2023-2024學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊舉一反三系列專題16.2 期中期末專項(xiàng)復(fù)習(xí)之全等三角形十六大必考點(diǎn)（舉一反三）（人教版）含解析

2023-2024學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊舉一反三系列專題16.2全等三角形十六大必考點(diǎn)【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【考點(diǎn)1利用全等圖形求網(wǎng)格中的角度和】 1【考點(diǎn)2將已知圖形分割成幾個(gè)全等的圖形】 2【考點(diǎn)3添加條件使三角形全等】 3【考點(diǎn)4靈活選用判定方法證明全等】 4【考點(diǎn)5尺規(guī)作圖與全等的綜合運(yùn)用】 5【考點(diǎn)6證明全等的常見輔助線的作法】 7【考點(diǎn)7證一條線段等于兩條線段的和（差）】 8【考點(diǎn)8全等中的倍長中線模型】 10【考點(diǎn)9全等中的旋轉(zhuǎn)模型】 12【考點(diǎn)10全等中的垂線模型】 13【考點(diǎn)11全等中的其他模型】 15【考點(diǎn)12全等三角形的動點(diǎn)問題】 16【考點(diǎn)13尺規(guī)作圖作角平分線】 18【考點(diǎn)14角平分線的判定與性質(zhì)的綜合求值】 19【考點(diǎn)15角平分線的判定與性質(zhì)的綜合證明】 21【考點(diǎn)16角平分線的實(shí)際應(yīng)用】 22【考點(diǎn)1利用全等圖形求網(wǎng)格中的角度和】【例1】（2022·山東·禹城市督楊實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級階段練習(xí)）如圖為6個(gè)邊長相等的正方形的組合圖形，則∠1+∠3-∠2=（

）A．30° B．45° C．60° D．135°【變式1-1】（2022·江蘇省灌云高級中學(xué)城西分校八年級階段練習(xí)）如圖，由4個(gè)相同的小正方形組成的格點(diǎn)圖中，∠1+∠2+∠3=________度．【變式1-2】（2022·江蘇·八年級單元測試）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，圖形的各個(gè)頂點(diǎn)均為格點(diǎn)，則∠P＋∠Q＝__________度．【變式1-3】（2022·山東·濟(jì)南市槐蔭區(qū)教育教學(xué)研究中心二模）如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中，求α+β=______度．【考點(diǎn)2將已知圖形分割成幾個(gè)全等的圖形】【例2】（2022·全國·八年級專題練習(xí)）沿著圖中的虛線，請將如圖的圖形分割成四個(gè)全等的圖形．【變式2-1】（2022·江蘇·八年級專題練習(xí)）方格紙上有2個(gè)圖形，你能沿著格線把每一個(gè)圖形都分成完全相同的兩個(gè)部分嗎？請畫出分割線．【變式2-2】（2022·江蘇·八年級課時(shí)練習(xí)）試在下列兩個(gè)圖中，沿正方形的網(wǎng)格線（虛線）把這兩個(gè)圖形分別分割成兩個(gè)全等的圖形，將其中一部分涂上陰影．【變式2-3】（2022·全國·八年級專題練習(xí)）知識重現(xiàn)：“能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等形．”理解應(yīng)用：我們可以把4×4網(wǎng)格圖形劃分為兩個(gè)全等圖形．范例：如圖1和圖2是兩種不同的劃分方法，其中圖3與圖1視為同一種劃分方法．請你再提供四種與上面不同的劃分方法，分別在圖4中畫出來．【考點(diǎn)3添加條件使三角形全等】【例3】（2022·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，∠C＝∠D＝90°，添加下列條件：①AC＝AD；②∠ABC＝∠ABD；③BC＝BD，其中能判定Rt△ABC與Rt△ABD全等的條件有（）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【變式3-1】（2022·重慶·中考真題）如圖，點(diǎn)B，F(xiàn)，C，E共線，∠B=∠E，BF=EC，添加一個(gè)條件，不能判斷△ABC≌△DEF的是（

）A．AB=DE B．∠A=∠D C．AC=DF D．AC∥FD【變式3-2】（2022·安徽淮南·八年級期末）如圖，點(diǎn)P是AB上任意一點(diǎn)，∠ABC=∠ABD，還應(yīng)補(bǔ)充一個(gè)條件，才能推出△APC≌△APD．從下列條件中補(bǔ)充一個(gè)條件，不一定能推出△APC≌△APD的是(

)A．BC=BD； B．AC=AD；C．∠ACB=∠ADB； D．∠CAB=∠DAB【變式3-3】（2022·全國·八年級課時(shí)練習(xí)）如圖，AB，CD相交于點(diǎn)E，且AB=CD，試添加一個(gè)條件使得△ADE≌△CBE．現(xiàn)給出如下五個(gè)條件：①∠A=∠C;②∠B=∠D;③AE=CE;④BE=DE;⑤AD=CB．其中符合要求有(

)A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【考點(diǎn)4靈活選用判定方法證明全等】【例4】（2022·湖南·八年級單元測試）具備下列條件的兩個(gè)三角形一定是全等三角形的是（

）．A．有兩個(gè)角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形B．兩邊及其中一條對應(yīng)邊上的高也對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形C．兩邊分別相等，并且第三條邊上的中線也對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形D．有兩邊及其第三邊上的高分別對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形【變式4-1】（2022·廣東·佛山市南海區(qū)瀚文外國語學(xué)校七年級階段練習(xí)）我國傳統(tǒng)工藝中，油紙傘制作非常巧妙，其中蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)知識．如圖是油紙傘的張開示意圖，AE=AF，GE=GF，則△AEG≌△AFG的依據(jù)是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS【變式4-2】（2022·江蘇·泰州市姜堰區(qū)第四中學(xué)八年級）如圖，已知AB∥CD，AD∥BC，AC與BD交于點(diǎn)O，AE⊥BD于點(diǎn)E，CF⊥BD于點(diǎn)F，那么圖中全等的三角形有（

）A．5對 B．6對 C．7對 D．8對【變式4-3】（2022·浙江·八年級單元測試）根據(jù)下列條件不能唯一畫出△ABC的是（

）A．AB＝5，BC＝6，AC＝7 B．AB＝5，BC＝6，∠B＝45°C．AB＝5，AC＝4，∠C＝90° D．AB＝3，AC＝4，∠C＝45°【考點(diǎn)5尺規(guī)作圖與全等的綜合運(yùn)用】【例5】（2022·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在△ABC外找一個(gè)點(diǎn)A'（與點(diǎn)A不重合），并以BC為一邊作△A'BC，使之與△ABC全等，且△ABC不是等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式5-1】（2022·全國·八年級課時(shí)練習(xí)）如圖，以△ABC的頂點(diǎn)A為圓心，以BC長為半徑作弧；再以頂點(diǎn)C為圓心，以AB長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)D；連結(jié)AD，CD．由作法可得：△ABC?△CDA的根據(jù)是（

）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS【變式5-2】（2022·廣東·普寧市紅領(lǐng)巾實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級階段練習(xí)）在課堂上，張老師布置了一道畫圖題：畫一個(gè)Rt△ABC，使∠B=90°，它的兩條邊分別等于兩條已知線段．小劉和小趙同學(xué)先畫出了∠MBN=90°之后，后續(xù)畫圖的主要過程分別如圖所示．那么小劉和小趙同學(xué)作圖確定三角形的依據(jù)分別是______；_______【變式5-3】（2022·北京·101中學(xué)九年級開學(xué)考試）李老師制作了如圖1所示的學(xué)具，用來探究“邊邊角條件是否可確定三角形的形狀”問題．操作學(xué)具時(shí)，點(diǎn)Q在軌道槽AM上運(yùn)動，點(diǎn)P既能在以A為圓心、以8為半徑的半圓軌道槽上運(yùn)動，也能在軌道槽QN上運(yùn)動．圖2是操作學(xué)具時(shí)，所對應(yīng)某個(gè)位置的圖形的示意圖．有以下結(jié)論：①當(dāng)∠PAQ=30°，PQ=6時(shí)，可得到形狀唯一確定的△PAQ②當(dāng)∠PAQ=90°，PQ=10時(shí)，可得到形狀唯一確定的△PAQ③當(dāng)∠PAQ=150°，PQ=12時(shí)，可得到形狀唯一確定的△PAQ其中所有正確結(jié)論的序號是______________．【考點(diǎn)6證明全等的常見輔助線的作法】【例6】（2022·江蘇·宿遷青華中學(xué)七年級階段練習(xí)）（1）如圖①，四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=90°．E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且BE+FD=EF．試探究圖中∠EAF與∠BAD之間的數(shù)量關(guān)系．小明同學(xué)探究此問題的方法是：延長FD到G，使DG=BE，連結(jié)AG．先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，從而得出∠EAF=∠GAF，最后得出∠EAF與∠BAD之間的數(shù)量關(guān)系是．（2）將（1）中的條件“∠B=∠ADC=90°”改為“∠B+∠D=180°”（如圖②），其余條件不變，上述數(shù)量關(guān)系是否成立，成立，請證明；不成立，說明理由（3）如圖③，中俄兩國海軍在南海舉行聯(lián)合軍事演習(xí)，中國艦艇在指揮中心（O）北偏西30°的A處，俄羅斯艦艇在指揮中心南偏東70°的B處，兩艦艇到指揮中心距離相等．接到行動指令后，中國艦艇向正東方向以60海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，俄羅斯艦艇沿北偏東50°的方向以80海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，2小時(shí)后，指揮中心觀測到兩艦艇分別到達(dá)E，F(xiàn)處且相距280海里．求此時(shí)兩艦艇的位置與指揮中心（O處）形成的夾角∠EOF的大?。咀兪?-1】（2022·全國·八年級課時(shí)練習(xí)）如圖，已知：AB=AC，BD=CD，∠A=60°，∠D=140°，則∠B=（

