2019-2023全國各高考數(shù)學(xué)真題按分項匯編 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用選填題（含詳解）

五年（2019-2023）年高考真題分項匯編

號殿03導(dǎo)熬4點用（送碓鑒J

高存?存瓶分析

函數(shù)導(dǎo)數(shù)應(yīng)用是高考必考知識點

o利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性，極值最值問題

?導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用問題導(dǎo)數(shù)性質(zhì)及應(yīng)用

?構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性比較大小

高寺真購精折

考點01利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性，極值最值

一、單選題

1.（2023年全國新高考回卷）已知函數(shù)〃x）=ae=lnx在區(qū)間（1,2）上單調(diào)遞增，則a的最小值為（）.

2-12

A.eB.eC.eD.e'

2.（2021年全國新高考回卷）若過點（a,6）可以作曲線y=e，的兩條切線，則（）

A.eb<aB.ea<b

C.0<a<ebD.0<Z?<e"

3.（2020年全國高考回卷）函數(shù)=的圖像在點（1,/⑴）處的切線方程為（）

A.y=-2x-lB.y=-2x+l

C.y=2x-3D.y=2x+l

4.（2020年全國高考回卷）若直線/與曲線片6和x2+尸=^都相切，貝卜的方程為（）

A.y=2x+lB.y=2x+yC.y=^-x+lD.片gx+J

5.（2019年全國高考回卷）已知曲線y=aex+xlnx在點處的切線方程為y=2x+6,則（）

A.a=e,b——lB.a—e,b—lC.a=el,b=lD.a=el,b=-1

二、填空題

6.（2023?全國乙卷）設(shè)。?0,1）,若函數(shù)/（同=屋+（1+。）*在（0,+s）上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是.

7.（2022全國乙卷）已知x=X］和尤=%分另Ll是函數(shù)/（x）=2a*-e尤2（a>0且）的極小值點和極大值點.若占，

則a的取值范圍是.

8.（2022年全國新高考回卷）若曲線y=（x+a）e，有兩條過坐標(biāo)原點的切線，則a的取值范圍是.

9.（2021?全國甲卷）曲線y=在點（T-3）處的切線方程為.

10.（2021年全國新高考回卷）函數(shù)〃x）=|2x-l|-21nx的最小值為.

三、雙空題

11.（2022年全國高考回卷）曲線，=ln|x|過坐標(biāo)原點的兩條切線的方程為

考點02構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性比較大小

一、單選題

311-in：,則（）

1.(2022?全國甲卷)已知Q=—,Z?=COS—

324

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

2.（2022年全國新高考回卷）設(shè)a=0.1e°」,6=，c=-ln0.9,則（）

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

3.(2021?全國乙卷)設(shè)a=21nL01,b=lnl.O2,C=A/L04-1.貝l]()

A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b

4.（2020年全國新高考回卷）若2"+1082。=取+210g",則（）

A.a>2bB.a<2bC.a>b1D.a<b23

5.（2020年全國高考0卷）若2"-2，<3一=3=,則（）

A.ln(y-x+l)>0B.ln(y-x+l)<0C.ln|%—y|〉0D.In|x-y|<0

45

6.(2020年全國高考回卷)已知55<8313<8.設(shè)。=1噂3,b=log85,c=logi38,則()

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

考點03導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用

1.（2020?天津?統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)=若函數(shù)8①）=/（*）_辰2_2乂/cR）恰有4個零點，則

[-X,%<0.11

上的取值范圍是（）

。

A.[0,-J](2A/2,+OO)B.一g；(0,20)

C.(-OO,0)U(0,2A/2)D.(—oo,0)?(2A/2,+co)

2.（2022?天津?統(tǒng)考高考真題）設(shè)aeR,對任意實數(shù)x,記〃尤）=向11{國-2,*2一6+30-5}.若〃x）至少有3個

零點，則實數(shù)。的取值范圍為.

3.（2021?北京?統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)〃x）=|lgx|-6-2,給出下列四個結(jié)論：

①若左=0,恰有2個零點；

②存在負(fù)數(shù)3使得Ax）恰有1個零點；

③存在負(fù)數(shù)上，使得Ax）恰有3個零點；

④存在正數(shù)k,使得/(%)恰有3個零點.

其中所有正確結(jié)論的序號是.

