甘肅省定西市2023屆高三下學期高考模擬考試數學（文）試題（含答案與解析）

2023年定西市普通高考模擬考試

數學（文科）

考生注意:

1.本試卷滿分150分，考試時間120分鐘.

2.答題前，考生務必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內項目填寫清楚.

3.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆

把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字

筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、

草稿紙上作答無效.

4.本卷命題范圍：高考范圍.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項

中，只有一項是符合題目要求的.

L若復數Z滿足（IT）Z=3+41,蚯=（）

2.已知集合A={x∣l<x≤4},B={x∣log2X≤2},則()

AB^AB.A^BC.AB=BD.

ACB=0

3.某年級組建了合唱、朗誦、脫口秀、舞蹈、太極拳五個社團，該年級共有600名同學，每

名同學依據自己的興趣愛好最多可參加其中一個，各個社團的人數比例的餅狀圖如圖所示,

其中參加合唱社團的同學有75名，參加脫口秀社團的有125名，則該年級（）

八兌口秀∕%?

?∕?≡7

?πbV15%?/

?√???yxz

A.參加社團的同學的總人數為600

B.參加舞蹈社團的人數占五個社團總人數的15%

C.參加朗誦社團的人數比參加太極拳社團的多120人

D.從參加社團的同學中任選一名，其參加舞蹈或者脫口秀社團的概率為0.35

4.下列函數中，與函數/（X）=的奇偶性相同的是（）

A.y=fB.y=lgχC.y=cosxD.

y=V+X

5兀

5.將函數/（x）=SinXCOsx+如CoS2》的圖像向右平移工~個單位長度，可得函數g（x）

6

的圖像，則g（χ）的一個對稱中心為（）

6.某幾何體的三視圖如圖所示，若該幾何體的體積為2,則側（左）視圖中的（）

正（主）視圖側（左）視圖

A4B.3C.2D.1

7.若點（2,1）在圓f+y2—χ+y+α=o的外部，則”的取值范圍是（）

（一00,,+∞J

8.有詩云：“芍藥承春寵，何曾羨牡丹”，芍藥不僅觀賞性強，且具有藥用價值，某地以

芍藥為主打造了一個如圖所示的花海大世界，其中大圓半徑為3,大圓內部的同心小圓半

徑為1,兩圓之間的圖案是對稱的.若在其中空白部分種植紅芍.倘若你置身此花海大世界

之中，則恰好處在紅芍種植區(qū)中的概率是（）

9.若三角形三邊長分別為小b,C則三角形的面積為S=）〃（〃_a）（"_份（〃一c）,其

中P=*+C'這個公式被稱為海倫一秦九韶公式.已知.ABC中，角A,B,C的對邊

Q1∩Λ3

分別為“，b,c,.?α=6,則JWC面積的最大值為（）

sinβ+sιnC5

A.8B.12C.16D.20

10.如圖，正方體ABCZ）—A3。。中，E,F分別是。2,OB的中點，則異面直線EF

與AA所成角的正切值為（）

A.√2B.也C.3D.6

23

1-1In21

11.已知α=±e2,b=—,C=-,則下列判斷正確的是()

22e

A.c<b<aB.b<a<cC.c<a<bD.a<b<c

22

12.已知雙曲線C二—與=l(α>0,∕7>0)漸近線方程為y=±JΣx,左、右焦點分

ab

別為尸I，F2,過點弱且斜率為6的直線/交雙曲線的右支于M,N兩點，若AMNK的

周長為36,則雙曲線C的方程為（）

?22229

A.三-匕=1B.工上=1C.JX=ID.

3651048

2

r2r,1

2

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.函數/(x)=XInX的圖象在(1,/(1))處的切線在＞軸上的截距為.

14.設機為實數，已知Sina-COSa=m,則根的取值范圍為.

15.已知向量4=(1,3),?=(4,-l),若向量相〃ɑ,且加與/7的夾角為鈍角，寫出一個

滿足條件的m的坐標為.

'TT57122

16.過原點作一條傾斜角為。e∈的直線與橢圓?+｝=l(α＞匕＞0)交于

、1_66

A,8兩點，尸為橢圓的左焦點，若AF工B尸,則該橢圓的離心率e的取值范圍為

三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21

題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據要求

作答.

(-)必考題：共60分.

17.在數列｛叫中，al=l,a,,+1一4,,=2"(n∈N*).

