2023一輪數(shù)學講義+題型細分與精練 95個專題 524個題型專題34 復數(shù)的概念-2023一輪數(shù)學講義+題型細分與精練（解析版）

專題34復數(shù)的概念題型一復數(shù)的概念及分類【例1】給出下列說法：①復數(shù)2＋3i的虛部是3i；②形如a＋bi(b∈R)的數(shù)一定是虛數(shù)；③若a∈R，a≠0，則(a＋3)i是純虛數(shù)；④若兩個復數(shù)能夠比較大小，則它們都是實數(shù)．其中錯誤說法的個數(shù)是()A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】復數(shù)2＋3i的虛部是3，①錯；形如a＋bi(b∈R)的數(shù)不一定是虛數(shù)，②錯；只有當a∈R，a＋3≠0時，(a＋3)i是純虛數(shù)，③錯；若兩個復數(shù)能夠比較大小，則它們都是實數(shù)，故④正確，所以有3個錯誤【變式1-1】給出下列三個命題：①若z∈C，則z2≥0；②2i－1的虛部是2i；③2i的實部是0.其中真命題的個數(shù)為()A．0B．1C．2D．3【答案】B【解析】對于①，當z∈R時，z2≥0成立，否則不成立，如z＝i，z2＝－1<0，所以①為假命題；對于②，2i－1＝－1＋2i，其虛部是2，不是2i，②為假命題；對于③，2i＝0＋2i，其實部是0，③為真命題．故選B.【變式1-2】若x、y∈R，則“x＝0”是“x＋yi為純虛數(shù)”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．不充分也不必要條件【答案】B【解析】當x＝0，y＝0時，x＋yi是實數(shù)．【變式1-3】實數(shù)x分別取什么值時，復數(shù)z＝eq\f(x2－x－6,x＋3)＋(x2－2x－15)i是：（1）實數(shù)？（2）虛數(shù)？（3）純虛數(shù)？【答案】（1）x＝5（2）x≠－3且x≠5（3）x＝－2或x＝3【解析】（1）當x滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x－15＝0，,x＋3≠0，))即x＝5時，z是實數(shù)．（2）當x滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x－15≠0，,x＋3≠0，))即x≠－3且x≠5時，z是虛數(shù)．（3）當x滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2－x－6,x＋3)＝0，,x2－2x－15≠0，,x＋3≠0，))即x＝－2或x＝3時，z是純虛數(shù)．【變式1-4】實數(shù)m取什么值時，復數(shù)lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i分別是：（1）純虛數(shù)；（2）實數(shù)．【答案】（1）m＝3（2）m＝－2或m＝－1【解析】（1）復數(shù)lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i為純虛數(shù)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－2m－2＝1，,m2＋3m＋2≠0，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝3或m＝－1，,m≠－2且m≠－1，))所以m＝3.即m＝3時，lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i為純虛數(shù)．（2）復數(shù)lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i為實數(shù)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－2m－2>0，①,m2＋3m＋2＝0，②))解②得m＝－2或m＝－1，代入①檢驗知滿足不等式，所以當m＝－2或m＝－1時，lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i為實數(shù)．【變式1-5】已知z1＝(－4a＋1)＋(2a2＋3a)i，z2＝2a＋(a2＋a)i，其中a∈R.若z1＞z2，則a的取值集合為________．【答案】{0}【解析】∵z1＞z2，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a2＋3a＝0，,a2＋a＝0，,－4a＋1＞2a，))∴a＝0，故所求a的取值集合為{0}．