立體幾何中的距離、翻折、探究性問題課件【知識精研】 高三數(shù)學(xué)二輪微專題復(fù)習(xí)

專題四立體幾何微專題28立體幾何中的距離、翻折、探究性問題在考查立體幾何的高考題目中，距離問題、翻折問題與探究性問題也是?？碱}型，考查熱點(diǎn)為翻折后點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系、距離的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是明確翻折前后不變的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，根據(jù)題目條件合理引入?yún)?shù)，利用方程的思想解題.高考題中一般以解答題為主，難度屬中高檔題.考情分析思維導(dǎo)圖內(nèi)容索引典型例題熱點(diǎn)突破典例1

(2023·順義模擬)如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝AA1＝2，點(diǎn)E是棱A1D1的中點(diǎn)，平面ACE與棱C1D1相交于點(diǎn)F.(1)求證：點(diǎn)F為C1D1的中點(diǎn)；考點(diǎn)一

距離問題方法一因?yàn)槠矫鍭BCD∥平面A1B1C1D1，平面ACE∩平面ABCD＝AC，平面ACE∩平面A1B1C1D1＝EF，所以EF∥AC，連接A1C1，因?yàn)锳A1∥CC1，AA1＝CC1，所以四邊形AA1C1C是平行四邊形.所以A1C1∥AC，所以EF∥A1C1.因?yàn)镋是A1D1的中點(diǎn)，所以F為C1D1的中點(diǎn).方法二連接A1C1.因?yàn)锳A1∥CC1，AA1＝CC1，所以四邊形AA1C1C是平行四邊形.所以AC∥A1C1，因?yàn)锳C?平面A1B1C1D1，A1C1?平面A1B1C1D1，所以AC∥平面A1B1C1D1，因?yàn)锳C?平面ACE，平面ACE∩平面A1B1C1D1＝EF，所以AC∥EF.所以EF∥A1C1.因?yàn)镋是A1D1的中點(diǎn)，所以F為C1D1的中點(diǎn).(2)若點(diǎn)G為棱AB上一點(diǎn)，且D1G⊥AC，求點(diǎn)G到平面ACE的距離.方法一因?yàn)镈A，DC，DD1兩兩垂直，所以建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則D(0,0,0)，A(2,0,0)，E(1,0,2)，C(0,4,0)，D1(0,0,2)，設(shè)平面ACE的法向量為m＝(x，y，z),令x＝2，則y＝1，z＝1，所以m＝(2,1,1)，即－4＋4t＝0，解得t＝1，方法二連接DG，GC，如圖.因?yàn)镈D1⊥平面ABCD，所以DD1⊥AC，因?yàn)镈1G⊥AC，DD1∩D1G＝D1，DD1，D1G?平面D1DG，所以AC⊥平面D1DG，又DG?平面D1DG，所以AC⊥DG.在平面ABCD內(nèi)，由tan∠ADG·tan∠DAC＝1，在△ACE中，由余弦定理得cos∠CAE＝設(shè)點(diǎn)G到平面ACE的距離為d，跟蹤訓(xùn)練1

(2023·濟(jì)南模擬)如圖，在四棱錐P－ABCD中，△ABD是等邊三角形，PA＝PB＝PD，BC＝CD.(1)證明：BD⊥PC；如圖，連接AC，交BD于點(diǎn)O，連接PO，由AD＝AB，CD＝BC，AC＝AC，可得△ABC≌△ADC，所以∠BAC＝∠DAC，又AO＝AO，所以△AOB≌△AOD，所以BO＝OD，即O為BD的中點(diǎn)，在等腰△PBD中，可得BD⊥OP，在等腰△BCD中，可得BD⊥OC，又OP∩OC＝O，OP，OC?平面POC，所以BD⊥平面POC，又PC?平面POC，所以BD⊥PC.由(1)可得，AC⊥BD，由于P－ABD為正三棱錐，點(diǎn)P在底面ABD的垂足一定在AO上，設(shè)垂足為M，如圖，過點(diǎn)O作PM的平行線，以PM的平行線所在直線為z軸，以O(shè)A，OB所在直線為x軸、y軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)平面PCD的法向量為n＝(x，y，z)，設(shè)點(diǎn)A到平面PCD的距離為d，典例2

(2023·湛江模擬)如圖1，在五邊形ABCDE中，四邊形ABCE為正方形，CD⊥DE，CD＝DE，如圖2，將△ABE沿BE折起，使得A至A1處，且A1B⊥DE.(1)證明：DE⊥平面A1BE；考點(diǎn)二翻折問題因?yàn)锳1B⊥DE，A1B∩BE＝B，A1B，BE?平面A1BE，所以DE⊥平面A1BE.(2)求平面A1EC與平面A1ED夾角的余弦值.取BE的中點(diǎn)O，連接A1O，CO，如圖，由等腰三角形的性質(zhì)可知A1O⊥BE，CO⊥BE，所以O(shè)E＝CD，由DE⊥BE且CD⊥DE，可知OE∥CD，四邊形OCDE為平行四邊形，所以CO∥DE，則CO⊥平面A1BE.又A1O?平面A1BE，所以CO⊥A1O，所以A1O，CO，BE兩兩垂直.設(shè)平面A1EC的法向量為n＝(x，y，z)，令x＝1，得n＝(1，－1，－1)，跟蹤訓(xùn)練2

