2023屆天津市南開區(qū)高三年級下冊3月質(zhì)量監(jiān)測一數(shù)學試題

2023屆天津市南開區(qū)高三下學期3月質(zhì)量監(jiān)測（一）

數(shù)學學科試卷

本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分.共150分，考試時間120分鐘.第I卷

1至3頁，第II卷4至9頁.

祝各位考生考試順利！

第I卷

注意事項：

1.答第I卷前，考生務必將自己的姓名.準考證號.考試科目涂在答題卡上.

2.每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，

再選涂其它答案標號.

3.本卷共9小題，每小題5分，共45分.

參考公式：

?柱體的體積公式％體=助，其中S表示柱體的底面積，〃表示柱體的高.

?如果事件A8互斥，那么P（AuB）=尸（A）+P（B）.

?如果事件AB相互獨立，那么P（AB）=P（A）.P（B）.

?對于事件A民P（A）>0,那么P（AB）=P（A〉P（?A）.

一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1.已知全集U=R,集合4={1,2,3,4,5},8={1％<—1或了>2},則Ac（98）=（）

A.{1,2}B.{3,4,5}C.{2,3,4,5}D.{1,2,3,4,5}

2.設(shè)aeR,則“。（々-3）>0"是“a>3”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.函數(shù)y=（2x-sinx>2-N的圖象可能是（）

4.某高中隨機選取100名學生一次數(shù)學統(tǒng)測測試成績，分為6組:

[65,70),[70,75),[75,80),[80,85),[85,90),[90,95],繪制了頻率分布直方圖如圖所示，則成績在區(qū)間[70,85)

內(nèi)的學生有()

頻率

名名名名

5.已知直線y=與圓f+(y—l)2=16相交于兩點，則的長度可能為()

6.己知e"=lg2,b=lg(ln2),c=lng,則仇c的大小關(guān)系是()

\.c<b<aB.h<a<c

C.a<c<bD.h<c<a

2

7.已知拋物線>2=16x上一點A(〃V)到準線的距離為5,尸是雙曲線r、二一=1的左焦點，P是雙曲線右支

12

上的一動點，則|PF|+|PA|的最小值為()

8.將函數(shù)/(關(guān))=80[如:+(卜3>0)的圖象向右平移:個單位長度后得到函數(shù)g(x)的圖象，若g(x)在

7T571

上單調(diào)遞減，則。的最大值為()

11

A.-B.-cE

424

\6x2-24x+9,x,1,

9.已知函數(shù)/(x)=《1/、則下列結(jié)論:

①/（〃）=9i,〃eN*

②VxG（0,+8）,/（x）<L恒成立

③關(guān)于x的方程/（X）=m（mGR）有三個不同的實根，則!<根<1

④關(guān)于X的方程“X）=9f（〃eN*）的所有根之和為〃2+g

其中正確結(jié)論有（）

個個個個

第n卷

注意事項：

L用黑色墨水的鋼筆或簽字筆答題；

2.本卷共11小題，共105分.

二、填空題：本大題共6個小題，每小題5分，共30分.請將答案填在題中橫線上.

2+4i

10.i是虛數(shù)單位，復數(shù)力y=.

3—1

11.在（X—的展開式中，/的系數(shù)為.

12.已知實數(shù)a>O,b>O,a+b=\,則2"+2〃的最小值為.

13.如圖，直三棱柱ABC-A￡G的六個頂點都在半徑為1的半球面上，AB^AC,側(cè)面BCC4是半球底

面圓的內(nèi)接正方形，則直三棱柱ABC-A4G的體積為.

14.假設(shè)某市場供應的燈泡中，甲廠產(chǎn)品占60%,乙廠產(chǎn)品占40%,甲廠產(chǎn)品的合格率為90%,乙廠產(chǎn)品的合

格率為80%,在該市場中購買甲廠的兩個燈泡，則恰有一個是合格品的概率為；若在該市場中隨

機購買一個燈泡，則這個燈泡是合格品的概率為.

15.在平面四邊形488中，|48|=|8。=|。方|=。4。。=1,848。=3,則〔AC卜；

BDCD=.