【變式1-6】復數(shù)z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)為實數(shù)的充要條件是()A．|a|＝|b|B．a(chǎn)＜0且a＝－bC．a(chǎn)＞0且a≠bD．a(chǎn)≤0【答案】D【解析】復數(shù)z為實數(shù)的充要條件是a＋|a|＝0，故a≤0.題型二復數(shù)相等【例2】已知x2－y2＋2xyi＝2i，求實數(shù)x，y的值.【答案】eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－1.))【解析】∵x2－y2＋2xyi＝2i，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－y2＝0，,2xy＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－1.))【變式2-1】若a，b∈R，i是虛數(shù)單位，a＋2017i＝2－bi，則a2＋bi＝()A．2017＋2iB．2017＋4iC．2＋2017iD．4－2017i【答案】D.【解析】因為a＋2017i＝2－bi，所以a＝2，－b＝2017，即a＝2，b＝－2017，所以a2＋bi＝4－2017i，故選D.【變式2-2】復數(shù)4－3a－a2i與復數(shù)a2＋4ai相等，則實數(shù)a的值為()A．1B．1或－4C．－4D．0或－4【答案】C【解析】驗證：當a＝0或1時，復數(shù)4－3a－a2i與復數(shù)a2＋4ai不相等，排除A、B、D.【變式2-3】已知eq\f(x2－x－6,x＋1)＋(x2－2x－3)i＝0(x∈R)，求x的值．【答案】x=3【解析】由復數(shù)相等的定義得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2－x－6,x＋1)＝0,x2－2x－3＝0))，解得x＝3.∴x＝3為所求．【變式2-4】若log2(x2－3x－2)＋ilog2(x2＋2x＋1)＝3，則實數(shù)x的值是__________．【答案】－2【解析】根據(jù)復數(shù)相等的充要條件，得log2x2?3x?1=3log2x2+2x+1=0，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－3x－2＝8,題型三復數(shù)方程有實根問題【例3】關于x的方程3x2－eq\f(a,2)x－1＝(10－x－2x2)i有實根，求實數(shù)a的值．【答案】a＝11或a＝－eq\f(71,5).【解析】設方程的實數(shù)根為x＝m，則3m2－eq\f(a,2)m－1＝(10－m－2m2)i，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3m2－\f(a,2)m－1＝0，,10－m－2m2＝0，))解得a＝11或a＝－eq\f(71,5).【變式3-1】已知關于x的方程x2＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0有實根，求這個實根以及實數(shù)k的值．【答案】eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝\r(2),k＝－2\r(2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝－\r(2),k＝2\r(2))).【解析】設x＝x0是方程的實根，代入方程并整理得(xeq\o\al(2,0)＋kx0＋2)＋(2x0＋k)i＝0.由復數(shù)相等的條件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\o\al(2,0)＋kx0＋2＝0,2x0＋k＝0))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝\r(2),k＝－2\r(2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝－\r(2),k＝2\r(2))).∴方程的實根為x＝eq\r(2)或x＝－eq\r(2)，相應的k的值為k＝－2eq\r(2)或k＝2eq\r(2).【變式3-2】已知方程有實根，且，則復數(shù)等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由是方程的根可得，整理可得：，所以，解得，所以，故選A.【變式3-3】已知關于的方程有實數(shù)解，則_______.【答案】2或3【解析】因為關于的方程有實數(shù)解，所以使得成立.或.【變式3-4】已知關于t的一元二次方程，當方程有實數(shù)根時，則實數(shù)t的取值范圍________.