北師大版2018-2019學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)第二學(xué)期全冊(cè)教案(含教學(xué)反思)

1．1銳角三角函數(shù)第1課時(shí)正切與坡度1．理解正切的意義，并能舉例說(shuō)明；(重點(diǎn))2．能夠根據(jù)正切的概念進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算；(重點(diǎn))3．能運(yùn)用正切、坡度解決問(wèn)題．(難點(diǎn))一、情境導(dǎo)入觀察與思考：某體育館為了方便不同需求的觀眾，設(shè)計(jì)了不同坡度的臺(tái)階．問(wèn)題1：圖①中的臺(tái)階哪個(gè)更陡？你是怎么判斷的？問(wèn)題2：如何描述圖②中臺(tái)階的傾斜程度？除了用∠A的大小來(lái)描述，還可以用什么方法？方法一：通過(guò)測(cè)量BC與AC的長(zhǎng)度算出它們的比，來(lái)說(shuō)明臺(tái)階的傾斜程度；方法二：在臺(tái)階斜坡上另找一點(diǎn)B1，測(cè)出B1C1與AC1的長(zhǎng)度，算出它們的比，也能說(shuō)明臺(tái)階的傾斜程度．你覺得上面的方法正確嗎？二、合作探究探究點(diǎn)一：正切【類型一】根據(jù)正切的概念求正切值分別求出圖中∠A、∠B的正切值(其中∠C＝90°)．由上面的例子可以得出結(jié)論：直角三角形的兩個(gè)銳角的正切值互為________．解析：根據(jù)勾股定理求出需要的邊長(zhǎng)，然后利用正切的定義解答即可．解：如圖①，tan∠A＝eq\f(16,12)＝eq\f(4,3)，tan∠B＝eq\f(12,16)＝eq\f(3,4)；如圖②，BC＝eq\r(732－552)＝48，tan∠A＝eq\f(48,55)，tan∠B＝eq\f(55,48).因而直角三角形的兩個(gè)銳角的正切值互為倒數(shù)．方法總結(jié)：求銳角的三角函數(shù)值的方法：利用勾股定理求出需要的邊長(zhǎng)，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出對(duì)應(yīng)三角函數(shù)值即可．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第1題【類型二】在網(wǎng)格中求正切值已知：如圖，在由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C、D、E都在小正方形的頂點(diǎn)上，求tan∠ADC的值．解析：先證明△ACD≌△BCE，再根據(jù)tan∠ADC＝tan∠BEC即可求解．解：根據(jù)題意可得AC＝BC＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，CD＝CE＝eq\r(12＋32)＝eq\r(10)，AD＝BE＝5，∴△ACD≌△BCE(SSS)．∴∠ADC＝∠BEC.∴tan∠ADC＝tan∠BEC＝eq\f(1,3).方法總結(jié)：三角函數(shù)值的大小是由角度的大小確定的，因此可以把求一個(gè)角的三角函數(shù)值的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為另一個(gè)與其相等的角的三角函數(shù)值．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第3題【類型三】構(gòu)造直角三角形求三角函數(shù)值如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝AC，D為AC的中點(diǎn)，求tan∠ABD的值．解析：設(shè)AC＝BC＝2a，根據(jù)勾股定理可求得AB＝2eq\r(2)a，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，可得DE與AE的長(zhǎng)，根據(jù)線段的和差，可得BE的長(zhǎng)，根據(jù)正切三角函數(shù)的定義，可得答案．解：如圖，過(guò)D作DE⊥AB于E.設(shè)AC＝BC＝2a，根據(jù)勾股定理得AB＝2eq\r(2)a.由D為AC中點(diǎn)，得AD＝a.由∠A＝∠ABC＝45°，又DE⊥AB，得△ADE是等腰直角三角形，∴DE＝AE＝eq\f(\r(2)a,2).∴BE＝AB－AE＝eq\f(3\r(2)a,2)，tan∠ABD＝eq\f(DE,BE)＝eq\f(1,3).方法總結(jié)：求三角函數(shù)值必須在直角三角形中解答，當(dāng)所求的角不在直角三角形內(nèi)時(shí)，可作輔助線構(gòu)造直角三角形進(jìn)行解答．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第7題探究點(diǎn)二：坡度【類型一】利用坡度的概念求斜坡的坡度(坡比)堤的橫斷面如圖．堤高BC是5米，迎水斜坡AB的長(zhǎng)是13米，那么斜坡AB的坡度是()A．1∶3B．1∶2.6C．1∶2.4D．1∶2解析：由勾股定理得AC＝12米．則斜坡AB的坡度＝BC∶AC＝5∶12＝1∶2.4.故選C.方法總結(jié)：坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比，又叫做坡比，它是一個(gè)比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常寫成i＝1∶m的形式．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第9題【類型二】利用坡度解決實(shí)際問(wèn)題已知一水壩的橫斷面是梯形ABCD，下底BC長(zhǎng)14m，斜坡AB的坡度為3∶eq\r(3)，另一腰CD與下底的夾角為45°，且長(zhǎng)為4eq\r(6)m，求它的上底的長(zhǎng)(精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：eq\r(2)≈1.414，eq\r(3)≈1.732)．解析：過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于E，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC于F，根據(jù)已知條件求出AE＝DF的值，再根據(jù)坡度求出BE，最后根據(jù)EF＝BC－BE－FC求出AD.解：過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC，垂足分別為E、F.∵CD與BC的夾角為45°，∴∠DCF＝45°，∴∠CDF＝45°.∵CD＝4eq\r(6)m，∴DF＝CF＝eq\f(4\r(6),\r(2))＝4eq\r(3)(m)，∴AE＝DF＝4eq\r(3)m.∵斜坡AB的坡度為3∶eq\r(3)，∴tan∠ABE＝eq\f(AE,BE)＝eq\f(3,\r(3))＝eq\r(3)，∴BE＝4m.∵BC＝14m，∴EF＝BC－BE－CF＝14－4－4eq\r(3)＝10－4eq\r(3)(m)．∵AD＝EF，∴AD＝10－4eq\r(3)≈3.1(m)．所以，它的上底的長(zhǎng)約為3.1m.方法總結(jié)：考查對(duì)坡度的理解及梯形的性質(zhì)的掌握情況．解決問(wèn)題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造直角三角形．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第8題三、板書設(shè)計(jì)正切與坡度1．正切的概念在直角三角形ABC中，tanA＝eq\f(∠A的對(duì)邊,∠A的鄰邊).2．坡度的概念坡度是坡面的鉛直高度與水平寬度的比，也就是坡角的正切值．在教學(xué)中，要注重對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo)．在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，有一些學(xué)生往往不注重基本概念、基礎(chǔ)知識(shí)，認(rèn)為只要會(huì)做題就可以了，結(jié)果往往失分于選擇題、填空題等一些概念性較強(qiáng)的題目．通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行知識(shí)梳理，教會(huì)學(xué)生如何進(jìn)行知識(shí)的歸納、總結(jié)，進(jìn)一步幫助學(xué)生理解和掌握基本概念、基礎(chǔ)知識(shí)1.1銳角三角函數(shù)第2課時(shí)正弦與余弦1．理解正弦與余弦的概念；(重點(diǎn))2．能用正弦、余弦的知識(shí)，根據(jù)三角形中已知的邊和角求出未知的邊和角．(難點(diǎn))一、情境導(dǎo)入如圖，小明沿著某斜坡向上行走了13m，他的相對(duì)位置升高了5m.如果他沿著該斜坡行走了20m，那么他的相對(duì)位置升高了多少？行走了am呢？在上述情形中，小明的位置沿水平方向又分別移動(dòng)了多少？根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可知，當(dāng)直角三角形的一個(gè)銳角的大小確定時(shí)，它的對(duì)邊與斜邊的比值、鄰邊與斜邊的比值也就確定了．二、合作探究探究點(diǎn)：正弦和余弦【類型一】直接利用定義求正弦和余弦值在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，求sinA，cosA.解析：利用勾股定理求出AC，然后根據(jù)正弦和余弦的定義計(jì)算即可．解：由勾股定理得AC＝eq\r(AB2－BC2)＝eq\r(132－52)＝12，sinA＝eq\f(BC,AB)＝eq\f(5,13)，cosA＝eq\f(AC,AB)＝eq\f(12,13).方法總結(jié)：在直角三角形中，銳角的正弦為對(duì)邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對(duì)邊比鄰邊，熟記三角函數(shù)的定義是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第1題【類型二】已知一個(gè)三角函數(shù)值求另一個(gè)三角函數(shù)值如圖，在△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D在BC上，AD＝BC＝5，cos∠ADC＝eq\f(3,5)，求sinB的值．解析：先由AD＝BC＝5，cos∠ADC＝eq\f(3,5)及勾股定理求出AC及AB的長(zhǎng)，再由銳角三角函數(shù)的定義解答．解：∵AD＝BC＝5，cos∠ADC＝eq\f(3,5)，∴CD＝3.在Rt△ACD中，∵AD＝5，CD＝3，∴AC＝eq\r(AD2－CD2)＝eq\r(52－32)＝4.在Rt△ACB中，∵AC＝4，BC＝5，∴AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝eq\r(42＋52)＝eq\r(41)，∴sinB＝eq\f(AC,AB)＝eq\f(4,\r(41))＝eq\f(4\r(41),41).方法總結(jié)：在不同的直角三角形中，要根據(jù)三角函數(shù)的定義，分清它們的邊角關(guān)系，結(jié)合勾股定理是解答此類問(wèn)題的關(guān)鍵．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第8題【類型三】比較三角函數(shù)的大小sin70°，cos70°，tan70°的大小關(guān)系是()A．