.”稻草很輕，但是他迎著風(fēng)仍然堅韌，這就是生命的力量，意志

的力量""當(dāng)你為未來付出踏踏實實努力的時候，那些你覺得看不到

的人和遇不到的風(fēng)景都終將在你生命里出現(xiàn)"…當(dāng)讀到這些話時，你

會切身體會到讀書破萬卷給予我們的力量為了解某普通高中學(xué)生的

閱讀時間，從該校隨機抽取了800名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，得到了這800名學(xué)

生一周的平均閱讀時間(單位：小時)，并將樣本數(shù)據(jù)分成九組，繪制

成如圖所示的頻率分布直方圖，則從這800名學(xué)生中隨機抽取一人，

周平均閱讀時間在(10,12］內(nèi)的頻率為()

D.0.30

6.已知焦點在%軸上的雙曲線，一條漸近線的傾斜角是另一條漸近線

的傾斜角的5倍，則雙曲線的離心率是()

A.2B.2C.漁D.在

322

7.在長方體4BCD-4/165中，底面4BCD為正方形，力a=2,

其外接球的體積為36兀，則此長方體的表面積為()

A.34B.64C.4V17+17D.8V17+34

8.已知函數(shù)/(x)=2sin(a)x+口)?>0,\(p\<

力的部分圖象如圖所示，則/(壬=()

4O

A.5B.C.1D.-1

22

9.南宋數(shù)學(xué)家楊輝在前羊解九章算法》中提出了垛積問題，涉及逐

項差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列的高階等差數(shù)列.現(xiàn)有一個高階等

差數(shù)列的前6項分別為4,7,11,16,22,29,則該數(shù)列的第18項為

()

A.172B.183C.191D.211

10.已知點「(-3,2)在拋物線。：/=2p%(p>0)的準(zhǔn)線上，過C的焦

點且斜率為k的直線與C交于4,B兩點.若方.麗=0,則k=()

A.1B.V2C.V3D.3

11.在直三棱柱力BC—AiBiQ中,AB=4,BC=AC=2y[2,AA1=1,

點M,N分別是,4G的中點，則直線與CN所成角的余弦值

為()

A.叵B.包C.叵D.漁

5533

12.設(shè)a=e01-1,b,c=lnl.1,則()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

二、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

X+y—4<0,

13.若實數(shù)％,y滿足約束條件2x-y-6<0,則z=%+y的最大值

,x—120,

是—.

14.已知向量為=,b=(2,3m),若方與3共線且方向相反，則

\2a+b\=.

15.在如圖所示的平面四邊形力BCD中，4。=3,------77。

AB=BC=CD=y/3,則bcos/-cosC的值

BC

為

16.若直線y=3%+m是曲線y=x3(x>0)與曲線y=—x2+nx—

6(%>0)的公切線，則m,n=.

三、解答題(本大題共7小題，共82.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，

證明過程或演算步驟)

17.(本小題12.0分)

已知等差數(shù)列5｝的前幾項和為Sn，且=2品=5，等比數(shù)列也｝中，

匕2=4,生=32.

(1)求數(shù)列｛%｝和｛4｝的通項公式；

(2)設(shè)cn=an+bn,求數(shù)列｛cn｝的前幾項和7n.

18.(本小題12.0分)

某校組織了全體學(xué)生參加"建黨100周年"知識競賽，從高一、高二

年級各隨機抽取50名學(xué)生的競賽成績(滿分100分)，統(tǒng)計如表：

分?jǐn)?shù)段[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

高一年級310121510

局J—年級46101812

(1)分別估計高一，高二年級競賽成績的平均值看與焉(同一組中的數(shù)

據(jù)以該組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點的值作代表)；

(2)學(xué)校規(guī)定競賽成績不低于80分的為優(yōu)秀，根據(jù)所給數(shù)據(jù).完成下面

的2x2列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認(rèn)為競賽成績優(yōu)秀與年級有

關(guān)？

非優(yōu)秀優(yōu)秀合計

高一年級

高二年級

封100

附:f=3）黑黑口），其中九=。+…+d.

a0.150.100.050.01

2.0722.7063.8416.635

19.（本小題12.0分）

如圖甲戶的正方形/力A；a中,力力1—12,AB=4/1=3,BC=

B?=4,對角線力力；分別交BBi,CCi于點P,Q，將正方形力力Z；&

沿BB1CG折疊使得力4與力A'重合，構(gòu)成如圖乙所示的三棱柱力BC-

1

力1B1G.點M在棱力C上,且AM=y.