4.(2019?江蘇?高考真題)設(shè)f(x),g(x)是定義在R上的兩個周期函數(shù)，/(X)的周期為4,g(x)的周期為2,且了⑴是

k(x+2),0<x<l

2

奇函數(shù).當(dāng)尤w(0,2］時，/(%)=Jl-(x-l),g(x)=L/c，其中左>0.若在區(qū)間(。⑼上，關(guān)于x的方程

I2

f(x)=g(x)有8個不同的實數(shù)根，則Z的取值范圍是.

五年(2019-2023)年高考真題分項匯編

號殿03導(dǎo)熬4點用(送碓鑒J

高存?存瓶分析

函數(shù)導(dǎo)數(shù)應(yīng)用是高考必考知識點

o利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性，極值最值問題

?導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用問題導(dǎo)數(shù)性質(zhì)及應(yīng)用

?構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性比較大小

高存真魅橫折

考點01利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性，極值最值

一、單選題

1.(2023年全國新高考回卷)已知函數(shù)/■(x)=ae「lnx在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增，則a的最小值為().

A./B.eC.e-D.e~2

【答案】C

【分析】根據(jù):(尤)=枇'--2。在(1,2)上恒成立，再根據(jù)分參求最值即可求出.

【詳解】依題可知，1(x)=ae，-Jz0在(1,2)上恒成立，顯然。>0,所以xe'2),

設(shè)g(x)=xe*,x?l,2),所以夕(x)=(x+l)e'>0,所以g(元)在(1,2)上單調(diào)遞增，

g(x)>g(l)=e,故e2,，即。Z」=eT,即。的最小值為el

ae

故選：C.

2.(2021年全國新高考回卷)若過點6)可以作曲線y=e，的兩條切線，則()

A.eb<aB.e0<b

C.0<a<ehD.0<b<ea

【答案】D

【分析】解法一：根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義求得切線方程，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象，結(jié)合圖形確定結(jié)果;

解法二：畫出曲線>="的圖象，根據(jù)直觀即可判定點(“,6)在曲線下方和x軸上方時才可以作出兩條切線.

【詳解】在曲線>="上任取一點P。,/)，對函數(shù)y=e'求導(dǎo)得"e"

所以，曲線y=/在點P處的切線方程為y-e'=e'(xT),即y=e%+(l-r)e',

由題意可知，點(。,6)在直線丁=0%+(1-。/上，可得b=ae'+(lT)e'=(。+1-)一，

令/(f)=(a+lT)d,則廣⑺=(aT)d.

當(dāng)/<4時，r(r)>0,此時函數(shù)/'⑺單調(diào)遞增，

當(dāng)，>“時，此時函數(shù)，⑴單調(diào)遞減，

所以，〃入、=%)=心

由題意可知，直線y=b與曲線y=/。)的圖象有兩個交點，貝岫</")四=，，

當(dāng)，<.+1時，/(0>o,當(dāng)，>。+1時，〃。<0,作出函數(shù)的圖象如下圖所示:

由圖可知，當(dāng)0<6<e"時，直線y=6與曲線y=〃r)的圖象有兩個交點.

故選：D.

解法二：畫出函數(shù)曲線y=e'的圖象如圖所示，根據(jù)直觀即可判定點6)在曲線下方和x軸上方時才可以作出兩條

3.(2020年全國高考回卷)函數(shù)/(幻=--2丁的圖像在點(1,/⑴)處的切線方程為()

A.y=-2x-lB.y=-2x+l

C.y=2x-3D.y=2x+l

【答案】B

【分析】求得函數(shù)y=/(x)的導(dǎo)數(shù)1(x),計算出了⑴和廣⑴的值，可得出所求切線的點斜式方程，化簡即可.

【詳解】〃力=公—2尤3,.■.f(x^4x3-6x2,=/(1)=-2,

因此，所求切線的方程為y+l=-2(x-1),即y=-2x+l.

故選：B.

【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解函圖象的切線方程，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題

4.(2020年全國高考回卷)若直線/與曲線丫=五和乂2+必=!都相切，貝”的方程為()

A.y=2x+lB.片2x+gC.y=^-x+lD.片梟+g

【答案】D

【詳解】設(shè)直線/在曲線y=?上的切點為卜°,石)，則毛>0,

函數(shù)>=?的導(dǎo)數(shù)為y'=5，則直線/的斜率A

設(shè)直線/的方程為標(biāo)=G=(x-x。)，即尤一2Ay+%=0,

Ajx。

CC1X1

由于直線/與圓f+V=z相切，則hn彳=飛，

5V1+4xo{5

兩邊平方并整理得5尤：-4無。-1=0,解得X°=l,x0=-1(舍)，

則直線/的方程為x-2y+l=0,即>=：彳+：.故選：D.

