第二章邏輯代數(shù)一

2024/4/171第二章邏輯代數(shù)2.1邏輯代數(shù)基本規(guī)則2.2邏輯函數(shù)的化簡2.3卡諾圖2024/4/1722.1邏輯代數(shù)基本規(guī)則2024/4/173邏輯函數(shù)表達式的書寫及基本運算法則先做括號內(nèi)的邏輯運算對某變量取非，可以不加括號，非的優(yōu)先級最低例如：不必寫成：在表達式中，若既有“與”運算，又有“或”運算，則按先“與”后“或”的原則，省去括號 例如：可寫成：但則不能省括號2024/4/174邏輯代數(shù)的基本定律和恒等式基本定律—或(加)A+0=AA+1=1A+A=A（重疊律）A+A=1（互補律）

基本定律—與(乘)A?0=0A

?1=AA

?A=A（重疊律）A

?A=0（互補律）結合律(A+B)+C=A+(B+C)(AB)C=A(BC)交換律A+B=B+AAB=BA分配律A(B+C)=AB+ACA+BC=(A+B)(A+C)

基本定律——非A=A（還原律）乘法分配率加法分配率2024/4/175邏輯代數(shù)的基本定律和恒等式反演律（摩根定律）吸收率A+AB=A

A(A+B)=A(A+B)(A+C)=A+BC其它常用恒等式（吸收）（兩乘積項相加時，若一項取反后是另一項的因子，則此因子多余，可消去）（若兩個乘積項中分別包含了A、A兩個因子，而這兩項的其余因子組成第三個乘積項時，則第三個乘積項可消去）邏輯代數(shù)無移項規(guī)則等初等代數(shù)運算規(guī)則?。孓D加法分配率）

2024/4/176邏輯代數(shù)基本定律和恒等式的證明真值表法例：摩根定律的證明2024/4/177A+B+C=AB+C=ABCABC=（A+B）C=A+B+C多項式摩根定律的證明依此類推，可以證明摩根定律對于任意項都成立2024/4/178用其它更基本的定律證明吸收率：A+AB=A(1+B)=A·1＝AA+AB=(A+A)(A+B)←加法分配率A+BC=(A+B)(A+C) =A+B邏輯代數(shù)基本定律和恒等式的證明

-恒等式：2024/4/179邏輯代數(shù)的基本規(guī)則代入規(guī)則反演規(guī)則對偶規(guī)則2024/4/1710代入規(guī)則在任何一個邏輯等式中，如果將等式兩邊出現(xiàn)的某變量都用一個函數(shù)代替，則等式依然成立多變量摩根定律的證明：2024/4/1711反演規(guī)則觀察摩根定律將邏輯函數(shù)L中:與換成或，或換成與；再將原變量變換為非變量；并將1換成0，0換成1；那么所得的邏輯函數(shù)式就是非函數(shù)L——用于求函數(shù)的反函數(shù)2024/4/1712反演規(guī)則須注意兩點：

保持原來的運算順序，即仍需遵守原式“先括號、然后與（乘）、最后或（加）的運算順序。對于反變量以外的非號應保留不變，即不屬于單個變量上的非符號應保留不變。例：求L的非函數(shù)2024/4/1713反演規(guī)則例求L=A+BC+D+E的非函數(shù)L保持運算順序不屬于任何單獨變量的非運算2024/4/1714反演規(guī)則摩根定律=反演規(guī)則2024/4/1715對偶規(guī)則把L中的與換成或，或換成與；1換成0，0換成1。那么就得到L的對偶式L’當某個邏輯恒等式成立時，則其對偶式也成立