⑴證明：BM〃平面4PQ；

（2）求三棱錐M-4PQ的體積.

20.(本小題12.0分)

已知橢圓C：a+靠=l(a>b>0)的離心率是亨，鼻，?2分別是橢圓

的左、右焦點，P是橢圓上一點，且^PF1F2的周長是4+2V3.

(1)求橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若直線y=kx+t與橢圓C交于M,N兩點，。是坐標(biāo)原點，目四邊

形。MPN是平行四邊形，求四邊形。MPN的面積.

21.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/(%)=仇方+。(a￡R).

(1)當(dāng)a=1時，求函數(shù)在(1/(1))處的切線方程；

(2)若%]>%2>1時，恒有智等<￡,求a的取值范圍.

22.(本小題10.0分)

在平面直角坐標(biāo)系如中，已知圓C的參數(shù)方程為仁Z(卷;胃"(其

中。為參數(shù)).以坐標(biāo)原點。為極點，％軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,

直線，的極坐標(biāo)方程為3pcos6+4psin0+6=0.

(1)將圓C的參數(shù)方程化為普通方程，直線/的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)

方程；

(2)若M是直線，上任意一點，過M作C的切線，切點為力,B,求四邊形

4MBC面積的最小值.

23.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/(%)=|x-2|-2|x-l|,XER.

(1)求不等式/(%)式4%+1的解集；

(2)若對于V%ER,a2-a>/(%)+\x-2\,求a的取值范圍.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解:集合力={%|0<%<2],B=[xEZ\x>0],

則力nB={1,2},

???AnB的子集的個數(shù)為22=4.

故選：C.

先求出anB,由此能求出/nB的子集的個數(shù).

本題考查集合的運算，考查交集定義、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算

求解能力，是基礎(chǔ)題.

2.【答案】B

【解析】解：復(fù)數(shù)Z1耀2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點關(guān)于虛軸對稱,Z1=l-2i,

則Z2=-l-2i.

故選：B.

根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解.

本題主要考查復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】D

【解析】解：因為sina+cosa=|,

所以兩邊平方,可得sin2a+cos2a+2sinacosa=1+sin2a=|,

則si712a=--.

4

故選：D.

將已知等式兩邊平方，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式以及二倍角的正弦公

式即可求解.

本題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式以及二倍角的正弦公式在三角函數(shù)

化簡求值中的應(yīng)用，考查了方程思想，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】B

【解析】解：因為/(%)是定義域為的奇函數(shù)，當(dāng)%＞。時，/(%)=

Rlog2%,

所以

/(4)=log24=2,

則/(-4)=-2.

故選：8.

由已知先求出/(4),然后結(jié)合奇函數(shù)的定義即可求/(-4).

本題主要考查了函數(shù)的奇偶性在函數(shù)求值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】4

【解析】解：由題意可得(0.002+0.003+0.005+0.005+0.15+a+

0.005+0.004+0.001)X2=1,

解得a=0.1,

???周平均閱讀時間在(10,12］內(nèi)的頻率為2a=0.20.

故選：/.

直接利用頻率分布直方圖的性質(zhì)求解即可.

本題考查頻率分布直方圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)

題.

6.【答案】A

【解析】解：焦點在%軸上的雙曲線，一條漸近線的傾斜角是另一條漸近

線的傾斜角的5倍,

可設(shè)一條漸近線的傾斜角為a,所以5a+a=7i,可得a=/

依題意2=ta《=4,e—=11+瑪="

a63aya23

故選：/.

利用一條漸近線的傾斜角是另一條漸近線的傾斜角的5倍，求出傾斜角，

列出關(guān)系式，即可求解雙曲線的離心率.

本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，離心率的求法，考查計算能力.

7.【答案】B

【解析】解：設(shè)外接球的半徑為R,因為外接球的體積為36兀,所以U=

］收=367r,所以R=3,

設(shè)底面正方形力BCD邊長為a,

因為長方體外接球的球心在體對角線中點，球直徑為長方體體對角線，

所以/a?+a?+a?=2R=6,所以a=4,

所以長方體的表面積為2(4x4+2x4+2x4)=64,

故選：B.

根據(jù)長方體外接球直徑為體對角線長求出底面邊長，進(jìn)一步求得長方體的

表面積.