5.(2019年全國高考回卷)已知曲線〉=溫+》111.%在點。，㈤處的切線方程為y=2x+6,則()

A.a=e,b=-lB.a=e,b=lC.a=e~',b=1D.a=e~r,b=-1

【答案】D

【解析】通過求導(dǎo)數(shù)，確定得到切線斜率的表達(dá)式，求得。，將點的坐標(biāo)代入直線方程，求得b.

【詳解】詳解：y'=aex+\nx+\,

=-1

k=y\x=iae+l=2,a—g

將(1,1)代入y=2元+b得2+人=1力=一1,故選D.

【點睛】本題關(guān)鍵得到含有a,b的等式，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義和點在曲線上得到方程關(guān)系.

二、填空題

6.(2023?全國乙卷)設(shè)ae(O,l),若函數(shù)=優(yōu)+(l+af在(0,+s)上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是.

【分析】原問題等價于/'(尤)=a1na+(l+a)%(l+a)2O恒成立，據(jù)此將所得的不等式進(jìn)行恒等變形，可得

由右側(cè)函數(shù)的單調(diào)性可得實數(shù)。的二次不等式，求解二次不等式后可確定實數(shù)。的取值范圍.

Va)ln(l+a)

【詳解】由函數(shù)的解析式可得「(x)="Ina+(1+4in(1+a)20在區(qū)間(0,+動上恒成立，

則(l+a)*ln(l+a)"a1na,即［寧［［-1口,二)在區(qū)間(°，+8)上恒成立，

故=1"J；：.)，而"+le(l,2),故ln(l+")>0,

ln(〃+l)2-lna[a(a+l)>l故理

故即〈)<a<l

0<^<1\0<a<lf

7.(2022全國乙卷)已矢口1=再和工二%2分另！1是函數(shù)/(x)=2優(yōu)一ef(a>0且。wl)的極小值點和極大值點.若玉<%,

則a的取值范圍是

【答案】

【分析】法一：依題可知，方程21na?，-2e尤=0的兩個根為玉，9，即函數(shù)y=比分優(yōu)與函數(shù)y=ex的圖象有兩個

不同的交點，構(gòu)造函數(shù)g(x)=lnad,利用指數(shù)函數(shù)的圖象和圖象變換得到g(x)的圖象，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求

得過原點的切線的斜率，根據(jù)幾何意義可得出答案.

【詳解】［方法一］:【最優(yōu)解】轉(zhuǎn)化法，零點的問題轉(zhuǎn)為函數(shù)圖象的交點

因為r(x)=21na?優(yōu)-2ex,所以方程21na?爐-2ex=0的兩個根為無”三,

即方程=ex的兩個根為占，%，

即函數(shù)y=lna-a*與函數(shù)y=ex的圖象有兩個不同的交點，

因為占,三分別是函數(shù)2優(yōu)-ef的極小值點和極大值點，

所以函數(shù)〃x)在(—，玉)和(彳2，y)上遞減，在(王，/)上遞增，

所以當(dāng)時(-00,為)(孫+oo),//(x)<0,即y=ex圖象在y=ina-a”上方

當(dāng)時，7^)>0,即丫=。圖象在y=lnad下方

a>l,圖象顯然不符合題意，所以

令g(x)=lna-a",則g,(x)=ln2a-ar,0<a<l,

設(shè)過原點且與函數(shù)y=g(x)的圖象相切的直線的切點為(尤

210

則切線的斜率為g'a))=ln%*,故切線方程為y-lna?*=lno-a(x-x0),

則有-lna,a'。=-%ln2a，優(yōu)。，解得％=+，則切線的斜率為1112a.疝^=eh?a，

因為函數(shù)y=Inas"與函數(shù)y=ex的圖象有兩個不同的交點，

所以elYave,解得又。vavl,所以

ee

綜上所述，〃的取值范圍為g』［

［方法二］:【通性通法】構(gòu)造新函數(shù)，二次求導(dǎo)

