高考二輪復(fù)習(xí)理科數(shù)學(xué)課件增分3利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題

增分3利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題考點(diǎn)一討論或證明函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)(1)若f(x)存在唯一極值點(diǎn),且極值為0,求a的值;(2)討論函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,e]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【教師講評(píng)—觸類旁通】

分析1:在(1)中,一要明確若f'(x0)=0,x0不一定是極值點(diǎn),但若x0是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn),則一定有f'(x0)=0,二要明確x0為f(x)極值點(diǎn)的充要條件是f'(x0)=0且x0左右兩側(cè)的導(dǎo)函數(shù)值異號(hào);分析2:在(2)中,通過(guò)分離參數(shù)然后利用數(shù)形結(jié)合的思想,將討論函數(shù)f(x)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線與曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(12分)(2023四川綿陽(yáng)三模)已知函數(shù)f(x)=(a-2)lnx+x2-ax.(1)當(dāng)a=3時(shí),求曲線f(x)在x=1處切線的方程;(2)討論函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,e]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(12分)(2023安徽合肥二模)已知函數(shù)f(x)=2lnx+mx2-(2m+1)x,其中m∈R.(1)若函數(shù)y=f(x)圖象僅有一條垂直于y軸的切線,求m的取值范圍;(2)討論函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).①當(dāng)m≤0時(shí),∵x>0,∴mx-1<0,∴當(dāng)x∈(0,2)時(shí),f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x∈(2,+∞)時(shí),f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,此時(shí)f(x)的最大值f(2)=2ln

2+2m-2(2m+1)=2ln

2-2m-2,當(dāng)f(2)=0,m=ln

2-1時(shí),f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)x=2;當(dāng)f(2)<0,ln

2-1<m≤0時(shí),f(x)沒(méi)有零點(diǎn);當(dāng)f(2)>0,m<ln

2-1<0時(shí),∵當(dāng)x>0且x→0或x→+∞時(shí),f(x)→-∞,∴f(x)分別在(0,2)和(2,+∞)上各有唯一零點(diǎn),此時(shí)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn).考點(diǎn)二已知函數(shù)零點(diǎn)情況求參數(shù)范圍例2(2022全國(guó)乙,理21)已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)+axe-x.(1)當(dāng)a=1時(shí),求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程;(2)若f(x)在區(qū)間(-1,0),(0,+∞)各恰有一個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍.若-1≤a<0,則當(dāng)x∈(0,1]時(shí),g(x)>0;當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),g(x)>0,所以當(dāng)x>0時(shí),g(x)>0恒成立,即f'(x)>0恒成立,所以f(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,所以當(dāng)x>0時(shí),f(x)>f(0)=0,不符合題意,舍去.若a<-1,則g(0)<0,又g(-1)=1>0,g(1)=1>0,當(dāng)x>1時(shí),g(x)>0恒成立,所以存在唯一的x1∈(-1,0),x2∈(0,1),使g(x)=0.所以f(x)在區(qū)間(-1,x1),(x2,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間(x1,x2)內(nèi)單調(diào)遞減,所以f(x1)>f(0)=0,f(x2)<f(0)=0,當(dāng)x∈(x1,0)時(shí),f(x)>0恒成立;當(dāng)x∈(0,x2)時(shí),f(x)<0恒成立.令h(x)=xe-x,則h'(x)=e-x(1-x),所以當(dāng)x>1時(shí),h'(x)<0,所以h(x)在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,所以當(dāng)x>1時(shí),0<h(x)<h(1)=e-1<1.又a<-1,所以當(dāng)x>1時(shí),axe-x>a.取x=e-a,因?yàn)閍<-1,0<x2<1,所以e-a>e>x2,所以f(e-a)>ln(1+e-a)+a>ln

e-a+a=0.又f(x2)<0,所以f(x)在區(qū)間(x2,+∞)內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn),即f(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn).由h'(x)=e-x(1-x),知當(dāng)-1<x<0時(shí),h'(x)>0,所以h(x)在區(qū)間(-1,0)內(nèi)單調(diào)遞增,所以當(dāng)-1<x<0時(shí),h(-1)<h(x),即xe-x>-e.又a<-1,所以axe-x<-ae.取x=e3a-1∈(-1,0),則f(e3a-1)<ln(1+e3a-1)-ae=a(3-e)<0.又f(x1)>0,所以f(x)在區(qū)間(e3a-1,x1)內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn),即f(x)在區(qū)間(-1,0)內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn).綜上所述,a的取值范圍為(-∞,-1).對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4(2023山東濟(jì)寧二模)已知函數(shù)f(x)=

,g(x)=3e1-x+1,a為實(shí)數(shù).(1)若f(x)≤e恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(2)若方程f(x)=g(x)恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)a的值.考點(diǎn)三與函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)的證明問(wèn)題例3(2023廣西玉林三模改編)已知函數(shù)f(x)=alnx-

.(1)當(dāng)a=1時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若g(x)=a(x2-1)lnx-(x-1)2(a≠0)有3個(gè)零點(diǎn)x1,x2,x3,其中x1<x2<x3.求證:(3a-1)(x1+x3+2)<2.解題技巧與函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)問(wèn)題的證明要點(diǎn):在證明與函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)問(wèn)題時(shí),一般要根據(jù)題設(shè)條件結(jié)合零點(diǎn)存在定理把零點(diǎn)的范圍限制出來(lái),找出已知與所求之間的聯(lián)系紐帶,運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想,化歸的方法將數(shù)學(xué)命題由一種形式向另一種形式轉(zhuǎn)換,從轉(zhuǎn)換的最終命題中構(gòu)造出恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù),通過(guò)導(dǎo)數(shù)的方法得出結(jié)論.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5(2021浙江,22)設(shè)a,b為實(shí)數(shù),且a>1,函數(shù)f(x)=ax-bx+e2(x∈R).(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若對(duì)任意b>2e2,函數(shù)f(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn),求a的取值范圍;(3)當(dāng)a=e時(shí),證明:對(duì)任意b>e4,函數(shù)f(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1,x2(x2>x1),滿足(注:e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))(3)證明

(方法一)a=e,f(x)=ex-bx+e2,f'(x)=ex-b,令f'(x)=0,解得x=ln

b>4,所以當(dāng)x∈(-∞,ln

b)時(shí),f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,當(dāng)x∈(ln

b,+∞)時(shí),f'(x)>0,