三、解答題：（本大題共5個小題，共75分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

16.（本小題滿分14分）

在QABC中，角A,8,c所對的邊分別為ag,c,且4。=石c,b=ll,cosC=|.

(1)求sinA的值；

(2)求。的值；

(3)求cos(A-2C)的值.

17.(本小題滿分15分)

如圖，四棱錐P-ABCD中，平面平面

ABCD,AB//CD,AB±AD,AB=3,AO=6,AP=CO=2,ZPAB=6(),M是CD中點，N是PB上一

點.

(1)當時，

3

(i)證明：MN〃平面P4O；

(ii)求直線PM與平面PAD所成角的正弦值；

4PN

(2)平面P40與平面夾角的余弦值為一，求——的值.

5PB

18.(本小題滿分15分)

丫22

已知是桶圓C：=+M=l(a＞分＞0)的兩個焦點，過月(1,0)的直線/交。于P，Q兩點，當/垂直于X

a~b~

3

軸時，且，PGK的面積是彳.

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)設(shè)橢圓。的左頂點為A，當/不與x軸重合時，直線AP交直線m:x=2a于點M，若直線〃，上存在另

一點N,使F?M.F?N=0,求證：AQ,N三點共線.

19.(本小題滿分15分)

已知等差數(shù)列｛a,,｝的首項為1,前〃項和為S,,,單調(diào)遞增的等比數(shù)列｛〃｝的首項為2,且滿足

%+§2=7也+邑=14.

(1)求｛4｝和也｝的通項公式；

(2)證明：35.=4S,,+1——1)S”(〃GN*卜

〃TS1

（3）記｛a｝的前『項和為雹，證明：Z十1<1〃（鹿+1）（〃+2）?

i=ia3

20.（本小題滿分15分）

已知函數(shù)/（x）=x2-2（a+l）x+26dnx（Qe7?）.

（1）當a=2時，求曲線>=/（%）在點處的切線方程；

（2）若函數(shù)/（x）有極大值，試確定。的取值范圍；

（3）若存在玉）使得/（%0）+（1叫）-2〃），，工玉：一［2J%+彳成立，求。的值.

2022-2023學年度第二學期高三年級質(zhì)量監(jiān)測（一）

數(shù)學學科參考答案

一、選擇題：（本題共9小題，每題5分，共45分）

題號123456789

答案ABCDBCDCB

二、填空題：（本題共6小題，每題5分，共30分）

萬

10.1+i11.4012.2加13*

2

14.0.18,0.86（第一個空2分，第二個空3分）；

15.1，1+^（第一個空2分，第二個空3分）.

2

三、解答題：（其他正確解法請比照給分）

34

16.解：（1）由于cosC=—,0<C<"，則sinC=—.

55

因為4a=J^c，由正弦定理知4sinA=J^sinC，

貝|JsinA=-^-sinC=-

45

(2)因為4〃=\/5c，

由余弦定理，得「a2+b2-c2”+121-5,ILV3,

2ab22a2a5

即。2+6。-55=0，解得a=5.

jr

(3)由(2)知a</?,所以0<A<一.

2

由(1)得cosA=Jl-sin2A=~~~~?

.,247

sin2c—2sinCcos(7——,cos2c=2cos7-C—1----,

2525

所以cos(A-2C)=cosAcos2C+sinAsin2C

2>/5(7)石24275

=-------x-------d---------x——=-------

5125J52525

17.解：如圖建立空間直角坐標系，以A為坐標原點，AB為％軸，AD為丁軸，過點A作

面ABCD的垂線為z軸,則8(3,0,0),0僅,瘋0),尸(1,0,@,"(1,60),

(1)由PB=(2,0,—6)/加=位,出,一6),及PN=；PB,

可得PN==PN-PM=-,-V3,

(i)設(shè)平面PAD的一個法向量為機=(x,y,z),

AP?加=X+AAZ=O,[x=-y/3z

則「解得

AD-m=J3y=0,[y—0,

令Z=l,得〃2=卜6,0,1)是平面FA￡>的一個法向量.

一氈+0+氈=0,

因為MN?m

33

所以MN_Lm?又MV(Z平面PAD,

所以MN〃平面PAO.

