2023-2024學(xué)年江蘇省南京高一年級上冊期末數(shù)學(xué)試題（含答案）

2023-2024學(xué)年江蘇省南京高一上冊期末數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.已知U=R,A={A|-1<X<3},8={X|XM2},則電(Au3)=()

A.(2,+oo)B.(-^?,-1)O[2,-K?)

C.[3,+oo)D.(3,+oo)

【正確答案】C

【分析】由并集和補(bǔ)集的概念即可得出結(jié)果.

【詳解】?：U=R,A={x\-]<x<3].B={x\x<2}

.?.AuB=S,3),則6(AU8)=[3,+8),

故選：c.

2.已知Iog23=a,k>g25="則1。8次5=()

C.—a+h—\D.ci+/?—1

【正確答案】B

【分析】利用對數(shù)的換底公式和對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算求解即可.

log215_log,3+log.5a+b

【詳解】1叫15=

log218l+21og231+2〃

故選：B.

3.設(shè)〃,為實(shí)數(shù)，且cvd,則是-d”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【正確答案】B

【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.

【詳解】解：由。＜b不能推出a-cv〃一d,如〃=2,b=3,c=0,d=1,

滿足。＜b,但是a-c=A-d,故充分性不成立；

當(dāng)a-c〈〃一d時(shí)，又cvd,可得a-c+cvb-d+d,即。＜人，故必要性成立;

所以是的必要不充分條件.

故選：B.

4.函數(shù)/(x)=lnA-嚏的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間為()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,e)D.(e,3)

【正確答案】D

【分析】由題意可知在(0,+巧遞增，且/'⑻佃/⑶)。，由零點(diǎn)存在性定理即可得出

答案.

【詳解】易判斷“X)在(0,+8)遞增，/(e)=lne-1(0,/(3)=ln3-l)0.

由零點(diǎn)存在性定理知，函數(shù)/(x)=lar-=的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間為(e,3).

故選:D.

5.已知sin卜+今)=1,貝心山(,-》)+2＜：0$20：-鼻)的值是()

A.二B.1C.°D.匕逑

9993

【正確答案】C

【分析】令f=x+3,代入所求式子，結(jié)合誘導(dǎo)公式化簡即可得出結(jié)果.

6

TT7TI

【詳解】令1=工+二，則工=/一:，sint=-

6639

貝！|sin(^-x)+2cos2~=sin(兀-f)+2cos2(f-^)=sin/L+2sin2/=；+￡=《?

故選：C.

6.將函數(shù)〃x)=2sin(4尤-5)的圖象向右平移g個(gè)單位長度，在縱坐標(biāo)不變的情況下，再

把平移后的函數(shù)圖象上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得到函數(shù)g(x)的圖象，則函數(shù)g(x)

所具有的性質(zhì)是()

A.圖象關(guān)于直線x對稱

B.圖象關(guān)于點(diǎn)小可成中心對稱

5冗7T

c.g(x)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為一亍q

D.曲線g(x)與直線y=6的所有交點(diǎn)中，相鄰交點(diǎn)距離的最小值為］

【正確答案】D

【分析】先利用題意得到g(x)=2sin[2x+^J,然后利用正弦函數(shù)的性質(zhì)對每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判

斷即可

【詳解】函數(shù)/(x)的圖象向右平移g個(gè)單位長度得到

縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍得到g(A-)=2sin^2x+|j,

對于A,因?yàn)閟in(2x]+])=sin7t=Ow±l,

所以直線x不是g(x)的對稱軸，故A錯(cuò)誤；

對于B,sinf2x—+—=sin—=—0,

(63丿32

所以圖象不關(guān)于點(diǎn)(親成中心對稱，故B錯(cuò)誤；

?一、,，「5兀兀]rs?！?3兀5兀

對于C,當(dāng)xw--，貝lJ2x+7w——，

_44J366_

13冗SITSJT1T

因?yàn)檎液瘮?shù)y=sinx在-京，彳不單調(diào)，故-彳，7不是g(x)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間,

故C錯(cuò)誤；

對于D,當(dāng)g(x)=6時(shí)，sin(2x+工]=且，貝lj2x+工=2E+?或2E+生,％eZ,

I3丿2333

則x=E或k"+^,k€Z,則相鄰交點(diǎn)距離最小值為2,故D正確

故選：D.

7.函數(shù)/。)=手箸的圖象大致為()

A.B.

