分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理（一）課件高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

6.1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理（一）

本章我們一起來更科學(xué)的研究如何高效地“計數(shù)”你能回答下面兩個問題嗎?章節(jié)引言探究新知方案1用大寫英文字母編號

26方案2用阿拉伯?dāng)?shù)字編號

1026+10=36完成一件什么事有多少種方法怎么完成這件事這里的“或”代表分類問題1：用一個大寫的英文字母或一個阿拉伯?dāng)?shù)字給教室里的一個

座位編號，總共能編出多少種不同的號碼？完成一件事給座位編號分類加法計數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有_______種不同的方法.N=m+n

例1：在填寫高考志愿時，一名高中畢業(yè)生了解到,A,B兩所大學(xué)各有一些自己感興趣的強項專業(yè)，如表，A大學(xué)B大學(xué)生物學(xué)數(shù)學(xué)化學(xué)會計學(xué)醫(yī)學(xué)經(jīng)濟學(xué)物理學(xué)法學(xué)工程學(xué)問：如果這名同學(xué)只能選一個專業(yè)，那么他共有多少種選擇？追問1：例1中完成了一件什么的事情？追問2：在例1中,如果數(shù)學(xué)也是A大學(xué)的強項專業(yè),則A大學(xué)共有6個專業(yè)可以選擇,B大學(xué)共有4個專業(yè)可以選擇,那么用分類加法計數(shù)原理,得到這名同學(xué)可能的專業(yè)選擇種數(shù)為6+4=10.這種算法有什么問題?分類加法計數(shù)原理不僅對完成一件事有兩類不同方案適用，對分三類的方案也適用。當(dāng)然，對分n類方案也適用。你能仿照分類加法計數(shù)原理的內(nèi)容，對有n類方案的分類加法計數(shù)原理推廣嗎？推

廣完成一件事有n類不同方案，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法，.....在第n類方案中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有

種不同的方法.N=m1+m2+……+mn特點:

各類中的各種方法相互獨立即用任何一類中的任何一種方法都可以單獨完成這件事利用分類加法計數(shù)原理的一般步驟分類：對完成這件事的方案進行分類，

要不重不漏；計數(shù)：對每一類進行計數(shù);求和：得出總數(shù).問題2：用前6個大寫的英文字母和1~9個阿拉伯?dāng)?shù)字，以A1，A2…A9，B1，B2，…的方式給教室里的一個座位編號，總共能編出多少種不同的號碼？

1.確定英文字母2.確定阿拉伯?dāng)?shù)字A123456789A1A2A3A4A5A6A7A8A9與字母A對應(yīng)的編號有9種能用樹狀圖列出所有可能的號碼嗎？完成一件什么事有多少種方法怎么完成這件事這里的“和”代表分步分步乘法計數(shù)原理完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有

種不同的方法.N=m×n完成一件事選兩人參加比賽第一步

從男生中選一人

30種

第二步

從女生中選一人

24種

完成一件什么事有多少種方法怎么完成這件事例2推

廣完成一件事需要n個步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，.....做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有

種不同的方法.N=m1×m2×……×mn

特點:

各個步驟相互依存

只單獨完成任何其中的一步都不能完成該件事，只有當(dāng)各個步驟都完成后，才算完成這件事.利用分步乘法計數(shù)原理的一般步驟分步：對完成這件事的方案進行分步，

要步驟完整；計數(shù)：對每一步進行計數(shù);求乘積：得出總數(shù).1.填空題(1)一項工作可以用2種方法完成，有5人只會用第1種方法完成，另有4人只會用第2種方法完成，從中選出1人來完成這項工作，不同選法的種數(shù)是________；

(2)從A村去B村的道路有3條，從B村去C村的道路有2條，從A村經(jīng)B村去C村，不同路線的條數(shù)是_________.96微體驗2.書架上層放有6本不同的數(shù)學(xué)書，下層放有5本不同的語文書.

(1)從書架上任取1本書，有多少種不同的取法?

(2)從書架上任取數(shù)學(xué)書和語文書各1本，有多少種不同的取法?3.現(xiàn)有高一年級的學(xué)生3名，高二年級的學(xué)生5名，高三年級的學(xué)生4名.

(1)從三個年級的學(xué)生中任選1人參加接待外賓的活動，有多少種不同的選法?

(2)從三個年級的學(xué)生中各選1人參加接待外賓的活動，有多少種不同的選法?解：(1)11種；(2)30種.解：(1)12種；(2)60種.微體驗

如圖，從甲地到乙地有2條路，從乙地到丁地有3條路，從甲地到丙地有4條路，從丙地到丁地有2條路，從甲地到丁地共有多少條不同路線？N=2×3+4×2=14微體驗分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理聯(lián)系區(qū)別注意都是完成一件事的不同方法種數(shù)的問題是方法的分類:“類類獨立”即每類方法中的每一種方法都能獨立地完成這件事分類要“不重不漏”分步要“步驟完整”是過程的分步：“步步相依”即各個步驟是相互依存的，必須每步都完成了，才算做完這件事題型一：分類加法計數(shù)原理的應(yīng)用例1：在所有的兩位數(shù)中，個位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)的個數(shù)為（）36題型二：分步乘法計數(shù)原理的應(yīng)用例2：(1)4名同學(xué)選報跑步、跳高、跳遠三個項目,每人報一項,共有多少種報名方法?