）A．50° B．40° C．40°或70【變式6-2】（2022·全國·七年級單元測試）（1）求證：等邊三角形內(nèi)的任意一點(diǎn)到兩腰的距離之和等于定長.（提示：添加輔助線證明）（2）如圖所示，在三角形ABC中，點(diǎn)D是三角形內(nèi)一點(diǎn)，連接DA、DB、DC，若AB=AC,∠ADB=∠ADC，求證：AD平分∠BAC.【變式6-3】（2022·全國·八年級課時(shí)練習(xí)）已知等腰△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在直線AB上，DE∥BC，交直線AC與點(diǎn)E，且BD=BC，CH⊥AB，垂足為H．（1）當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上時(shí)，如圖1，求證DH=BH+DE；（2）當(dāng)點(diǎn)D在線段BA延長線上時(shí)，如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段AB延長線上時(shí)，如圖3，直接寫出DH，BH，DE之間的數(shù)量關(guān)系，不需要證明．【考點(diǎn)7證一條線段等于兩條線段的和（差）】【例7】（2022·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，△ABC中，∠B＝45°，∠ACB＝30°，CD平分∠ACB，AD⊥CD，求證：CD＝AB＋AD【變式7-1】（2022·安徽淮北·八年級階段練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，AB//CD,AE是∠BAC的平分線，且AE⊥CE．若AC=a,BD=b，則四邊形ABDC的周長為（

）A．1.5(a+b) B．2a+b C．3a-b D．a(chǎn)+2b【變式7-2】（2022·山東煙臺·七年級期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是直線AB上一點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)A、B重合），連接DC并延長到E，使得CE＝CD，過點(diǎn)E作EF⊥直線BC，交直線BC于點(diǎn)F．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D為線段AB上的任意一點(diǎn)時(shí)，用等式表示線段EF、CF、AC的數(shù)量關(guān)系，并證明；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)D為線段BA的延長線上一點(diǎn)時(shí)，依題意補(bǔ)全圖2，猜想線段EF、CF、AC的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生改變，并證明．(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在線段AB的延長線上時(shí)，直接寫出線段EF、CF、AC之間的數(shù)量關(guān)系．【變式7-3】（2022·全國·八年級專題練習(xí)）在△ABC中，AE，CD為△ABC的角平分線，AE，CD交于點(diǎn)F．（1）如圖1，若∠B=60°．①直接寫出∠AFC的大小；②求證：AC=AD+CE．（2）若圖2，若∠B=90°，求證：S△ACF【考點(diǎn)8全等中的倍長中線模型】【例8】（2022·江西吉安·七年級期末）（1）基礎(chǔ)應(yīng)用：如圖1，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，AD是BC邊上的中線，延長AD到點(diǎn)E使DE＝AD，連接CE，把AB，AC，2AD利用旋轉(zhuǎn)全等的方式集中在△ACE中，利用三角形三邊關(guān)系可得AD的取值范圍是；（2）推廣應(yīng)用：應(yīng)用旋轉(zhuǎn)全等的方式解決問題如圖2，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AC上，且DE⊥DF，求證：BE+CF＞EF；（3）綜合應(yīng)用：如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°且∠EAF＝12∠BAD，試問線段EF、BE、FD【變式8-1】（2022·山東德州·八年級期末）（1）方法呈現(xiàn)：如圖①：在△ABC中，若AB=6，AC=4，點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，求BC邊上的中線AD的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長AD到點(diǎn)E使DE=AD，再連接BE，可證△ACD≌△EBD，從而把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線AD的取值范圍是_______________，這種解決問題的方法我們稱為倍長中線法；（2）探究應(yīng)用：如圖②，在△ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，DE⊥DF于點(diǎn)D，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF，判斷BE+CF與EF的大小關(guān)系并證明；（3）問題拓展：如圖③，在四邊形ABCD中，AB//CD，AF與DC的延長線交于點(diǎn)F、點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，若AE是∠BAF的角平分線．試探究線段AB，AF，【變式8-2】（2022·山東·高唐縣趙寨子中學(xué)八年級期中）已知：△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，點(diǎn)M是BE的中點(diǎn)，連接CM、DM．

（1）當(dāng)點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC上時(shí)（如圖一），求證：DM=CM，DM⊥CM；

（2）當(dāng)點(diǎn)D在CA延長線上時(shí)（如圖二）（1）中結(jié)論仍然成立，請補(bǔ)全圖形（不用證明）；

（3）當(dāng)ED∥AB時(shí)（如圖三），上述結(jié)論仍然成立，請加以證明．【變式8-3】（2022·全國·八年級）如圖1，在△ABC中，若AB＝10，BC＝8，求AC邊上的中線BD的取值范圍．（1）小聰同學(xué)是這樣思考的：延長BD至E，使DE＝BD，連接CE，可證得△CED≌△ABD．①請證明△CED≌△ABD；②中線BD的取值范圍是．（2）問題拓展：如圖2，在△ABC中，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，分別以AB，BC為直角邊向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中，AB＝BM，BC＝BN，∠ABM＝∠NBC＝∠90°，連接MN．請寫出BD與MN的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【考點(diǎn)9全等中的旋轉(zhuǎn)模型】【例9】（2022·全國·八年級專題練習(xí)）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，已知C為線段AB上一點(diǎn)，分別以線段AC，BC為直角邊作等腰直角三角形，∠ACD=90°，CA=CD，CB=CE，連接AE，BD，線段AE，BD之間的數(shù)量關(guān)系為______；位置關(guān)系為_______．拓展探究：如圖2，把Rt△ACD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，線段AE，BD交于點(diǎn)F，則AE與BD【變式9-1】（2022·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，AB=AC，∠ABC=∠ACB=45°，D、E是斜邊BC上兩點(diǎn)，且∠DAE=45°，若BD=3，CE=4，S△ADE=15，則△ABD與△AEC的面積之和為（A．36 B．21 C．30 D．22【變式9-2】（2022·江蘇·南京民辦求真中學(xué)七年級階段練習(xí)）如圖直角三角形中的空白部分是正方形，正方形的一個(gè)頂點(diǎn)將這個(gè)直角三角形的斜邊分成二部分，AD=3厘米，陰影部分的面積是6平方厘米，DB長______厘米．【變式9-3】（2022·全國·八年級課時(shí)練習(xí)）綜合與實(shí)踐（1）如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)M、N分別在AD、CD上，若∠MBN＝45°，則MN，AM，CN的數(shù)量關(guān)系為．（2）如圖2，在四邊形ABCD中，BC∥AD，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，點(diǎn)M、N分別在AD、CD上，若∠MBN＝12∠ABC，試探索線段MN、AM、CN（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝BC，∠ABC+∠ADC＝180°，點(diǎn)M、N分別在DA、CD的延長線上，若∠MBN＝12∠ABC，試探究線段MN、AM、CN的數(shù)量關(guān)系為【考點(diǎn)10全等中的垂線模型】【例10】（2022·廣東佛山·七年級階段練習(xí)）在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，直線MN經(jīng)過點(diǎn)A，且CD⊥MN于D，BE⊥MN于E．(1)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，∠EAB+∠DAC=度；(2)求證：DE=CD+BE；(3)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，試問DE、CD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請寫出這個(gè)等量關(guān)系，并加以證明．【變式10-1】（2022·陜西省西安愛知中學(xué)七年級期末）（1）【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1，△ABC與△CDE中，∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，AC＝CD，B、C、E三點(diǎn)在同一直線上，AB＝3，ED＝4，則BE＝_____．（2）【問題提出】如圖2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，過點(diǎn)C作CD⊥AC，且CD＝AC，求△BCD的面積．（3）【問題解決】如圖3，四邊形ABCD中，∠ABC＝∠CAB＝∠ADC＝45°，△ACD面積為12且CD的長為6，求△BCD的面積．【變式10-2】（2022·安徽·九年級期末）如圖，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E點(diǎn)為射線CB上一動點(diǎn)，連結(jié)AE，作AF⊥AE且AF＝AE．（1）如圖1，過F點(diǎn)作FD⊥AC交AC于D點(diǎn)，求證：FD＝BC；（2）如圖2，連結(jié)BF交AC于G點(diǎn)，若AG＝3，CG＝1，求證：E點(diǎn)為BC中點(diǎn)．（3）當(dāng)E點(diǎn)在射線CB上，連結(jié)BF與直線AC交子G點(diǎn)，若BC＝4，BE＝3，則AGCG=【變式10-3】（2022·黑龍江牡丹江·九年級期末）平面內(nèi)有一等腰直角三角板（∠ACB＝90°）和一直線MN．過點(diǎn)C作CE⊥MN于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BF⊥MN于點(diǎn)F．當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)（如圖1），易證：AF+BF＝2CE．(1)當(dāng)三角板繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2的位置時(shí)，上述結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段AF、BF、CE之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出你的猜想，不需證明．(2)當(dāng)三角板繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖3的位置時(shí)，上述結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段AF、BF、CE之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出你的猜想，不需證明．【考點(diǎn)11全等中的其他模型】【例11】（2022·重慶八中七年級期中）如圖：AD⊥AB，AE⊥AC，AD=AB，AE=AC，連接BE與DC交于M，則：①∠DAC=∠BAE；②ΔDAC≌ΔBAE；③DC⊥BE；正確的有（