/'(X)=21na-aA-2ex=0的兩個根為占,三

因為占,三分別是函數(shù)〃x)=2/-ex?的極小值點和極大值點，

所以函數(shù)在(YO，X)和(孫―)上遞減，在(王，彳2)上遞增，

設(shè)函數(shù)g(尤)=/'(x)=2(，lna-ex),則g,x)=2ax(ina)2-2e,

若則g'(x)在R上單調(diào)遞增,此時若g'(x0)=O,則尸(x)在

(-8,%)上單調(diào)遞減，在(%,+<?)上單調(diào)遞增，此時若有％=%和％=尤2分別是函數(shù)

f(%)=2優(yōu)-e？3>0且awl)的極小值點和極大值點，則玉>尤2，不符合題意；

若則g'(x)在R上單調(diào)遞減，此時若g'(x0)=O,則/'(外在(—,不)上單調(diào)遞增，在(x。,")上單調(diào)遞減，

令g'(x0)=O,貝1"°=山"，止匕時若有x=%和x=%分別是函數(shù)/(力=2優(yōu)-eY(a>0且"1)的極小值點和極大

值點，且再</，則需滿足/(%)>0,尸(%)=2(0'。1110-倏)=2(2-*))>(),即/<，，>1故

e1

In^=^oln?=ln；—7>1,所以_<a<l.

(Ina)e

8.(2022年全國新高考回卷)若曲線y=(x+a)ex有兩條過坐標(biāo)原點的切線，則。的取值范圍是.

【答案】(f,T).(0,y)

【分析】設(shè)出切點橫坐標(biāo)％,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程，根據(jù)切線經(jīng)過原點得到關(guān)于為的方程，根據(jù)此方

程應(yīng)有兩個不同的實數(shù)根，求得。的取值范圍.

【詳解】=(x+a)e*,ffly=(x+l+a)ex,

x

設(shè)切點為(演,%)，則％=(X。+a)e&，切線斜率k=(x0+l+a)e0,

切線方程為：y-(%0+<2)6^=(^)+l+a)e^(x-x0),

回切線過原點，0-(Xo+a)e"°=(x0+l+o)e^(-x0),

整理得：X；+ax0—a=0,

回切線有兩條，回A=a2+4q>0,解得。<-4或a>0,

回。的取值范圍是(0,+CO),

故答案為：(YO,-4)_(0,"o)

9.(2。21?全國甲卷)曲線y=二在點處的切線方程為----------

【答案】5尤-y+2=0

【分析】先驗證點在曲線上，再求導(dǎo)，代入切線方程公式即可.

【詳解】由題，當(dāng)X=-1時，產(chǎn)-3,故點在曲線上.

求導(dǎo)得：y=一k，所以*,3=5.

、(/x+2，)(x+2)

故切線方程為5尤7+2=0.

故答案為：5x-y+2=0.

10.(2021年全國新高考回卷)函數(shù)/(x)=|2x-lk21nx的最小值為.

【答案】1

【分析】由解析式知f(x)定義域為(。，+刈，討論0<x(g、1<x<l,x>l,并結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，即可求,⑺

最小值.

【詳解】由題設(shè)知：/。)=|2尤-1|-2出》定義域為(0,e)，

團當(dāng)0〈尤4I?時，/(x)=l-2%-21nx,此時f(x)單調(diào)遞減；

12

當(dāng)一時，f(x)=2x-l-2lnx有尸(x)=2――<0,止匕時〃幻單調(diào)遞減；

2fx

2

當(dāng)x>l時，f(x)=2x-l-2inx有/(%)=2-->0,此時/(%)單調(diào)遞增；

fx

又fM在各分段的界點處連續(xù)，

團綜上有：0<%(1時，/(九)單調(diào)遞減，時，/(%)單調(diào)遞增；

0/(x)>/(l)=l

故答案為：1.

三、雙空題

11.(2022年全國高考團卷)曲線y=ln|x|過坐標(biāo)原點的兩條切線的方程為,.

