浙江省寧波市2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期高考模擬考試數(shù)學(xué)試題

絕密★啟用前寧波市2023學(xué)年第二學(xué)期高考模擬考試高三數(shù)學(xué)試題卷本試卷共4頁(yè)，19小題，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卷上.將條形碼橫貼在答題卷右上角“條形碼粘貼處”.2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卷上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試題卷上.3，非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卷各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無(wú)效.4.考生必須保持答題卷的整潔，不要折疊?不要弄破.選擇題部分（共58分）一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.復(fù)數(shù)滿足，則（）A.B.C.2D.2.若為銳角，，則（）A.B.C.D.3.已知平面，則“”是“且”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件4.已知直線與圓相離，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.5.某校數(shù)學(xué)建模興趣小組為研究本地區(qū)兒子身高與父親身高之間的關(guān)系，抽樣調(diào)查后得出與線性相關(guān)，且經(jīng)驗(yàn)回歸方程為.調(diào)查所得的部分樣本數(shù)據(jù)如下：父親身高164166170173173174180兒子身高165168176170172176178則下列說(shuō)法正確的是（）A.兒子身高是關(guān)于父親身高的函數(shù)B.當(dāng)父親身高增加時(shí)，兒子身高增加C.兒子身高為時(shí)，父親身高一定為D.父親身高為時(shí)，兒子身高的均值為6.已知數(shù)列滿足，對(duì)任意都有，且對(duì)任意都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.7.在正四棱臺(tái)中，，若球與上底面以及棱均相切，則球的表面積為（）A.B.C.D.8.已知集合且，若中的點(diǎn)均在直線的同一側(cè)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A.B.C.D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.若平面向量滿足且，則（）A.的最小值為2B.的最大值為5C.的最小值為2D.的最大值為10.已知函數(shù)，（）A.若，則是最小正周期為的偶函數(shù)B.若為的一個(gè)零點(diǎn)，則必為的一個(gè)極大值點(diǎn)C.若是的一條對(duì)稱軸，則的最小值為D.若在上單調(diào)，則的最大值為11.指示函數(shù)是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)函數(shù)，通常用來(lái)表示某個(gè)條件的成立情況.已知為全集且元素個(gè)數(shù)有限，對(duì)于的任意一個(gè)子集，定義集合的指示函數(shù)若，則（）注：表示中所有元素所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值之和（其中是定義域的子集）.A.B.C.D.非選擇題部分（共92分）三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在中，，則__________.13.某快遞公司將一個(gè)快件從寄件人甲處攬收開始直至送達(dá)收件人乙，需要經(jīng)過5個(gè)轉(zhuǎn)運(yùn)環(huán)節(jié)，其中第1，2兩個(gè)環(huán)節(jié)各有兩種運(yùn)輸方式，第3，4兩個(gè)環(huán)節(jié)各有兩種運(yùn)輸方式，第5個(gè)環(huán)節(jié)有兩種運(yùn)輸方式.則快件從甲送到乙恰用到4種運(yùn)輸方式的不同送達(dá)方式有__________種.14.在平面直角坐標(biāo)系中，定義為兩點(diǎn)間的“曼哈頓距離”.