tan70°＜cos70°＜sin70°B．cos70°＜tan70°＜sin70°C．sin70°＜cos70°＜tan70°D．cos70°＜sin70°＜tan70°解析：根據(jù)銳角三角函數(shù)的概念，知sin70°＜1，cos70°＜1，tan70°＞1.又cos70°＝sin20°，銳角的正弦值隨著角的增大而增大，∴sin70°＞sin20°＝cos70°.故選D.方法總結(jié)：當(dāng)角度在0°<∠A<90°間變化時(shí)，0<sinA<1，1>cosA>0.當(dāng)角度在45°＜∠A＜90°間變化時(shí)，tanA＞1.變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第10題【類型四】與三角函數(shù)有關(guān)的探究性問(wèn)題在Rt△ABC中，∠C＝90°，D為BC邊(除端點(diǎn)外)上的一點(diǎn)，設(shè)∠ADC＝α，∠B＝β.(1)猜想sinα與sinβ的大小關(guān)系；(2)試證明你的結(jié)論．解析：(1)因?yàn)樵凇鰽BD中，∠ADC為△ABD的外角，可知∠ADC＞∠B，可猜想sinα＞sinβ；(2)利用三角函數(shù)的定義可求出sinα，sinβ的關(guān)系式即可得出結(jié)論．解：(1)猜想：sinα＞sinβ；(2)∵∠C＝90°，∴sinα＝eq\f(AC,AD)，sinβ＝eq\f(AC,AB).∵AD＜AB，∴eq\f(AC,AD)＞eq\f(AC,AB)，即sinα＞sinβ.方法總結(jié)：利用三角函數(shù)的定義把兩角的正弦值表示成線段的比，然后進(jìn)行比較是解題的關(guān)鍵．【類型五】三角函數(shù)的綜合應(yīng)用如圖，在△ABC中，AD是BC上的高，tanB＝cos∠DAC.(1)求證：AC＝BD；(2)若sinC＝eq\f(12,13)，BC＝36，求AD的長(zhǎng)．解析：(1)根據(jù)高的定義得到∠ADB＝∠ADC＝90°，再分別利用正切和余弦的定義得到tanB＝eq\f(AD,BD)，cos∠DAC＝eq\f(AD,AC)，再利用tanB＝cos∠DAC得到eq\f(AD,BD)＝eq\f(AD,AC)，所以AC＝BD；(2)在Rt△ACD中，根據(jù)正弦的定義得sinC＝eq\f(AD,AC)＝eq\f(12,13)，可設(shè)AD＝12k，AC＝13k，再根據(jù)勾股定理計(jì)算出CD＝5k，由于BD＝AC＝13k，于是利用BC＝BD＋CD得到13k＋5k＝36，解得k＝2，所以AD＝24.(1)證明：∵AD是BC上的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.在Rt△ABD中，tanB＝eq\f(AD,BD)，在Rt△ACD中，cos∠DAC＝eq\f(AD,AC).∵tanB＝cos∠DAC，∴eq\f(AD,BD)＝eq\f(AD,AC)，∴AC＝BD；(2)解：在Rt△ACD中，sinC＝eq\f(AD,AC)＝eq\f(12,13).設(shè)AD＝12k，AC＝13k，∴CD＝eq\r(AC2－AD2)＝5k.∵BD＝AC＝13k，∴BC＝BD＋CD＝13k＋5k＝36，解得k＝2，∴AD＝12×2＝24.變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第10題三、板書設(shè)計(jì)正弦與余弦1．正弦的定義2．余弦的定義3．利用正、余弦解決問(wèn)題本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)以直角三角形為主線，力求體現(xiàn)生活化課堂的理念，讓學(xué)生在經(jīng)歷“問(wèn)題情境——形成概念——應(yīng)用拓展——反思提高”的基本過(guò)程中，體驗(yàn)知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，讓學(xué)生感受探究的樂趣，使學(xué)生在學(xué)中思，在思中學(xué)．在教學(xué)過(guò)程中，重視過(guò)程，深化理解，通過(guò)學(xué)生的主動(dòng)探究來(lái)體現(xiàn)他們的主體地位，教師是通過(guò)對(duì)學(xué)生參與學(xué)習(xí)的啟發(fā)、調(diào)整、激勵(lì)來(lái)體現(xiàn)自己的引導(dǎo)作用，對(duì)學(xué)生的主體意識(shí)和合作交流的能力起著積極作用.1.230°，45°，60°角的三角函數(shù)值1．經(jīng)歷探索30°，45°，60°角的三角函數(shù)值的過(guò)程，進(jìn)一步體會(huì)三角函數(shù)的意義；(重點(diǎn))2．能夠進(jìn)行30°，45°，60°角的三角函數(shù)值的計(jì)算；(重點(diǎn))3．能夠根據(jù)30°，45°，60°角的三角函數(shù)值說(shuō)出相應(yīng)銳角的大?。?難點(diǎn))一、情境導(dǎo)入在直角三角形中(利用一副三角板進(jìn)行演示)，如果有一個(gè)銳角是30°(如圖①)，那么另一個(gè)銳角是多少度？三條邊之間有什么關(guān)系？如果有一個(gè)銳角是45°呢(如圖②)？由此你能發(fā)現(xiàn)這些特殊銳角的三角函數(shù)值嗎？二、合作探究探究點(diǎn)一：30°，45°，60°角的三角函數(shù)值【類型一】利用特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行計(jì)算計(jì)算：(1)2cos60°·sin30°－eq\r(6)sin45°·sin60°；(2)eq\f(sin30°－sin45°,cos60°＋cos45°).解析：將特殊角的三角函數(shù)值代入求解．解：(1)原式＝2×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)－eq\r(6)×eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(1,2)－eq\f(3,2)＝－1；(2)原式＝eq\f(\f(1,2)－\f(\r(2),2),\f(1,2)＋\f(\r(2),2))＝2eq\r(2)－3.方法總結(jié)：解決此類題目的關(guān)鍵是熟記特殊角的三角函數(shù)值．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第5題【類型二】已知三角函數(shù)值求角的取值范圍若cosα＝eq\f(2,3)，則銳角α的大致范圍是()A．0°＜α＜30°B．30°＜α＜45°C．45°＜α＜60°D．0°＜α＜30°解析：∵cos30°＝eq\f(\r(3),2)，cos45°＝eq\f(\r(2),2)，cos60°＝eq\f(1,2)，且eq\f(1,2)＜eq\f(2,3)＜eq\f(\r(2),2)，∴cos60°＜cosα＜cos45°，∴銳角α的范圍是45°＜α＜60°.故選C.方法總結(jié)：解決此類問(wèn)題要熟記特殊角的三角函數(shù)值和三角函數(shù)的增減性．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第9題【類型三】已知三角函數(shù)值，求角度根據(jù)下列條件，確定銳角α的值：(1)cos(α＋10°)－eq\f(\r(3),2)＝0；(2)tan2α－(eq\f(\r(3),3)＋1)tanα＋eq\f(\r(3),3)＝0.解析：(1)根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值來(lái)求α的值；(2)用因式分解法解關(guān)于tanα的一元二次方程即可．解：(1)cos(α＋10°)＝eq\f(\r(3),2)，α＋10°＝30°，∴α＝20°；(2)tan2α－(eq\f(\r(3),3)＋1)tanα＋eq\f(\r(3),3)＝0，(tanα－1)(tanα－eq\f(\r(3),3))＝0，tanα＝1或tanα＝eq\f(\r(3),3)，∴α＝45°或α＝30°.方法總結(jié)：熟記特殊角的三角函數(shù)值以及將“tanα”看作一個(gè)未知數(shù)解方程是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第8題探究點(diǎn)二：特殊角的三角函數(shù)值的應(yīng)用【類型一】特殊角的三角函數(shù)值與其他知識(shí)的綜合已知△ABC中的∠A與∠B滿足(1－tanA)2＋|sinB－eq\f(\r(3),2)|＝0，試判斷△ABC的形狀．解析：根據(jù)非負(fù)性的性質(zhì)求出tanA及sinB的值，再根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出∠A及∠B的度數(shù)，進(jìn)而可得出結(jié)論．解：∵(1－tanA)2＋|sinB－eq\f(\r(3),2)|＝0，∴tanA＝1，sinB＝eq\f(\r(3),2)，∴∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝180°－45°－60°＝75°，∴△ABC是銳角三角形．方法總結(jié)：一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值和偶次方都是非負(fù)數(shù)，當(dāng)幾個(gè)數(shù)或式的絕對(duì)值或偶次方相加和為0時(shí)，則其中的每一項(xiàng)都必須等于0.變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第4題【類型二】利用特殊角的三角函數(shù)值求三角形的邊長(zhǎng)如圖所示，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分線，若AC＝eq\r(3)，求線段AD的長(zhǎng)．解析：首先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)推出∠BAC的度數(shù)，再求出∠CAD＝30°，最后根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出AD的長(zhǎng)度．解：∵△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠BAC＝60°.∵AD是△ABC的角平分線，∴∠CAD＝30°，∴在Rt△ADC中，AD＝eq\f(AC,cos30°)＝eq\r(3)×eq\f(2,\r(3))＝2.方法總結(jié)：解決此題的關(guān)鍵是利用轉(zhuǎn)化的思想，將已知和未知元素化歸到一個(gè)直角三角形中，進(jìn)行解答．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第9題【類型三】構(gòu)造三角函數(shù)模型解決問(wèn)題要求tan30°的值，可構(gòu)造如圖所示的直角三角形進(jìn)行計(jì)算．作Rt△ABC，使∠C＝90°，斜邊AB＝2，直角邊AC＝1，那么BC＝eq\r(3)，∠ABC＝30°，∴tan30°＝eq\f(AC,BC)＝eq\f(1,\r(3))＝eq\f(\r(3),3).在此圖的基礎(chǔ)上，通過(guò)添加適當(dāng)?shù)妮o助線，探究tan15°與tan75°的值．解析：根據(jù)角平分線的性質(zhì)以及勾股定理首先求出CD的長(zhǎng)，進(jìn)而得出tan15°＝eq\f(CD,BC)，tan75°＝eq\f(BC,CD).