）個(gè)A．0 B．1 C．2 D．3【變式11-1】（2022·全國·八年級單元測試）如圖，已知ΔABC中，∠A=60°，D為AB上一點(diǎn)，且AC=2AD+BD,∠B=4∠ACD，則∠DCB的度數(shù)是_________．【變式11-2】（2022·山西陽泉·八年級期末）有些數(shù)學(xué)題，表面上看起來無從下手，但根據(jù)圖形的特點(diǎn)，可補(bǔ)全成為特殊的圖形，然后根據(jù)特殊幾何圖形的性質(zhì)去考慮，常常可以獲得簡捷解法．根據(jù)閱讀，請解答問題：如圖所示，已知△ABC的面積為16cm2，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于點(diǎn)D，則△ADC的面積為___________cm2．【變式11-3】（2022·江蘇南通·八年級期中）如圖，等邊△ABC的邊長為6，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BA移動，同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿線段AC的延長線移動，已知點(diǎn)P、Q移動的速度相同，PQ與直線BC相交于點(diǎn)D.（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)時(shí)，求CD的長；（2）如圖②，過點(diǎn)P作直線BC的垂線，垂足為E，當(dāng)點(diǎn)P、Q在移動的過程中，線段BE、DE、CD中是否存在長度保持不變的線段？請說明理由.【考點(diǎn)12全等三角形的動點(diǎn)問題】【例12】（2022·江蘇·八年級單元測試）如圖，AB＝7cm，AC＝5cm，∠CAB＝∠DBA＝60°，點(diǎn)P在線段AB上以2cm/s的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動，同時(shí)，點(diǎn)Q在射線BD上運(yùn)動速度為xcm/s，它們運(yùn)動的時(shí)間為t（s）（當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動結(jié)束時(shí)，點(diǎn)Q運(yùn)動隨之結(jié)束）．當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動到某處時(shí)，有△ACP與△BPQ全等，則相應(yīng)的x、t的值為（

）A．x＝2，t＝74 B．x＝2，t＝74或x＝207C．x＝2，t＝1 D．x＝2，t＝1或x＝207，t＝【變式12-1】（2022·江蘇·九華中學(xué)八年級階段練習(xí)）如圖，AE與BD相交于點(diǎn)C，AC＝EC，BC＝DC，AB＝4cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→B→A方向以3cm/s的速度運(yùn)動，點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，沿D→E方向以1cm/s的速度運(yùn)動，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時(shí)間為t（s）．(1)AB與DE有什么關(guān)系？請說明理由．(2)線段AP的長為________（用含t的式子表示）．(3)連接PQ，當(dāng)線段PQ經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，t的值為_______．【變式12-2】（2022·江蘇·泰州中學(xué)附屬初中七年級期末）長方形ABCD中，AB=6，AD=m，點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位的速度從A向B運(yùn)動，點(diǎn)Q同時(shí)以每秒2個(gè)單位的速度從A向D運(yùn)動，點(diǎn)E為邊CD上任意一點(diǎn)．(1)當(dāng)m=8時(shí)，設(shè)P，Q兩點(diǎn)運(yùn)動時(shí)間為t，①若Q為AD中點(diǎn)，求t的值；②連接QE，若△APQ與△EDQ全等，求DE的長．(2)若在邊AD上總存在點(diǎn)Q使得△APQ≌△DQE，求m的取值范圍．【變式12-3】（2022·江蘇·姜堰區(qū)實(shí)驗(yàn)初中八年級）如圖①，在△ABC中，AB＝12cm，BC＝20cm，過點(diǎn)C作射線CD∥AB．點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)，以4cm/s的速度沿BC勻速移動；點(diǎn)N從點(diǎn)C出發(fā)，以acm/s的速度沿CD勻速移動．點(diǎn)M、N同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)M、N同時(shí)停止移動．連接AM、MN，設(shè)移動時(shí)間為(1)點(diǎn)M、N從移動開始到停止，所用時(shí)間為______s；(2)當(dāng)△ABM與△MCN全等時(shí)，①若點(diǎn)M、N的移動速度相同，求t的值；②若點(diǎn)M、N的移動速度不同，求a的值；(3)如圖②，當(dāng)點(diǎn)M、N開始移動時(shí)，點(diǎn)P同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，以3cm/s的速度沿AB向點(diǎn)B勻速移動，到達(dá)點(diǎn)B后立刻以原速度沿BA返回．當(dāng)點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)M、N、P同時(shí)停止移動．在移動的過程中，是否存在△PBM與△MCN全等的情形？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由．【考點(diǎn)13尺規(guī)作圖作角平分線】【例13】（2022·四川廣元·中考真題）觀察下列作圖痕跡，所作線段CD為△ABC的角平分線的是（

）A． B．C． D．【變式13-1】（2022·江蘇·八年級專題練習(xí)）利用作角平分線的方法，可以把一個(gè)已知角（

）A．三等分 B．四等分 C．五等分 D．六等分【變式13-2】（2022·四川天府新區(qū)教育科學(xué)研究院附屬中學(xué)八年級階段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，首先以頂點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧，在邊BC、BA上截取BE、BD；然后分別以點(diǎn)D、E為圓心，大于12DE為半徑作弧，兩弧在∠CBA內(nèi)交于點(diǎn)F；作射線BF交AC于點(diǎn)G．若CG=4，P為邊AB上一動點(diǎn)，則GP的最小值為（A．2 B．4 C．8 D．無法確定【變式13-3】（2022·廣西北?！ぐ四昙壠谥校┤鐖D，在△ABC中，AB=BC，點(diǎn)D在AB的延長線上．(1)利用尺規(guī)按下列要求作圖，并在圖中標(biāo)明相應(yīng)的字母（保留作圖痕跡，不寫作法）；①作∠CBD的平分線BM；②作邊BC上的中線AE，并延長AE交BM于點(diǎn)F；(2)在（1）的前提下，猜測BF與邊AC的位置關(guān)系，并寫出證明過程．【考點(diǎn)14角平分線的判定與性質(zhì)的綜合求值】【例14】（2022·廣東汕頭·八年級期末）如圖，△ABC的三邊AB，BC，CA長分別是20，30，40，其三條角平分線將△ABC分為三個(gè)三角形，則S△ABO：S△BCO：S△CAOA．1：1：1 B．1：2：3C．2：3：4 D．3：4：5【變式14-1】（2022·全國·八年級課時(shí)練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，∠DAB與∠ADC的平分線相交于BC邊上的M點(diǎn)，則下列結(jié)論：①∠AMD＝90°；②點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)；③AB+CD＝AD；④△ADM的面積是梯形ABCD面積的一半．其中正確的個(gè)數(shù)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式14-2】（2022·重慶江北·八年級期末）如圖，已知ΔABC和ΔADE都是等腰三角形，∠BAC=∠DAE=90°，BE、CD交于點(diǎn)O，連接OA．下列結(jié)論：①BE=CD；②BE⊥CD；③OA平分【變式14-3】（2022·全國·八年級課時(shí)練習(xí)）如圖1，在△ABC中，∠BAC的平分線AD與∠BCA的平分線CE交于點(diǎn)O．(1)求證：∠AOC＝90°＋12∠ABC(2)當(dāng)∠ABC＝90°時(shí)，且AO＝3OD（如圖2），判斷線段AE，CD，AC之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．【考點(diǎn)15角平分線的判定與性質(zhì)的綜合證明】【例15】（2022·全國·八年級專題練習(xí)）已知：如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，AD，CE是角平分線，AD與CE相交于點(diǎn)F，F(xiàn)M⊥AB，F(xiàn)N⊥BC，垂足分別為M，N．【思考說理】（1）求證：FE=FD．【反思提升】（2）愛思考的小強(qiáng)嘗試將【問題背景】中的條件“∠ACB=90°”去掉，其他條件不變，觀察發(fā)現(xiàn)（1）中結(jié)論（即FE=FD）仍成立．你認(rèn)為小強(qiáng)的發(fā)現(xiàn)正確嗎？如果不正確請舉例說明，如果正確請僅就圖2給出證明．【變式15-1】（2022·全國·八年級課時(shí)練習(xí)）如圖，已知∠C＝60°，AE，BD是△ABC的角平分線，且交于點(diǎn)P．（1）求∠APB的度數(shù)．（2）求證：點(diǎn)P在∠C的平分線上．（3）求證：①PD=PE；②AB=AD＋BE．【變式15-2】（2022·四川成都·七年級期末）如圖，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，AB≠AE，∠BAC=∠DAE=38°．連接BD，CE交于點(diǎn)O．(1)求證：BD=CE；(2)求∠BOC的度數(shù)：(3)小明同學(xué)對該題進(jìn)行了進(jìn)一步研究，他連接了AO，并提出了下面結(jié)論：OA平分∠BOE．請給予證明．【變式15-3】（2022·山東·北辛中學(xué)八年級階段練習(xí)）（1）如圖①，OP是∠MON的平分線，請你利用該圖形畫一對以O(shè)P所在直線為對稱軸的全等三角形．請你參考這個(gè)作全等三角形的方法，解答下列問題：（2）如圖②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°，AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，AD、CE相交于點(diǎn)F．請你判斷并寫出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系；并證明．（3）如圖③，在△ABC中，∠B＝60°，AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，AD、CE相交于點(diǎn)F，請問，你在（2）中所得結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．【考點(diǎn)16角平分線的實(shí)際應(yīng)用】【例16】（2022·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，三條公路兩兩相交，現(xiàn)計(jì)劃在△ABC中內(nèi)部修建一個(gè)探照燈，要求探照燈的位置到這三條公路的距離都相等，則探照燈位置是△ABC（