【分析】利用函數(shù)的奇偶性及/(x)在(o,，)上的函數(shù)值正負(fù)逐個(gè)選項(xiàng)判斷即可.

【詳解】因?yàn)?(x)=號(hào)管，定義域?yàn)镽,

所以“一力=墻穿=-手筈=-/?,

所以“X)為奇函數(shù)，又因?yàn)閤e(o,9時(shí)〃x)>()，所以由圖象知D選項(xiàng)正確，

故選D.

8.高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為:設(shè)xeR,

用卜]表示不超過x的最大整數(shù)，則產(chǎn)図稱為高斯函數(shù).例如.[-3.6]=-4,[3.6]=3已知函數(shù)

〃x)=；-三，則函數(shù)y=[/(x)]+[〃r)]的值域是()

A.{-1,0}B.{0}C.{0,1}D.{-1,0,1)

【正確答案】A

【分析】依題意可得f(x)=-g+備，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)討論x>0,x=0和x<0時(shí),

函數(shù)的單調(diào)性與值域，即可得岀答案.

11l+e*-l

【詳解】因?yàn)樾?=萬-內(nèi)亭會(huì)，定義域?yàn)镽,

2l+eA

因?yàn)閥=l+e'在定義域上單調(diào)遞增，則'=丁]在定義域上單調(diào)遞減，

所以/")=-1+二]在定義域R上單調(diào)遞減，

21+e

x<0時(shí)，eVe(0-1)，J77€[^1p'(x)e^0,1j,[/(x)]=0,[/(0)]=0

x>0時(shí)，e'e(l,+a>),j-^-7e^0,^,/(x)G^-1,0^,[/(Jc)]=-l；

則x>0時(shí)，[/(x)]+[/(-x)]=-l+0=-l,

x<0時(shí)，[/(x)]+[/(-x)]=0+(-l)=-l,

x=0時(shí)，[/(%)]+[/(-x)]=0+0=0.

故選：A.

關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解題關(guān)鍵在于理解題中高斯函數(shù)的定義，才能通過研究的性質(zhì)來研究

y=[〃x)]+[/(r)]的值域，突破難點(diǎn).

二、多選題

9.下列說法正確的是()

A.若。>占,”為正整數(shù),則慶>b"

B.若b>a>0,俏>0,則^^>纟

b+inb

_L?—

C.^-^->22

2

D.若()<。<乃，則0<sina<l

【正確答案】BC

【分析】利用不等式性質(zhì)、基本不等式及正弦函數(shù)的圖象性質(zhì)逐個(gè)選項(xiàng)判斷即可得到答案.

【詳解】對于A,若。=11=-1,〃=2,則故A錯(cuò)誤；

a+ma

對于B,b>a>0,根>。時(shí)，---->—=ab+bm>ab+amu>b>a,故B正確；

b+mb

對于C,由2">0,2〃>0,則2"+2"z2\/F1F=2x2若，當(dāng)且僅當(dāng)。=匕時(shí)取等號(hào)，故C正

確；

7T兀

對于D,當(dāng)夕=凸時(shí)，sin^=l,故D錯(cuò)誤；

故選：BC.

10.設(shè)m為實(shí)數(shù)，已知關(guān)于x的方程，加+(加-3b+1=(),則下列說法正確的是()

A.當(dāng)加=3時(shí)，方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根之和為0

B.方程無實(shí)數(shù)根的一個(gè)必要條件是加>1

C.方程有兩個(gè)不相等的正根的充要條件是0<機(jī)<1

D.方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根的充要條件是“<0

【正確答案】BCD

【分析】逐項(xiàng)分析每個(gè)選項(xiàng)方程根的情況對應(yīng)的參數(shù)，〃滿足的不等式，解出〃?的范圍，判

斷正誤.

【詳解】對于A選項(xiàng)，%=3時(shí)3/+1=0無實(shí)根，A錯(cuò)誤；

對于B選項(xiàng)，當(dāng)機(jī)=0時(shí)方程有實(shí)根，當(dāng)相聲0時(shí)，方程無實(shí)根則（，“-3）2-4〃?＜0,解得

\＜m＜9,一個(gè)必要條件是勿＞1,B正確；

對于C選項(xiàng)，方程有兩個(gè)不等正根，則加工0,A＞0,三‘＞（）,丄＞（）,解得0VzM＜1；

mtn

對于D選項(xiàng)，方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根，則相中0,-＜0,解得加＜0,D正確；

m

故選：BCD.