(1)求數列｛α,,｝的通項公式：

⑵若么=〃4,求數列｛〃｝前"項和S”.

18.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABc。是邊長為2的菱形，ZBAD60，AC與

BQ交于點O,OPL底面A88,OP=6■,點E,F分別是棱∕?,PB的中點，連接

OE,OF,EF.

B

(1)求證：平面OEFH平面PCD；

(2)求三棱錐O—P燈的體積.

19.2023年春節(jié)期間，科幻電影《流浪地球2》上映，獲得較好的評價，也取得了很好的票

房成績.某平臺為了解觀眾對該影片的評價情況(評價結果僅有“好評”“差評”)，從平

臺所有參與評價的觀眾中隨機抽取200人進行調查，其中“好評”的占55%,數據如下表所

示(單位：人)：

好評差評合計

男性30

女性30

合計200

(1)根據所給數據，完成上面2X2列聯表，并判斷是否有99.9%的把握認為對該部影片

的評價與性別有關？

(2)從抽取的200人中所有給出“差評”的觀眾中按性別用分層抽樣的方法隨機抽取6

人，再從這6人中任選兩人，求這兩人中至少有一人是女性的概率.

參考公式：K^=--------------------------,其中n=a+b+c+d.

[a+b)[c+d)[a+c)[b+d)

參考數據:

2

(κ≥k0)0.100.050.0250.0100.0050.001

ko2.7063.8415.0246.6357.87910.828

20.已知點〃到點F(O,1)的距離比它到直線/：y=-2的距離小?記動點M的軌跡為

E.

(1)求E的方程；

(2)若過點F的直線交E于A(Xl,y),B(X2,%)兩點，則在X軸的正半軸上是否存在點

P，使得用，PB分別交E于另外兩點C,D,且AB=3CO?若存在，請求出P點坐標，

若不存在，請說明理由.

21.已知函數f(x)=a(x-2)ex-x+Inx(a∈R).

(1)若α=0,求函數/(x)的最值；

⑵若α=l,函數"X)在上的最大值在區(qū)間(加,加+1)內，求整數，"的值.

(二)選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則

按所做的第一題計分.

[選修4-4：坐標系與參數方程]

x=2+cos1,

22.在平面直角坐標系Xoy中，曲線C的參數方程為〈C,(α為參數).以坐標

y=2+sma

TT

原點為極點，X軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線/的極坐標方程為e=］(0eR)?

(1)求曲線C的極坐標方程；

1I

(2)若直線/與曲線C交于M,N兩點，求卜河+西.

［選修4一5：不等式選講］

23.已知/(x)=∣x-2∣+∣x+4∣.

(1)求不等式/(x)≥8的解集；

(2)若/(x)最小值為f,且實數小6,C滿足"S+c)=t,求證：2a31+Z?2+c2>12.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項

中，只有一項是符合題目要求的.

1.若復數Z滿足(IT)Z=3+41,則1=()

A.-i-2iB.-l2C.?-?i

+iD.

222222

17.

—+—1

22

【答案】A

【解析】

【分析】根據復數的除法運算求出z,再根據共輒復數的概念可得結果.

【詳解】因為(1—i)z=3+4i,

3+4i(3+4i)(l+i)7

所以Z=-;~~-=------1--1

1-1(l-9(l+i)2

17

所以乞=------i.

22

故選：A

2.已知集合A={x∣l<x≤4},β=∣Λ∣log2x≤2∣,則()

AB^AB.A^BC.AB=BD.

ACB=0

【答案】B

【解析】

【分析】解出集合B,求出AcB,并根據子集含義即可判斷.

【詳解】因為B=WlOg2%≤2},所以B={x∣0<xW4}.

因為A={x∣l<x≤4},所以AcB=AAuB.

判斷四個選項，只有B正確.

故選：B.

3.某年級組建了合唱、朗誦、脫口秀、舞蹈、太極拳五個社團，該年級共有600名同學，每

名同學依據自己的興趣愛好最多可參加其中一個，各個社團的人數比例的餅狀圖如圖所示,

其中參加合唱社團的同學有75名，參加脫口秀社團的有125名，則該年級（）

A.參加社團的同學的總人數為600

B.參加舞蹈社團的人數占五個社團總人數的15%

C.參加朗誦社團的人數比參加太極拳社團的多120人

D.從參加社團的同學中任選一名，其參加舞蹈或者脫口秀社團的概率為0.35

【答案】D

【解析】

【分析】A選項，根據參加合唱社團的同學有75名求出參加社團總人數；B選項，先計算

出參加脫口秀社團的人數占比，進而得到舞蹈社團的人數占比；C選項，計算出參加兩個社

團的人數，作差求出答案；D選項，利用25%+10%=35%,求出答案.