）的交點(diǎn)．A．三條角平分線 B．三條中線C．三條高的交點(diǎn) D．三條垂直平分線【變式16-1】（2022·江蘇·八年級單元測試）如圖，要在河流的右側(cè)、公路的左側(cè)M區(qū)建一個(gè)工廠，位置的選擇要滿足到河流和公路的距離相等，小紅說工廠應(yīng)該建在河流與公路夾角的平分線上，請你幫小紅說出她的理由__________________________________________________．【變式16-2】（2022·全國·八年級）如圖，l3與兩條平行公路l1，l2三條公路相交，若要在l1上確定某個(gè)位置，使其到另兩條公路的距離相等，這樣的位置有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．無數(shù)個(gè)【變式16-3】（2022·黑龍江黑河·八年級期末）如圖，直線l1，l2，l3表示三條公路．現(xiàn)要建造一個(gè)中轉(zhuǎn)站P，使P到三條公路的距離都相等，則中轉(zhuǎn)站PA．一處 B．二處 C．三處 D．四處專題16.2全等三角形十六大必考點(diǎn)【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【考點(diǎn)1利用全等圖形求網(wǎng)格中的角度和】 1【考點(diǎn)2將已知圖形分割成幾個(gè)全等的圖形】 5【考點(diǎn)3添加條件使三角形全等】 7【考點(diǎn)4靈活選用判定方法證明全等】 11【考點(diǎn)5尺規(guī)作圖與全等的綜合運(yùn)用】 16【考點(diǎn)6證明全等的常見輔助線的作法】 20【考點(diǎn)7證一條線段等于兩條線段的和（差）】 28【考點(diǎn)8全等中的倍長中線模型】 39【考點(diǎn)9全等中的旋轉(zhuǎn)模型】 49【考點(diǎn)10全等中的垂線模型】 56【考點(diǎn)11全等中的其他模型】 65【考點(diǎn)12全等三角形的動點(diǎn)問題】 71【考點(diǎn)13尺規(guī)作圖作角平分線】 77【考點(diǎn)14角平分線的判定與性質(zhì)的綜合求值】 80【考點(diǎn)15角平分線的判定與性質(zhì)的綜合證明】 86【考點(diǎn)16角平分線的實(shí)際應(yīng)用】 95【考點(diǎn)1利用全等圖形求網(wǎng)格中的角度和】【例1】（2022·山東·禹城市督楊實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級階段練習(xí)）如圖為6個(gè)邊長相等的正方形的組合圖形，則∠1+∠3-∠2=（

）A．30° B．45° C．60° D．135°【答案】B【分析】首先利用SAS定理判定△ABC≌△DBE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠3=∠ACB，再由∠ACB+∠1=∠1+∠3=90°，可得∠1+∠3-∠2．【詳解】∵在△ABC和△DBE中AB＝BD∠A＝∠D∴△ABC≌△DBE（SAS），∴∠3=∠ACB，∵∠ACB+∠1=90°，∴∠1+∠3=90°，∵∠2=45°∴∠1+∠3-∠2=90°-45°=45°，故選B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了全等圖形，關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定，以及全等三角形對應(yīng)角相等．【變式1-1】（2022·江蘇省灌云高級中學(xué)城西分校八年級階段練習(xí)）如圖，由4個(gè)相同的小正方形組成的格點(diǎn)圖中，∠1+∠2+∠3=________度．【答案】135【分析】首先利用全等三角形的判定和性質(zhì)求出∠1+∠3的值，即可得出答案；【詳解】如圖所示，在△ACB和△DCE中，{AB=DE∴△ACB?△DCE(SAS)，∴∠ABE=∠3，∴∠1+∠2+∠3=(∠1+∠3)+45°=90°+45°=135°；故答案是：135°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等圖形的應(yīng)用，準(zhǔn)確分析計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2022·江蘇·八年級單元測試）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，圖形的各個(gè)頂點(diǎn)均為格點(diǎn)，則∠P＋∠Q＝__________度．【答案】45【分析】如圖，直接利用網(wǎng)格得出對應(yīng)角∠P=∠AQC，進(jìn)而得出答案．【詳解】如圖，易知△ABP≌△ACQ，∴∠P=∠AQC，∵BQ是正方形的對角線，∴∠BQC=∠BQA+∠AQC=∠P+∠Q=45°，故答案為：45．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形，正確借助網(wǎng)格分析是解題關(guān)鍵．【變式1-3】（2022·山東·濟(jì)南市槐蔭區(qū)教育教學(xué)研究中心二模）如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中，求α+β=______度．【答案】45【分析】連接AB，根據(jù)正方形網(wǎng)格的特征即可求解．【詳解】解：如圖所示，連接AB

∵圖中是4×4的正方形網(wǎng)格∴AD=CE，∠ADB=∠AEC，DB=AE∴△ADB≌△CEA(SAS)∴∠EAC=∠ABD=α，AB=AC∵∠ABD+∠BAD=90°∴∠EAC+∠BAD=90°，即∠CAB=90°∴∠ACB=∠ABC=45°∵BD∴∠BCE=∠DBC=β∵∠ABC=∠ABD+∠DBC=α+β∴α+β=45°故答案為：45．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形網(wǎng)格中求角的度數(shù)，利用了平行線的性質(zhì)、同角的余角相等、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是能夠掌握正方形網(wǎng)格的特征．【考點(diǎn)2將已知圖形分割成幾個(gè)全等的圖形】【例2】（2022·全國·八年級專題練習(xí)）沿著圖中的虛線，請將如圖的圖形分割成四個(gè)全等的圖形．【答案】見解析【分析】直接利用圖形總面積得出每一部分的面積，進(jìn)而求出答案．【詳解】∵共有3×4=12個(gè)小正方形，∴被分成四個(gè)全等的圖形后每個(gè)圖形有12÷4=3，∴如圖所示：，【點(diǎn)睛】本題主要考查了應(yīng)用設(shè)計(jì)圖作圖，正確求出每部分面積是解題關(guān)鍵．【變式2-1】（2022·江蘇·八年級專題練習(xí)）方格紙上有2個(gè)圖形，你能沿著格線把每一個(gè)圖形都分成完全相同的兩個(gè)部分嗎？請畫出分割線．【答案】見解析【分析】觀察第一個(gè)圖，圖中共有20個(gè)小方格，要分成完全相同兩部分，則每個(gè)有10個(gè)小格，則可按如圖所示，沿A→B→C→D分割；第二個(gè)圖同理沿E→F→G→H→P→Q分割即可．【詳解】解：如圖所示，第一個(gè)圖，圖中共有20個(gè)小方格，要分成完全相同兩部分，則每個(gè)有10個(gè)小格，則可按如圖所示，沿A→B→C→D分割；第二個(gè)圖同理沿E→F→G→H→P→Q分割即可．將分割出的兩個(gè)圖形，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，再通過平移，兩部分能夠完全重合，所以分割出的兩部分完全相同．【點(diǎn)睛】本題考查圖形全等，掌握全等圖形的定義是解題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2022·江蘇·八年級課時(shí)練習(xí)）試在下列兩個(gè)圖中，沿正方形的網(wǎng)格線（虛線）把這兩個(gè)圖形分別分割成兩個(gè)全等的圖形，將其中一部分涂上陰影．【答案】見解析（第一個(gè)圖答案不唯一）【分析】根據(jù)全等圖形的定義，利用圖形的對稱性和互補(bǔ)性來分隔成兩個(gè)全等的圖形．【詳解】解：第一個(gè)圖形分割有如下幾種：第二個(gè)圖形的分割如下：【點(diǎn)睛】本題主要考查了學(xué)生的動手操作能力和學(xué)生的空間想象能力，牢記全等圖形的定義是解題的重點(diǎn)．【變式2-3】（2022·全國·八年級專題練習(xí)）知識重現(xiàn)：“能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等形．”理解應(yīng)用：我們可以把4×4網(wǎng)格圖形劃分為兩個(gè)全等圖形．范例：如圖1和圖2是兩種不同的劃分方法，其中圖3與圖1視為同一種劃分方法．請你再提供四種與上面不同的劃分方法，分別在圖4中畫出來．【答案】見解析【分析】根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)和全等形的定義進(jìn)行作圖即可．【詳解】依題意，如圖【點(diǎn)睛】本題考查了全等圖形的定義，熟練掌握網(wǎng)格特點(diǎn)作圖和全等圖形的概念是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)3添加條件使三角形全等】【例3】（2022·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，∠C＝∠D＝90°，添加下列條件：①AC＝AD；②∠ABC＝∠ABD；③BC＝BD，其中能判定Rt△ABC與Rt△ABD全等的條件有（）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】D【分析】根據(jù)已知條件與全等三角形的判定定理即可分別判斷求解．【詳解】解：∵∠C＝∠D＝90°，AB=AB，∴①AC＝AD，可用HL判定Rt△ABC與Rt△ABD全等；②∠ABC＝∠ABD，可用AAS判定Rt△ABC與Rt△ABD全等；③BC＝BD，可用HL判定Rt△ABC與Rt△ABD全等；故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟知全等三角形的判定定理．【變式3-1】（2022·重慶·中考真題）如圖，點(diǎn)B，F(xiàn)，C，E共線，∠B=∠E，BF=EC，添加一個(gè)條件，不能判斷△ABC≌△DEF的是（

