2023一輪數(shù)學(xué)講義+題型細(xì)分與精練 95個(gè)專題 524個(gè)題型專題72 橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)-2023一輪數(shù)學(xué)講義+題型細(xì)分與精練（解析版）

專題72橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)題型一利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程研究幾何性質(zhì)1．已知橢圓C：1的右焦點(diǎn)為F，直線l經(jīng)過橢圓右焦點(diǎn)F，交橢圓C于P、Q兩點(diǎn)（點(diǎn)P在第二象限），若點(diǎn)Q關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)為Q′，且滿足PQ⊥FQ′，求直線l的方程是_____.【答案】x+y﹣1＝0【解析】橢圓C：1的右焦點(diǎn)為F（1，0），直線l經(jīng)過橢圓右焦點(diǎn)F，交橢圓C于P、Q兩點(diǎn)（點(diǎn)P在第二象限），若點(diǎn)Q關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)為Q′，且滿足PQ⊥FQ′，可知直線l的斜率為﹣1，所以直線l的方程是：y＝﹣（x﹣1），即x+y﹣1＝0.故答案為：x+y﹣1＝0.2．已知橢圓G：（）左、右焦點(diǎn)分別為，，短軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P在橢圓C上，且滿足，當(dāng)m變化時(shí)，給出下列四個(gè)命題：①點(diǎn)P的軌跡關(guān)于y軸對(duì)稱；②存在m使得橢圓C上滿足條件的點(diǎn)P僅有兩個(gè)；③的最小值為2；④最大值為，其中正確命題的序號(hào)是__．【答案】①③【解析】由橢圓的對(duì)稱性及，所以可得以，為焦點(diǎn)的橢圓為橢圓，則點(diǎn)P為橢圓與橢圓的交點(diǎn)，因?yàn)闄E圓G的長(zhǎng)軸頂點(diǎn)，短軸的絕對(duì)值小于，橢圓的長(zhǎng)軸頂點(diǎn)，短軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的絕對(duì)值小于，所以兩個(gè)橢圓的交點(diǎn)有4個(gè)，①正確②不正確，點(diǎn)P靠近坐標(biāo)軸時(shí)（或），越大，點(diǎn)P遠(yuǎn)離坐標(biāo)軸時(shí)，越小，易得時(shí)，取得最小值，此時(shí)兩橢圓方程為：，，兩方程相加得，即的最小值為2，③正確；橢圓上的點(diǎn)到中心的距離小于等于a，由于點(diǎn)P不在坐標(biāo)軸上，∴，④錯(cuò)誤．故答案為：①③．3．若橢圓焦距為，焦點(diǎn)在軸上，一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩個(gè)端點(diǎn)的連線互相垂直，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為____________．【答案】【解析】設(shè)橢圓方程為，如圖所示，為等腰直角三角形，為斜邊的中線(高)，且，，所以，所以，故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故答案為：.4．求橢圓9x2＋16y2＝144的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、離心率、焦點(diǎn)坐標(biāo)和頂點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】長(zhǎng)軸長(zhǎng)和短軸長(zhǎng)分別是8和6，離心率，焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是(－，0)，(，0)，頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是(－4，0)，(4，0)，(0，－3)，(0，3)．【解析】把已知方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以a＝4，b＝3，c＝＝，所以橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)和短軸長(zhǎng)分別是2a＝8和2b＝6；離心率e＝；兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是(－，0)，(，0)；四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是(－4，0)，(4，0)，(0，－3)，(0，3)．題型二根據(jù)幾何性質(zhì)求橢圓的方程5．已知橢圓的左焦點(diǎn)為，則（）A．9 B．4 C．3 D．2【答案】B【解析】依題意，橢圓焦點(diǎn)在x軸上，且，所以，又，所以．故選：B6．（多選）若橢圓和橢圓的離心率相同，且，則下列結(jié)論正確的是（）A．橢圓和橢圓一定沒有公共點(diǎn) B．C． D．【答案】AB【解析】依題意，，即，所以，所以，因此B正確；又，所以橢圓和橢圓一定沒有公共點(diǎn)，因此A正確；設(shè)，其中，則有，即有，則，因此C錯(cuò)誤；，即有，則，因此D錯(cuò)誤．故選：AB．7．求與橢圓有相同焦點(diǎn)，且過點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【答案】【解析】由題意可設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.又橢圓過點(diǎn)，將x=3，y=代入方程得，解得λ=11或(舍去).