【詳解】A選項，75÷15%=500,故參加社團的同學的總人數為500,A錯誤；

B選項，參加脫口秀社團的有125名，故參加脫口秀社團的人數占五個社團總人數的

—=25%,

500

所以參加舞蹈社團的人數占五個社團總人數的1-15%-15%-35%-25%=10%,B錯

誤；

C選項，參加朗誦社團的人數為500χ35%=175,參加太極拳社團的人數為

500x15%=75,故參加朗誦社團的人數比參加太極拳社團的多175—75=100人，C錯

誤；

D選項，從參加社團的同學中任選一名，其參加舞蹈或者脫口秀社團的概率為

25%+10%=35%,即0.35,D正確.

故選：D

4.下列函數中，與函數/(x)=e*-ez的奇偶性相同的是()

A.y=x2B.y=lgxC.y=cosxD.

y=d+X

【答案】D

【解析】

【分析】先求出函數的定義域，再根據/(-X)與/(χ)的關系判斷函數為奇函數，還是偶函

數，得到答案.

【詳解】/(x)=ev-e-χ定義域為R,且f(-x)=e-?-ex=-∕(x),故F(X)=e?-e^"為奇

函數，

A選項，g(x)=χ2定義域為R,且g(-χ)=(一χ)2=χ2=g(χ),故g(χ)=χ2為偶函

數，A錯誤；

B選項，y=IgX定義域為(0,+8),故y=IgX為非奇非偶函數，B錯誤；

C選項,〃(x)=CoSX定義域為R,且M-X)=COS(-χ)=COSX=,故〃(X)=CoSX

為偶函數，C錯誤；

D選項，r(χ)=d+χ定義域為R,Kt(-x)=(-χ)3+(-χ)=-X3-χ=-t(χ).

故/(x)=χ3+χ為奇函數，D正確.

故選：D

5.將函數/(x)=SinXCoSX+Gcos?X的圖像向右平移一■個單位長度，可得函數g(x)

6

的圖像，則g(x)的一個對稱中心為()

【答案】A

【解析】

【分析】先把/(X)解析式化成/(X)=ASin(的+⑼+8的形式，然后根據平移求出g(x)

解析式，從而根據正弦函數的對稱中心求出g(x)的對稱中心，進而可得答案.

【詳解】

/(x)=SinXCoSX+6CoS2x=—sin2x+—cos2x+-=sin(2x+^\+—,

222[32

因為AX)的圖像向右平移一個單位長度得函數g(x)的圖像，

5π右?'4π?√3.(2πγ∕3

所以g(x)=sin∣2Xy

3j213J213J2

因為y=SinX的對稱中心為(E,0)(k∈Z),

所以當2χ+號—吟gg(x)=,，

即函數g(x)的對稱中心為(&∈z),

[232J

當Z=I時,對稱中心為

故選：A.

6.某幾何體的三視圖如圖所示，若該幾何體的體積為2,則側(左)視圖中的。=()

俯視圖

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

【解析】

【分析】由三視圖可得，該圖形為三棱錐，再根據棱錐的體積公式即可得解.

【詳解】由三視圖可得，該圖形為三棱錐，如圖所示，

其中三棱錐得高為1，底面積為Jχ2αx2=2α,

2

所以該幾何體得體積為1χ2αxl=2,解得α=3.

3

故選：B.

7.若點（2,1）在圓Y+y2-χ+y+α=o的外部，則”的取值范圍是（）

【答案】C

【解析】

【分析】利用表示圓的條件和點和圓的位置關系進行計算.

【詳解】依題意，方程r+y2-χ+y+a=o可以表示圓，則（一1）2+12-4。>0,得

1

a<-↑

2

由點（2,1）在圓χ2+y2-χ+y+a=0的外部可知：22+l2-2+l+a>0<得α>-4.

皿，1

故一4<α<一.