V2

(ii)由⑴可得costPM,“。PM-m

77

所以直線PM與平面所成角的正弦值為W.

4

(2)設(shè)PN=fPB=(2r,0,—gr),y0,l],

則AN=AP+PN=(l+2f,0,6-網(wǎng)，

設(shè)〃=(x,y,z)是平面AMN的一個法向量,

n-AM=x+\J?>y=0,

則〈

〃.47=(1+2)+百(1-6=0,'

取x=G(f—1),則〃=(G(r-l),l—+是平面AAW的一個法向量,

|3—3/+2,+1|

則cos(m.n

琲“253(4—1)2+(1—1)2+(2f+1)25

解得「28+24而或”28-24府（舍去）.

所以空=28+24刷

PB487

18.解:（1）依題意c=l,所以足=。2+]

31Q3

因為居的面積是G，即5x2x|尸用=；,解得|P81=],

所以戶用=

從而2a=歸耳|+歸6|=4,解得0=2,

所以。2=3,橢圓的標準方程為三+匕=「

43

（2）由（1）知,A（-2,0）.

依題意，設(shè)直線/方程為％=陽+1,。（玉，另）,。（為,％），

由’3^3/-12消去"得（3"+4）,+6中y-9=°，

「.-6m-9

則y+必=22＞，"2=.20'

3m+43m+4

直線AP的斜率上小=-A；，直線AP的方程：y=。4；（x+2）,

玉+2%,+2

而直線加：x=4,所以M4,9匚.

I西+2）

6yl

直線6加的斜率_x,+2_2y,

KRM~~；——T

而6M-6N=0,即6M_L鳥N,

7%+2

所以直線居N的斜率=-U—?

2M

因此直線8N的方程：>=一年2(x—1),則點N(4,-與土g

2%I2yJ

3%+6

所以直線AN的斜率,_2y_X+2.

又直線AQ的斜率須2%

入2+2

y2(%+2)必吵+3("22+4)乂%+3〃2(%+%)+9

則上A0-^AN------—―-------,+---------、

馬+2I4^)〃少2+34y4>"沖2+3)

-9(m2+4

而(/〃2+4)乂%+3加(凹+%)+9=-6m-3m八

-------7------Z-------—A——+90，即怎2="AN，

3〃r+43"+4

所以A,Q,N三點共線.

19.解：（1）由題意，設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,等比數(shù)列｛〃｝的公比為9（401）,

因為。+§2=7,4+83=14,

2q+d+2=7,24+d=5,

所以即47

2/+3d+3=14,2^2+3^=11.

q=1,4=2,

解得《(舍去)，或［,

d=34=1,

所以a“=〃,勿=2".

(2)由(1)知S“=」----乙,

"2

所以a”S"+iT)S”=a"(S“+a“+J-(a“一1)5”

=S,+a”*=S“+〃(〃+1)=3S?.

(3)由(1)知,=2(1_LJ.=2n+l-1.

1-2

所以弛=(2"'T).(2)=Q㈤+

<z(z+l)

向一21'一2,+1

=；[d+1)(『+2H1)中+1)]

所以之蕓<可口.(1+1)(1+2)一(1一1)1(1+1)]+弓[2?(2+1)(2+2)-(2-1)-2?(2+1)]

/=1433

+1[(n-l)n(n+l)-(n-2)(l-l)n]+1[n(

+?〃+1)("+2)—(〃一1)〃(〃+1)]

=g〃(〃+l)(〃+2)?

20.解：(1)當a=2時，/(尢)=%2-6x+41nx,

依題意，r(x)=2x—6+±可得/'(1)=2-6+4=0,又/⑴=一5,

所以曲線y=/(x)在點(1,7(1))處的切線方程為y+5=0.

(2)函數(shù)/(x)的定義域為(0,+e)，r(x)=2x—2(a+l)+型=2(XT)(X—“),

XX

①當a=l時，/'(%)..0,所以/(x)在(0,+。)上單調(diào)遞增，此時/(x)無極大值;

②當。>1時，令/'(x)>0,解得0<x<l或x>。，令/'(x)<0,解得l<x<a,

所以/(x)在(0,1)和(。,+紡)上單調(diào)遞增，在(l,a)上單調(diào)遞減