）A．AB=DE B．∠A=∠D C．AC=DF D．AC∥FD【答案】C【分析】根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)逐一分析即可解題．【詳解】解：∵BF=EC，∴BC=EFA.添加一個(gè)條件AB=DE，又∵BC=EF,∠B=∠E∴△ABC≌△DEF(SAS)故A不符合題意；B.添加一個(gè)條件∠A=∠D又∵BC=EF,∠B=∠E∴△ABC≌△DEF(AAS)故B不符合題意；C.添加一個(gè)條件AC=DF，不能判斷△ABC≌△DEF，故C符合題意；D.添加一個(gè)條件AC∥FD∴∠ACB=∠EFD又∵BC=EF,∠B=∠E∴△ABC≌△DEF(ASA)故D不符合題意，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查添加條件使得三角形全等即全等三角形的判定，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．【變式3-2】（2022·安徽淮南·八年級期末）如圖，點(diǎn)P是AB上任意一點(diǎn)，∠ABC=∠ABD，還應(yīng)補(bǔ)充一個(gè)條件，才能推出△APC≌△APD．從下列條件中補(bǔ)充一個(gè)條件，不一定能推出△APC≌△APD的是(

)A．BC=BD； B．AC=AD；C．∠ACB=∠ADB； D．∠CAB=∠DAB【答案】B【分析】根據(jù)題意，∠ABC=∠ABD，AB是公共邊，結(jié)合選項(xiàng)，逐個(gè)驗(yàn)證得出．【詳解】解：A、補(bǔ)充BC=BD，先證出△BPC≌△BPD，后能推出△APC≌△APD，故正確，不符合題意；B、補(bǔ)充AC=AD，不能推出△APC≌△APD，故錯(cuò)誤，符合題意；C、補(bǔ)充∠ACB=∠ADB，先證出△ABC≌△ABD，后能推出△APC≌△APD，故正確，不符合題意；D、補(bǔ)充∠CAB=∠DAB，先證出△ABC≌△ABD，后能推出△APC≌△APD，故正確，不符合題意．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等判定，解題的關(guān)鍵是知道有AAS，SSS，ASA，SAS．注意SSA是不能證明三角形全等的，做題時(shí)要逐個(gè)驗(yàn)證，排除錯(cuò)誤的選項(xiàng)．【變式3-3】（2022·全國·八年級課時(shí)練習(xí)）如圖，AB，CD相交于點(diǎn)E，且AB=CD，試添加一個(gè)條件使得△ADE≌△CBE．現(xiàn)給出如下五個(gè)條件：①∠A=∠C;②∠B=∠D;③AE=CE;④BE=DE;⑤AD=CB．其中符合要求有(

)A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】D【分析】延長DA、BC使它們相較于點(diǎn)F，首先根據(jù)AAS證明△FAB≌△FCD，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到AF=FC，F(xiàn)D=FB，進(jìn)而得到AD=BC，即可證明△ADE≌△CBE，可判斷①、②的正誤；根據(jù)SAS證明△ADE≌△CBE，即判斷③、④的正誤；連接BD，根據(jù)SSS證明△ADB≌△CBD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠A=∠C，結(jié)合①即可證明⑤．【詳解】延長DA、BC使它們相較于點(diǎn)F∵∠DAB=∠DCB，∠AED=∠BEC∴∠B=∠D又∵∠F=∠F，AB=CD∴△FAB≌△FCD∴AF=FC，F(xiàn)D=FB∴AD=BC∴△ADE≌△CBE，即①正確；同理即可證明②正確；∵AE=CE，AB=CD∴DE=BE又∵∠AED=∠BEC∴△ADE≌△CBE，③正確；同理即可證明④正確；連接BD，∵AD=CB，AB=CD，BD=BD∴△ADB≌△CBD∴∠DAB=∠BCD∴△ADE≌△CBE，⑤正確；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定方法，主要包括：SSS、SAS、AAS、ASA，難點(diǎn)在于添加輔助線來構(gòu)造三角形全等，關(guān)鍵在于應(yīng)根據(jù)所給的條件判斷應(yīng)證明哪兩個(gè)三角形全等．【考點(diǎn)4靈活選用判定方法證明全等】【例4】（2022·湖南·八年級單元測試）具備下列條件的兩個(gè)三角形一定是全等三角形的是（

）．A．有兩個(gè)角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形B．兩邊及其中一條對應(yīng)邊上的高也對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形C．兩邊分別相等，并且第三條邊上的中線也對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形D．有兩邊及其第三邊上的高分別對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形【答案】C【分析】選項(xiàng)A，選項(xiàng)B和選項(xiàng)D分別舉出反例的圖形即可；選項(xiàng)C根據(jù)題意畫出圖形，延長AD至E，使DE=AD，延長A'D'至E'，使D'E'=A'D'，連接BE和B'E'，根據(jù)全等三角形的判定，可證得△BDE≌△CDA，根據(jù)全等三角形性質(zhì)得BE=AC，∠E=∠CAD【詳解】A．如圖1所示，在△ADE和△ABC中，∠A=∠A，∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，但△ADE和△ABC不全等，故本選項(xiàng)不符合題意；B．如圖2所示，在△ABC和△EFG中，BC=FG，AC=EG，AD⊥BC，EH⊥FG，AD=FG，但△ABC和△EFG不全等，故本選項(xiàng)不符合題意；C．如圖3所示，在△ABC和△A'B'C'中，點(diǎn)D和點(diǎn)D'分別平分線段BC和B'C'，AB=A'B'，AC=A'C'，∵點(diǎn)D平分線段BC，∴BD=CD，∵DE=AD，∠BDE=∠CDA∴△BDE≌△CDA∴BE=AC，∠E=∠CAD同理B'E∵AC=∴BE=∵AD=∴AE=∵AB=∴△ABE≌△∴∠E=∠E'∴∠CAD=∠∵∠BAE+∠CAD=∠∴∠BAC=∠∵AB=∴△ABC≌△故本選項(xiàng)符合題意；D．如圖4所示，在△ABC和△A'B'C'中，AB=A'B'，AC=A故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)定理與判定定理，熟記全等三角形的性質(zhì)定理與判定定理是解本題的關(guān)鍵．【變式4-1】（2022·廣東·佛山市南海區(qū)瀚文外國語學(xué)校七年級階段練習(xí)）我國傳統(tǒng)工藝中，油紙傘制作非常巧妙，其中蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)知識．如圖是油紙傘的張開示意圖，AE=AF，GE=GF，則△AEG≌△AFG的依據(jù)是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS【答案】D【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理推出即可．【詳解】解：在△AEG和△AFG中，EG=FGAE=AF∴△AEG≌△AFG（SSS），故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定定理，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關(guān)鍵，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，兩直角三角形全等還有HL等．【變式4-2】（2022·江蘇·泰州市姜堰區(qū)第四中學(xué)八年級）如圖，已知AB∥CD，AD∥BC，AC與BD交于點(diǎn)O，AE⊥BD于點(diǎn)E，CF⊥BD于點(diǎn)F，那么圖中全等的三角形有（

）A．5對 B．6對 C．7對 D．8對【答案】C【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，以及全等三角形的判定即可求出答案．【詳解】解：①△ABE≌

∵AB∥∴AB=CD，

∵AE⊥BD于E，CF⊥BD于E，

∴∠AEB=∠CFD，∴△ABE≌

②△AOE≌∵AB∥CD，AD∥∴OA=OC，∵∠AEO=∠CFO，∴△AOE≌③△ABO≌

∵AB∥CD，AD∥BC，

∴OD=OB，

∴△ABO≌

④△BOC≌∵AB∥CD，AD∥BC，∴OD=OB，∴△BOC≌

⑤△ABC≌

∵AB∥∴BC=AD，

∴△ABC≌⑥△ABD≌∵AB∥∴∠BAD=∠BCD，

∴△ABD≌

⑦△ADE≌

∵AD=BC，

∴△ADE≌

故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等的判定方法，解題關(guān)鍵找出對應(yīng)相等的邊、角，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、【變式4-3】（2022·浙江·八年級單元測試）根據(jù)下列條件不能唯一畫出△ABC的是（