(2)4名同學(xué)爭奪跑步、跳高、跳遠三項冠軍每個項目只有一個冠軍),共有多少種可能的結(jié)果?例3.

要從甲、乙、丙3幅不同的畫中選出2幅，分別掛在左、右兩邊墻上的指定位置，共有多少種不同的掛法?變式3：(2022·湖北武漢模擬)某旅游景區(qū)有如圖所示A至H共8個停車位,現(xiàn)有2輛不同的白色車和2輛不同的黑色車,要求相同顏色的車不停在同一行也不停在同一列,則不同的停車方法總數(shù)為書本7例題125題型三：計數(shù)問題間接法的應(yīng)用例1給程序模塊命名，需要用3個字符，其中首字符要求用字母A~G或U~Z，后兩個要求用數(shù)字1~9，最多可以給多少個程序命名？解:第一步：確定首選字符，由分類加法計數(shù)原理，首字符不同選法

的種數(shù)為:7＋6＝13.

第二步：中間字符。

第三步：最后字符，都從1~9中選，因為數(shù)字可以重復(fù)，所以不同選法的種數(shù)都為9.

由分步乘法計數(shù)原理，不同名稱的個數(shù)是

13×9×9＝1053，即最多可以給1053個程序模塊命名.追問：該例題的解答過程與之前的學(xué)習(xí)最大的不同在哪？“步中有類”思考你還能給出不同的解法嗎?題型四：分類和分布綜合應(yīng)用例2：如圖是某社區(qū)的街道示意圖，一輛酒水車從A點出發(fā)不重復(fù)地經(jīng)過所有街道又回到A點，那么酒水車行走的不同路線有()A.8種B.12種C.16種D.24種例1電子元件很容易實現(xiàn)電路的通與斷、電位的高與低等兩種狀態(tài)，而這也是最容易控制的兩種狀態(tài).因此計算機內(nèi)部就采用了每一位只有0或1兩種數(shù)字的記數(shù)法，即二進制.為了使計算機能夠識別字符，需要對字符進行編碼，每個字符可以用1個或多個字節(jié)來表示，其中字節(jié)是計算機中數(shù)據(jù)存儲的最小計量單位，每個字節(jié)由8個二進制位構(gòu)成.(1)1個字節(jié)(8位)最多可以表示多少個不同的字符?(2)計算機漢字國標(biāo)碼包含了6763個漢字，一個漢字為一個字符，要對這些漢字進行編碼，每個漢字至少要用多少個字節(jié)表示?題型五：分類和分布實際應(yīng)用例2.計算機編程人員在編寫好程序以后需要對程序進行測試.程序員需要知道到底有多少條執(zhí)行路（即程序從開始到結(jié)束的路線），以便知道需要提供多少個測試數(shù)據(jù).一般地，一個程序模塊由許多子模塊組成，如圖，這是一個具有許多執(zhí)行路徑的程序模塊。(1)這個程序模塊有多少條執(zhí)行路徑？(2)為了減少測試時間，程序員需要設(shè)法減少測試次數(shù)，你能幫助程序員設(shè)計一個測試方式，以減少測試次數(shù)嗎？開始子模塊118條執(zhí)行路徑子模塊328條執(zhí)行路徑子模塊245條執(zhí)行路徑子模塊543條執(zhí)行路徑子模塊438條執(zhí)行路徑結(jié)束A評04鞏固應(yīng)用歸納：用兩個計數(shù)原理解決計數(shù)問題時，最重要的是在開始計算之前要仔細分析兩點:(1)要完成的“一件事”是什么;

(2)怎么完成這件事？需要分類還是需要分步.

分類要做到“不重不漏”.分類后再分別對每一類進行計數(shù)，最后用分類加法計數(shù)原理求和，得到總數(shù).分步要做到“步驟完整”，即完成了所有步驟，恰好完成任務(wù).分步后再計算每一步的方法數(shù)，最后根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，把完成每一步的方法數(shù)相乘，得到總數(shù).微專題練習(xí)組數(shù)問題例1：從0，1，2，3，4，5這六個數(shù)字中取四個數(shù)字組成一個四位數(shù)，問:(1)食能組成多少個四位數(shù)?

(2)能被5整除的四位數(shù)有多少個?變式1：用0,1,2,3…,9十個數(shù)字可組成不同的，小于500且無重復(fù)數(shù)字的三位奇數(shù)（）個涂色問題例2：將3種作物全部種植在如圖所示的5塊試驗田里，每塊種植一種作物且相鄰的試驗田不能種植同一種作物，不同的種植方法共有（）種(用數(shù)字作答)變式2：某學(xué)校將一塊長方形空地分成如圖所示的八塊，計劃在這八塊空地上種