本題考查棱柱表面積，外接球的體積，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】D

【解析】解：由圖可知，最小正周期丁=-》=兀，

則口=與=2,

圖象過點@，2),

則2s譏(2X囚+w)=2gn-+(p=-+2kn即9=-+2kji,kEZ

6326

..TC

則0=9

故/(%)=2s譏(2%+力

所以/弓)=2s譏(2x4+》=2s譏(詈)=2sin(2n-^)=-1.

故選：。.

根據(jù)圖象求出3和9,即可求函數(shù)/(%)的解析式，即可求解.

本題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題.

9.【答案】C

【解析】解:設(shè)該數(shù)列為｛冊｝,

???數(shù)歹I」的前6項分另(]為4,7,11,16,22,29,

;數(shù)列S｝滿足的=4,an-an-1=n+l(n>2),

**?CLn=(Qn—a九_])+(^n-1—^n-2)+?一+(。2—。1)+。1=3+4+5+?

,,+?2+1+4

_(3+n+l)(九一1)+4=5+4)(n-l)+彳

22

22X17,“

ai8——"F4=191.

故選：c.

利用等差數(shù)列的求和公式，累加法求解即可.

本題考查了等差數(shù)列的求和公式，累加法的運用，屬于中檔題.

10.【答案】D

【解析】解:拋物線C：y2=2px(p>o),則拋物線c的準(zhǔn)線為％=-，

???點P(-3,2)在拋物線。的準(zhǔn)線為％=-|,

???*=-3,解得p=6,

???拋物線C的焦點為(3,0),

過焦點(3,0)且斜率為k的直線方程為y=k(x-3),

聯(lián)14y2=12%,整理得Ze?/_6(2+k2)x+9k2=0

.?./=36(2+爐)2-36/C4=1441+144>0,

設(shè)力(%21),B(%2J2),

6

???+%2=等"，=9，則以+y2=kg+%2-6)=y,y/2=

2

k(xr—3)(%2—3)=36,

???P(-3,2),

PA=(%i+3,%—2),PB=(不+3,先—2),

又談?PF=0,則%1%2+3(%1+%2)+y，2-2(%+y2)+13=o,

9+3x6(2宴)-36-2X—+13=0，即/-6/c+9=0，解得/c=3.

k乙k

故選：D.

由題意得拋物線C的準(zhǔn)線為％=-7，可得-：=-3，求出p，則過焦點(3,0)

且斜率為屈勺直線方程為y=k(x-3),聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理，即

可得出答案.

本題考查雙曲線的性質(zhì)和直線與雙曲線的綜合，考查轉(zhuǎn)化思想和方程思想,

考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題.

1L【答案】A

【解析】解：如圖所示，取8C的中點E,連接EN,

則根據(jù)題意易得四邊形MNEB為平行四邊形,

BM//EN,

???直線8M與CN所成角為4NE,

又根據(jù)題意易知BC1平面4CC14,且CNu平面4CC14,

222

?-BC1CN，又EN=BM=y/B1M+BrB=6，CN=+QC=

V3,

V3V15

：?COSINE=霽=^=~

故選：，.

將兩異面直線平移成相交直線，再解三角形，即可求解.

本題考查異面直線所成角問題，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬基礎(chǔ)題.

12.【答案】B

【解析】解：令/(%)=靖-1-%,%>。，

則/。)=靖一1〉0恒成立,

故/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增，/(%)>/(0)=0,

故e*—1>%,

所以e。1-1>0.1,

所以a>b,

又e*>%+1,

所以%>ln(x+1),

所以0.1>lnl.1,即力>c,

故cVb<a.

故選：8.

先構(gòu)造函數(shù)/(%)=ex-l-x,x>0,對其求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的

單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性可比較a,匕的大小，然后可比較匕，c的大小即可判

斷.

本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性在函數(shù)值大小比較中的應(yīng)用，屬于中檔題.

13.【答案】4

【解析】解：由約束條件，畫出可

行域如圖，

目標(biāo)函數(shù)z=%+y可化為：y=

-%+z,得到一簇斜率為-1，截距

為z的平行線，

要求Z的最大值，須滿足截距最大，

.??當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過點4或C時截距最大，

由｛2；-4=0可得以I，”，

由降可得*31)，

：?z的最大值為4.

故答案為：4.

X+y—4<0,

先根據(jù)約束條件件卜％-y-6<o,畫出可行域，再轉(zhuǎn)化目標(biāo)函數(shù)，把求

,x—1之0,

目標(biāo)函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化成求截距的最值問題，找到最優(yōu)解代入求值即可.