解：作∠B的平分線交AC于點(diǎn)D，作DE⊥AB，垂足為E.∵BD平分∠ABC，CD⊥BC，DE⊥AB，∴CD＝DE.設(shè)CD＝x，則AD＝1－x，AE＝2－BE＝2－BC＝2－eq\r(3).在Rt△ADE中，DE2＋AE2＝AD2，x2＋(2－eq\r(3))2＝(1－x)2，解得x＝2eq\r(3)－3，∴tan15°＝eq\f(2\r(3)－3,\r(3))＝2－eq\r(3)，tan75°＝eq\f(BC,CD)＝eq\f(\r(3),2\r(3)－3)＝2＋eq\r(3).方法總結(jié)：解決問(wèn)題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造含有15°和75°的直角三角形，再根據(jù)三角函數(shù)的定義求出15°和75°的三角函數(shù)值．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第6題三、板書設(shè)計(jì)30°，45°，60°角的三角函數(shù)值1．特殊角的三角函數(shù)值30°45°60°sinαeq\f(1,2)eq\f(\r(2),2)eq\f(\r(3),2)cosαeq\f(\r(3),2)eq\f(\r(2),2)eq\f(1,2)tanαeq\f(\r(3),3)1eq\r(3)2.應(yīng)用特殊角的三角函數(shù)值解決問(wèn)題課程設(shè)計(jì)中引入非常直接，由三角板引入，直擊課題，同時(shí)也對(duì)前兩節(jié)學(xué)習(xí)的知識(shí)進(jìn)行了整體的復(fù)習(xí)，效果很好．設(shè)計(jì)引題開門見山，節(jié)省了時(shí)間，為后面的教學(xué)提供了方便．在講解特殊角三角函數(shù)值時(shí)也很細(xì)，可以說(shuō)前部分的教學(xué)很成功，學(xué)生理解的很好.1.3三角函數(shù)的計(jì)算1．熟練掌握用科學(xué)計(jì)算器求三角函數(shù)值；(重點(diǎn))2．初步理解仰角和俯角的概念及應(yīng)用．(難點(diǎn))一、情境導(dǎo)入如圖①和圖②，將一個(gè)Rt△ABC形狀的楔子從木樁的底端點(diǎn)P沿水平方向打入木樁底下，可以使木樁向上運(yùn)動(dòng)．如果楔子斜面的傾斜角為10°，楔子沿水平方向前進(jìn)5cm(如箭頭所示)．那么木樁上升多少厘米？觀察圖②易知，當(dāng)楔子沿水平方向前進(jìn)5cm，即BN＝5cm時(shí)，木樁上升的距離為PN.在Rt△PBN中，∵tan10°＝eq\f(PN,BN)，∴PN＝BNtan10°＝5tan10°(cm)．那么，tan10°等于多少呢？對(duì)于不是30°，45°，60°這些特殊角的三角函數(shù)值，可以利用科學(xué)計(jì)算器來(lái)求．二、合作探究探究點(diǎn)一：利用科學(xué)計(jì)算器解決含三角函數(shù)的計(jì)算問(wèn)題【類型一】已知角度，用計(jì)算器求三角函數(shù)值用計(jì)算器求下列各式的值(精確到0.0001)：(1)sin47°；(2)sin12°30′；(3)cos25°18′；(4)sin18°＋cos55°－tan59°.解析：熟練使用計(jì)算器，對(duì)計(jì)算器給出的結(jié)果，根據(jù)題目要求用四舍五入法取近似值．解：根據(jù)題意用計(jì)算器求出：(1)sin47°≈0.7314；(2)sin12°30′≈0.2164；(3)cos25°18′≈0.9041；(4)sin18°＋cos55°－tan59°≈－0.7817.方法總結(jié)：解決此類問(wèn)題關(guān)鍵是熟練使用計(jì)算器，使用計(jì)算器時(shí)要注意按鍵順序．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第3題【類型二】已知三角函數(shù)值，用計(jì)算器求銳角的度數(shù)已知下列銳角三角函數(shù)值，用計(jì)算器求銳角∠A，∠B的度數(shù)(結(jié)果精確到0.1°)：(1)sinA＝0.7，sinB＝0.01；(2)cosA＝0.15，cosB＝0.8；(3)tanA＝2.4，tanB＝0.5.解析：熟練應(yīng)用計(jì)算器，對(duì)計(jì)算器給出的結(jié)果，根據(jù)題目要求用四舍五入取近似值．解：(1)由sinA＝0.7，得∠A≈44.4°；由sinB＝0.01，得∠B≈0.6°；(2)由cosA＝0.15，得∠A≈81.4°；由cosB＝0.8，得∠B≈36.9°；(3)由tanA＝2.4，得∠A≈67.4°；由tanB＝0.5，得∠B≈26.6°.方法總結(jié)：解決此類問(wèn)題關(guān)鍵是熟練使用計(jì)算器，在使用計(jì)算器時(shí)要注意按鍵順序．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第7題【類型三】利用計(jì)算器比較三角函數(shù)值的大小(1)通過(guò)計(jì)算(可用計(jì)算器)，比較下列各對(duì)數(shù)的大小，并提出你的猜想：①sin30°________2sin15°cos15°；②sin36°________2sin18°cos18°；③sin45°________2sin22.5°cos22.5°；④sin60°________2sin30°cos30°；⑤sin80°________2sin40°cos40°.猜想：已知0°＜α＜45°，則sin2α________2sinαcosα；(2)如圖，在△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝2α，請(qǐng)根據(jù)提示，利用面積方法驗(yàn)證(1)中提出的猜想．解析：(1)利用計(jì)算器分別計(jì)算①至⑤各式中左邊與右邊的值，比較大??；(2)通過(guò)計(jì)算△ABC的面積來(lái)驗(yàn)證．解：(1)①＝②＝③＝④＝⑤＝猜想：＝(2)已知0°＜α＜45°，則sin2α＝2sinαcosα.證明：S△ABC＝eq\f(1,2)AB·sin2α·AC，S△ABC＝eq\f(1,2)×2ABsinα·ACcosα，∴sin2α＝2sinαcosα.方法總結(jié)：本題主要運(yùn)用了面積法，通過(guò)用不同的方法表示同一個(gè)三角形的面積，來(lái)得到三角函數(shù)的關(guān)系，此種方法在后面的學(xué)習(xí)中會(huì)經(jīng)常用到．探究點(diǎn)二：利用三角函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題【類型一】非特殊角三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用如圖，從A地到B地的公路需經(jīng)過(guò)C地，圖中AC＝10千米，∠CAB＝25°，∠CBA＝45°.因城市規(guī)劃的需要，將在A、B兩地之間修建一條筆直的公路．(1)求改直后的公路AB的長(zhǎng)；(2)問(wèn)公路改直后該段路程比原來(lái)縮短了多少千米(精確到0.1)?解析：(1)過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于D，根據(jù)AC＝10千米，∠CAB＝25°，求出CD、AD，根據(jù)∠CBA＝45°，求出BD、BC，最后根據(jù)AB＝AD＋BD列式計(jì)算即可；(2)根據(jù)(1)可知AC、BC的長(zhǎng)度，即可得出公路改直后該段路程比原來(lái)縮短的路程．解：(1)過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，∵AC＝10千米，∠CAB＝25°，∴CD＝sin∠CAB·AC＝sin25°×10≈0.42×10＝4.2(千米)，AD＝cos∠CAB·AC＝cos25°×10≈0.91×10＝9.1(千米)．∵∠CBA＝45°，∴BD＝CD＝4.2(千米)，BC＝eq\f(CD,sin∠CBA)＝eq\f(4.2,sin45°)≈5.9(千米)，∴AB＝AD＋BD＝9.1＋4.2＝13.3(千米)．所以，改直后的公路AB的長(zhǎng)約為13.3千米；(2)∵AC＝10千米，BC＝5.9千米，∴AC＋BC－AB＝10＋5.9－13.3＝2.6(千米)．所以，公路改直后該段路程比原來(lái)縮短了約2.6千米．方法總結(jié)：解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)關(guān)系求出有關(guān)線段的長(zhǎng)．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第9題【類型二】仰角、俯角問(wèn)題如圖，課外數(shù)學(xué)小組要測(cè)量小山坡上塔的高度DE，DE所在直線與水平線AN垂直．他們?cè)贏處測(cè)得塔尖D的仰角為45°，再沿著射線AN方向前進(jìn)50米到達(dá)B處，此時(shí)測(cè)得塔尖D的仰角∠DBN＝61.4°，小山坡坡頂E的仰角∠EBN＝25.6°.現(xiàn)在請(qǐng)你幫助課外活動(dòng)小組算一算塔高DE大約是多少米(結(jié)果精確到個(gè)位)．解析：根據(jù)銳角三角函數(shù)關(guān)系表示出BF的長(zhǎng)，進(jìn)而求出EF的長(zhǎng)，得出答案．解：延長(zhǎng)DE交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，則∠DFA＝90°.∵∠A＝45°，∴AF＝DF.設(shè)EF＝x，∵tan25.6°＝eq\f(EF,BF)≈0.5，∴BF＝2x，則DF＝AF＝50＋2x，故tan61.4°＝eq\f(DF,BF)＝eq\f(50＋2x,2x)＝1.8，解得x≈31.故DE＝DF－EF＝50＋31×2－31＝81(米)．所以，塔高DE大約是81米．方法總結(jié)：解決此類問(wèn)題要了解角之間的關(guān)系，找到與已知和未知相關(guān)聯(lián)的直角三角形，當(dāng)圖形中沒有直角三角形時(shí)，要通過(guò)作高或垂線構(gòu)造直角三角形．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第7題三、板書設(shè)計(jì)三角函數(shù)的計(jì)算1．已知角度，用計(jì)算器求三角函數(shù)值2．已知三角函數(shù)值，用計(jì)算器求銳角的度數(shù)3．仰角、俯角的意義本節(jié)課盡可能站在學(xué)生的角度上思考問(wèn)題，設(shè)計(jì)好教學(xué)的每一個(gè)細(xì)節(jié)，讓學(xué)生更多地參與到課堂的教學(xué)過(guò)程中，讓學(xué)生體驗(yàn)思考的過(guò)程，體驗(yàn)成功的喜悅和失敗的挫折，舍得把課堂讓給學(xué)生，盡最大可能在課堂上投入更多的情感因素，豐富課堂語(yǔ)言，使課堂更加鮮活，充滿人性魅力，下課后多反思，做好反饋工作，不斷總結(jié)得失，不斷進(jìn)步．只有這樣，才能真正提高課堂教學(xué)效率，提高成績(jī).1.4解直角三角形1．正確運(yùn)用直角三角形中的邊角關(guān)系解直角三角形；(重點(diǎn))2．選擇適當(dāng)?shù)年P(guān)系式解直角三角形．(難點(diǎn))一、情境導(dǎo)入如圖，美麗的徒駭河宛如一條玉帶穿城而過(guò)，沿河兩岸的濱河大道和風(fēng)景帶成為該市的一道新景觀．在數(shù)學(xué)課外實(shí)踐活動(dòng)中，小亮在河西岸濱河大道一段AC上的A，B兩點(diǎn)處，利用測(cè)角儀分別對(duì)東岸的觀景臺(tái)D進(jìn)行了測(cè)量，分別測(cè)得∠DAC＝60°，∠DBC＝75°.