已知橢圓，點(diǎn)在橢圓上，軸.點(diǎn)滿足.若直線與的交點(diǎn)在軸上，則的最大值為__________.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過程或演算步驟.15.（13分）在菱形中，，以為軸將菱形翻折到菱形，使得平面平面，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，連接.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.16.（15分）已知等差數(shù)列的公差為2，記數(shù)列的前項(xiàng)和為且滿足.（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.17.（15分）三個(gè)人利用手機(jī)軟件依次進(jìn)行拼手氣搶紅包活動(dòng)，紅包的總金額數(shù)為個(gè)單位.第一個(gè)人搶到的金額數(shù)為1到個(gè)單位且等可能（記第一個(gè)人搶完后剩余的金額數(shù)為），第二個(gè)人在剩余的個(gè)金額數(shù)中搶到1到個(gè)單位且等可能，第三個(gè)人搶到剩余的所有金額數(shù)，并且每個(gè)人搶到的金額數(shù)均為整數(shù)個(gè)單位.三個(gè)人都搶完后，獲得金額數(shù)最高的人稱為手氣王（若有多人金額數(shù)相同且最高，則先搶到最高金額數(shù)的人稱為手氣王）.（1）若，則第一個(gè)人搶到的金額數(shù)可能為個(gè)單位且等可能.（i）求第一個(gè)人搶到金額數(shù)的分布列與期望；（ii）求第一個(gè)人獲得手氣王的概率；（2）在三個(gè)人搶到的金額數(shù)為的一個(gè)排列的條件下，求第一個(gè)人獲得手氣王的概率.18.（17分）已知雙曲線，上頂點(diǎn)為.直線與雙曲線的兩支分別交于兩點(diǎn)（在第一象限），與軸交于點(diǎn).設(shè)直線的傾斜角分別為.（1）若，（i）若，求；（ii）求證：為定值；（2）若，直線與軸交于點(diǎn)，求與的外接圓半徑之比的最大值.19.（17分）定義：對(duì)于定義在區(qū)間上的函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增（遞減），在區(qū)間上單調(diào)遞減（遞增），則稱這個(gè)函數(shù)為單峰函數(shù)且稱為最優(yōu)點(diǎn).已知定義在區(qū)間上的函數(shù)是以為最優(yōu)點(diǎn)的單峰函數(shù)，在區(qū)間上選取關(guān)于區(qū)間的中心對(duì)稱的兩個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)，稱使得較小的試驗(yàn)點(diǎn)為好點(diǎn)（若相同，就任選其一），另一個(gè)稱為差點(diǎn).容易發(fā)現(xiàn)，最優(yōu)點(diǎn)與好點(diǎn)在差點(diǎn)的同一側(cè).我們以差點(diǎn)為分界點(diǎn)，把區(qū)間分成兩部分，并稱好點(diǎn)所在的部分為存優(yōu)區(qū)間，設(shè)存優(yōu)區(qū)間為，再對(duì)區(qū)間重復(fù)以上操作，可以找到新的存優(yōu)區(qū)間，同理可依次找到存優(yōu)區(qū)間，滿足，可使存優(yōu)區(qū)間長(zhǎng)度逐步減小.為了方便找到最優(yōu)點(diǎn)（或者接近最優(yōu)點(diǎn)），從第二次操作起，將前一次操作中的好點(diǎn)作為本次操作的一個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)，若每次操作后得到的存優(yōu)區(qū)間長(zhǎng)度與操作前區(qū)間的長(zhǎng)度的比值為同一個(gè)常數(shù)，則稱這樣的操作是“優(yōu)美的”，得到的每一個(gè)存優(yōu)區(qū)間都稱為優(yōu)美存優(yōu)區(qū)間，稱為優(yōu)美存優(yōu)區(qū)間常數(shù).對(duì)區(qū)間進(jìn)行次“優(yōu)美的”操作，最后得到優(yōu)美存優(yōu)區(qū)間，令，我們可任取區(qū)間內(nèi)的一個(gè)實(shí)數(shù)作為最優(yōu)點(diǎn)的近似值，稱之為在區(qū)間上精度為的“合規(guī)近似值”，記作.已知函數(shù)，函數(shù).（1）求證：函數(shù)是單峰函數(shù)；（2）已知為函數(shù)的最優(yōu)點(diǎn)，為函數(shù)的最優(yōu)點(diǎn).