11.設(shè)。＞0,。＞0,己知忙,N=,則下列說法正確的是（）

aha+b

A.M有最小值B.M沒有最大值

C.N有最大值為也D.N有最小值為也

22

【正確答案】ABD

【分析】由均值不等式分別求出M,N的最值，即可得出答案.

【詳解】厶＞0時(shí)，=—€（0,+8）,朋=—\--=t+-&[2,+oo）,AB正確，

。＞0力＞0時(shí)空丄4歸運(yùn)，則近運(yùn)2也，C錯(cuò)誤，D正確；

2V2a+b2

故選：ABD.

12.設(shè)。為正實(shí)數(shù)，“為實(shí)數(shù)，已知函數(shù)/（x）=4sin（ox+c）+a,則下列結(jié)論正確的是（）

A.若函數(shù)“力的最大值為2,則a=-2

B.若對于任意的xeR,都有兀）=〃x）成立，則①=2

C.當(dāng)嶼時(shí)，若“X）在區(qū)間-差上單調(diào)遞增，則”的取值范圍是（0,。

D.當(dāng)”=-2立時(shí)，若對于任意的peR,函數(shù)在區(qū)間上至少有兩個(gè)零點(diǎn)，則。的

取值范圍是[4,內(nèi)）

【正確答案】ACD

【分析】對A：根據(jù)正弦函數(shù)的有界性分析判斷；對B：利用函數(shù)的周期的定義分析判斷；

對C：以5+9為整體，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性分析判斷；對D：以①x+8為整體，結(jié)合

正弦函數(shù)的性質(zhì)分析判斷.

【詳解】A選項(xiàng)，由題意4+a=2,則。=一2,A正確;

B選項(xiàng),若/(%+兀)=〃力，則”力的周期為兀,

設(shè)了(X)的最小正周期為T，則左T=k空=n(k?N)

CD

解得G=2Z(A?N)B錯(cuò)誤；

C選項(xiàng)，當(dāng)。=方時(shí)，

717C-1?！肛?17

?XG——,貝lJdXX+—￡——69+-,-

L62J3L63；

69>0

jrJT兀兀兀

若〃x)在區(qū)間-不，5上單調(diào)遞增，則——G+—2——

632

兀兀,兀

解得。,C正確；

D選項(xiàng)，由題意可得sin(3x+e)=孝，對V^wR,在上至少兩個(gè)零點(diǎn)，

71兀

VXE0,—,則勿X+QG(p、_(O+(p,

_2」_2_

若對VseR，在0-y上至少兩個(gè)零點(diǎn)，則(50+。)一。22兀，解得。24,D正確；

故選：ACD.

方法點(diǎn)睛：求解函數(shù)y=Asin(Sx+p)的性質(zhì)問題的三種意識(shí)

(1)轉(zhuǎn)化意識(shí)：利用三角恒等變換將所求函數(shù)轉(zhuǎn)化為沢x)=Asin(sx+9)的形式.

(2)整體意識(shí)：類比y=sinx的性質(zhì)，只需將y=4sin((wx+9)中的“tox+夕”看成y=sinx中的"x”,

采用整體代入求解.

①令<yx+9=M+T(%ez),可求得對稱軸方程.

②令cox(p=kn(k￡Z),可求得對稱中心的橫坐標(biāo).

③將蛆+3看作整體，可求得y=Asin(①x+p)的單調(diào)區(qū)間，注意口的符號(hào).

(3)討論意識(shí)：當(dāng)A為參數(shù)時(shí)，求最值應(yīng)分情況討論A>0,A<0.

三、填空題

13.命題的否定是.

【正確答案】VX>1,X2-2>0

【分析】根據(jù)特稱命題的否定，可得答案.

【詳解】由題意，則其否定為VX21,X2-2W0.

故答案為.VxWl,/-2±0

.,-Ijl+2sin^cos0-rtll-

14.已知.2c----277=2,則tan6=

snr”—cos~9

【正確答案】3

【分析】將已知式中分子l=sir?e+cos2，，再分子分母同時(shí)除以cos*,解方程即可得出答

案.

sin?，+2sin6cos6+cos?。tan20+2tan6>+l

【詳解】由題意

sin20-cos20tan20-l

tan^+1.

即----------=2,則tan6=3.

tan^-1

故3.