本題考查線性規(guī)劃，要求可行域要畫準(zhǔn)確，還需特別注意目標(biāo)函數(shù)的斜率

與邊界直線的斜率的大小關(guān)系，即要注意目標(biāo)函數(shù)與邊界直線的傾斜程

度.屬簡單題.

14.【答案】

【解析】解：向量為=,b=(2,3m),方與B共線且方向相反，

1

則1m?3m=2X2,解得血=一2或2(舍去)，

故五二(一|,2),b=(2,-6),

所以2五+B=G，_2),即|2五+B|=J(|)2+(_2)2=竽.

故答案為：蜉.

根據(jù)已知條件，結(jié)合向量平行的性質(zhì)，求出m,再結(jié)合向量的坐標(biāo)運算,

以及向量模公式，即可求解.

本題主要考查平面向量平行的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】1

【解析】解：由題意得ZD?+AB2-2AD-ABcosA=BC2+CD2-2BC-

CDcosC,

--AD=3,AB=BC=CD=^3,

:.12—6y[?>cosA=6—6cosC,即V^cosA—cosC=1.

故答案為：1.

由余弦定理得+AB2-2AD?ABcosA=BC24-CD2-2BC?CDcosC,

結(jié)合題意可得12-6y/3cosA=6-6cosC,求解即可得出答案.

本題考查余弦定理，考查轉(zhuǎn)化思想，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

16.【答案】-27

【解析】解：設(shè)直線y=3x+m與曲線y=x3(x>0)相切于點(a,a3),

由函數(shù)y=x3(x>0)，得yz=3x2,則3a2=3(cz>0),解得a=1,

I3=3+m,即m=-2,

設(shè)與曲線y=一％2+nx-6(%>0)相切于點(43b+m),

由函數(shù)y=—/+nx-6(%>0)彳導(dǎo)y'=-2x+九，則一2匕+n=3(匕>0),

又一匕2+nb—6=3b—2,

—b24-b(3+2b)—6=3b—2,而匕>0,則b=2,n=7.

故答案為：-2；7.

設(shè)切點坐標(biāo)利用導(dǎo)數(shù)求得在切點處的切線方程，結(jié)合切線為y=3x+m,

即可求得利與九的值.

本題考查利用導(dǎo)函數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，考查運算求解能力，

屬于中檔題.

17.【答案】解：(1)設(shè)等差數(shù)列｛an｝的公差為d,

因為=2,S5=5,

所以的+5d=2,5al+10d=5,

解得的=d=］所以an=|+|(n-l)=^,

設(shè)等比數(shù)列｛?。墓葹閝,則q3=微=8,解得q=2,

則瓦=￡=2,所以%=2般.

(2)由(1)得：cn=(1n+bn='+2",

所以q=G+2)+(|+22)+(|+23)+.??+《+2幾)

=(|+1+1+-+1)+(2+22+23+…+2n)=^n(n+l)+2n+1-2.

【解析】⑴根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列性質(zhì)結(jié)合題中已知條件，便可求出的，

d,瓦，q的值，進(jìn)而求得數(shù)列｛冊｝和｛,｝的通項公式；

(2)由(1)可知％=冊+%=三+2",然后利用分組求和法求出數(shù)列的和.

本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本知識和分組求和法的應(yīng)用，考查了

學(xué)生的計算能力，屬于中檔題.

18.【答案】解：(1)高一年級隨機抽出50名學(xué)生競賽成績的平均值估計為

—1

=藁x(55X3+65X10+75x12+85x15+95x10)=78.8,

高二年級隨機抽出50名學(xué)生競賽成績的平均值估計為石=2x(55x

4+65x6+75x10+85x18+95x12)=80.6,

故估計高一，高二年級競賽成績的平均值分別為78.8與80.6.

(2)2X2列聯(lián)表如下：

非優(yōu)秀優(yōu)秀合計

高一年級252550

高二年級203050

4555100

21OOX(25X3O-25X2O)2.

?-,X=---------------------------------------------x1.01<2.706,

A45x55x50x50

?咕攵沒有90%的把握認(rèn)為競賽成績優(yōu)秀與年級有關(guān).

【解析】本題主要考查了獨立性檢驗的應(yīng)用問題，也考查了計算能力，屬

于基礎(chǔ)題.

(1)根據(jù)表格的數(shù)據(jù)，結(jié)合平均值公式，即可求解.