）A．AB＝5，BC＝6，AC＝7 B．AB＝5，BC＝6，∠B＝45°C．AB＝5，AC＝4，∠C＝90° D．AB＝3，AC＝4，∠C＝45°【答案】D【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系和全等三角形的判定定理逐項(xiàng)分析即可解答．【詳解】解：A．∵AC與BC兩邊之和大于第三邊，故能作出三角形，且三邊知道能唯一畫出△ABC，不符合題意；B．∠B是AB、BC的夾角，故能唯一畫出△ABC，不符合題意；C．AB＝5，AC＝4，∠C＝90°，得出BC＝3，可唯一畫出△ABC，不符合題意；D．由于是SSA，所以AB＝3，AC＝4，∠C＝45°，不能唯一畫出三角形ABC，符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的三邊關(guān)系、全等三角形的判定等知識點(diǎn)，掌握SSA不能判定三角形全等是解答本題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)5尺規(guī)作圖與全等的綜合運(yùn)用】【例5】（2022·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在△ABC外找一個(gè)點(diǎn)A'（與點(diǎn)A不重合），并以BC為一邊作△A'BC，使之與△ABC全等，且△ABC不是等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】本題是開放題，要想使△A′BC與△ABC全等，先確定題中條件，再對應(yīng)三角形全等條件求解．【詳解】解：如圖：以B點(diǎn)為圓心，CA為半徑上下畫弧，C點(diǎn)為圓心，BA為半徑上下畫弧，兩弧相交分別得到點(diǎn)A'、A1'；以C點(diǎn)為圓心，CA為半徑畫弧，以B點(diǎn)為圓心，BA故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了全等的判定綜合．判定兩個(gè)三角形全等，先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法去求證．【變式5-1】（2022·全國·八年級課時(shí)練習(xí)）如圖，以△ABC的頂點(diǎn)A為圓心，以BC長為半徑作??；再以頂點(diǎn)C為圓心，以AB長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)D；連結(jié)AD，CD．由作法可得：△ABC?△CDA的根據(jù)是（

）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS【答案】D【分析】根據(jù)題意和全等三角形判定的方法可以得到ABC≌△CDA的根據(jù)，本題得以解決．【詳解】解：由題意可得，AD=BC，AB=CD，在△ADC和△CBA中，AD=CBDC=BA∴△ADC≌△CBA（SSS），故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用全等三角形的判定方法解答．【變式5-2】（2022·廣東·普寧市紅領(lǐng)巾實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級階段練習(xí)）在課堂上，張老師布置了一道畫圖題：畫一個(gè)Rt△ABC，使∠B=90°，它的兩條邊分別等于兩條已知線段．小劉和小趙同學(xué)先畫出了∠MBN=90°之后，后續(xù)畫圖的主要過程分別如圖所示．那么小劉和小趙同學(xué)作圖確定三角形的依據(jù)分別是______；_______【答案】

SAS

HL【分析】由圖可知小劉同學(xué)確定的是兩條直角邊，根據(jù)三角形全等判定定理為SAS．由圖可知小趙同學(xué)確定了一個(gè)直角邊和斜邊，根據(jù)三角形全等判定定理為HL．【詳解】小劉同學(xué)畫了∠MBN=90°后，再截取AB,BC兩直角邊等于兩已知線段，所以確定的依據(jù)是SAS定理；小趙同學(xué)畫了∠MBN=90°后，再截取BC,AC一直角邊和一個(gè)斜邊，所以確定的依據(jù)是HL定理．故答案為：①SAS；②HL．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，熟練掌握每種證明方法，做出判斷是解題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2022·北京·101中學(xué)九年級開學(xué)考試）李老師制作了如圖1所示的學(xué)具，用來探究“邊邊角條件是否可確定三角形的形狀”問題．操作學(xué)具時(shí)，點(diǎn)Q在軌道槽AM上運(yùn)動，點(diǎn)P既能在以A為圓心、以8為半徑的半圓軌道槽上運(yùn)動，也能在軌道槽QN上運(yùn)動．圖2是操作學(xué)具時(shí)，所對應(yīng)某個(gè)位置的圖形的示意圖．有以下結(jié)論：①當(dāng)∠PAQ=30°，PQ=6時(shí)，可得到形狀唯一確定的△PAQ②當(dāng)∠PAQ=90°，PQ=10時(shí)，可得到形狀唯一確定的△PAQ③當(dāng)∠PAQ=150°，PQ=12時(shí)，可得到形狀唯一確定的△PAQ其中所有正確結(jié)論的序號是______________．【答案】②③##③②【分析】分別在以上三種情況下以P為圓心，PQ的長度為半徑畫弧，觀察弧與直線AM的交點(diǎn)即為Q點(diǎn)，作出ΔPAQ【詳解】如下圖，當(dāng)∠PAQ=30°，PQ=6時(shí)，以P為圓心，PQ的長度為半徑畫弧，弧與直線AM有兩個(gè)交點(diǎn)，作出ΔPAQ，發(fā)現(xiàn)兩個(gè)位置的Q都符合題意，所以Δ如下圖，當(dāng)∠PAQ=90°，PQ=10時(shí)，以P為圓心，PQ的長度為半徑畫弧，弧與直線AM有兩個(gè)交點(diǎn)，作出ΔPAQ，發(fā)現(xiàn)兩個(gè)位置的Q都符合題意，但是此時(shí)兩個(gè)三角形全等，所以形狀相同，所以Δ如下圖，當(dāng)∠PAQ=150°，PQ=12時(shí)，以P為圓心，PQ的長度為半徑畫弧，弧與直線AM有兩個(gè)交點(diǎn)，作出ΔPAQ，發(fā)現(xiàn)左邊位置的Q不符合題意，所以Δ綜上：②③正確．故答案為：②③【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形形狀問題，為三角形全等來探索判定方法，也考查三角形的作圖，利用對稱關(guān)系作出另一個(gè)Q是關(guān)鍵．【考點(diǎn)6證明全等的常見輔助線的作法】【例6】（2022·江蘇·宿遷青華中學(xué)七年級階段練習(xí)）（1）如圖①，四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=90°．E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且BE+FD=EF．試探究圖中∠EAF與∠BAD之間的數(shù)量關(guān)系．小明同學(xué)探究此問題的方法是：延長FD到G，使DG=BE，連結(jié)AG．先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，從而得出∠EAF=∠GAF，最后得出∠EAF與∠BAD之間的數(shù)量關(guān)系是．（2）將（1）中的條件“∠B=∠ADC=90°”改為“∠B+∠D=180°”（如圖②），其余條件不變，上述數(shù)量關(guān)系是否成立，成立，請證明；不成立，說明理由（3）如圖③，中俄兩國海軍在南海舉行聯(lián)合軍事演習(xí)，中國艦艇在指揮中心（O）北偏西30°的A處，俄羅斯艦艇在指揮中心南偏東70°的B處，兩艦艇到指揮中心距離相等．接到行動指令后，中國艦艇向正東方向以60海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，俄羅斯艦艇沿北偏東50°的方向以80海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，2小時(shí)后，指揮中心觀測到兩艦艇分別到達(dá)E，F(xiàn)處且相距280海里．求此時(shí)兩艦艇的位置與指揮中心（O處）形成的夾角∠EOF的大?。敬鸢浮浚?）∠EAF=12【分析】（1）根據(jù)小明同學(xué)的探究方法不難得到∠EAF=12（2）延長FD到G，使DG=BE，連接AG，根據(jù)同角的補(bǔ)角相等求出∠B=∠ADG，然后利用“邊角邊”證明△ABE和△ADG全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AE=AG，∠BAE=∠DAG，再求出∠EAF=∠GAF，然后利用“邊角邊”證明△AEF和△GAF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得EF=GF，然后求解即可；（3）連接EF，延長AE、BF相交于點(diǎn)C，然后求出∠OAC+∠OBC=180°，判斷出符合探索延伸的條件，再根據(jù)探索延伸的結(jié)論解答即可．【詳解】解：(1)如圖①，延長FD到G，使DG=BE，連結(jié)AG．在△ABE和△ADG中，AB=AD，BE=DG，∠B=∠ADG=90°，∴△ABE≌△ADG，∴AE=AG，在△AEF和△AGF中，AE=AG，AF=AF，EF=BE+FD=DG+FD=GF，∴△AEF≌△AGF，∴∠EAF=∠GAF=∠GAD+∠DAF=∠EAB+∠DAF∴∠BAD=∠EAF+∠EAB+∠DAF=2∠EAF∴∠EAF=12(2)∠EAF=12證明：如圖②，延長FD到G，使DG=BE，連接AG．∵∠B+∠ADC=180°，∠ADC+∠ADG=180°，∴∠B=∠ADG，∴△ABE≌△ADG（SAS）．∴AE=AG，∠BAE=∠DAG．又∵EF=BE+DF，DG=BE，∴EF=DG+DF=GF．∴△AEF≌△AGF（SSS）．∴∠EAF=∠GAF．

又∵∠GAF=∠DAG+∠DAF，∴∠EAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF．而∠EAF+∠BAE+∠DAF=∠BAD，∴∠EAF=12(3)如圖③，連接EF，延長AE、BF相交于點(diǎn)C．∵2小時(shí)后，艦艇甲行駛了120海里，艦艇乙行駛了160海里，即AE=120，BF=160．而EF=280，∴在四邊形AOBC中，有EF=AE+BF，又∵OA=OB，且∠OAC+∠OBC=（90°﹣30°）+（70°+50°）=180°，∴符合(2)中的條件．