【答案】y=-xy=--x

ee

【詳解】［方法一］:化為分段函數(shù)，分段求

分x>0和尤<0兩種情況，當(dāng)尤>0時設(shè)切點為(xo.lnx。)，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率，從而表示出切

線方程，再根據(jù)切線過坐標(biāo)原點求出％,即可求出切線方程，當(dāng)x<0時同理可得；

解：因為y=ln|x|,

當(dāng)x>0時_v=lnx,設(shè)切點為由，=工，所以所以切線方程為'Tn%=’(尤-%),

X玉)玉)

［11

又切線過坐標(biāo)原點，所以Tnx0=一(-X。)，解得x0=e,所以切線方程為y-1=-(x-e),即尸—x；

xoee

當(dāng)x<0時y=ln(r),設(shè)切點為(人,皿―玉))，由y'=L所以川『=二所以切線方程為>-叭-再)=

X王玉

又切線過坐標(biāo)原點，所以Tn(一玉)=［(一玉)，解得％=-e,所以切線方程為y_l=J_(x+e),即妹-L；故答案

七一ee

位11

為：y=—x；y=——%

ee

［方法二］:根據(jù)函數(shù)的對稱性，數(shù)形結(jié)合

當(dāng)尤>0時y=ln無，設(shè)切點為(％,In%),由y'=L所以=所以切線方程為y-lnx。=’(x-Xo),

xxoxo

又切線過坐標(biāo)原點，所以一比七二一(一七),解得%=e,所以切線方程為y-1=」(尤-e),即y=L；因為y=ln|x|

X。ee

是偶函數(shù)，圖象為:

所以當(dāng)x<0時的切線，只需找到y(tǒng)=L關(guān)于y軸的對稱直線y即可.

ee

［方法三］：因為y=ln|x|,

當(dāng)尤>0時y=lnx,設(shè)切點為(/In%),由，=工，所以所以切線方程為〉一山毛=!(彳一天),

xx0xo

又切線過坐標(biāo)原點，所以7叫/(-3解得x0=e,所以切線方程為下?！?，即尸卜

當(dāng)尤<0時y=ln(-x),設(shè)切點為(玉,111(-%))，由y=L所以y'l『=’，所以切線方程為yTn(-Xi)=’(x-xJ,

X玉國

又切線過坐標(biāo)原點，所以Tn(f)='(f),解得±=-e,所以切線方程為■1=-1(》+6),即y=」x；

王一ee

故答案為：y=~x；y=--x.

ee

考點02構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性比較大小

一、單選題

3111

1.(2022?全國甲卷)已知1=一,/?=cos-,c=4sin-,則()

3244

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

【答案】A

cii

【分析】由％=4tan］結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得c>比構(gòu)造函數(shù)”引=88%+弓尤2-1,天40,+8),利用導(dǎo)數(shù)可得“。,即

可得解.

【詳解】［方法一］：構(gòu)造函數(shù)

因為當(dāng)xeW，x<tanx

故：=4tanJ>l,故(>1,所以c>b；

b4b

設(shè)“x)=cosx+32TxeQ+oo)

/z(x)=-sinx+x>0,所以/(x)在(0,+oo)單調(diào)遞增,

故/［：］>/(0)=0,所以cos；-||>0,

所以b>a,所以故選A

［方法二］:不等式放縮

因為當(dāng)了￡］。個卜inx<%,

］11門、2a1

取元=7■得：cos-=l-2sin2->l-2-=—,故

848⑶32

14

4sin—+cos—=J17sin|—+69，其中且sin0=

44U>'cos^=>

當(dāng)4sin^+cosL=47時,171P兀\

“。=萬，及夕—一a

44

?,.141.1

止匕時sin：=cos。=「=,cos—=sin(D=—j=

4VI74717

故c°SW=^<而=sina<4sinw，故〃<c

所以b>4,所以c>6>。，故選A

［方法三］:泰勒展開

.n_八.<31,0.252,10.2520.254

x-0.25,貝mi!IJa=—=1------,b=cos-q11-------1------,

322424!

.1

sin24

1l,0.250.25、，生/日,工小咫

c=4sin-=^L?l———+^—,計算得c>b>。，故選A.

4

［方法四］:構(gòu)造函數(shù)

因為￡=4tan，，因為當(dāng)xe(0,g),sinx<x<tanx,所以tan!>j，即!>1,所以c>b；設(shè)

b4I2J44b

/(x)=cosx+|-x2-l,xe(0,+oo),/'(x)=-sinx+x>0,所以/(x)在(0,+8)單調(diào)遞增，貝I」>/(。)=。,所以

131

COS——>0,所以b>a,所以c>b>〃，

故選：A.