又已知AB＝100米，根據(jù)以上條件你能求出觀景臺(tái)D到徒駭河西岸AC的距離嗎？二、合作探究探究點(diǎn)：解直角三角形【類型一】利用解直角三角形求邊或角已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的對(duì)應(yīng)邊分別為a、b、c，按下列條件解直角三角形．(1)若a＝36，∠B＝30°，求∠A的度數(shù)和邊b、c的長(zhǎng)；(2)若a＝6，b＝6，求∠A、∠B的度數(shù)和邊c的長(zhǎng)．解析：(1)已知直角邊和一個(gè)銳角，解直角三角形；(2)已知兩條直角邊，解直角三角形．解：(1)在Rt△ABC中，∵∠B＝30°，a＝36，∴∠A＝90°－∠B＝60°，eq\f(a,c)＝cosB，即c＝eq\f(a,cosB)＝eq\f(36,\f(\r(3),2))＝24eq\r(3)，∴b＝eq\f(1,2)c＝eq\f(1,2)×24eq\r(3)＝12eq\r(3)；(2)在Rt△ABC中，∵a＝6，b＝6，∴c＝6eq\r(2)，∠A＝∠B＝45°.方法總結(jié)：解直角三角形時(shí)應(yīng)求出所有未知元素，盡可能地選擇包含所求元素與兩個(gè)已知元素的關(guān)系式求解．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第6題【類型二】構(gòu)造直角三角形解決長(zhǎng)度問(wèn)題一副直角三角板如圖放置，點(diǎn)C在FD的延長(zhǎng)線上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝30°，∠A＝45°，AC＝12eq\r(2)，試求CD的長(zhǎng)．解析：過(guò)點(diǎn)B作BM⊥FD于點(diǎn)M，求出BM與CM的長(zhǎng)度，然后在△EFD中可求出∠EDF＝60°，利用解直角三角形解答即可．解：過(guò)點(diǎn)B作BM⊥FD于點(diǎn)M，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝45°，AC＝12eq\r(2)，∴BC＝AC＝12eq\r(2).∵AB∥CF，∴BM＝sin45°BC＝12eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝12，CM＝BM＝12.在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝30°，∴∠EDF＝60°，∴MD＝eq\f(BM,tan60°)＝4eq\r(3)，∴CD＝CM－MD＝12－4eq\r(3).方法總結(jié)：解答此類題目的關(guān)鍵是根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形，然后利用所學(xué)的三角函數(shù)的關(guān)系進(jìn)行解答．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第7題【類型三】構(gòu)造直角三角形解決面積問(wèn)題在△ABC中，∠B＝45°，AB＝eq\r(2)，∠A＝105°，求△ABC的面積．解析：過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，根據(jù)勾股定理求出BD、AD的長(zhǎng)，再根據(jù)解直角三角形求出CD的長(zhǎng)，最后根據(jù)三角形的面積公式解答即可．解：過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，∵∠B＝45°，∴∠BAD＝45°，∴AD＝BD＝eq\f(\r(2),2)AB＝eq\f(\r(2),2)×eq\r(2)＝1.∵∠A＝105°，∴∠CAD＝105°－45°＝60°，∴∠C＝30°，∴CD＝eq\f(AD,tan30°)＝eq\f(1,\f(\r(3),3))＝eq\r(3)，∴S△ABC＝eq\f(1,2)(CD＋BD)·AD＝eq\f(1,2)×(eq\r(3)＋1)×1＝eq\f(\r(3)＋1,2).方法總結(jié)：解答此類題目的關(guān)鍵是根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形，然后利用所學(xué)的三角函數(shù)的關(guān)系進(jìn)行解答．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第7題三、板書設(shè)計(jì)解直角三角形1．解直角三角形的概念2．解直角三角形的基本類型及其解法3．解直角三角形的簡(jiǎn)單應(yīng)用本節(jié)課的設(shè)計(jì)，力求體現(xiàn)新課程理念．給學(xué)生自主探索的時(shí)間，給學(xué)生寬松和諧的氛圍，讓學(xué)生學(xué)得更主動(dòng)、更輕松，力求在探索知識(shí)的過(guò)程中，培養(yǎng)探索能力、創(chuàng)新能力、合作能力，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性、主動(dòng)性.1.5三角函數(shù)的應(yīng)用1．通過(guò)生活中的實(shí)際問(wèn)題體會(huì)銳角三角函數(shù)在解決問(wèn)題過(guò)程中的作用；(重點(diǎn))2．能夠建立數(shù)學(xué)模型，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題．(難點(diǎn))一、情境導(dǎo)入為倡導(dǎo)“低碳生活”，人們常選擇自行車作為代步工具，圖①所示的是一輛自行車的實(shí)物圖．圖②是這輛自行車的部分幾何示意圖，其中車架檔AC與CD的長(zhǎng)分別為45cm和60cm，且它們互相垂直，座桿CE的長(zhǎng)為20cm.點(diǎn)A、C、E在同一條直線上，且∠CAB＝75°.你能求出車架檔AD的長(zhǎng)嗎？二、合作探究探究點(diǎn)：三角函數(shù)的應(yīng)用【類型一】利用方向角解決問(wèn)題某船以每小時(shí)36海里的速度向正東方向航行，在點(diǎn)A測(cè)得某島C在北偏東60°方向上，航行半小時(shí)后到達(dá)點(diǎn)B，測(cè)得該島在北偏東30°方向上，已知該島周圍16海里內(nèi)有暗礁．(1)試說(shuō)明點(diǎn)B是否在暗礁區(qū)域外；(2)若繼續(xù)向東航行有無(wú)觸礁危險(xiǎn)？請(qǐng)說(shuō)明理由．解析：(1)求點(diǎn)B是否在暗礁區(qū)域內(nèi)，其實(shí)就是求CB的距離是否大于16，如果大于則不在暗礁區(qū)域內(nèi)，反之則在．可通過(guò)構(gòu)造直角三角形來(lái)求CB的長(zhǎng)，作CD⊥AB于D點(diǎn)，CD是Rt△ACD和Rt△CBD的公共直角邊，可先求出CD的長(zhǎng)，再求出CB的長(zhǎng)；(2)本題實(shí)際上是問(wèn)C到AB的距離即CD是否大于16，如果大于則無(wú)觸礁危險(xiǎn)，反之則有，CD的值在第(1)問(wèn)已經(jīng)求出，只要進(jìn)行比較即可．解：(1)作CD⊥AB于D點(diǎn)，設(shè)BC＝x，在Rt△BCD中，∠CBD＝60°，∴BD＝eq\f(1,2)x，CD＝eq\f(\r(3),2)x.在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，tan∠CAD＝eq\f(CD,AD)＝eq\f(\r(3),3)，∴eq\f(\f(\r(3),2)x,18＋\f(1,2)x)＝eq\f(\r(3),3).∴x＝18.∵18>16，∴點(diǎn)B是在暗礁區(qū)域外；(2)∵CD＝eq\f(\r(3),2)x＝9eq\r(3)，9eq\r(3)＜16，∴若繼續(xù)向東航行船有觸礁的危險(xiǎn)．方法總結(jié)：解決本題的關(guān)鍵是將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直角三角形的問(wèn)題，通過(guò)作輔助線構(gòu)造直角三角形，再把條件和問(wèn)題轉(zhuǎn)化到這個(gè)直角三角形中解決．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第4題【類型二】利用仰角和俯角解決問(wèn)題某中學(xué)九年級(jí)學(xué)生在學(xué)習(xí)“直角三角形的邊角關(guān)系”時(shí)，組織開展測(cè)量物體高度的實(shí)踐活動(dòng)．在活動(dòng)中，某小組為了測(cè)量校園內(nèi)①號(hào)樓AB的高度(如圖)，站在②號(hào)樓的C處，測(cè)得①號(hào)樓頂部A處的仰角α＝30°，底部B處的俯角β＝45°.已知兩幢樓的水平距離BD為18米，求①號(hào)樓AB的高度(結(jié)果保留根號(hào))．解析：根據(jù)在Rt△BCE中，tan∠BCE＝eq\f(BE,CE)，求出BE的值，再根據(jù)在Rt△ACE中，tan∠ACE＝eq\f(AE,CE)，求出AE的值，最后根據(jù)AB＝AE＋BE，即可求出答案．解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，CE⊥AB，∴四邊形CDBE是矩形，∴CE＝BD＝18米．在Rt△BEC中，∵∠ECB＝45°，∴EB＝CE＝18米．在Rt△AEC中，∵tan∠ACE＝eq\f(AE,CE)，∴AE＝CE·tan∠ACE＝18×tan30°＝6eq\r(3)(米)，∴AB＝AE＋EB＝18＋6eq\r(3)(米)．所以，①號(hào)樓AB的高為(18＋6eq\r(3))米．方法總結(jié)：解決本題的關(guān)鍵是結(jié)合仰角、俯角構(gòu)造直角三角形，然后再解直角三角形．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第1題【類型三】求河的寬度根據(jù)網(wǎng)上消息，益陽(yáng)市為了改善市區(qū)交通狀況，計(jì)劃在康富路的北端修建通往資江北岸的新大橋．如圖，新大橋的兩端位于A、B兩點(diǎn)，小張為了測(cè)量A、B之間的河寬，在垂直于新大橋AB的直線型道路l上測(cè)得如下數(shù)據(jù)：∠BDA＝76.1°，∠BCA＝68.2°，CD＝82米．求AB的長(zhǎng)(精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：sin76.1°≈0.97，cos76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.0，sin68.2°≈0.93，cos68.2°≈0.37，tan68.2°≈2.5)．解析：設(shè)AD＝xm，則AC＝(x＋82)m.在Rt△ABC中，根據(jù)三角函數(shù)得到AB＝2.5(x＋82)m，在Rt△ABD中，根據(jù)三角函數(shù)得到AB＝4x，依此得到關(guān)于x的方程，進(jìn)一步即可求解．解：設(shè)AD＝xm，則AC＝(x＋82)m.在Rt△ABC中，tan∠BCA＝eq\f(AB,AC)，∴AB＝AC·tan∠BCA＝2.5(x＋82)．在Rt△ABD中，tan∠BDA＝eq\f(AB,AD)，∴AB＝AD·tan∠BDA＝4x，∴2.5(x＋82)＝4x，解得x＝eq\f(410,3).∴AB＝4x＝4×eq\f(410,3)≈546.7m.所以，AB的長(zhǎng)約為546.7m.