2

故選：C

8.有詩云：“芍藥承春寵，何曾羨牡丹”，芍藥不僅觀賞性強，且具有藥用價值，某地以

芍藥為主打造了一個如圖所示的花海大世界，其中大圓半徑為3,大圓內部的同心小圓半

徑為1,兩圓之間的圖案是對稱的.若在其中空白部分種植紅芍.倘若你置身此花海大世界

之中，則恰好處在紅芍種植區(qū)中的概率是（）

55

D.

64

【答案】C

【解析】

【分析】由圓的面積公式結合幾何概型的概率公式求解.

【詳解】由已知得：大圓的面積為S∣=πx32=9π,小圓的面積為πχl2=7l.

所以空白部分的面積為S2=--—+π=5π.

設“恰好處在紅芍種植區(qū)中”為事件A,則P(A)=U=g=，.

N9π9

故選：C

9.若三角形三邊長分別為“，b,C,則三角形的面積為S=Jp(〃—4)(〃—份(〃一C)，其

中P=W±￡,這個公式被稱為海倫—秦九韶公式.已知_ABC中，角A,B,C的對邊

Q1∩Λ3

分別為a,b,c,-：-------=一，α=6,則,ABC面積的最大值為()

sinB+smC5

A8B.12C.16D.20

【答案】B

【解析】

［分析］根據海倫-秦九韶公式化簡得S=√16(8-?)(8-c),再利用基本不等式求最值.

【詳解】在_ABC中，因為———=-,所以一J=3，又。=6,所以

sinB÷sinC5b+c5

b+c=10,

可得P=g(α+h+c)==8,且p-a=8-6,

故的面積

S=∕8(8-6)(8-?)(8-c)=√16(8-?)(8-c)≤J16(

λ8=8-1=n,

當且僅當8—b=8-c,即匕=c=5時取等號，

故，ABe面積的最大值為12.

故選：B

10.如圖，正方體ABa)-A4G。中，E,F分別是。2,QB的中點，則異面直線EF

與A?所成角的正切值為()

B五√3

A.√2rD.&

23

【答案】B

【解析】

【分析】根據異面直線的夾角的求法和線面位置關系即可求解.

因為E,尸分別為直線DDl和直線DB的中點,

所以EF為DQB的中位線,

所以EFPDlB,

則異面直線EF與AR所成角的正切值即為直線與。①所成角的正切值,

ABA.AD

因為《

ABLAA1

所以上平面

A6ADD1A1,

平面

ADlUADD∣Λl,

所以

ABlADt,

所以BA2為直角三角形,

所以tanZBD,A=^-=-?==--

AD,正2

故選：B.

1-1In21

11.已知α=±e2,b=—,c=一,則下列判斷正確的是（）

22e

A.c<h<aB.b<a<cC.c<a<bD.a<b<c

【答案】D

【解析】

【分析】構造函數/（X）=［J,θ<x≤e,求導確定單調性，得函數值大小即可得答案.

【詳解】設/（x）=F,O<x≤e,則/'（X）=Y上≥O恒成立，

所以函數/（x）在（O,e］上單調遞增，

f???

因為￡<2<e，所以//<∕（2）<∕（e）,則與1<生2<生￡,即

2e

V）eI

14In21,

—e2<----<—,則πillα<b<c.

22e

故選：D.

22

12.已知雙曲線C：三―學=1（。>00>0）的漸近線方程為丁=±缶，左、右焦點分

別為"，F2,過點用且斜率為G的直線/交雙曲線的右支于M,N兩點，若AMN/=］的

周長為36,則雙曲線C的方程為（）

222222

A,三-二=1B.三上=1c.三-21=1D.

3651048

2

r2?1

2

【答案】D

【解析】

【分析】由題意可得》=缶，則直線/為y=唐（X-氐），代入雙曲線方程中，利用弦

長公式求出IMNI,再由雙曲線的定義和耳的周長為36,可求出。，從而可求出雙

曲線的方程.