［方法五］:【最優(yōu)解】不等式放縮

因為9=4tan!，因為當(dāng)了￡伍,二］,sinx<x<tanx,所以即￡>1,所以c>b；因為當(dāng)工￡(0,二］,sinxvx,

b4<2)44b<2)

取x得cos』=l—2sin2』>l—2［，］=—,故"%所以C>Z?>Q.

848⑻32

故選：A.

【整體點評】方法4：利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，是常見思路，難點在于構(gòu)造合適的函數(shù)，屬于通性通法;

方法5：利用二倍角公式以及不等式xe[o,j,sinx<x<tanx放縮，即可得出大小關(guān)系，屬于最優(yōu)解.

2.(2022年全國新高考回卷)設(shè)。=0.1e°」,6=；,c=-ln0.9,則()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【答案】C

【分析】構(gòu)造函數(shù)/。)=皿1+尤)-巧導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，由此確定。，仇C的大小.

【詳解】方法一：構(gòu)造法

設(shè)/(x)=ln(l+%)-x(x>-l),因為/(尤)=--1=一A，

當(dāng)尤e(-l,O)時，f\x)>0,當(dāng)尤€(0,+co)時/'(x)<0,

所以函數(shù)/(x)=ln(l+x)-x在(0,+8)單調(diào)遞減，在(-1,0)上單調(diào)遞增，

所以/(}<〃0)=0,所以In9-gvO,故：>ln￡=Tn0.9,即6>c,

所以/(-記)</(0)=0,所以In仿+歷<0,故言”，所以三。玲，

故〃<6,

x

設(shè)g(x)=xe*+ln(l-x)(0<x<l),則g'^x)=e+~^=—~~+J

令/?(%)=e'(%2—1)+1,〃'(x)=e*(x?+2尤—1),

當(dāng)時，〃'(x)<0,函數(shù)〃(x)=1(爐一1)+1單調(diào)遞減，

當(dāng)應(yīng)-1<X<1時，函數(shù)〃(x)=e*，_l)+l單調(diào)遞增，

又〃(0)=0,

所以當(dāng)0<尤〈忘-1時，心)<0,

所以當(dāng)0<尤<也一1時，g'O)>。，函數(shù)g(x)=W+ln(l-尤)單調(diào)遞增，

所以g(0.1)>g(0)=0,即0.1e〃>—ln0.9,所以

故選：C.

方法二：比較法

解：a=0.1e°l,b=-^~,c=-ln(l-0.1),

1—0.1

①lntz-lnZ?=0.1+ln(l-0.1),

令/(-^)=x+ln(l-x),xG(0,0.1],

1—v

貝1J/，?=1---=--<0,

1-x1-x

故f(x)在(0,0.1]上單調(diào)遞減，

可得/(0.1)</(0)=0,即]na-]nb<0,所以a<b；

②a-c=O.leol+ln(l-O.l),

令g(x)=xex+ln(l—x),xe(0,0.1],

則g\x)=xex+ex--L=(l+x)。-n"T,

')1-x1-x

令A(yù):(x)=(l+x)(l-xX-l,所以kr(x)=(l-x2-2x)ex>0,

所以k(x)在(0,0.1］上單調(diào)遞增，可得k(x)>k(0)>0,即<(%)>。，

所以g(x)在(0,0.1］上單調(diào)遞增，可得g(0.1)>g(0)=0,即a-c>0,所以a>c.

故c<a<b.

3.(2021?全國乙卷)設(shè)a=21nl.01,b=lnl.O2,C=VLO4-1.貝l］()

A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b

【答案】B

【分析】利用對數(shù)的運算和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性不難對a力的大小作出判定，對于。與c,6與c的大小關(guān)系，將0Q1

換成為分別構(gòu)造函數(shù)〃x)=21n(l+尤)-717彳+l,g(無)=ln(l+2x)-7IT石+1,利用導(dǎo)數(shù)分析其在。的右側(cè)包括

0.01的較小范圍內(nèi)的單調(diào)性，結(jié)合/(0)=0,g(0)=0即可得出a與c,。與c的大小關(guān)系.

【詳解】［方法一］：

a=21nl.01=lnl,012=ln(l+0.01)2=ln(l+2x0.01+0.012)>lnl.02=fe,

所以bVQ;

下面比較。與。1的大小關(guān)系.