故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.8．已知橢圓C：＝1(a＞b＞0)的離心率e＝，且由橢圓上頂點(diǎn)、右焦點(diǎn)及坐標(biāo)原點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積為2．(Ⅰ)求橢圓C的方程；(Ⅱ)已知P(0，2)，過點(diǎn)Q(﹣1，﹣2)作直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)(異于P)，直線PA、PB的斜率分別為k1、k2．試問k1+k2是否為定值？若是，請(qǐng)求出此定值，若不是，請(qǐng)說明理由．【答案】(Ⅰ)＝1；(Ⅱ)是，定值為4.【解析】(Ⅰ)由題意得，解得a2＝8，b2＝4，所以橢圓C的方程為＝1．(Ⅱ)k1+k2為定值4，證明如下：(ⅰ)當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，l方程為x＝﹣1，由方程組易得，，于是k1＝，k2＝，所以k1+k2＝4為定值．(ⅱ)當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)l方程為y﹣(﹣2)＝k[x﹣(﹣1)]，即y＝kx+k﹣2，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由方程組，消去y，得(1+2k2)x2+4k(k﹣2)x+2k2﹣8k＝0，由韋達(dá)定理得(*)∴k1+k2＝＝＝＝2k+(k﹣4)?，將(*)式代入上式得k1+k2＝4為定值.題型三求橢圓的離心率或離心率的取值范圍9．在中，，如果一個(gè)橢圓通過?兩點(diǎn)，它的一個(gè)焦點(diǎn)為點(diǎn)，另一個(gè)焦點(diǎn)在上，則這個(gè)橢圓的離心率（）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)另一個(gè)焦點(diǎn)為，如圖所示，∵，，，則，設(shè)，則，，∴，，，∴，故選:D.10．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，是橢圓：()的左焦點(diǎn)，、分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，且軸.過點(diǎn)的直線與線段交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn).若直線經(jīng)過的中點(diǎn)，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖，由題意得、、，設(shè)，由得，則①，又由，中點(diǎn)為，得，則②，由①②得，即，則，故選：A.11．已知橢圓C：（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)為F（﹣c，0），上頂點(diǎn)為A（0，b），直線x＝﹣上存在一點(diǎn)P滿足（+）?＝0，則橢圓的離心率的取值范圍為（）A．[，1） B．[，1） C．[，1） D．（0，]【答案】C【解析】由題意可得A（0，b），F(xiàn)（﹣c，0），設(shè)點(diǎn)P（﹣），則，，，因?yàn)椋?）?＝0，所以，即a4﹣3a2c2+c4＝﹣m2c2≤0，即e4﹣3e2+1≤0，解得，即，又因?yàn)闄E圓離心率e＜1，所以橢圓的離心率為[），故選：C．題型四點(diǎn)和橢圓的位置關(guān)系12．若點(diǎn)在橢圓的外部，則的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】B【解析】因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓的外部，所以，即，解得或.故選：B.13．點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，所以有，即，解得，則的取值范圍是．故選：B.14．已知點(diǎn)(3，2)在橢圓上，則點(diǎn)(-3，3)與橢圓的位置關(guān)系是__________.【答案】點(diǎn)在橢圓外【解析】解：因?yàn)辄c(diǎn)(3，2)在橢圓上，所以=1，又，所以，故點(diǎn)(-3，3)在橢圓外.故答案為：點(diǎn)在橢圓外.15．如圖，矩形ABCD中，，．E，F(xiàn)，G，H分別是矩形四條邊的中點(diǎn)，R，S，T是線段OF的四等分點(diǎn)，，，是線段CF的四等分點(diǎn)．證明直線ER與、ES與、ET與的交點(diǎn)L，M，N都在橢圓上．【答案】證明見解析.【解析】由題得，，所以，所以直線的方程為，（1）由題得，所以，所以直線的方程為，（2）聯(lián)立方程（1）（2）解之得所以直線的交點(diǎn)為，代入橢圓方程得，所以直線的交點(diǎn)在橢圓上.同理ES與、ET與的交點(diǎn)M，N都在橢圓上．題型五由橢圓的離心率求參數(shù)的取值范圍16．橢圓C：的焦點(diǎn)在x軸上，其離心率為則橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為（）A．2 B． C．4 D．8【答案】C【解析】由橢圓的性質(zhì)可知，橢圓的離心率為，則，即所以橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為．故選：C.17．設(shè)是橢圓的離心率，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B．C． D．【答案】D【解析】當(dāng)焦點(diǎn)在x軸時(shí)，，當(dāng)焦點(diǎn)在y軸時(shí)，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D.18．