2x+l,x<03

15.設(shè)函數(shù)/*)=則滿足/。)+/(>］)>3的x的取值范圍是,

3\x>0

【正確答案】(l,w)

【分析】結(jié)合函數(shù)解析式，對X分三種情況討論，分別計(jì)算可得.

【詳解】當(dāng)xWO時(shí)，〃1)+1-￡|=2x+l+21一切+HM-1,則

仆)+(-|)>3在工W0時(shí)無解；

當(dāng)0<x4；時(shí)，〃力+/［一|)=3，+2［一|)+—,在R單調(diào)遞增，x=l時(shí)

3'+2xl-2=3>則〃x)+/(x-|)>3的解集為［1,|；

當(dāng)x>|時(shí)，/(X)+/(X-|)=3，+3*《>33+3°>3,貝lj/(x)+/［x-|)>3在x>|時(shí)恒成

立；

綜上，/(x)+/(x-|)>3的解集為(1,—).

故(1收).

16.已知函數(shù)/(x)是定義在R上不恒為零的偶函數(shù)，且對于任意實(shí)數(shù)x都有

7

(x-l)/(x)=#(x-l)成立，則/(/(，)=.

【正確答案】0

【分析】根據(jù)解析式求出=進(jìn)而得到若/(x—l)=。，則〃x)=0,從而求出

/(/(1))=0.

xw0,l時(shí)，若〃x_l）=0,則〃x）=0,

貝療（勺））=/（0）=0.

故0.

四、解答題

17.設(shè)機(jī)eR,已知集合4=1]^<1},8=卜'|21+(相-2)尤一根<0}.

(1)當(dāng)m=1時(shí)，求AuB；

⑵若“xe5”是“xeA”的必要條件，求m的取值范圍.

【正確答案】⑴(一|’1)

⑵艮冋

【分析】(1)求出集合A8,由并集的定義即可得出答案.

m3

(2)由“xeB”是“xeA”的必要條件可得AuB,則解不等式即可得出答案.

22

【詳解】(1)由^^<1可得^^<0,即(x—l)(2x+3)<0,則A=

x-\x-\I2丿

3

B={x|（2x+6）（工-1）<0},/%=1時(shí)，B

(2)由“xeB”是“xeA”的必要條件可得AqB,

則-三4一|,則〃欄3,實(shí)數(shù)”的取值范圍是［3,田).

18.設(shè)tana=2,計(jì)算下列各式的值：

八、2sina+cosa

(1)--------------;

3sintz-cosa

2

(2)—0------------------.

sirra—sinacosa

【正確答案】(1)1

(2)5

【分析】(1)所求表達(dá)式分子分母同時(shí)除以cosa,代入求解即可;

(2)將分子2看成2卜也2。+??2。)，所求表達(dá)式分子分母同時(shí)除以cos?a，代入求解即可;

2tancr+l2x2+1

【詳解】(1)原式==1;

3tana-l-3x2-1

22

2(sinez4-cos(2)2tan2a+22x22+2.

(2)原式=----------------=------------=5?

~s~in~2a-sinacosatan%-tana22-2

19.設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)的定義域?yàn)?一為),若〃x)是偶函數(shù)，g(x)是奇函數(shù)，且

y(x)-^(x)=21g(l-x).

⑴求函數(shù)“力和g(x)的解析式;

⑵判斷/(x)在(0,1)上的單調(diào)性，并給岀證明.

【正確答案】(l)/(x)=lg(l—x)+lg(l+x),g(x)=lg(l+x)-lg(l-x)

(2)單調(diào)遞減，證明見解析

【分析】(1)根據(jù)函數(shù)奇偶性構(gòu)造關(guān)于/(X)和g(x)得方程組，進(jìn)而求出它們的解析式;

(2)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義進(jìn)行證明.

【詳解】(1)由/(x)-g(x)=21g(l-x),可得/(—x)—g(—x)=21g(l+x),

由〃x)為偶函數(shù)，g(x)為奇函數(shù)，可得〃x)+g(x)=21g(l+x),

則f(x)=lg(l-x)+lg(l+x),g(x)=lg(l+x)-lg(l-x)；

(2)由(1)得”力=1風(fēng)1-￡)

〃x）在（0,1）單調(diào)遞減，證明如下:

取任意占，X??（0,1）,%%2,

（w）=ig（i-M）-ig（i-君）=吆15^

]—f

由0<%<乂<1,可得1-X；>[_考>0,則_LJ_>1,

l-x2

則f(A,)—f(X2)=lgm>。，

則〃5）＞〃％）,則/（X）在（0,1）單調(diào)遞減.