【詳解】因為雙曲線（?:5-營=1（。>08>0）的漸近線方程為曠=±缶,

22

所以b=、&，則雙曲線方程為之一與=13>0)，Fl(Ya,0),F,(A,0),

a2a

所以直線/為y=√3(x-√30),設M(Xl,y),N(x2,y2),

22

龍

y1

由,a22a2得X2-6?j3ax+11/=O>

y-y∕3(x-?f3a)

則xl+x2-6λ∕3α,xix2=Ila2,

2

所以IMNl=√Γ+3?7(X1+X2)-4X,X2=2Jl08/一44/,

因為IMKl=IM用+2α,∣Nξ∣=∣"∣+2α,

所以∣Mξ∣+∣g∣=∣ME∣+∣A∕∣+4α=∣MN∣+4α=20α,

因為的周長為36,所以IMl+∣N6∣+∣MV∣=36,

所以20α+16α=36,得α=l,所以雙曲線方程為爐—工=ι,

2

故選：D

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.函數/(x)=XlnX的圖象在(1,f(1))處的切線在V軸上的截距為

【答案】-1

【解析】

【分析】求導，再根據導數的幾何意義求出切線方程，再令尤=O即可得解.

【詳解】∕,(x)=lnx+l,

則/(1)=0,*1)=1，

所以函數/(x)=XInX的圖象在(1,7(1))處的切線方程為y=X-I,

令尤=(),則y=τ,

即所求為T.

故答案為：-1

14.設“為實數，已知Sina-COSa=帆，則小的取值范圍為.

【答案】[-√2,√2]

【解析】

【分析】利用輔助角公式及正弦函數的性質計算可得.

因為一l≤sin∣α-()≤1,所以一7∑≤?∕∑sin]α.)≤7∑,

所以一0≤m≤0,則加的取值范圍為［—0,0］.

故答案為：［-a

15.已知向量α=(l,3),?=(4,-1),若向量加〃4,且加與〃的夾角為鈍角，寫出一個

滿足條件的m的坐標為.

【答案】w=(-1,-3)(答案不唯一)

【解析】

【分析】根據向量的共線和向量乘法的坐標計算公式即可求解.

【詳解】設"2=(χ,y),

因為向量加I4,且加與〃的夾角為鈍角，

l?γ=3?x

所以<4?x+(-l)?y<O,所以χ<0,

4?y≠(-l)?x

不妨令下一1，則尸一3,故"2=(-1,-3),

故答案為：m=(-l,-3)(答案不唯一).

Zp

TlSjir2?2

16.過原點作一條傾斜角為eθe的直線與橢圓J+=I(Q>/?>0)交于

、1_66a^

A,B兩點,尸為橢圓的左焦點，若則該橢圓的離心率e的取值范圍為

【解析】

【分析】分別討論直線AB的斜率是否存在，利用坐標運算即可求解橢圓的離心率e的取值

范圍.

【詳解】當傾斜角時，直線AB的斜率不存在，如圖則A(0,0),8(0,—))，又橢圓

左焦點F(-c,0)

若AFJL的，則4/?3/=（一。,一2）-（一。,/?）=，-02=0,即b=c,

所以42=02+/=202,即Q=0C

所以橢圓的離心率C=E=JL=XZ;

ɑ√2c2

ππI（Tt5π

當傾斜角為OG-,-o,直線AB的斜率存在設為左，則

62J\26

/

k∈-∞.-6]

22

設A(XO,%)，則8(f0,-κ),所以存+與=1①,

ab

c2-xθ-yo=0@,

扇√_,4

聯立①②，結合∕="+c2可得￥=勺/；=

CC

3'

Vf?

所以一^NL,貝IJ4Z∕≥c4>/,^2b2≥c2>b2,

c4-b43

、2、22,1/2,,√2C√6

≥c>?-C'πWι--V<--r—≤≤-->,故—二<e=-二≤<-—

2/32a3r

綜上，橢圓的離心率e的取值范圍為［丁,?。?

故答案為：［日,9］

三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21

題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據要求

作答.

(-)必考題：共60分.

17.在數列｛a“｝中，4=1，an+l-an=2"(“∈N*).

(1)求數列｛%｝的通項公式;

(2)若以=nan,求數列｛bl,｝的前n項和Sn.

n

【答案】(1)an=2-?

【解析】

【分析】(1)由α,,+∣-％=2",結合=4+(。2-α∣)+(4-4)'+3“-4-∣),利用

等比數列的求和公式，即可求解；

(2)由(1)得至IJd=〃/=小2"—〃，結合等差、等比數的求和公式，以及乘公比錯位

相減法求和，即可求解.

小問1詳解】

n

解：因為數列｛4｝滿足％=1且al,+i-all=2,

aa1

當〃≥2時，可得a”="∣+(4—4)+(4—4)÷(l,-n-?)—1+(2+2^++2")

—=2i

當〃=1時，4=1適合上式，所以數列｛4｝的通項公式為4=2"-1.