【答案】[?4，0]【解析】因為關于t的一元二次方程有實數(shù)根，得，由復數(shù)相等的充要條件可得：，消得，則所求點的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，直線與圓有公共點，則，解得，故答案為：.【變式3-5】已知關于x的方程x2＋(1－2i)x＋(3m－i)＝0有實數(shù)根，求實數(shù)m的值．【答案】m＝eq\f(1,12)【解析】設a是原方程的實根，則a2＋(1－2i)a＋(3m－i)＝0，即(a2＋a＋3m)－(2a＋1)i＝0，所以a2＋a＋3m＝0且2a＋1＝0，所以a＝－eq\f(1,2)且eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))2－eq\f(1,2)＋3m＝0，所以m＝eq\f(1,12).題型四復數(shù)與復平面內(nèi)點的對應【例4】實部為－2，虛部為1的復數(shù)所對應的點位于復平面的()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限【答案】B【解析】由題意可得復數(shù)z＝－2＋i，故在復平面內(nèi)對應的點為(－2，1)，在第二象限.【變式4-1】實數(shù)a取什么值時，復平面內(nèi)表示復數(shù)z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i的點（1）位于第二象限；（2）位于直線y＝x上？【答案】（1）(－2，1)（2）a=1【解析】根據(jù)復數(shù)的幾何意義可知，復平面內(nèi)表示復數(shù)z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i的點就是點Z(a2＋a－2，a2－3a＋2)．（1）由點Z位于第二象限得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋a－2<0，,a2－3a＋2>0，))解得－2<a<1.故滿足條件的實數(shù)a的取值范圍為(－2，1)．（2）由點Z位于直線y＝x上得a2＋a－2＝a2－3a＋2，解得a＝1.故滿足條件的實數(shù)a的值為1.【變式4-2】已知a、b∈R，那么在復平面內(nèi)對應于復數(shù)a－bi，－a－bi的兩個點的位置關系是()A．關于x軸對稱B．關于y軸對稱C．關于原點對稱D．關于直線y＝x對稱【答案】B【解析】在復平面內(nèi)對應于復數(shù)a－bi，－a－bi的兩個點為(a，－b)和(－a，－b)關于y軸對稱．【變式4-3】i為虛數(shù)單位，設復數(shù)z1、z2在復平面內(nèi)對應的點關于原點對稱，若z1＝2－3i，則z2＝_____..【答案】－2＋3i【解析】復數(shù)z1＝2－3i對應的點為P1(2，－3)，則復數(shù)z2對應的點為P2(－2，3)，故z2＝－2＋3i.【變式4-4】設(1＋i)sinθ－(1＋icosθ)對應的點在直線x＋y＋1＝0上，則tanθ的值為________．.【答案】eq\f(1,2)【解析】由題意，得sinθ－1＋sinθ－cosθ＋1＝0，∴tanθ＝eq\f(1,2).【變式4-5】設復數(shù)z＝a＋bi對應的點在虛軸右側(cè)，則()A．a(chǎn)＞0，b＞0B．a(chǎn)＞0，b＜0C．b＞0，a∈RD．a(chǎn)＞0，b∈R【答案】D【解析】復數(shù)對應的點在虛軸右側(cè)，則該復數(shù)的實部大于零，虛部可為任意實數(shù)．【變式4-6】求實數(shù)a分別取何值時，復數(shù)z＝eq\f(a2－a－6,a＋3)＋(a2－2a－15)i(a∈R)對應的點Z滿足下列條件：在復平面的第二象限內(nèi)；【答案】a＜－3.【解析】點Z在復平面的第二象限內(nèi)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a2－a－6,a＋3)＜0，,a2－2a－15＞0，))解得a＜－3.題型五復數(shù)與復平面內(nèi)向量的對應【例5】已知在△ABC中，，對應的復數(shù)分別為－1＋2i，－2－3i，則對應的復數(shù)為．【答案】－1－5i【解析】因為，對應的復數(shù)分別為－1＋2i，－2－3i，所以＝(－1，2)，＝(－2，－3)，又＝－＝(－2，－3)－(－1，2)＝(－1，－5)，所以對應的復數(shù)為－1－5i.【變式5-1】四邊形ABCD是復平面內(nèi)的平行四邊形，已知A、B、C三點對應的復數(shù)分別是1+3i，-i，2+i，則向量BD對應的復數(shù)是 ()A.1-2iB.2+2iC.2-2iD.3+6i【答案】D【解析】由題意得點A，B，C的坐標分別為(1，3)，(0，-1)，(2，1)，設點D的坐標為(x，y)，由AD=BC，得(x-1，y-3)=(2，2)，∴x-1=2，解得x=3，y=5，故D(3，5)，∴BD=(3，6)，則BD對應的復數(shù)為3+6i.