(2023·石家莊模擬)如圖(1)，在?ABCD中，AD＝2BD＝4，AD⊥BD，將△ABD沿BD折起，使得點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)P處，如圖(2).(1)若PC＝6，求證：PD⊥BC；

在平行四邊形ABCD中，AD⊥BD，可得BD⊥BC，∵AD＝2BD＝4，∴BC＝4，DC＝

PD＝4，∵PC＝6，∴PD2＋DC2＝PC2，∴PD⊥DC，又PD⊥BD，BD∩DC＝D，BD，DC?平面BDC，∴PD⊥平面BDC，又∵BC?平面BDC，∴PD⊥BC.(2)若PC＝

求平面PDC與平面PBC夾角的余弦值.方法一如圖，過點(diǎn)D作DF∥BC，且DF＝BC，連接PF，CF，∴四邊形BCFD為平行四邊形，由題意可知，BD⊥PD，BD⊥DF，PD∩DF＝D，PD，DF?平面PDF，∴BD⊥平面PDF，∴BD⊥PF，∴CF⊥PF，又BD?平面BCFD，∴平面BCFD⊥平面PDF.取DF的中點(diǎn)O，連接PO，由PF＝PD，得PO⊥DF，又平面BCFD∩平面PDF＝DF，PO?平面PDF，過點(diǎn)O作OM⊥DF，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)平面PBC的法向量為m＝(x，y，z)，平面PDC的法向量為n＝(x′，y′，z′)，方法二由BD⊥BC，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，∵AD＝2BD＝4，∴B(0,0,0)，C(4,0,0)，D(0,2,0)，設(shè)P(x，y，z)(其中z>0)，設(shè)平面PDC的法向量為m＝(a，b，c)，平面PBC的法向量為n＝(a′，b′，c′)，方法三如圖所示，過點(diǎn)B作BE⊥PC交PC于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF⊥PC交PC于點(diǎn)F，異面直線DF，BE的夾角即為兩個平面的夾角.典例3

(2023·韶關(guān)模擬)已知在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，E是CD的中點(diǎn)，如圖所示，沿BE將△BCE翻折至△BFE，使得平面BFE⊥平面ABCD.(1)證明：AE⊥BF；考點(diǎn)三探究性問題依題意可知四邊形ABCD為矩形，AB＝4，BC＝2，E是CD的中點(diǎn)，所以AE＝BE＝又AB＝4，所以AE2＋BE2＝AB2，即AE⊥BE，因?yàn)槠矫鍮EF⊥平面ABCD，平面BEF∩平面ABCD＝BE，AE?平面ABCD，所以AE⊥平面BEF，又BF?平面BEF，所以AE⊥BF.以C為原點(diǎn)，CD所在直線為x軸，CB所在直線為y軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則C(0,0,0)，D(4,0,0)，B(0,2,0)，E(2,0,0)，設(shè)N是BE的中點(diǎn)，因?yàn)镕E＝FB，所以FN⊥BE，又平面BEF⊥平面ABCD，平面BEF∩平面ABCD＝BE，F(xiàn)N?平面BEF，設(shè)平面DEF的法向量為n＝(x，y，z)，設(shè)PF與平面DEF所成的角為θ，跟蹤訓(xùn)練3

(2023·臨汾模擬)已知四棱錐P－ABCD中，平面PAB⊥底面ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，PA＝PB＝

AB＝BC＝2AD，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱PC上異于P，C的點(diǎn).(1)證明：BD⊥EF；

如圖，連接PE，EC，EC交BD于點(diǎn)G.因?yàn)镋為AB的中點(diǎn)，PA＝PB，所以PE⊥AB.因?yàn)槠矫鍼AB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，PE?平面PAB，所以PE⊥平面ABCD，因?yàn)锽D?平面ABCD，所以PE⊥BD.因?yàn)椤鰽BD≌△BCE，所以∠CEB＝∠BDA，所以∠CEB＋∠ABD＝90°，所以BD⊥EC，因?yàn)镻E∩EC＝E，PE，EC?平面PEC，所以BD⊥平面PEC.因?yàn)镋F?平面PEC，所以BD⊥EF.(2)試確定點(diǎn)F的位置，使EF與平面PCD所成角的正弦值為如圖，取DC的中點(diǎn)H，以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以EB，EH，EP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB＝2，則BC＝2，AD＝1，PA＝PB＝則P(0,0,1)，C(1,2,0)，D(－1,1,0)，E(0,0,0)，所以(x，y，z－1)＝λ(1,2，－1)，所以x＝λ，y＝2λ，z＝1－λ，即F(λ，2λ，1－λ).設(shè)平面PCD的法向量為m＝(a，b，c)，則取m＝(1，－2，－3)，設(shè)EF與平面PCD所成的角為θ，整理得6λ2－2λ＝0，所以當(dāng)F位于棱PC靠近P的三等分點(diǎn)時，總結(jié)提升在考查立體幾何的高考解答題中，翻折問題與探究性問題也是?？碱}型，求空間距離問題也是近幾年高考的熱點(diǎn).(1)求距離問題常用方法：直接法、等積法和空間向量法.(2)翻折問題要確定翻折前后變與不變的關(guān)系以及翻折后關(guān)鍵點(diǎn)的位置.(3)立體幾何中的探究性問題解決探究性問題的基本方法是假設(shè)結(jié)論成立或?qū)ο蟠嬖冢谶@個前提下進(jìn)行邏輯推理.1.如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，AD⊥DC，PA＝PD＝PB，BC＝DC＝