【小問2詳解】

解：由(1)知al,=2"-1,可得b“=na“=n?2”,

所以S,,=4+a++b,,=?×2'-l+2×22-2++n-2"-n

=(Ix2,+2x21++n?2")-(1+2++”)，

設7；=lχ2∣+2x2?++n-2n,

則27；=1x22+2x2'++n-2n+l,

兩式相減得-4=2∣+22+23++2n-n-2"+'=當二∣°-"?2"M=(I-")?2向-2,

所以(,=(〃—1)?2"+∣+2,

n(n+1)

又由1+2+÷n=

-2~

所以S,,=(〃_1)?2,,+'+2-*h)=(〃一1)?2,,+l-4+；二4

18.如圖，在四棱錐產一ABCD中，底面ABC。是邊長為2的菱形，ZBAP=60，AC與

8。交于點O,OPL底面ABCZ),OP=B點E,產分別是棱∕?,PB的中點，連接

(1)求證：平面OEf'〃平面尸CD；

(2)求三棱錐O—PE尸的體積.

【答案】(1)證明過程見詳解

1

(2)-

8

【解析】

【分析】(1)根據中位線定理和面面垂直的判定即可求解;

(2)根據等體積法即可求解.

【小問1詳解】

因為底面ABCD是菱形，AC與BD交于點0

所以。為AC中點，

點E是棱∕?的中點，F分別是棱PB的中點，

所以。E為三角形ACP的中位線，。尸為三角形BDP的中位線,

所以OE//PC,OF//DP,

OEZ平面OC尸，PCU平面DCP，:.OE//平面DCP，

QoFa平面。CP,。。(=平面。。。，..。尸//平面。?！?，

而OECOF=O,0EU平面OEF,ObU平面OEF,

?.?平面OEF〃平面PCD.

【小問2詳解】

因為底面ABCD是邊長為2的菱形，ZBAD=60.

所以BAD為等邊三角形,

所以03=1,04=后，

因為OPJ?底面HBCD,

(MU底面A8CQ,OBU底面ABer>,

所以OP_L04,OPLOB,

所以一PQ4和一POB均為直角三角形，

所以PA={(6￥+(百￥=瓜,PB=J=2,

22+(√6)2-22瓜

所以cosZPAB=------——J=-=——，

2×2×√64

所以SinNPAB=1當=當，

所以SPAB=?×2×-JβsinZPAB=，

設點。到平面PEF的距離為h,

根據體積相等法可知%"AB=L_OAB，

f'J↑^-×^^-×h=-×-×yj3×l×?∕3，

3232

所以〃=姮.

5

故三棱錐O-PEF的體積為』.

8

19.2023年春節(jié)期間，科幻電影《流浪地球2》上映，獲得較好的評價，也取得了很好的票

房成績.某平臺為了解觀眾對該影片的評價情況(評價結果僅有“好評”“差評”)，從平

臺所有參與評價的觀眾中隨機抽取200人進行調查，其中“好評”的占55%,數據如下表所

示(單位：人)：

好評差評合計

男性30

女性30

合計200

(1)根據所給數據，完成上面2X2列聯表，并判斷是否有99.9%的把握認為對該部影片

的評價與性別有關？

(2)從抽取的200人中所有給出“差評”的觀眾中按性別用分層抽樣的方法隨機抽取6

人，再從這6人中任選兩人，求這兩人中至少有一人是女性的概率.

參考公式：K2=-------竺，C)、/---------r?其中〃=a+Z?+c+d.

[a+b)[c+d)[a+c)(b+d)

參考數據:

2

(K≥kυ)0.100.050.0250.0100.0050.001

k。2.7063.8415.0246.6357.87910.828

【答案】(1)列聯表見解析，有99.9%的把握

14

(2)——

15

【解析】

【分析】(1)求出男性人數，即可完成列聯表，再根據公式求出K2,對照臨界值表，即可

得出結論；

(2)先求出男性和女性的人數，再根據古典概型即可的解.