方法總結(jié)：解題的關(guān)鍵在于構(gòu)造出直角三角形，通過(guò)測(cè)量角的度數(shù)和測(cè)量邊的長(zhǎng)度，計(jì)算出所要求的物體的高度或?qū)挾龋兪接?xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第5題【類型四】仰角、俯角和坡度的綜合應(yīng)用如圖，小麗假期在娛樂場(chǎng)游玩時(shí)，想要利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)測(cè)量某個(gè)娛樂場(chǎng)地所在山坡AE的長(zhǎng)度．她先在山腳下點(diǎn)E處測(cè)得山頂A的仰角是30°，然后，她沿著坡度是i＝1∶1(即tan∠CED＝1)的斜坡步行15分鐘抵達(dá)C處，此時(shí)，測(cè)得A點(diǎn)的俯角是15°.已知小麗的步行速度是18米/分，圖中點(diǎn)A、B、E、D、C在同一平面內(nèi)，且點(diǎn)D、E、B在同一水平直線上．求出娛樂場(chǎng)地所在山坡AE的長(zhǎng)度(參考數(shù)據(jù)：eq\r(2)≈1.41，結(jié)果精確到0.1米)．解析：作輔助線EF⊥AC于點(diǎn)F，根據(jù)速度乘以時(shí)間得出CE的長(zhǎng)度，通過(guò)坡度得到∠ECF＝30°，通過(guò)平角減去其他角從而得到∠AEF＝45°，即可求出AE的長(zhǎng)度．解：作EF⊥AC于點(diǎn)F，根據(jù)題意，得CE＝18×15＝270(米)．∵tan∠CED＝1，∴∠CED＝∠DCE＝45°.∵∠ECF＝90°－45°－15°＝30°，∴EF＝eq\f(1,2)CE＝135米．∵∠CEF＝60°，∠AEB＝30°，∴∠AEF＝180°－45°－60°－30°＝45°，∴AE＝eq\r(2)EF＝135eq\r(2)≈190.4(米)．所以，娛樂場(chǎng)地所在山坡AE的長(zhǎng)度約為190.4米．方法總結(jié)：解決本題的關(guān)鍵是能借助仰角、俯角和坡度構(gòu)造直角三角形，并結(jié)合圖形利用三角函數(shù)解直角三角形．三、板書設(shè)計(jì)三角函數(shù)的應(yīng)用1．方向角的概念2．三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用本節(jié)課盡可能站在學(xué)生的角度上思考問(wèn)題，設(shè)計(jì)好教學(xué)的每一個(gè)細(xì)節(jié)，上課前多揣摩．讓學(xué)生更多地參與到課堂的教學(xué)過(guò)程中，讓學(xué)生體驗(yàn)思考的過(guò)程，體驗(yàn)成功的喜悅和失敗的挫折，把課堂讓給學(xué)生，讓學(xué)生做課堂這個(gè)小小舞臺(tái)的主角．教師盡最大可能在課堂上投入更多的情感因素，豐富課堂語(yǔ)言，使課堂更加鮮活，充滿人性魅力，下課后多反思，做好反饋工作，不斷總結(jié)得失，不斷進(jìn)步．只有這樣，才能真正提高課堂教學(xué)效率.1.6利用三角函數(shù)測(cè)高1．經(jīng)歷運(yùn)用儀器進(jìn)行實(shí)地測(cè)量以及撰寫活動(dòng)報(bào)告的過(guò)程，能夠?qū)λ玫降臄?shù)據(jù)進(jìn)行分析；(重點(diǎn))2．能綜合應(yīng)用直角三角形的邊角關(guān)系的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題．(難點(diǎn))一、情境導(dǎo)入如圖所示，站在離旗桿BE底部10米處的D點(diǎn)，目測(cè)旗桿的頂部，視線AB與水平線的夾角∠BAC為34°，并已知目高AD為1.5米．現(xiàn)在若按1∶500的比例將△ABC畫在紙上，并記為△A′B′C′，用刻度直尺量出紙上B′C′的長(zhǎng)度，便可以算出旗桿的實(shí)際高度．你知道計(jì)算的方法嗎？實(shí)際上，我們利用圖①中已知的數(shù)據(jù)就可以直接計(jì)算旗桿的高度，而這一問(wèn)題的解決將涉及直角三角形中的邊角關(guān)系．我們已經(jīng)知道直角三角形的三條邊所滿足的關(guān)系(即勾股定理)，那么它的邊與角又有什么關(guān)系？這就是本節(jié)要探究的內(nèi)容．二、合作探究探究點(diǎn)：利用三角函數(shù)測(cè)高【類型一】測(cè)量底部可以到達(dá)的物體的高度如圖，在一次測(cè)量活動(dòng)中，小華站在離旗桿底部B處6米的D處，仰望旗桿頂端A，測(cè)得仰角為60°，眼睛離地面的距離ED為1.5米．試幫助小華求出旗桿AB的高度(結(jié)果精確到0.1米，eq\r(3)≈1.732)．解析：由題意可得四邊形BCED是矩形，所以BC＝DE，然后在Rt△ACE中，根據(jù)tan∠AEC＝eq\f(AC,EC)，即可求出AC的長(zhǎng)．解：∵BD＝CE＝6m，∠AEC＝60°，∴AC＝CE·tan60°＝6×eq\r(3)≈6×1.732≈10.4(米)，∴AB＝AC＋DE＝10.4＋1.5＝11.9(米)．所以，旗桿AB的高度約為11.9米．方法總結(jié)：本題借助仰角構(gòu)造直角三角形，并結(jié)合圖形利用三角函數(shù)解直角三角形，解題的關(guān)鍵是從實(shí)際問(wèn)題中整理出直角三角形并選擇合適的邊角關(guān)系解題．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第5題【類型二】測(cè)量底部不可到達(dá)的物體的高度如圖，放置在水平桌面上的臺(tái)燈的燈臂AB長(zhǎng)為30cm，燈罩BC長(zhǎng)為20cm，底座厚度為2cm，燈臂與底座構(gòu)成的∠BAD＝60°.使用發(fā)現(xiàn)，光線最佳時(shí)燈罩BC與水平線所成的角為30°，此時(shí)燈罩頂端C到桌面的高度CE是多少厘米(結(jié)果精確到0.1cm，參考數(shù)據(jù)：eq\r(3)≈1.732)?解析：首先過(guò)點(diǎn)B作BF⊥CD于點(diǎn)F，作BG⊥AD于點(diǎn)G，進(jìn)而求出FC的長(zhǎng)，再求出BG的長(zhǎng)，即可得出答案．解：過(guò)點(diǎn)B作BF⊥CD于點(diǎn)F，作BG⊥AD于點(diǎn)G.∴四邊形BFDG矩形，∴BG＝FD.在Rt△BCF中，∠CBF＝30°，∴CF＝BC·sin30°＝20×eq\f(1,2)＝10(cm)．在Rt△ABG中，∠BAG＝60°，∴BG＝AB·sin60°＝30×eq\f(\r(3),2)＝15eq\r(3)(cm)．∴CE＝CF＋FD＋DE＝10＋15eq\r(3)＋2＝12＋15eq\r(3)≈37.98≈38.0(cm)．所以，此時(shí)燈罩頂端C到桌面的高度CE約是38.0cm.方法總結(jié)：將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題，畫出平面圖形，構(gòu)造出直角三角形，轉(zhuǎn)化為解直角三角形問(wèn)題．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第8題【類型三】利用三角板測(cè)量物體的高度如圖，在活動(dòng)課上，小明和小紅合作用一副三角板來(lái)測(cè)量學(xué)校旗桿高度．已知小明的眼睛與地面的距離AB是1.7m，他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使得三角板的一條直角邊保持水平，且斜邊與旗桿頂端M在同一條直線上，測(cè)得旗桿頂端M仰角為45°；小紅眼睛與地面的距離CD是1.5m，用同樣的方法測(cè)得旗桿頂端M的仰角為30°.兩人相距28米且位于旗桿兩側(cè)(點(diǎn)B、N、D在同一條直線上)．求出旗桿MN的高度(參考數(shù)據(jù)：eq\r(3)≈1.7，結(jié)果保留整數(shù))．解析：過(guò)點(diǎn)A作AE⊥MN于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥MN于點(diǎn)F，由△AEM是等腰直角三角形得出AE＝ME，設(shè)AE＝ME＝xm，根據(jù)三角函數(shù)列方程求出x的值即可求解．解：過(guò)點(diǎn)A作AE⊥MN于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥MN于點(diǎn)F，則EF＝AB－CD＝1.7－1.5＝0.2(m)，在Rt△AEM中，∵∠AEM＝90°，∠MAE＝45°，∴AE＝ME.設(shè)AE＝ME＝xm，則MF＝(x＋0.2)m，F(xiàn)C＝(28－x)m.在Rt△MFC中，∵∠MFC＝90°，∠MCF＝30°，∴MF＝CF·tan∠MCF，∴x＋0.2＝eq\f(\r(3),3)(28－x)，解得x≈10.1，∴MN＝ME＋EN＝10.1＋1.7≈12(米)．所以，旗桿MN的高度約為12米．方法總結(jié)：解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作出輔助線構(gòu)造直角三角形，設(shè)出未知數(shù)列出方程．三、板書設(shè)計(jì)利用三角函數(shù)測(cè)高1．測(cè)量底部可以到達(dá)的物體的高度2．測(cè)量底部不可到達(dá)的物體的高度3．利用三角板測(cè)量物體的高度本節(jié)課為了充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，學(xué)生通過(guò)小組討論，大膽地發(fā)表意見，提高了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣．能夠使學(xué)生自己構(gòu)造實(shí)際問(wèn)題中的直角三角形，并通過(guò)解直角三角形解決實(shí)際問(wèn)題，這本身是一個(gè)質(zhì)的飛躍．在教學(xué)過(guò)程中，注重引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用方程思想解決實(shí)際問(wèn)題，數(shù)學(xué)思想方法的滲透使學(xué)生的能力發(fā)展先于知識(shí)能力，從而促進(jìn)學(xué)生知識(shí)能力的提高.2.1二次函數(shù)1．理解、掌握二次函數(shù)的概念和一般形式；(重點(diǎn))2．會(huì)利用二次函數(shù)的概念解決問(wèn)題；(重點(diǎn))3．列二次函數(shù)表達(dá)式解決實(shí)際問(wèn)題．(難點(diǎn))一、情境導(dǎo)入已知長(zhǎng)方形窗戶的周長(zhǎng)為6m，窗戶面積為ym2，窗戶寬為xm，你能寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式嗎？它是什么函數(shù)呢？二、合作探究探究點(diǎn)一：二次函數(shù)的概念【類型一】二次函數(shù)的識(shí)別下列函數(shù)中是二次函數(shù)的有()①y＝x＋eq\f(1,x)；②y＝3(x－1)2＋2；③y＝(x＋3)2－2x2；④y＝eq\f(1,x2)＋x.A．4個(gè)B．3個(gè)C．2個(gè)D．1個(gè)解析：①y＝x＋eq\f(1,x)，④y＝eq\f(1,x2)＋x的右邊不是整式，故①④不是二次函數(shù)；②y＝3(x－1)2＋2，符合二次函數(shù)的定義；③y＝(x＋3)2－2x2＝－x2＋6x＋9，符合二次函數(shù)的定義．故選C.方法總結(jié)：判定一個(gè)函數(shù)是否是二次函數(shù)常有三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)：①所表示的函數(shù)關(guān)系式為整式；②所表示的函數(shù)關(guān)系式有唯一的自變量；③所含自變量的關(guān)系式最高次數(shù)為2，且函數(shù)關(guān)系式中二次項(xiàng)系數(shù)不等于0.