高等數(shù)學(xué)第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用題庫(kù)(附帶答案)

第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一、選擇題1、（）2、（）3、（）4、在區(qū)間[-1，1]上滿意羅爾定理?xiàng)l件的函數(shù)是（）(A)(B)(C)(D)5、設(shè)f(x)和g(x)都在x=a處取得極大值，F(xiàn)(x)=f(x)g(x)，則F(x)在x=a處（）(A)必取得極大值(B)必取得微小值(C)不取極值(D)不能確定是否取得極值6、（）(A)[-1,1](B)[0,1](C)[-2,2](D)7、的凹區(qū)間是（）(A)(B)(C)(D)8、函數(shù)在處連續(xù)，若為的極值點(diǎn)，則必有（）．(A)(B)(C)或不存在(D)不存在9、當(dāng)a=()時(shí)，（）(A)1(B)2(C)(D)010、（）11、（）二、填空題1、．2、．3、_____________________．4、函數(shù)f（x）＝x在[0,3]上滿意羅爾定理的條件，由羅爾定理確定的羅爾中值點(diǎn)＝．5、設(shè)曲線y＝a以點(diǎn)（1，3）為拐點(diǎn)，則數(shù)組（a，b）＝．6、函數(shù)在區(qū)間[2,0]上的最大值為，最小值為．7、函數(shù)在[]上的羅爾中值點(diǎn)=．8、在區(qū)間[1，3]的拉格朗日中值點(diǎn)ξ=_______________．9、．10、。11、y＝x＋，－5的最小值為．12、的單調(diào)減區(qū)間是．13、在且僅在區(qū)間______________上單調(diào)増．14、函數(shù)f(x)＝x＋2cosx在區(qū)間[0,]上的最大值為．15、函數(shù)y＝的單調(diào)削減區(qū)間是．16、已知點(diǎn)（1，3）是曲線的拐點(diǎn)，則a=，b=．17、.三、計(jì)算題1、。2、求極限．3、求函數(shù)y＝2的單調(diào)區(qū)間、凹凸區(qū)間、拐點(diǎn)．4、設(shè)常數(shù)，試判別函數(shù)在內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．5、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值．。6．．7．．8．求曲線的單調(diào)區(qū)間和凹凸區(qū)間.．9.求曲線的單調(diào)區(qū)間和凹凸區(qū)間.10．求函數(shù)圖形的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)．11、.12、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)．13、．14、15、探討函數(shù)的單調(diào)性和凹凸性．16、求曲線的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)．17.求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值．18.求函數(shù)在區(qū)間[-2，0]上的最大值和最小值．19.試確定常數(shù)a、b、c的值，使曲線在x=2處取到極值，且與直線相切于點(diǎn)（1，0）．綜合題(第1-2題每題6分，第3題8分，總計(jì)20分)1．證明：當(dāng)x時(shí)，．2、．證明：．4、設(shè)在[0,1]上可導(dǎo)，f(x)＝(x－1)，求證：存在x(0，1)，使．5、試用拉格朗日中值定理證明：當(dāng)時(shí)，．6、證明：當(dāng)時(shí)，．7、．8、證明：當(dāng)x>0時(shí)，有1+．9、證明當(dāng)． 10、證明：若，則．11、12、證明：多項(xiàng)式在[0，1]內(nèi)不行能有兩個(gè)零點(diǎn)．證明當(dāng).14、答案：選擇1、A2、D3、A4、D5、D6、B7、A8、C9、B10、A11、A填空1、 2、3、4、25、6、2,17、8、9、10、11、12、13、-1414、15、16、17、三、計(jì)算題1、解：令可得駐點(diǎn)：……2分列表可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為……5分極大值為微小值……7分2、解：原式＝……6分3、解：令可得駐點(diǎn)：……2分列表可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為……4分又令得.……5分所以凸區(qū)間為,凹區(qū)間為.拐點(diǎn)為.……7分4、解：……1分當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)增加;……2分又,充分接近于0時(shí),,……3分故在內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).……4分同理,在內(nèi)也有且僅有一個(gè)零點(diǎn).