2024/4/1716對偶規(guī)則證明對偶規(guī)則設F，G為兩個邏輯函數(shù)，并有F=G對等式F=G兩邊分別求反，我們有：根據(jù)反演規(guī)則，在和中，原函數(shù)中的原變量已改為反變量，反變量改為了原變量；同時“與”換成了“或”，“或”換成了“與”，1換成了0，0換成了1。（對偶與反演的區(qū)別在于變量是否取反）利用代入規(guī)則：對，中的新變量再以它們的反變量代入（實際上恢復原F，G中的變量），則變成F’，變成G’，既然，則也有F’=G’對偶規(guī)則=反演規(guī)則+帶入規(guī)則2024/4/1717對偶規(guī)則證明舉例2024/4/17182.2邏輯函數(shù)化簡2024/4/1719why邏輯函數(shù)變換同或門（gate）電路：2024/4/1720由以上例子可知，對于一個特定的邏輯問題，其真值表應該是唯一的，但邏輯表達式可以有多種形式，實現(xiàn)其功能的電路也是多種多樣若兩個邏輯函數(shù)相等，F(xiàn)=G。則它們應有相同的真值表；反過來，若F和G的真值表相同，則必有F=G相等的意義下，邏輯表達式和實現(xiàn)電路可以是多種多樣，但邏輯功能完全相同。2024/4/1721邏輯函數(shù)的變換例：某實驗室用兩個燈顯示三臺設備的故障情況，當一臺設備有故障時黃燈亮；當兩臺設備同時有故障時紅燈亮；當三臺設備同時有故障時黃、紅兩燈都亮。設備有故障為邏輯1，無故障為邏輯0；燈亮為邏輯1，燈滅為邏輯0。設計該邏輯電路，限用下列器件：2個異或門和3個兩輸入與非門一個特定的邏輯問題實現(xiàn)的電路是多樣的，可以通過函數(shù)表達式的變換找到一個去除冗余的邏輯；或者滿足只使用特定功能的器件來實現(xiàn)某種邏輯的需求。2024/4/1722邏輯函數(shù)的變換74867400L1=黃燈

L2=紅燈2024/4/1723邏輯函數(shù)的代數(shù)法化簡邏輯函數(shù)的表達式不是唯一的，可以有多種形式，并且能互相轉換邏輯表達式越簡單，邏輯關系越明顯，也就可以用越少的電子器件例：需要兩個非門，兩個與門和一個三輸入或門只需要一個或門2024/4/1724邏輯函數(shù)的形式與－或：L=AC+CD與非－與非：L=AC·CD或－與非：L=(A+C)·(C+D)或非－或：L=A+C+C+D或－與：L=(A+C)(C+D)與非－與：L=A·C·C·D或非－或非：L=(A+C)+(C+D)與－或非：L=AC+CD2024/4/1725邏輯函數(shù)的形式邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式多以與-或形式給出，因此化簡成與-或函數(shù)比較方便

與-或表達式易于從真值表中直接寫出

“最簡”與-或表達式：與項（乘積項）的個數(shù)最少每個乘積項中變量的個數(shù)最少最簡與-或表達式可以方便變換為與非-與非等其它表達式有了最簡與-或表達式后，通過公式變換可得其它形式。但將與-或變?yōu)槠渌问綍r，不一定是最簡。2024/4/1726邏輯函數(shù)的化簡代數(shù)法化簡運用邏輯代數(shù)的基本定律和恒等式進行化簡并項法吸收法消去法（消因子法）消項法配項法卡諾圖化簡2024/4/1727代數(shù)法化簡邏輯函數(shù)—并項法并項法：利用A+A=1例：2024/4/1728代數(shù)法化簡邏輯函數(shù)—吸收法吸收法：利用吸收率A+AB=A例：2024/4/1729代數(shù)法化簡邏輯函數(shù)—消去法消去法：利用吸收率之例：2024/4/1730消項法：利用恒等式AB+AC+BC=AB+AC例：代數(shù)法化簡邏輯函數(shù)—消項法配項法：利用A+A=A和A+A=1例：L=AB+AB+BC+BC=AB+AB(C+C)+BC+(A+A)BC=AB+ABC+ABC+BC+ABC+ABC=AB+BC+ACL=ABC