變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第1題【類型二】利用二次函數(shù)的概念求字母的值當(dāng)k為何值時(shí)，函數(shù)y＝(k－1)xk2＋k＋1為二次函數(shù)？解析：根據(jù)二次函數(shù)的概念，可得k2＋k＝2且同時(shí)滿足k－1≠0即可解答．解：∵函數(shù)y＝(k－1)xk2＋k＋1為二次函數(shù)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k2＋k＝2，,k－1≠0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝1或－2，,k≠1，))∴k＝－2.方法總結(jié)：解答本題要考慮兩方面：一是x的指數(shù)等于2；二是二次項(xiàng)系數(shù)不等于0.變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第2題【類型三】二次函數(shù)相關(guān)量的計(jì)算已知二次函數(shù)y＝－x2＋bx＋3，當(dāng)x＝2時(shí)，y＝3.則x＝1時(shí)，y＝________．解析：∵二次函數(shù)y＝－x2＋bx＋3，當(dāng)x＝2時(shí)，y＝3，∴3＝－22＋2b＋3，解得b＝2.∴這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式是y＝－x2＋2x＋3.將x＝1代入得y＝4.故答案為4.方法總結(jié)：解題的關(guān)鍵是先確定解析式，再代入求值．【類型四】二次函數(shù)與一次函數(shù)的關(guān)系已知函數(shù)y＝(m2－m)x2＋(m－1)x＋m＋1.(1)若這個(gè)函數(shù)是一次函數(shù)，求m的值；(2)若這個(gè)函數(shù)是二次函數(shù)，則m的值應(yīng)怎樣？解析：根據(jù)二次函數(shù)與一次函數(shù)的定義解答．解：(1)根據(jù)一次函數(shù)的定義，得m2－m＝0，解得m＝0或m＝1.又∵m－1≠0，即m≠1，∴當(dāng)m＝0時(shí)，這個(gè)函數(shù)是一次函數(shù)；(2)根據(jù)二次函數(shù)的定義，得m2－m≠0，解得m≠0或m≠1，∴當(dāng)m≠0或m≠1時(shí)，這個(gè)函數(shù)是二次函數(shù)．方法總結(jié)：熟記二次函數(shù)與一次函數(shù)的定義，另外要注意二次函數(shù)的二次項(xiàng)的系數(shù)不等于零．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第5題探究點(diǎn)二：從實(shí)際問(wèn)題中抽象出二次函數(shù)解析式【類型一】從幾何圖形中抽象出二次函數(shù)解析式如圖，用一段長(zhǎng)為30米的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻(墻的長(zhǎng)度不限)的矩形菜園ABCD，設(shè)AB邊長(zhǎng)為x米，則菜園的面積y(單位：米2)與x(單位：米)的函數(shù)關(guān)系式為多少？解析：根據(jù)已知由AB邊長(zhǎng)為x米可以推出BC＝eq\f(1,2)(30－x)，然后根據(jù)矩形的面積公式即可求出函數(shù)關(guān)系式．解：∵AB邊長(zhǎng)為x米，而菜園ABCD是矩形菜園，∴BC＝eq\f(1,2)(30－x)，∴菜園的面積＝AB×BC＝eq\f(1,2)(30－x)·x，則菜園的面積y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝－eq\f(1,2)x2＋15x.方法總結(jié)：函數(shù)與幾何知識(shí)的綜合問(wèn)題，關(guān)鍵是掌握數(shù)與形的轉(zhuǎn)化．有些題目是以幾何知識(shí)為背景，從幾何圖形中建立函數(shù)關(guān)系，關(guān)鍵是運(yùn)用幾何知識(shí)建立量與量的等式．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第10題【類型二】從生活實(shí)際中抽象出二次函數(shù)解析式某工廠生產(chǎn)的某種產(chǎn)品按質(zhì)量分為10個(gè)檔次，第1檔次(最低檔次)的產(chǎn)品一天能生產(chǎn)95件，每件利潤(rùn)6元．每提高一個(gè)檔次，每件利潤(rùn)增加2元，但一天產(chǎn)量減少5件．(1)若生產(chǎn)第x檔次的產(chǎn)品一天的總利潤(rùn)為y元(其中x為正整數(shù)，且1≤x≤10)，求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)若生產(chǎn)第x檔次的產(chǎn)品一天的總利潤(rùn)為1120元，求該產(chǎn)品的質(zhì)量檔次．解析：(1)每件的利潤(rùn)為6＋2(x－1)，生產(chǎn)件數(shù)為95－5(x－1)，則y＝[6＋2(x－1)][95－5(x－1)]；(2)由題意可令y＝1120，求出x的實(shí)際值即可．解：(1)∵第一檔次的產(chǎn)品一天能生產(chǎn)95件，每件利潤(rùn)6元，每提高一個(gè)檔次，每件利潤(rùn)加2元，但一天產(chǎn)量減少5件，∴第x檔次，提高的檔次是(x－1)檔，利潤(rùn)增加了2(x－1)元．∴y＝[6＋2(x－1)][95－5(x－1)]，即y＝－10x2＋180x＋400(其中x是正整數(shù)，且1≤x≤10)；(2)由題意可得－10x2＋180x＋400＝1120，整理得x2－18x＋72＝0，解得x1＝6，x2＝12(舍去)．所以，該產(chǎn)品的質(zhì)量檔次為第6檔．方法總結(jié)：解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是要吃透題意，確定變量，建立函數(shù)模型．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第8題三、板書設(shè)計(jì)二次函數(shù)1．二次函數(shù)的概念2．從實(shí)際問(wèn)題中抽象出二次函數(shù)解析式二次函數(shù)是一種常見的函數(shù)，應(yīng)用非常廣泛，它是客觀地反映現(xiàn)實(shí)世界中變量之間的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律的一種非常重要的數(shù)學(xué)模型．許多實(shí)際問(wèn)題往往可以歸結(jié)為二次函數(shù)加以研究．本節(jié)課是學(xué)習(xí)二次函數(shù)的第一節(jié)課，通過(guò)實(shí)例引入二次函數(shù)的概念，并學(xué)習(xí)求一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題中二次函數(shù)的解析式．在教學(xué)中要重視二次函數(shù)概念的形成和建構(gòu)，在概念的學(xué)習(xí)過(guò)程中，讓學(xué)生體驗(yàn)從問(wèn)題出發(fā)到列二次函數(shù)解析式的過(guò)程，體驗(yàn)用函數(shù)思想去描述、研究變量之間變化規(guī)律的意義.2.2二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)第1課時(shí)二次函數(shù)y=x2和y=-x2的圖象與性質(zhì)1．會(huì)用描點(diǎn)法畫出形如y＝x2和y＝－x2的二次函數(shù)圖象，理解拋物線的概念；(重點(diǎn))2．通過(guò)觀察圖象能說(shuō)出二次函數(shù)y＝x2和y＝－x2的圖象特征和性質(zhì)，并會(huì)應(yīng)用．(難點(diǎn))一、情境導(dǎo)入學(xué)生觀看圖片雨后天空的彩虹、河上架起的拱橋等都會(huì)形成一條曲線．問(wèn)題1：這些曲線能否用函數(shù)關(guān)系式表示？問(wèn)題2：如何畫出這樣的函數(shù)圖象？二、合作探究探究點(diǎn)：二次函數(shù)y＝x2和y＝－x2的圖象與性質(zhì)【類型一】二次函數(shù)y＝x2和y＝－x2的圖象的畫法及特點(diǎn)在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出下列函數(shù)的圖象：(1)y＝x2；(2)y＝－x2.根據(jù)圖象分別說(shuō)出拋物線(1)(2)的對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、開口方向及最高(低)點(diǎn)坐標(biāo)．解析：利用列表、描點(diǎn)、連線的方法作出兩個(gè)函數(shù)的圖象即可．解：列表如下：xy)－2－1012y＝x241014y＝－x2－4－10－1－4描點(diǎn)、連線可得圖象如下：(1)拋物線y＝x2的對(duì)稱軸為y軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0，0)，開口方向向上，最低點(diǎn)坐標(biāo)為(0，0)；(2)拋物線y＝－x2的對(duì)稱軸為y軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0，0)，開口方向向下，最高點(diǎn)坐標(biāo)為(0，0)．方法總結(jié)：畫拋物線y＝x2和y＝－x2的圖象時(shí)，還可以根據(jù)它的對(duì)稱性，先用描點(diǎn)法描出拋物線的一側(cè)，再利用對(duì)稱性畫另一側(cè)．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第3題【類型二】二次函數(shù)y＝x2和y＝－x2的圖象的增減性二次函數(shù)y＝(m＋1)x2的圖象過(guò)點(diǎn)(－2，4)，則m＝________，這個(gè)二次函數(shù)的解析式為________，當(dāng)x<0，y隨x的增大而________(填“增大”或“減小”)；當(dāng)x>0，y隨x的增大而________(填“增大”或“減小”)．解析：將點(diǎn)(－2，4)代入y＝(m＋1)x2中得出m＝0.所以二次函數(shù)解析式為y＝x2.故當(dāng)x<0時(shí)，y隨x的增大而減??；當(dāng)x>0時(shí)，y隨x的增大而增大．故答案分別為0；y＝x2；減??；增大．方法總結(jié)：此類題的關(guān)鍵在于確定用二次函數(shù)的解析式，根據(jù)圖象性質(zhì)分析函數(shù)值的增減性得出答案．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第10題【類型三】二次函數(shù)y＝x2與一次函數(shù)的綜合已知：如圖，直線y＝3x＋4與拋物線y＝x2交于A、B兩點(diǎn)，求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出兩交點(diǎn)與原點(diǎn)所圍成的三角形的面積．解析：聯(lián)立兩解析式構(gòu)成方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝3x＋4，,y＝x2，))方程組的解即為交點(diǎn)坐標(biāo)．