……6分5、解：解可得駐點(diǎn)：……2分列表可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為……5分極大值為微小值……7分6、解：原式＝……2分＝……4分＝……6分7、解：當(dāng)單調(diào)增加時(shí)，函數(shù)單調(diào)削減，所以函數(shù)也是單調(diào)削減?！?分在區(qū)間函數(shù)是單調(diào)的減函數(shù)。所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值；……4分所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值?！?分8、解：令，于是。當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)增加；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)削減?！?分所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為：；函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為：?！?分而令，于是。……5分函數(shù)的凸區(qū)間為：；函數(shù)的凹區(qū)間為：?！?分9、解：因?yàn)?，所以令得到?！?分函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為：；函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為：?！?分又由于，于是函數(shù)的凸區(qū)間為：函數(shù)的凹區(qū)間為：?！?分10、解：因?yàn)椋?，…?分令，得到：。所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為：，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為：。……4分函數(shù)的凸區(qū)間為：，函數(shù)的凹區(qū)間為：。函數(shù)的拐點(diǎn)為：。……6分11、解：……3分令得從而得曲線的可能為，又二階導(dǎo)數(shù)在該兩點(diǎn)左右異號(hào)。所以為曲線的拐點(diǎn)……6分12、解：令令……3分列表如下xx=1(1,2)x=2(2,3)x=3+0---0+---0+++y=f(x)單調(diào)增，凹極大值f(1)=0單調(diào)減，凹拐點(diǎn)（2，-2）單調(diào)減，凸微小值f(3)=-4單調(diào)增，凸……7分13、解：令……3分比較函數(shù)在端點(diǎn)和駐點(diǎn)處的函數(shù)值，得為……6分 14、解：令，得，…….3分列表如下x-1(-1,0)0(0,1)1---0+++-0+++0-單調(diào)遞減凹區(qū)間拐點(diǎn)單調(diào)遞減凸區(qū)間微小值點(diǎn)單調(diào)遞增凸區(qū)間拐點(diǎn)單調(diào)遞增凹區(qū)間……7分15、解：x(0,e)+0------0+單調(diào)遞增，凹函數(shù)極大值單調(diào)遞減，凹函數(shù)拐點(diǎn)單調(diào)遞減，凸函數(shù)…….6分16、解：，拐點(diǎn)為……4分凹區(qū)間為凸區(qū)間為（-1，1）……6分17、解：由于……2分所以，函數(shù)在[-1，3]上的駐點(diǎn)為?！?分當(dāng)x=0時(shí)，y=2,x=2時(shí)，y=-14……5分而x=-1時(shí)，y=-2,x=3時(shí)，y=11……7分所以函數(shù)的最大值為11，最小值為-14……8分18、解：由于……2分所以，函數(shù)在[-2，0]上的駐點(diǎn)為?！?分當(dāng)x=-1時(shí)，y=3，而x=--2時(shí)，y=--1,x=0時(shí)，y=1……5分所以函數(shù)的最大值為3，最小值為-1……6分19、解：依據(jù)已知條件得……4分解上面方程組得……7分四、綜合題（1）證：令，明顯在區(qū)間上連續(xù)的，可導(dǎo)的。并且……2分由于，對(duì)于隨意的，。所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)增函數(shù)?！?分于是對(duì)于隨意的，有，即為：……6分（2）證：令所以（3）證：令……4分所以f(x)恒為常數(shù)，又，從而……6分（4）證：因?yàn)樵赱0,1]上可導(dǎo)，所以f(x)＝(x－1)在[0，1]上連續(xù)，在（0，1）內(nèi)可導(dǎo)?！?分依據(jù)拉格朗日中值定理，至少存在一點(diǎn)x(0，1)，使……8分（5）證：設(shè)，則……1分對(duì)用拉格朗日中值定理得，其中……4分而，所以……6分（6）證：令……1分則?！?分因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，……4分所以在上是嚴(yán)格單調(diào)連續(xù)遞增函數(shù)，并且，……5分故當(dāng)時(shí)，，即。……6分（7）證：令……1分對(duì)利用柯西中值定理存在使得……3分即……4分又由于，，所以……6分（8）證：令……2分故時(shí),即……5分從而……6分（9）證：令因?yàn)椤?分故時(shí),,即……6分（10）證：令……2分則在的范圍中是可導(dǎo)