故選D.【變式5-2】在復平面內(nèi)，向量AB=(2，-3)對應的復數(shù)為()A.2-3iB.2+3iC.3+2iD.-3-2i【答案】A【解析】由復數(shù)的幾何意義，知AB=(2，-3)對應的復數(shù)為2-3i.故選A.【變式5-3】在復平面內(nèi)，點A，B，C對應的復數(shù)分別為1+4i，-3i，2，O為坐標原點.（1）求向量OA+OB（2）求平行四邊形ABCD的頂點D對應的復數(shù).【答案】（1）1-4i（2）3【解析】（1）由已知得OA，OB則OA=(1，4)，OB=(0，-3)，OC=(2，0)，所以OA+OB=(1，1)，故OA+OB對應的復數(shù)為1+i，AC對應的復數(shù)為（2）解法一:由已知得，點A，B，C的坐標分別為(1，4)，(0，-3)，(2，0)，則AC的中點坐標為32由平行四邊形的性質(zhì)知，BD的中點坐標也是32設D(x0，y0)，則0+x02故D對應的復數(shù)為3+7i.解法二:由已知得，點A，B，C的坐標分別為(1，4)，(0，-3)，(2，0)，設D(x0，y0)，則AB=(-1，-7)，DC=(2-x0，-y0).因為四邊形ABCD為平行四邊形，所以AB=所以-故D對應的復數(shù)為3+7i.解法三:由(1)知OA=(1，4)，OB=(0，-3)，OC=(2，0)，所以BA=(1，7)，BC=(2，3)，由平行四邊形的性質(zhì)得BD=所以OD=OB+BD=(3，7)，故題型六復數(shù)的模及其應用【例6】已知復數(shù)z＝1－2mi(m∈R)，且|z|≤2，則實數(shù)m的取值范圍是________．【答案】eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(\r(3),2)))【解析】由|z|＝eq\r(1＋4m2)≤2，解得－eq\f(\r(3),2)≤m≤eq\f(\r(3),2).【變式6-1】求復數(shù)z1＝6＋8i與z2＝－eq\f(1,2)－eq\r(2)i的模，并比較它們的模的大?。敬鸢浮縷z1|>|z2|.【解析】∵z1＝6＋8i，z2＝－eq\f(1,2)－eq\r(2)i，∴|z1|＝eq\r(62＋82)＝10，|z2|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))2＋－\r(2)2)＝eq\f(3,2).∵10>eq\f(3,2)，∴|z1|>|z2|.【變式6-2】設復數(shù)z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，且|z1|＜|z2|，則實數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B．(－1，1)C．(1，＋∞)D．(0，＋∞)【答案】B【解析】因為|z1|＝eq\r(a2＋4)，|z2|＝eq\r(4＋1)＝eq\r(5)，所以eq\r(a2＋4)＜eq\r(5)，即a2＋4＜5，所以a2＜1，即－1＜a＜1.【變式6-3】已知復數(shù)z滿足z＋|z|＝2＋8i，求復數(shù)z.【答案】eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－15，,b＝8.))【解析】設z＝a＋bi(a，b∈R)，則|z|＝eq\r(a2＋b2)，代入方程得a＋bi＋eq\r(a2＋b2)＝2＋8i，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋\r(a2＋b2)＝2，,b＝8，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－15，,b＝8.))【變式6-4】已知復數(shù)z滿足z＝－|z|，則z的實部()A．不小于0B．不大于0C．大于0D．小于0【答案】B【解析】設z＝a＋bi(a、b∈R)，則a＋bi＝－eq\r(a2＋b2)，∴b＝0，a＝－|a|，∴a≤0，故不大于0.題型七共軛復數(shù)【例7】如果x－1＋yi與i－3x是共軛復數(shù)，則實數(shù)x＝_____，y＝________.【答案】eq\f(1,4)－1【解析】由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1＝－3x,y＝－1))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,4),y＝－1)).【變式7-1】下列命題中：①任意兩個確