又∵∠AOB=30°+90°+（90°﹣70°）=140°，∴∠EOF=12答：此時(shí)兩艦艇的位置與指揮中心（O處）形成的夾角∠EOF的大小為70°．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，讀懂問題背景的求解思路，作輔助線構(gòu)造出全等三角形并兩次證明三角形全等是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．【變式6-1】（2022·全國·八年級課時(shí)練習(xí)）如圖，已知：AB=AC，BD=CD，∠A=60°，∠D=140°，則∠B=（

）A．50° B．40° C．40°或70【答案】B【分析】連接AD，可證△ABD≌△ACD，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可以得到∠BAD=∠CAD=12∠BAC，∠ADB=∠ADC，代入角度即可求出∠BAD【詳解】連接AD，如圖，在△ABD與△ACD中AB=ACBD=CD∴△ABD≌△ACDSSS，∴∠BAD=∠CAD=12∠BAC∵∠A=60∴∠BAD=∠CAD=30∵∠D=140∴∠ADB=∠ADC=1∵∠BAD+∠ADB+∠B=180∴∠B=40故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，添加正確的輔助線是解題的關(guān)鍵．【變式6-2】（2022·全國·七年級單元測試）（1）求證：等邊三角形內(nèi)的任意一點(diǎn)到兩腰的距離之和等于定長.（提示：添加輔助線證明）（2）如圖所示，在三角形ABC中，點(diǎn)D是三角形內(nèi)一點(diǎn)，連接DA、DB、DC，若AB=AC,∠ADB=∠ADC，求證：AD平分∠BAC.【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.【分析】（1）已知點(diǎn)P是等邊三角形ABC內(nèi)的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作三邊的垂線，分別交三邊于點(diǎn)D、點(diǎn)E、點(diǎn)F.求證PD+PE+PF為定長,即可完成證明；（2）（面積法）過點(diǎn)A作AE⊥BD交BD延長線于點(diǎn)E，再過點(diǎn)A作AF⊥CD交CD延長線于點(diǎn)F.因?yàn)椤螦DB=∠ADC，所以∠ADE=∠ADF，因此△ADF?ADE(AAS)，得到AF=AE.進(jìn)而△AFC?△AEB，得到∠ABD=∠ACD，因此∠BAD=∠CAD，即AD平分【詳解】（1）

已知：等邊如圖三角形ABC，P為三角形ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，PD⊥AB,PF⊥AC,PE⊥BC,求證：PD+PE+PF為定值.證明：如圖：過點(diǎn)A作AG⊥BC，垂足為點(diǎn)G，分別連接AP、BP、CP.∵S△ABC∴12又∵BC=AB=AC∴AG=PE+PF+PD,即PD+PE+PF=AG定長.∴等邊三角形內(nèi)的任意一點(diǎn)到兩腰的距離之和等于定長.（2）過點(diǎn)A作AE⊥BD交BD延長線于點(diǎn)E，再過點(diǎn)A作AF⊥CD交CD延長線于點(diǎn)F.∵∠ADB=∠ADC，∴∠ADE=∠ADF，又∵AD=AD∴△ADF?ADE(AAS∴AF=AE∴△AFC?△AEB，∴∠ABD=∠ACD，∴∠BAD=∠CAD，即AD平分∠BAC.【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)和判定，其中做出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．【變式6-3】（2022·全國·八年級課時(shí)練習(xí)）已知等腰△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在直線AB上，DE∥BC，交直線AC與點(diǎn)E，且BD=BC，CH⊥AB，垂足為H．（1）當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上時(shí)，如圖1，求證DH=BH+DE；（2）當(dāng)點(diǎn)D在線段BA延長線上時(shí)，如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段AB延長線上時(shí)，如圖3，直接寫出DH，BH，DE之間的數(shù)量關(guān)系，不需要證明．【答案】（1）見詳解；（2）圖2：DH=BH-DE【分析】（1）在線段AH上截取HM=BH，連接CM，CD，證明△DMC≌△DEC，可得到DE=DM，即可求解．（2）當(dāng)點(diǎn)D在線段BA延長線上時(shí)，在BA的延長線上截取MH=BH，連接CM，DC，由題意可證△BHC≌△CHM，可得∠B=∠CMB，由題意可得∠B=∠AED，即可證△DMC≌△DEC，可得DE=DM，則可得DH=BH-DE；當(dāng)點(diǎn)D在線段AB延長線上時(shí)，在線段AB上截取BH=HM，連接CM，CD，由題意可證△BHC≌△CHM，可得∠B=∠CMB，由題意可得∠B=∠AED，即可證△DMC≌△DEC，可得DE=DM，則可得【詳解】解：（1）證明：在線段AH上截取HM=BH，連接CM，CD∵CH⊥AB，HM=BH∴CM=BC∴∠B=∠CMB∵AB=AC∴∠B=∠ACB∵DE∴∠ADE=∠B=∠AED=∠ACB，∠CDE=∠BCD∴∠AED=∠BMC∴∠DEC=∠DMC∵BD=BC∴∠BDC=∠BCD=∠EDC∵CD=CD∴△CDM≌△CDE∴DM∴BH（2）當(dāng)點(diǎn)D在線段BA延長線上時(shí)，DH=BH-DE如圖2：在BA的延長線上截取MH=BH，連接CM，DC∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB∵BD=BC∴∠BDC=∠DCB∵DE∴∠E=∠ACB=∠B=∠EDB∵CH=CH，BH=MH∴△BHC≌△CHM∴∠B∴∠E=∠M∵∠MDC=∠B+∠DCB∴∠MDC=∠EDC又∵∠E=∠M，DC=CD∴△DEC≌△DMC∴DE=DM∵DH∴DH=BH-DE當(dāng)點(diǎn)D在線段AB延長線上時(shí)，DE=DH+BH如圖3：當(dāng)點(diǎn)D在線段AB延長線上時(shí)，在線段AB上截取BH=HM，連接CM，CD∵BH=HM，CH=CH，∠CHB=∠MHC=90°∴△MHC≌△BHC∴∠ABC=∠BMC∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB∵BD=BC∴∠BDC=∠BCD∵BC∴∠BCD=∠CDE，∠ACB=∠AED∴∠BDC=∠CDE，∠BMC=∠AED，且CD=CD∴△CDM≌△CDE∴DE=DM∵DM=DH+HM∴DE=DH+BH【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形綜合題，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，合理添加輔助線證全等是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)7證一條線段等于兩條線段的和（差）】【例7】（2022·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，△ABC中，∠B＝45°，∠ACB＝30°，CD平分∠ACB，AD⊥CD，求證：CD＝AB＋AD【答案】見解析【分析】遇到這種CD＝AB＋AD線段和差問題一般都是截長補(bǔ)短；方法1：補(bǔ)短AB，構(gòu)造BE＝AB＋AD，證明CD=BE即可；方法2：補(bǔ)短AD，構(gòu)造DF＝AB＋AD，證明CD=DF即可；方法3：截長，在CD上截取DE使得DE＝AD，構(gòu)造等腰直角三角形ABF，證明AF=EC即可；方法4：截長，在CD上截取DE使得DE＝AD，在CB延長上取點(diǎn)H使得AH＝AC,證明AB=EC即可；【詳解】方法1：補(bǔ)短，構(gòu)造全等證明：延長BA至點(diǎn)E，使得AD＝AE，連接CE∵AD⊥CD∴∠D＝90°∵∠B＝45°，∠ACB＝30°∴∠EAC＝∠B＋∠ACB＝45°＋30°＝75°∵CD平分∠ACB∴∠ACD＝15°∴∠DAC＝90°－15°＝75°∴∠EAC＝∠DAC在△ADC和△AEC中∵AD＝AE∠EAC＝∠DACAC＝AC∴△ADC≌△AEC(SAS)∴EC＝CD，∠E＝∠D＝90°，∠ECA=∠ACD＝15°∴∠ECB＝∠B＝45°∴EC＝BE∴EC＝BE＝CD∴CD＝AB＋AE＝AB＋AD方法2：補(bǔ)短，構(gòu)造全等證明：延長DA至點(diǎn)F，使得AF＝AB∵∠B＝45°，∠ACB＝30°∴∠BAC＝180－∠B－∠ACB＝180°－45°－30°＝105°∵CD是∠ACB的角平分線∴∠ACD＝15°∵AD⊥CD，∴∠D=90°，∴∠EAC＝∠D＋∠ACD＝90°＋15°＝105°∴∠EAC＝∠BAC在△ABC和△AEC中AB＝AE∠EAC＝∠BACAC＝AC∴△ABC≌△AEC（SAS）∴∠E＝∠B＝45°,∴∠ECD＝90°-∠E=∠B＝45°∴CD＝DE＝AD＋AE＝AD＋AB方法3：截長，構(gòu)造全等證明：在CD上截取DE使得DE＝AD∵AD⊥CD∴∠AED＝45°，∠AEC＝135°過點(diǎn)A作AF⊥AB交BC于點(diǎn)F∵∠B=45°，∴∠AFB＝∠B＝45°，∠AFC＝135°∴AB＝AF，∠AEC＝∠AFC∵CD平分∠ACB∴∠ACD＝15°∴∠DAC＝90°－∠ACD＝90°－15°＝75°∴∠EAC＝∠DAC－∠DAE＝75°－45°＝30°∴∠EAC＝∠ACF在△AEC和△CFA中∠EAC＝∠ACFAC＝AC∠AEC＝∠AFC∴△AEC≌△CFA(ASA)∴CE＝AF＝AB∴CD＝DE＋CE＝AD＋AB方法4：截長，構(gòu)造全等證明：在CD上截取DE使得DE＝AD∵AD⊥CD∴∠AED＝45°，∠AEC＝135°在CB延長上取點(diǎn)H，使得AH＝AC∵∠ABC＝45°∴∠ABH＝135°∴∠ABH＝∠AEC∵AH＝AC∴∠H＝∠ACB＝30°∵CD平分∠ACB∴∠ACD＝15°∴∠DAC＝90°－∠ACD＝90°－15°＝75°∴∠EAC＝∠DAC－∠DAE＝75°－45°＝30°∴∠H＝∠EAC在△ABH和△CEA中∠H＝∠EACAH＝AC∠ABH＝∠AEC∴△ABH≌△CEA(ASA)∴AB＝CE∴CD＝DE＋CE＝AD＋AB【變式7-1】（2022·安徽淮北·八年級階段練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，AB//CD,AE是∠BAC的平分線，且AE⊥CE．若AC=a,BD=b，則四邊形ABDC的周長為（