＝2，E為AD的中點(diǎn)，且PE＝4.(1)求證：PE⊥平面ABCD；12341234連接BE(圖略).∴四邊形BCDE為平行四邊形，∴BE＝CD＝2.∵PA＝PD且E為AD的中點(diǎn)，∴PE⊥AD，1234∴PE2＋BE2＝PB2，即PE⊥BE，又AD∩BE＝E，AD，BE?平面ABCD，∴PE⊥平面ABCD.1234(2)記PE的中點(diǎn)為N，若M在線段BC上，且直線MN與平面PAB所成角的正弦值為

求線段BM的長.1234以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EA所在直線為x軸，EB所在直線為y軸，EP所在直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(2,0,0)，B(0,2,0)，C(－2,2,0)，P(0,0,4)，設(shè)平面PAB的法向量為n＝(x，y，z)，1234取n＝(2,2,1)，設(shè)BM＝t(t∈[0,2])，則M(－t,2,0)，而N(0,0,2)，設(shè)直線MN與平面PAB所成的角為θ，則2.(2023·茂名模擬)在四棱錐P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，O為AD的中點(diǎn).(1)求證：PO⊥BC；12341234∵PA＝PD，O為AD的中點(diǎn)，∴PO⊥AD，又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，又PO?平面PAD，∴PO⊥平面ABCD，又∵BC?平面ABCD，∴PO⊥BC.12341234連接BD，由AB∥CD，AB＝8，AD＝DC＝CB＝4，可知四邊形ABCD為等腰梯形，易知BD＝∵AD2＋BD2＝AB2，∴AD⊥BD，過點(diǎn)O作DB的平行線，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DB的平行線為y軸，以O(shè)A，OP所在直線分別為x軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，易知平面ABCD的一個法向量為n＝(0,0,1)，1234∴x2－4x＋4＋y2－3z2＝0，

①1234設(shè)平面PCD的法向量為m＝(x1，y1，z1)，12343.(2023·濟(jì)寧模擬)如圖，圓柱的軸截面ABCD是邊長為6的正方形，下底面圓的一條弦EF交CD于點(diǎn)G，其中DG＝2，DE＝DF.(1)證明：平面AEF⊥平面ABCD；12341234由題意可知，在下底面圓中，CD為直徑.因?yàn)镈E＝DF，所以G為弦EF的中點(diǎn)，且EF⊥CD.因?yàn)镋F⊥AD，AD∩CD＝D，AD，CD?平面ABCD，所以EF⊥平面ABCD.因?yàn)镋F?平面AEF.所以平面AEF⊥平面ABCD.(2)判斷上底面圓周上是否存在點(diǎn)P，使得平面PEF與平面AEF夾角的余弦值為

若存在，求AP的長；若不存在，請說明理由.12341234設(shè)平面PEF交圓柱上底面于PQ，交AB于點(diǎn)H.則平面PEF與平面AEF夾角的大小就是平面HEF與平面AEF夾角的大小.以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以下底面垂直于DG的直線，DG，DA所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.因?yàn)镈G＝2，底面圓的半徑為3，1234設(shè)H(0，m,6)(0<m≤6)，設(shè)平面AEF的一個法向量為m＝(x1，y1，z1).1234令z1＝1，則m＝(0,3,1).設(shè)平面HEF的一個法向量為n＝(x2，y2，z2).令y2＝－6，則n＝(0，－6，m－2).1234即AH＝4.又因?yàn)镋F∥平面PAB，EF?平面PEF，平面PAB∩平面PEF＝PQ，所以EF∥PQ，PQ⊥AB，且H為PQ的中點(diǎn).12344.(2023·岳陽模擬)在△ABC中，∠ACB＝45°，BC＝3，過點(diǎn)A作AD⊥BC，交線段BC于點(diǎn)D(如圖1)，沿AD將△ABD折起，使∠BDC＝90°(如圖2)，點(diǎn)E，M分別為棱BC，AC的中點(diǎn).(1)求證：CD⊥ME；1234∵CD⊥AD，CD⊥BD，AD∩BD＝D，AD，BD?平面ABD，∴CD⊥平面ABD，∵AB?平面ABD，∴CD⊥AB.又∵M(jìn)，E分別為AC，BC的中點(diǎn)，∴ME∥AB，∴CD⊥ME.1234問題：已知________________，試在棱CD上確定一點(diǎn)N，使得EN⊥BM，并求平面BMN與平面CBN夾角的余弦值.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計(jì)分.1234選①，在題圖1所示的△ABC中，解得