記〃x)=21n(l+x)-Vn^+l,則/(0)=0,/(%)=———2==2(2^+4^-1-%)^

''1+x71+4^(1+X)V1T47

由于l+4x—(l+x)~=2無一元2=尤(2—x)

所以當(dāng)0<x<2時，1+4X-(1+X)2>0,即Jl+4x>(l+x),/^x)>0,

所以在［0,2］上單調(diào)遞增，

所以“0.01)>"0)=0,即21nl.即a>c；

//、972+4x-1-2x)

令g(x)=ln(l+2x)-Jl+4x+l,貝?。輌(0)=0,g'(x)=------------..=-----------,—,

-1+2%后石(1+x)后五

由于l+4x-(l+2x)2=7彳2,在x>0時，l+4x-(l+2x)~<0,

所以g'(x)<0,即函數(shù)g(x)在［0,+8)上單調(diào)遞減,所以g(0.01)<g(0)=0,BPlnl.02<^/L04-l,即從c；

綜上，b<c<a,

故選：B.

［方法二］:

令〃x)=lnF^］_x_l(x>l)

=<0,即函數(shù)f(x)在(1,+8)上單調(diào)遞減

V'尤?+1

/pl+0.04)</(1)=0,.-.Z?<c

令g(%)=21n[---J-x+l(l<x<3)

g，⑺x)>0,即函數(shù)g(x)在(1,3)上單調(diào)遞增

g(Vl+0.04)^(l)=0,.-.^c

綜上，b<c<a,

故選：B.

【點睛】本題考查比較大小問題，難度較大，關(guān)鍵難點是將各個值中的共同的量用變量替換，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)

研究相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而比較大小，這樣的問題，憑借近似估計計算往往是無法解決的.

4.(2020年全國新高考回卷)若2"+log2a=4"+21og",則()

A.a>2bB.a<2bC.a>b2D.a<b2

【答案】B

【分析】設(shè)/(x)=2*+log2X,利用作差法結(jié)合/(x)的單調(diào)性即可得到答案.

【詳解】設(shè)八勸=21+104》,則Ax)為增函數(shù)，因為2"+log2a=4"+21og4b=22“+log"

2i2426

所以/(?)-”26)=2"+log2a-(2+log22b)=2+log2^-(2+log22b)=log21=-l<0,

所以/(a)</(26),所以。<26.

22Z>22i

f(a)-f(b)=T+log2a-(2"+log2段)=2+log2b一(2"+log2b)=2-2戶-log2b,

當(dāng)b=1時，f(a)-f(b2)=2>0,此時/(0)>/(/),有a〉/

當(dāng)6=2時，/(?)-/(/72)=-1<0,止匕時/⑷</(〃)，有。<凡所以&D錯誤.

故選：B.

【點晴】本題主要考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，涉及到構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，是一道中檔題.

5.(2020年全國高考回卷)若2"-2><3一,-3一，，則()

A.ln(y-x+l)>0B.ln(y-x+l)<0C.ln|x-y|〉0D.ln[%-y|<0

【答案】A

【分析】將不等式變?yōu)?-3T<2「37,根據(jù)〃。=2'-3T的單調(diào)性知以此去判斷各個選項中真數(shù)與1的

大小關(guān)系，進(jìn)而得到結(jié)果.

【詳解】由2*-2了<3-*-3-，得：2'-3f<2>'-3-'

令/⑺=2T,

;y=2,為R上的增函數(shù)，>=3-，為R上的減函數(shù)，.?"3)為R上的增函數(shù)，

Qy-x>0,;.y-x+l>l,;.ln(y-x+l)>0,則A正確，B錯誤；

Q|x-y|與1的大小不確定，故CD無法確定.

故選：A.

【點睛】本題考查對數(shù)式的大小的判斷問題，解題關(guān)鍵是能夠通過構(gòu)造函數(shù)的方式，利用函數(shù)的單調(diào)性得到的

大小關(guān)系，考查了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想.

45

6.(2020年全國高考回卷)已知55<8313<8.設(shè)。=logs3,fa=log85,c=logi38,則()

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

【答案】A

【分析】由題意可得。、6、ce（O,l）,利用作商法以及基本不等式可得出〃、b的大小關(guān)系，由6=logs5,得8〃=5,

44

結(jié)合55<8,可得出6<丁由c=log[38,得13。=8,結(jié)合13“<85,可得出c>《，綜合可得出。、6、c的大小關(guān)系.