解：由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝3x＋4，,y＝x2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝16))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝1.))所以直線y＝3x＋4與拋物線y＝x2的交點(diǎn)坐標(biāo)為A(4，16)和B(－1，1)．如圖，連接AO、BO.∵直線y＝3x＋4與y軸相交于點(diǎn)C(0，4)，∴CO＝4.∴S△ACO＝eq\f(1,2)·CO·4＝8，S△BOC＝eq\f(1,2)×4×1＝2，∴S△ABO＝S△ACO＋S△BOC＝10.方法總結(jié)：解本題的關(guān)鍵是求直線和拋物線的交點(diǎn)，可聯(lián)立方程求解．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第8題三、板書設(shè)計(jì)二次函數(shù)y＝x2和y＝－x2的圖象與性質(zhì)1．二次函數(shù)y＝x2和y＝－x2的圖象的畫法及特點(diǎn)2．二次函數(shù)y＝x2和y＝－x2的圖象的性質(zhì)3．二次函數(shù)y＝x2和y＝－x2的應(yīng)用在教學(xué)中主要采用了體驗(yàn)探究的教學(xué)方式，在教師的配合引導(dǎo)下，讓學(xué)生自己動(dòng)手作圖，觀察、歸納出二次函數(shù)的性質(zhì)，體驗(yàn)知識(shí)的形成過(guò)程，力求體現(xiàn)“主體參與、自主探索、合作交流、指導(dǎo)引探”的教學(xué)理念.2.2二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)第2課時(shí)二次函數(shù)y=ax2和y=ax2+c的圖象與性質(zhì)1．能畫出二次函數(shù)y＝ax2和y＝ax2＋c(a≠0)的圖象；(重點(diǎn))2．掌握二次函數(shù)y＝ax2與y＝ax2＋c(a≠0)圖象之間的聯(lián)系；(重點(diǎn))3．能靈活運(yùn)用二次函數(shù)y＝ax2和y＝ax2＋c(a≠0)的知識(shí)解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題．(難點(diǎn))一、情境導(dǎo)入在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)y＝2x2與y＝2x2＋2的圖象．觀察這兩個(gè)函數(shù)圖象，它們的開口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)有哪些相同和不同之處？你能由此說(shuō)出函數(shù)y＝2x2與y＝2x2＋2的圖象之間的關(guān)系嗎？本節(jié)就探討二次函數(shù)y＝ax2和y＝ax2＋c的圖象與性質(zhì)．二、合作探究探究點(diǎn)一：二次函數(shù)y＝ax2的圖象與性質(zhì)關(guān)于二次函數(shù)y＝2x2，下列說(shuō)法中正確的是()A．它的開口方向是向下B．當(dāng)x<0時(shí)，y隨x的增大而減小C．它的對(duì)稱軸是x＝2D．當(dāng)x＝0時(shí)，y有最大值是0解析：∵二次函數(shù)y＝2x2中，a＝2＞0，∴此拋物線開口向上，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；∵拋物線y＝2x2的對(duì)稱軸為y軸，當(dāng)x＜0時(shí)，函數(shù)圖象在對(duì)稱軸左側(cè)，y隨x的增大而減小，B選項(xiàng)正確，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；∵拋物線開口向上，∴此函數(shù)有最小值，D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選B.方法總結(jié)：解答本題的關(guān)鍵是結(jié)合圖象熟記二次函數(shù)y＝ax2的性質(zhì)．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第3題探究點(diǎn)二：二次函數(shù)y＝ax2＋c的圖象與性質(zhì)【類型一】二次函數(shù)y＝ax2＋c的圖象與y＝ax2的圖象的關(guān)系二次函數(shù)y＝－3x2＋1的圖象是將()A．拋物線y＝－3x2向左平移3個(gè)單位得到B．拋物線y＝－3x2向左平移1個(gè)單位得到C．拋物線y＝3x2向上平移1個(gè)單位得到D．拋物線y＝－3x2向上平移1個(gè)單位得到解析：二次函數(shù)y＝－3x2＋1的圖象是將拋物線y＝－3x2向上平移1個(gè)單位得到的．故選D.方法總結(jié)：熟記二次函數(shù)y＝ax2(a≠0)圖象平移得到y(tǒng)＝ax2＋c圖象的規(guī)律：“上加下減”．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第5題【類型二】在同一坐標(biāo)系中判斷二次函數(shù)和一次函數(shù)的圖象在同一直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝ax＋c和二次函數(shù)y＝ax2＋c的圖象大致為()解析：∵一次函數(shù)和二次函數(shù)都經(jīng)過(guò)y軸上的點(diǎn)(0，c)，∴兩個(gè)函數(shù)圖象交于y軸上的同一點(diǎn)，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)a＞0時(shí)，二次函數(shù)的圖象開口向上，一次函數(shù)的圖象從左向右上升，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)a＜0時(shí)，二次函數(shù)的圖象開口向下，一次函數(shù)的圖象從左向右下降，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤，D選項(xiàng)正確．故選D.方法總結(jié)：熟記一次函數(shù)y＝kx＋b在不同情況下所在的象限，以及熟練掌握二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)(開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)等)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第4題【類型三】二次函數(shù)y＝ax2＋c的圖象與三角形的綜合如圖，拋物線y＝x2－4與x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，且S△PAB＝4，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．解析：令拋物線解析式中y＝0求出x的值，確定出A點(diǎn)與B點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出線段AB的長(zhǎng)，△ABP可看作是以AB為底，P點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值為高的三角形，根據(jù)已知面積求出高即為P點(diǎn)縱坐標(biāo)的絕對(duì)值，代入解析式求出對(duì)應(yīng)x的值，即可確定出P點(diǎn)坐標(biāo)．解：拋物線y＝x2－4，令y＝0，得到x＝2或－2，即A點(diǎn)的坐標(biāo)為(－2，0)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為(2，0)，∴AB＝4.∵S△PAB＝4，設(shè)P點(diǎn)縱坐標(biāo)為b，∴eq\f(1,2)×4|b|＝4，∴|b|＝2，即b＝2或－2.當(dāng)b＝2時(shí)，x2－4＝2，解得x＝±eq\r(6)，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(eq\r(6)，2)，(－eq\r(6)，2)；當(dāng)b＝－2時(shí)，x2－4＝－2，解得x＝±eq\r(2)，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(eq\r(2)，2)，(－eq\r(2)，2)．綜上所述，P點(diǎn)的坐標(biāo)為(eq\r(6)，2)或(－eq\r(6)，2)或(eq\r(2)，2)或(－eq\r(2)，2)．方法總結(jié)：解決本題的關(guān)鍵是會(huì)求二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)以及掌握坐標(biāo)系中三角形面積的求法．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第11題三、板書設(shè)計(jì)二次函數(shù)y＝ax2和y＝ax2＋c的圖象與性質(zhì)1．二次函數(shù)y＝ax2的圖象與性質(zhì)2．二次函數(shù)y＝ax2＋c的圖象與性質(zhì)3．二次函數(shù)y＝ax2和y＝ax2＋c的應(yīng)用本節(jié)課的設(shè)計(jì)重視學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程，采取數(shù)學(xué)歸納的方式，使學(xué)生有機(jī)會(huì)回憶親身體驗(yàn)，親歷知識(shí)的自主建構(gòu)過(guò)程，使學(xué)生學(xué)會(huì)從具體情境中提取概念，并作更深層次的數(shù)學(xué)概括與抽象，從而學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思考方式．注重創(chuàng)設(shè)機(jī)會(huì)，使學(xué)生有機(jī)會(huì)看到數(shù)學(xué)的全貌，體會(huì)數(shù)學(xué)的全過(guò)程．整堂課的設(shè)計(jì)圍繞研究函數(shù)的圖象及性質(zhì)展開，以問(wèn)題：“函數(shù)的性質(zhì)有哪些？”為主線，通過(guò)對(duì)性質(zhì)的探討讓學(xué)生清楚研究函數(shù)的必要性，明確學(xué)習(xí)目標(biāo)，又讓學(xué)生學(xué)會(huì)如何應(yīng)用性質(zhì)解決問(wèn)題，體會(huì)知識(shí)的價(jià)值，增強(qiáng)求知欲.2.2二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)第3課時(shí)二次函數(shù)y=a(x-h)2的圖象與性質(zhì)1．掌握二次函數(shù)y＝ax2與y＝a(x－h(huán))2(a≠0)圖象之間的聯(lián)系；(重點(diǎn))2．能靈活運(yùn)用二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2(a≠0)的知識(shí)解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題．(難點(diǎn))一、情境導(dǎo)入二次函數(shù)y＝ax2＋c(a≠0)的圖象可以由y＝ax2(a≠0)的圖象平移得到：當(dāng)c>0時(shí)，向上平移c個(gè)單位長(zhǎng)度；當(dāng)c<0時(shí)，向下平移－c個(gè)單位長(zhǎng)度．問(wèn)題：函數(shù)y＝(x－2)2的圖象，能否也可以由函數(shù)y＝x2平移得到？