(2)根據(jù)已知條件，結(jié)合獨立性檢驗公式，即可求解.

19?【答案】(1)證明：過M作MN〃CQ,交4Q于N,連接PN,BM,

由于PB〃CQ,則MN〃PB,所以M,N,P,B共面，

且平面MNPBn平面4PQ=PN,

因為/B=3,BC=4,所以/C=AAf-AB-BC=12-3-4=5,

又在正方形兒中，

444ZCAQ=74,

所以PB=AB=3,QC=7,tan/Q力C=1,

由力M=y,得MN=￡x(=3=PB,

所以四邊形MNPB為平行四邊形,則BM〃PN,

又PNu平面4PQ,BM仁平面4PQ,所以BM〃平面4PQ；

(2)解:由⑴知4c2=AB2+BC2,所以4B1BC,

因為AC=5,AM=y,即力M=^AC,

r-r-i\1173IZ3T73〃3〃311

所以，M-APQ=7^C-APQ=7Kp-ACQ=1^B-ACQ=]^Q-ABC-7X3X2X

3x4x7=6.

【解析】(1)過M作MN〃CQ,連接PN,BM,證明四邊形MNPB為平行四

邊形，根據(jù)線面平行的判定定理即可證明結(jié)論；

(2)根據(jù)三棱錐的等體積法,將三棱錐M-/PQ的體積轉(zhuǎn)化為求Q-ABC

的體積，結(jié)合二者之間的數(shù)量關(guān)系，可得答案.

本題考查了線面平行的證明和三棱錐的體積計算，屬于中檔題.

20.【答案】解：（1）由題意可得『=1=三，可得a=2,c=8,

2a+2c=4+2A/3

b2=a2—c2=4—3=1,

所以橢圓的方程為：？+y2=i；

4

（2）設(shè),N（%2，V2）,

聯(lián)立｛；214'整理可得：（1+4k2）%2+8ktx+4t2-4=0,

/=64k2t2-4（1+4/c2）（4t2-4）>0,即產(chǎn)<1+k2,

與+冷=一彘，%+丫2=+?。?2t=高，2=琮，

因為四邊形。MPN是平行四邊形，所以O(shè)P的中點與MN的中點重合,

所以P（一蓋，高），而P在橢圓上，

所以羔濠+儡=1，整理可得：4/=1+4好，

\MN\=V1+/C27（^I+X）2-4%%=Vl+/c2-J-4.=

212；：：：；

—4?。二VFT后?杵，

卜哼4）22

、16t4tyjt

。到直線MN的距離d=淺，

所以S四邊彩）MPN=2sAOMN=2xI\MN\-d=V1+/c2-=V3,

即四邊形。MPN的面積為舊.

【解析】（1）由離心率的值及三角形的周長，可得a,c的值，進(jìn)而求出匕的

值，求出橢圓的方程；

（2）聯(lián)立直線MN的方程與橢圓的方程，可得兩根之和及兩根之積，進(jìn)而求

出MN的中點的坐標(biāo)，由平行四邊形的性質(zhì)，可知P點坐標(biāo)，代入橢圓的

方程，可得參數(shù)的關(guān)系，求出|MN|的表達(dá)式及。到直線MN的距離d,由

平行四邊形的面積為三角形面積的2倍，代入三角形的面積公式，求出四

邊形的面積.

本題考查求橢圓的方程及直線與橢圓的綜合應(yīng)用，平行四邊形性質(zhì)的應(yīng)用

及平行四邊形面積的求法，屬于中檔題.

2L【答案】解:⑴函數(shù)〃%)=/nx+￡(ae/?),xe(0,+8),

當(dāng)a=1時

7v7x2x22x2

.?.八1)=。又-1)=]

???切線方程為y--1),化為無一2y=。.

(2)當(dāng)與>%2>1時，恒有""<|,即/(石)一/(七)<^1-^2,

變形為/(%1)-</(%2)-，

構(gòu)造9(%)=/(%)-=仇%+5-，

即函數(shù)X%)在區(qū)間(1,+8)為減函數(shù)，

則g'(%)=：￡*=上A工。在(1，+2恒成立，

令"(%)=-ax2+2x-a,則“(%)<。在(1,立，

化為心島，

2x_22_1

???%>1「不=定一用=1,

7x

a>1,

a的取值范圍為［1,+8).

【解析】(1)函數(shù)/(%)="%+5(aeR),%￡(0,+2,利用導(dǎo)數(shù)的運算

法則可得/