）A．1.5(a+b) B．2a+b C．3a-b D．a(chǎn)+2b【答案】B【分析】在線段AC上作AF=AB，證明△AEF≌△AEB可得∠AFE=∠B，∠AEF=∠AEB，再證明△CEF≌△CED可得CD=CF，即可求得四邊形ABDC的周長．【詳解】解：在線段AC上作AF=AB，∵AE是∠BAC的平分線，∴∠CAE=∠BAE，又∵AE=AE，∴△AEF≌△AEB（SAS），∴∠AFE=∠B，∠AEF=∠AEB，∵AB∥CD，∴∠D+∠B=180°，∵∠AFE+∠CFE=180°，∴∠D=∠CFE，∵AE⊥CE，∴∠AEF+∠CEF=90°，∠AEB+∠CED=90°，∴∠CEF=∠CED，在△CEF和△CED中∵∠D=∠CFE∠CEF=∠CED∴△CEF≌△CED（AAS）∴CE=CF，∴四邊形ABDC的周長=AC+AB+BD+CD=AC+AF+CF+BD=2AC+BD=2a+b，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)和判斷．能正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．【變式7-2】（2022·山東煙臺·七年級期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是直線AB上一點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)A、B重合），連接DC并延長到E，使得CE＝CD，過點(diǎn)E作EF⊥直線BC，交直線BC于點(diǎn)F．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D為線段AB上的任意一點(diǎn)時(shí)，用等式表示線段EF、CF、AC的數(shù)量關(guān)系，并證明；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)D為線段BA的延長線上一點(diǎn)時(shí)，依題意補(bǔ)全圖2，猜想線段EF、CF、AC的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生改變，并證明．(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在線段AB的延長線上時(shí)，直接寫出線段EF、CF、AC之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)AC＝EF+FC，證明見解析(2)補(bǔ)全圖形見解析，AC＝EF-CF，證明見解析(3)AC＝CF-EF【分析】（1）過D作DH⊥CB于H，由“AAS”可證△FEC≌△HDC，可得CH=FC，DH=EF，可得結(jié)論；（2）過D作DH⊥CB于H，由“AAS”可證△FEC≌△HDC，可得CH=FC，DH=EF，可得結(jié)論．（3）過D作DH⊥CB交CB的延長線于H，由“AAS”可證△FEC≌△HDC，可得CH=FC，DH=EF，可得結(jié)論．(1)結(jié)論：AC＝EF+FC，理由如下：過D作DH⊥CB于H，∴∠DHC＝∠DHB＝90°∵EF⊥CF，∴∠EFC＝∠DHC＝90°，在△FEC和△HDC中，∠EFC=∠DHC=90∴△FEC≌△HDC（AAS），∴CH＝FC，DH＝EF，∵∠ACB＝90°，AC=BC，∴∠B＝45°，∵∠DHB＝90°，∴∠B＝∠HDB＝45°∴DH＝HB＝EF，∵BC＝CB+HB∴AC＝FC+EF；(2)依題意補(bǔ)全圖形，結(jié)論：AC＝EF-CF，理由如下：過D作DH⊥CB交BC的延長線于H，∵EF⊥CF，∴∠EFC＝∠DHC＝90°，在△FEC和△HDC中，∠FCE=∠DCH∠EFC=∠DHC=∴△FEC≌△HDC（AAS），∴CH＝FC，DH＝EF，∵∠DHB＝90°，∴∠B＝∠HDB＝45°∴DH＝HB＝EF，∵BC=HB-CH∴AC＝EF-CF．(3)AC=CF-EF．如圖3，過D作DH⊥CB交CB的延長線于H，同理可證△FEC≌△HDC（AAS），∴CH=FC，DH=EF，∵∠DHB=90°，∴∠B=∠HDB=45°，∴DH=HB=EF，∵BC=CH-BH，∴AC=CF-EF．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵．【變式7-3】（2022·全國·八年級專題練習(xí)）在△ABC中，AE，CD為△ABC的角平分線，AE，CD交于點(diǎn)F．（1）如圖1，若∠B=60°．①直接寫出∠AFC的大??；②求證：AC=AD+CE．（2）若圖2，若∠B=90°，求證：S△ACF【答案】（1）①120°；②見解析；（2）見解析【分析】（1）①綜合三角形的內(nèi)角和定理以及角平分線的定義求解即可；②利用“截長補(bǔ)短”思想，在AC上取點(diǎn)H，使得AD=AH，從而通過全等證得∠AFD=∠AFH，再結(jié)合①的結(jié)論進(jìn)一步證明∠CFH=∠CFE，從而通過全等證得CE=CH，即可得出結(jié)論；（2）同樣利用“截長補(bǔ)短”思想，在AC上取S、T兩點(diǎn)，使得AD=AS，CE=CT，連接SF，SE，TF，TE，可通過全等直接先對△ADF和△CEF的面積進(jìn)行轉(zhuǎn)換，然后結(jié)合（1）中的結(jié)論，證明SF∥ET，即可對△DEF的面積進(jìn)行轉(zhuǎn)換，從而得出結(jié)論．【詳解】（1）①解：∵∠B=60°，∴∠BAC+∠BCA=180°-∠B=120°，∵AE平分∠BAC，CD平分∠BCA，∴∠FAC=12∠BAC，∠FCA=12∠∴∠FAC+∠FCA=12(∠BAC+∠BCA)=1∴∠AFC=180°-(∠FAC+∠FCA)=120°；②證：如圖所示，在AC上取點(diǎn)H，使得AD=AH，在△ADF和△AHF中，AD=AH∴△ADF≌△AHF(SAS)，∴∠AFD=∠AFH，∵∠AFD=∠CFE，∴∠AFH=∠CFE，由①可知，∠AFC=120°，∴∠CFE=180°-120°=60°，∴AFH=∠CFE=60°，∴∠CFH=60°，即：∠CFH=∠CFE，在△CFH和△CFE中，∠CFH=∠CFE∴△CFH≌△CFE(ASA)，∴CE=CH，∵AC=AH+CH，∴AC=AD+CE；（2）證：如圖所示，在AC上取S、T兩點(diǎn)，使得AD=AS，CE=CT，連接SF，SE，TF，TE，∵AE平分∠BAC，∴∠DAF=∠SAF，在△ADF和△ASF中，AD=AS∴△ADF≌△ASF(SAS)，同理可證△AED≌△AES，△CEF≌△CTF，∴DF=SF，DE=SE，F(xiàn)T=FE，∴△DEF≌△SEF，∴S△ADF=S△ASF，且∠AFD=∠AFS，∠CFE=∠CFT，∵∠AFD=∠CFE，∴∠AFD=∠AFS=∠CFE=∠CFT，由（1）可得：∠AFC=90°+12∠B∴∠CFE=180°-135°=45°，∴∠AFD=∠AFS=∠CFE=∠CFT=45°，∴∠CFS=135°-∠AFS=90°，∴CF⊥SF，又∵FT=FE，CT=CE，∴CF垂直平分EF，即：CF⊥ET，∴SF∥ET，∴S△SFT∴S∵S△ACF∴S△ACF【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，以及三角形角平分線相關(guān)的證明問題，掌握基本的輔助線添加思想，熟練運(yùn)用全等三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【考點(diǎn)8全等中的倍長中線模型】【例8】（2022·江西吉安·七年級期末）（1）基礎(chǔ)應(yīng)用：如圖1，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，AD是BC邊上的中線，延長AD到點(diǎn)E使DE＝AD，連接CE，把AB，AC，2AD利用旋轉(zhuǎn)全等的方式集中在△ACE中，利用三角形三邊關(guān)系可得AD的取值范圍是；（2）推廣應(yīng)用：應(yīng)用旋轉(zhuǎn)全等的方式解決問