本節(jié)課我們就一起討論．二、合作探究探究點(diǎn)：二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2的圖象與性質(zhì)【類型一】二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2的圖象頂點(diǎn)為(－2，0)，開口方向、形狀與函數(shù)y＝－eq\f(1,2)x2的圖象相同的拋物線的解析式為()A．y＝eq\f(1,2)(x－2)2B．y＝eq\f(1,2)(x＋2)2C．y＝－eq\f(1,2)(x＋2)2D．y＝－eq\f(1,2)(x－2)2解析：因?yàn)閽佄锞€的頂點(diǎn)在x軸上，所以可設(shè)該拋物線的解析式為y＝a(x－h(huán))2(a≠0)，而二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2(a≠0)與y＝－eq\f(1,2)x2的圖象相同，所以a＝－eq\f(1,2)，而拋物線的頂點(diǎn)為(－2，0)，所以h＝2，把a(bǔ)＝－eq\f(1,2)，h＝2代入y＝a(x－h(huán))2得y＝－eq\f(1,2)(x＋2)2.故選C.方法總結(jié)：決定拋物線形狀的是二次項(xiàng)的系數(shù)，二次項(xiàng)系數(shù)相同的拋物線的形狀完全相同．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第5題【類型二】二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2的性質(zhì)若拋物線y＝3(x＋eq\r(2))2的圖象上的三個(gè)點(diǎn)，A(－3eq\r(2)，y1)，B(－1，y2)，C(0，y3)，則y1，y2，y3的大小關(guān)系為________________．解析：∵拋物線y＝3(x＋eq\r(2))2的對(duì)稱軸為x＝－eq\r(2)，a＝3＞0，∴x＜－eq\r(2)時(shí)，y隨x的增大而減?。粁＞－eq\r(2)時(shí)，y隨x的增大而增大．∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－3eq\r(2)，y1)，∴點(diǎn)A在拋物線上的對(duì)稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)為(eq\r(2)，y1)．∵－1＜0＜eq\r(2)，∴y2＜y3＜y1.故答案為y2＜y3＜y1.方法總結(jié)：函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足解析式，即點(diǎn)在拋物線上．解決本題可采用代入求值方法，也可以利用二次函數(shù)的增減性解決．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第4題【類型三】二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2的圖象與y＝ax2的圖象的關(guān)系將二次函數(shù)y＝－2x2的圖象平移后，可得到二次函數(shù)y＝－2(x＋1)2的圖象，平移的方法是()A．向上平移1個(gè)單位B．向下平移1個(gè)單位C．向左平移1個(gè)單位D．向右平移1個(gè)單位解析：拋物線y＝－2x2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(0，0)，拋物線y＝－2(x＋1)2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(－1，0)．則由二次函數(shù)y＝－2x2的圖象向左平移1個(gè)單位即可得到二次函數(shù)y＝－2(x＋1)2的圖象．故選C.方法總結(jié)：解決本題要熟練掌握二次函數(shù)的平移規(guī)律．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第6題【類型四】二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2與三角形的綜合如圖，已知拋物線y＝(x－2)2的頂點(diǎn)為C，直線y＝2x＋4與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，試求S△ABC.解析：根據(jù)拋物線的解析式，易求得點(diǎn)C的坐標(biāo)；聯(lián)立兩函數(shù)的解析式，可求得A、B的坐標(biāo)．畫出草圖后，發(fā)現(xiàn)△ABC的面積無(wú)法直接求出，因此可將其轉(zhuǎn)換為其他規(guī)則圖形的面積求解．解：拋物線y＝(x－2)2的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2，0)，聯(lián)立兩函數(shù)的解析式，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝2x＋4，,y＝（x－2）2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝0，,y1＝4，))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＝6，,y2＝16.))所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為(6，16)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0，4)．如圖，過(guò)A作AD⊥x軸，垂足為D，則S△ABC＝S梯形ABOD－S△ACD－S△BOC＝eq\f(1,2)(OB＋AD)·OD－eq\f(1,2)OC·OB－eq\f(1,2)CD·AD＝eq\f(1,2)(4＋16)×6－eq\f(1,2)×2×4－eq\f(1,2)×4×16＝24.方法總結(jié)：解決本題要明確以下兩點(diǎn)：(1)函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)為兩函數(shù)解析式組成的方程組的解；(2)不規(guī)則圖形的面積通常轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積的和差．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第10題【類型五】二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2的探究性問(wèn)題某拋物線是由拋物線y＝－2x2向左平移2個(gè)單位得到．(1)求拋物線的解析式，并畫出此拋物線的大致圖象；(2)設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為A，與y軸的交點(diǎn)為B.①求線段AB的長(zhǎng)及直線AB的解析式；②在此拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)C，使△ABC為等腰三角形？若存在，求出這樣的點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解析：(1)拋物線y＝－2x2向左平移2個(gè)單位所得的拋物線的解析式是y＝－2(x＋2)2；(2)①根據(jù)(1)得出的拋物線的解析式，即可得出其頂點(diǎn)A和B點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)即可求出直線AB的解析式；②本題要分三種情況進(jìn)行討論解答．解：(1)y＝－2(x＋2)2，圖略；(2)①根據(jù)(1)得出的拋物線的解析式y(tǒng)＝－2(x＋2)2，可得A點(diǎn)的坐標(biāo)為(－2，0)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，－8)．因此在Rt△ABO中，根據(jù)勾股定理可得AB＝2eq\r(17).設(shè)直線AB的解析式為y＝kx－8，已知直線AB過(guò)A點(diǎn)，則有0＝－2k－8，k＝－4，因此直線AB的解析式為y＝－4x－8；②本題要分三種情況進(jìn)行討論：當(dāng)AB＝AC時(shí)，此時(shí)C點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值即為AB的長(zhǎng)，因此C點(diǎn)的坐標(biāo)為C1(－2，2eq\r(17))，C2(－2，－2eq\r(17))；當(dāng)AB＝BC時(shí)，B點(diǎn)位于AC的垂直平分線上，所以C點(diǎn)的縱坐標(biāo)為B點(diǎn)的縱坐標(biāo)的2倍，因此C點(diǎn)的坐標(biāo)為C3(－2，－16)；當(dāng)AC＝BC時(shí)，此時(shí)C為AB垂直平分線與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)．過(guò)B作BD垂直于拋物線的對(duì)稱軸于D，那么在直角三角形BDC中，BD＝2(A點(diǎn)橫坐標(biāo)的絕對(duì)值)，CD＝8－AC，而BC＝AC，由此可根據(jù)勾股定理求出AC＝eq\f(17,4)，因此這個(gè)C點(diǎn)的坐標(biāo)為C4(－2，eq\f(17,4))．綜上所述，存在四個(gè)點(diǎn)，C1(－2，2eq\r(17))，C2(－2，－2eq\r(17))，C3(－2，－16)，C4(－2，－eq\f(17,4))．方法總結(jié)：本題主要考查了二次函數(shù)圖象的平移及等腰三角形的構(gòu)成情況，主要涉及分類討論、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第10題三、板書設(shè)計(jì)二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2的圖象與性質(zhì)1．二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2的圖象與性質(zhì)2．二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2的圖象與y＝ax2的圖象的關(guān)系3．二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2的圖象的應(yīng)用本節(jié)課采用啟發(fā)式、討論式結(jié)合的教學(xué)方法，以問(wèn)題的提出、問(wèn)題的解決為主線，倡導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與教學(xué)實(shí)踐活動(dòng)，以獨(dú)立思考和相互交流的形式，在教師的指導(dǎo)下發(fā)現(xiàn)、分析和解決問(wèn)題，在引導(dǎo)分析時(shí)，給學(xué)生留出足夠的思考時(shí)間和空間，讓學(xué)生去聯(lián)想、探索，從真正意義上完成對(duì)知識(shí)的自我建構(gòu).另外，在教學(xué)過(guò)程中，采用多媒體輔助教學(xué)，直觀呈現(xiàn)教學(xué)素材，從而更好地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增大教學(xué)容量，提高教學(xué)效率.2.2二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)第4課時(shí)二次函數(shù)y=a(x-h