已知橢圓離心率的最小值為，其左?右焦點(diǎn)分別為，若P是橢圓上位于y軸右側(cè)的一點(diǎn)，則______.【答案】5【解析】由題意，點(diǎn)P是橢圓上位于y軸右側(cè)的一點(diǎn)，可得，設(shè)，則，由橢圓的定義可知，因此，又因?yàn)槭怯医裹c(diǎn)，所以，即，整理得，所以，解得.故答案為：5.19．若橢圓的焦點(diǎn)在軸上，離心率為，則__________．【答案】9【解析】由已知，，所以，所以，解得.故答案為：9題型六弦長(zhǎng)及中點(diǎn)弦問題20．過點(diǎn)M(－2，0)的直線l與橢圓x2＋2y2＝4交于P1，P2兩點(diǎn)，設(shè)線段P1P2的中點(diǎn)為P.若直線l的斜率為k1(k1≠0)，直線OP的斜率為k2，則k1k2等于（）A．－2 B．2C． D．－【答案】D【解析】設(shè)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．過點(diǎn)M的直線l的方程為y－0＝k1(x＋2)，與橢圓方程聯(lián)立可得據(jù)此可知x1＋x2＝，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為k1(x1＋2)＝.據(jù)此得k2＝－.綜上可得k1k2＝－.故選：D21．已知橢圓＝1上一點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為4．（1）求a的值及橢圓的離心率；（2）順次連結(jié)橢圓的頂點(diǎn)得到菱形A1B1A2B2，求該菱形的內(nèi)切圓方程；（3）直線l與（2）中的圓相切并交橢圓于A，B兩點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】（1），；（2）；（3）．【解析】（1）∵橢圓上的點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為，∴，即，而b＝2，則c＝2，∴.（2）由（1）知：菱形內(nèi)切圓的半徑，所以內(nèi)切圓方程為.（3）①當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線方程為，代入橢圓方程得，此時(shí)；②當(dāng)直線斜率為0時(shí)，直線方程為，代入橢圓方程得，此時(shí)；③當(dāng)直線的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線方程為，由直線與圓相切得，即，直線代入橢圓方程，可得，設(shè)，則，，∴.22．過橢圓＋＝1內(nèi)一點(diǎn)M(2，1)引一條弦，使弦被M點(diǎn)平分．（1）求此弦所在的直線方程；（2）求此弦長(zhǎng)．【答案】（1）x＋2y－4＝0；（2）2.【解析】（1）設(shè)所求直線方程為y－1＝k(x－2)．代入橢圓方程并整理，得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0，①又設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1，x2是方程的兩個(gè)根，于是x1＋x2＝.又M為AB的中點(diǎn)，∴＝＝2，解得k＝－，直線方程為，即x＋2y－4＝0.（2）由（1）將k＝－代入①得，x2－4x＝0，∴，∴|AB|＝＝＝2．題型七橢圓的實(shí)際應(yīng)用23．如圖是5號(hào)籃球在太陽光照射下的影子，已知籃球的直徑為，現(xiàn)太陽光與地面的夾角為，則此橢圓形影子的離心率為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，是兩條與球相切的直線，分別切于點(diǎn)A,C，與底面交于點(diǎn)B,D，,過C作交于E,C,則，在中，，，,，，求出離心率.那么橢圓中，,.故選：B24．如圖，一種電影放映燈的反射鏡面是旋轉(zhuǎn)橢圓面（橢圓繞其對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面）的一部分，過對(duì)稱軸的截口是橢圓的一部分，燈絲位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上，片門位于另一個(gè)焦點(diǎn)上.由橢圓一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過旋轉(zhuǎn)橢圓面反射后集中到另一個(gè)焦點(diǎn).已知，，，則截口所在橢圓的離心率為______.【答案】【解析】解：取焦點(diǎn)在軸建立平面直角坐標(biāo)系，由及橢圓性質(zhì)可得，為橢圓通徑，所以，又，解得所以截口所在橢圓的離心率為故答案為：25．“嫦娥四號(hào)”探測(cè)器實(shí)現(xiàn)歷史上的首次月背著陸，如圖是“嫦娥四號(hào)”運(yùn)行軌道示意圖，圓形軌道距月球表面千米，橢圓形軌道的一個(gè)焦點(diǎn)是月球球心，一個(gè)長(zhǎng)軸頂點(diǎn)位于兩軌道相切的變軌處，另一個(gè)長(zhǎng)軸頂點(diǎn)距月球表面千米，則橢圓形軌道的焦距為__千米.【答案】【解析】設(shè)橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，焦距為，月球半徑為，則，兩式作差，可得，橢圓形軌道的焦距為千米.故答案為：85.26．某高速公路隧道設(shè)計(jì)為單向三車道，每條車道寬4米，要求通行車輛限高5米，隧道全長(zhǎng)1.5千米，隧道的斷面輪廓線近似地看成半個(gè)橢圓形狀（如圖所示）.（1）若最大拱高為6米，則隧道設(shè)計(jì)的拱寬至少是多少米？（結(jié)果取整數(shù)）（2）如何設(shè)計(jì)拱高和拱寬，才能使半個(gè)橢圓形隧道的土方工程量最??？（結(jié)果取