隆3+坨8丫（Ig3+lg8丫優(yōu)24丫

【詳解】由題意可知

4

由人=log85,得8"=5,由55<83得85'<84,「.5人<4,可得〃<不；

4

由c=logi38,得13c=8,由13:85,得134<135。，/.5c>4,可得

綜上所述，a<b<c.

故選：A.

【點睛】本題考查對數(shù)式的大小比較，涉及基本不等式、對數(shù)式與指數(shù)式的互化以及指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查

推理能力，屬于中等題.

考點03導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用

1.（2020?天津?統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)/。）=卜3'尤若函數(shù)g（x）=/（x）-辰2_2耳/eR）恰有4個零點，則

-x,x<0.11

%的取值范圍是（）

A.gj（2后,+co）B.卜co,-；；一（0,2后）

C.（-oo,0）l'（0,272）D.（-8,0）」（2夜,+oo）

【答案】D

【分析】由g（0）=0,結(jié)合已知，將問題轉(zhuǎn)化為y=l"-2|與/7（》）=會有3個不同交點，分無=0/<0#>0三種

|x|

情況，數(shù)形結(jié)合討論即可得到答案.

【詳解】注意到8（。）=。，所以要使g⑴恰有4個零點，只需方程出臼=*恰有3個實根

即可,

令貽戶胃’即產(chǎn)&-與〃（x）=借的圖象有3個不同交點.

/(x)fx2,x>0

因為/尤）==

WILx<0

當(dāng)人。時,此時『，如圖],X與g）=署有1個不同交點，不滿足題意;

當(dāng)上＜0時，如圖2,此時＞=|依-2|與/1。)=曾恒有3個不同交點，滿足題意;

|x|

當(dāng)人＞0時，如圖3,當(dāng)＞=丘-2與＞=/相切時，聯(lián)立方程得二-履+2=0,

令A(yù)=0得左2一8=0,解得左=2/(負(fù)值舍去)，所以左＞28.

綜上，上的取值范圍為(-8,0)(2A/2,+OO).

2.(2022?天津?統(tǒng)考高考真題)設(shè)“eR,對任意實數(shù)x,記〃尤)=min{k|-2,f-6+3。-5}.若至少有3個

零點，則實數(shù)。的取值范圍為.

【答案】a＞10

【分析】設(shè)g(x)=d—依+3。-5,網(wǎng)司=國—2,分析可知函數(shù)g(x)至少有一個零點，可得出-0,求出。的取值

范圍，然后對實數(shù)。的取值范圍進(jìn)行分類討論，根據(jù)題意可得出關(guān)于實數(shù)。的不等式，綜合可求得實數(shù)。的取值范

圍.

［詳解］設(shè)g(x)=Y-ar+3q_5,/z(x)=|%|-2,由可-2=0可得x=±2.

要使得函數(shù)至少有3個零點，則函數(shù)g(x)至少有一個零點，則△=(/-124+2020,

解得aW2或。310.

①當(dāng)"2時，g(x)=/-2x+l,作出函數(shù)g(x)、〃(x)的圖象如下圖所示：

此時函數(shù)只有兩個零點，不合乎題意；

②當(dāng)a＜2時，設(shè)函數(shù)g(x)的兩個零點分別為4、x2(x1＜x2),

要使得函數(shù)外可至少有3個零點，則無2w-2,

-<-2

所以，2,解得4G0;

g（-2）=4+5a-5>0

③當(dāng)a=10時，g（x）=d-10x+25,作出函數(shù)g（x）、4無）的圖象如下圖所示:

由圖可知，函數(shù)/（x）的零點個數(shù)為3,合乎題意；

④當(dāng)。>10時，設(shè)函數(shù)義（無）的兩個零點分別為馬、%4（%3<X4）,

要使得函數(shù)“X）至少有3個零點，則三22,

a八

—>2

可得r2,解得々>4,此時々>10.

g（2）=4+a-5N0

綜上所述，實數(shù)〃的取值范圍是［10,y）.

故答案為：［10,收）.

【點睛】方法點睛：已知函數(shù)有零點（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；

（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)