（i）求證：；（ii）求證：.注：.寧波市2023學(xué)年第二學(xué)期高考模擬考試高三數(shù)學(xué)參考答案一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.B2.A3.C4.B5.D6.C7.C8.A二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.BD10.ACD11.BCD三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.213.1614.四?解答題：本題共小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過程或演算步驟.15.（13分）解：（1）平面平面平面.同理可得平面.又平面平面.平面平面.（2）法1：取中點(diǎn)，易知.平面平面，平面平面，平面.如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則.從而，得.又，設(shè)平面的法向量，有，得，解得，故設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.法2：取中點(diǎn)，則是平行四邊形，所以.從而與平面所成角即為與平面所成角，設(shè)為.過作交于，過作交于，過作交于.因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫?所以從而平面.所以，從而平面.所以的長(zhǎng)即為到平面的距離.由，可得.又，所以到平面的距離設(shè)為即為到平面的距離，即.又，可得.在中，，所以，得.所以，所以直線與平面所成角的正弦值為.16.（15分）解：（1）時(shí)，，即.又，所以時(shí)，，即.又，所以，所以，所以數(shù)列成等比數(shù)列.（2）由（1）易得.由可得，所以.所以，所以.令，則，所以，所以.17.（15分）解：若第一個(gè)人搶到的金額數(shù)為個(gè)單位，第二個(gè)人搶到的金額數(shù)為個(gè)單位，第三個(gè)人搶到的金額數(shù)為個(gè)單位，我們將三個(gè)人搶到的金額數(shù)記作.（1）（i），所以的分布列為123.（ii）第一個(gè)人獲得手氣王時(shí)，三個(gè)人搶到的金額數(shù)只可能為，故第一個(gè)人獲得手氣王的概率.（2）記事件“三個(gè)人搶到的金額數(shù)為的一個(gè)排列”，事件“第一個(gè)人獲得手氣王”.所要求的是條件概率，有.當(dāng)三個(gè)人搶到的金額數(shù)為的一個(gè)排列時(shí)，總金額數(shù)為9，故第一個(gè)人搶到的金額數(shù)可能為.又，，故.18.（17分）解：法1：（1）（i），所以.與聯(lián)立可得，解得或，所以.所以，所以；（ii）（1）直線斜率存在時(shí)，可設(shè)直線的方程為，設(shè)由得所以.當(dāng)時(shí)，由（i）可得；當(dāng)時(shí)，設(shè)的斜率分別為..所以，.所以.因?yàn)樵诘谝幌笙蓿?，所以，所?②直線斜率不存在時(shí)，可得，可得，所以，同理可得.綜上可得，為定值，得證.（2）由（1）可得時(shí)，.①不存在，則，由①（i）可得，所以，所以.②不存在，則，則，此時(shí)，由圖可得.③若和均存在，設(shè)，則與雙曲線聯(lián)立可得.所以.所以，所以.設(shè)與的外接圓半徑分別為，從而.等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到.所以與的外接圓半徑之比的最大值為2.法2：（1）同法1（2）①②同法1③若和均存在，設(shè)，則.由三點(diǎn)共線可得.所以，所以.所以.所以，所以.下同法1.法3：（1）（i）同法1（ii）①時(shí)，由（i）可得；②時(shí)，設(shè)的斜率分別為.設(shè)，由在直線上可得.與聯(lián)立可得，即，所以就是方程的兩根.所以，，因?yàn)樵诘谝幌笙?，所以，所以，所?綜上可得，為定值，得證.（2）①②同法1③若和均存在，設(shè)，則，則.記直線的傾斜角為，則，所以所以.下同法1.19.（17分）解：（1）因?yàn)?因?yàn)椋栽谏蠁握{(diào)遞減，又因?yàn)橛闪泓c(diǎn)存在定理知，存在唯一的，使得，且時(shí)，，，所以在上遞增，上遞減，所以為單峰函數(shù).（2）（i）令，則，令，因?yàn)闉樵谏系淖顑?yōu)點(diǎn)，所以為在的最優(yōu)點(diǎn)，，所以，結(jié)合最優(yōu)點(diǎn)的