20.如圖所示，有一條乜”形河道，其中上方河道寬夜m，右側(cè)河道寬通m,河道均足夠長.

現(xiàn)過點(diǎn)。修建一條長為/m的棧道A8,開辟岀直角三角形區(qū)域（圖中二。48）養(yǎng)殖觀賞魚，

且NOA3=。.點(diǎn)”在線段A8上，且OH丄AB.線段OH將養(yǎng)殖區(qū)域分為兩部分，其中OH上

方養(yǎng)殖金魚，CW下方養(yǎng)殖錦鯉.

（1）當(dāng)養(yǎng)殖觀賞魚的面積最小時(shí)，求/的長度;

（2）若游客可以在河岸。4與棧道A”上投喂金魚，在棧道“3上投喂錦鯉，且希望投喂錦鯉

的道路長度與投喂金魚的道路長度之比不小于血-1，求0的取值范圍.

【正確答案】（1）4及：

【分析】（1）過。作垂直于OAOB,求得AM=互,BN=娓tan。,從而得出養(yǎng)

tan。

殖觀賞魚的面積533=3。!

OB=2y/3+-+-3--tan。，利用基本不等式可求得S最小時(shí)

tan<9

e的值，進(jìn)而求得/的長度;

CHOH

(2)由==&可得NBOH=9,貝1］。4=J,AH=,BH=OHtan0,由

2sin。tan。

tan..R]

BH1JI

題意2夜-1,則1丄1一“，化切為弦可得2>/2,結(jié)合0G

OA+AH-------十--------cos，

sin。tan。

即可求得結(jié)果.

【詳解】(1)過。作。垂直于04,08,垂足分別為M,N,

則DM=0N=g,DN=OM=庭,

AM==^~,BN=￡Wtan。=向an。,

tan。tan。

[1(+走)(立+#tan<9)=2百

養(yǎng)殖觀賞魚的面積S°"=eOA0B=5應(yīng)H-+----3--t--a--n。,

tan。tan。

3tan0>2V3,當(dāng)且僅當(dāng)tan。=且即"三時(shí)取等號(hào),

由0,]可得tan，>0,則----+

tan。36

DMDN

則So”最小時(shí)‘此時(shí)/的長度為sin。cos。

o4+S

2T

TT

(2)由NAOB=NO〃A=一，可得NBOH=6,

2

CHOH

則四而,AH=,BH=OHtan9,

tan。

。

BHtan5

由題意>72-1,則II

OA-^AH------H-------

sin。tan。

sin。

tan?=G=sii?。=1*2°=_l__1

1?11+cos。cos6(l+cos6)cos6(l+cos。)cos。，

sin。tan。sin。

貝之夜，由eW可得cose>0,則cosdw巫，貝！

cos。I2丿2l_42丿

21.設(shè)。為實(shí)數(shù)，已知函數(shù)f(x)=2'-/,g(x)=lw(hu—2)+a.

⑴若函數(shù)〃x)和g(x)的定義域?yàn)閇1,+a)),記〃x)的最小值為M，g(x)的最小值為也.

當(dāng)知24例1時(shí)，求〃的取值范圍；

(2)設(shè)x為正實(shí)數(shù)，當(dāng)g(x)>0恒成立時(shí)，關(guān)于x的方程/(g(x))+“=0是否存在實(shí)數(shù)解？若

存在，求出此方程的解；若不存在，請說明理由.

【正確答案】(1),8,1

(2)不存在，理由見解析

【分析】(1)利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及二次函數(shù)的性質(zhì)，分別求出“X)和g(x)的最小值

例”知2,然后解不等式即可；

(2)利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求得g(x)的最小值為由題意可得a>l,當(dāng)g(x)>0

吐泊力>1，擊<1，可得/(g(x))+〃>0,即可得出結(jié)論.

【詳解】⑴當(dāng)N時(shí)，函數(shù)產(chǎn)2'和>=-卷均單調(diào)遞增，所以函數(shù)丿(力=2'-5單調(diào)遞

0a

增，故當(dāng)X=1時(shí)，/(力取最小值會(huì)則必=不

當(dāng)時(shí)，lnx>0,g(x)=(lnx-l)~+。-1,

則當(dāng)lnx-l=0,即x=e時(shí),g(x)取最小值a-l,Bp