【小問1詳解】

“好評”的人數為200x55%=110，

則列聯表如圖所示：

好評差評合計

男性8030110

女性306090

合計11090200

,2∞×(80×60-30×30)^

K2----------------------------L≈31.038>10.828,

110×90×110×90

所以有99.9%的把握認為對該部影片的評價與性別有關;

【小問2詳解】

6

男性有30一=2人，設為A,6,

960

女性有60=4人，設為a,b,c,d,

90

則從這6人中任選兩人，

有AB,Aa,Ab,Ac,Ad,Ba,Bb,Be,Bd,ab,ac,ad,be,bd,Cd共15種，

其中符合題意的有14種，

14

所以所求概率P=行.

20.已知點例到點F[O,|]的距離比它到直線/：y=-2的距離小記動點M的軌跡為

E.

(1)求E的方程；

(2)若過點尸的直線交E于4(%,χ),B(X2,%)兩點，則在X軸的正半軸上是否存在點

P,使得以，P8分別交E于另外兩點C,D,且AB=3C。？若存在，請求出P點坐標，

若不存在，請說明理由.

【答案】(1)X2=6y

(2)pf—,0

I2J

【解析】

【分析】(1)根據點M到點F(O,g)的距離等于它到直線/：y=—T的距離，結合拋物

線的定義得出拋物線E的標準方程；

(2)設C(Λ?,%),P(Λfl,0),由PA=3PC結合拋物線方程得出2是方程

3

χ2-2x0x-2*=0的兩根，設直線A5的方程為y=依+屋并與拋物線方程/=6y聯

立結合韋達定理得出點P坐標.

小問1詳解】

因為點M到點F［O,|］的距離比它到直線/：y=—2的距離小T，

所以點M到點尸(θ,Ij的距離等于它到直線/：y=—g的距離，

則點M的軌跡為以尸［θ,g］為焦點，以丁=-1為準線的拋物線，

則曲線E的方程為f=6y.

【小問2詳解】

設C(XJ,y3),P(??,O)(XO>°)，

由A6=3CO得：ABHCD,且IABl=3∣Cf>∣，得PA=3PC，

即(玉一??,X)=3(鼻一毛，％),所以馬=士/,y3=y.

代入拋物線方程r=6y,得C；2x0)=6%=2y=寺，

2

整理得x∣-2x0xl-2x；=0,同理可得%2-2?X2-2xθ=0

故而,七是方程f—2AOX—2x(；=0的兩根，Δ=12xθ>0,

由韋達定理可得M+x2=2X0,X1X2=-2xθφ,

由題意，直線AB的斜率一定存在，故設直線AB的方程為y=區(qū)+g,

與拋物線方程JC=Gy聯立可得χ2一66—9=0,

易得A>0,由韋達定理可得玉+x2=^>k,xlx2=-9②,

由①②可得XO=乎,火=乎,

C3JQ)

故在X軸的正半軸上存在一點P?,θ滿足條件.

I2J

21.已知函數/(x)=a(x-2)ex-x+Inx(a∈R).

(1)若0=0,求函數/(X)的最值；

(2)若α=l,函數/(X)在?,l上的最大值在區(qū)間(〃，,〃2+1)內，求整數〃，的值.

【答案】⑴函數/(X)有最大值-1,無最小值

(2)m--4

【解析】

【分析】(1)根據導數確定函數單調性即可求解；(2)根據函數的隱零點和零點范圍以及對

號函數特點即可求解.

【小問1詳解】

若α=0,/(%)=—x+lnx(a∈/?)

則/(%)=-%+InX,(%>0),

1-V-L-I

所以—,α>o),

XX

-V*-L1

令r(x)=-_—=o,解得X=I,

當x>l時，f'(x)=--<Q,/(x)單調遞減,

_y_|_1

當0<x<l時，r(x)=1->0,/(x)單調遞增,

所以函數有最大值/(χ)k=-l.

【小問2詳解】

若α=l,則/(x)=(x-2)e"-x+lnx,

所以r(x)=(xT)e*T+L(l)e"

X

當Xe?1時，χ-l≤O,

4

(?v1

因為e，=e<44=16,所以eZ<4，

(1Y1

e3=e<3'=27,所以滔<3，

\/

e?=e<22=4,所以J<2，el>1)所以尤oc，」)，

所以尤XOJ時，e?'<?,/'(x)=(x-l)(ejc-J]>O,/(x)單調遞增；

x∈(/,l)時，ev>?,/'(x)=(x-l)(e*-]≤0,/(x)單調遞減.

?2

所以/(x)max=/(Xo)=(Xo-2)e"-