2024一輪數(shù)學(xué)講義+題型細(xì)分與精練 95個專題 524個題型專題8 二次函數(shù)與一元二次方程、不等式（2）-2024一輪數(shù)學(xué)題型細(xì)分與精練（解析版）

專題8二次函數(shù)與一元二次方程、不等式（2）題型一一元二次不等式在實數(shù)集上恒成立問題1．已知不等式的解集為，且不等式的解集為，則的解集是（）A． B． C． D．不能確定【答案】B【解析】又因為不等式的解集為，則，又，，則不等式即為，即，由于不等式的解集為，則，解得，.不等式即為，即為，解得.故選：B.2．若不等式對x∈R恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】【解析】當(dāng)時，恒成立，當(dāng)時，利用二次函數(shù)圖象知，則解得，所以實數(shù)a的取值范圍是3．已知不等式的解集為．（1）解不等式；（2）b為何值時，的解集為R？【答案】（1）或；（2）．【解析】（1）由題意知且－3和1是方程的兩根，∴解得.∴不等式，即為，解得或.∴所求不等式的解集為或；（2），即為，若此不等式的解集為，則，解得.4．對任意，函數(shù)的值恒大于零，求的取值范圍.【答案】不存在這樣的實數(shù)，使函數(shù)的值恒大于零.【解析】①當(dāng)時，函數(shù)的值不恒大于零，不符合題意，舍去；②當(dāng)時，要使得對任意，函數(shù)的值恒大于零，則滿足，即，此不等式組無解，故.綜上知，不存在這樣的實數(shù)，使函數(shù)的值恒大于零.5．（1）關(guān)于x的不等式<2對任意實數(shù)x恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．（2）若不等式x2＋px>4x＋p－3對一切0≤p≤4均成立，試求實數(shù)x的取值范圍．【答案】（1）m<－2；（2）m<－2和x>3【解析】（1）首先將分式不等式變形，分離出參數(shù)m，將求m范圍轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值問題；（2）將不等式變形為（x－1）p＋x2－4x＋3>0，結(jié)合一次函數(shù)性質(zhì)得到關(guān)于p的不等式，求解p的取值范圍試題解析：（1）∵x2－2x＋3＝（x－1）2＋2>0，∴不等式<2同解于4x＋m<2x2－4x＋6，即2x2－8x＋6－m>0．要使原不等式對任意實數(shù)x恒成立，只要2x2－8x＋6－m>0對任意實數(shù)x恒成立．∴Δ<0，即64－8（6－m）<0，整理并解得m<－2．（2）∵x2＋px>4x＋p－3，∴（x－1）p＋x2－4x＋3>0．令g（p）＝（x－1）p＋x2－4x＋3，則要使它對0≤p≤4均有g(shù)（p）>0，只要有．∴x>3或x<－1．題型二一元二次不等式其他恒成立問題1．若，不等式恒成立，則有（）A． B．C． D．【答案】A【解析】作出函數(shù)的圖象，并截取在內(nèi)的部分如圖所示（實線部分），由圖象知，當(dāng)時，取得最小值，所以故選：A.2．若當(dāng)時，恒成立，則實數(shù)的取值范圍為______．【答案】【解析】若當(dāng)時，恒成立，則函數(shù)在時的最小值恒大于等于二次函數(shù)圖像的對稱軸為直線：①當(dāng)時，函數(shù)在時取得最小值，，解得：②當(dāng)時，函數(shù)在時取得最小值，解得：③當(dāng)時，函數(shù)在時取得最小值，解得：綜上所述：實數(shù)的取值范圍為故答案為3．（1）當(dāng)1≤x≤2時，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．（2）對任意－1≤x≤1，函數(shù)y＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于0，求a的取值范圍．【答案】（1）{m|m<－5}；（2）{a|a<1}．【解析】（1）令y＝x2＋mx＋4．∵y<0在1≤x≤2上恒成立．∴y＝0的根一個小于1，另一個大于2．如圖所示：可得，∴m的取值范圍是{m|m<－5}．（2）∵x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立，即x2＋ax－4x＋4－2a>0恒成立．∴(x－2)·a>－x2＋4x－4.∵－1≤x≤1，∴x－2<0．∴.令y＝2－x，則當(dāng)－1≤x≤1時，y的最小值為1，∴a<1．故a的取值范圍為{a|a<1}．4．若關(guān)于x的不等式對于滿足的一切實數(shù)x恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.【答案】【解析】∵∴不等式可轉(zhuǎn)化為.令.∵∴當(dāng),即時,函數(shù)取得最大值,∴5．（1）當(dāng)，時，求關(guān)于的不等式的解集；（2）若時，對任意，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）∵，時，關(guān)于的不等式可化為，解得，∴所求不等式的解集為.（2）當(dāng)時，對任意恒成立，∴對任意恒成立，又當(dāng)時，取得最小值，為，∴，即實數(shù)的取值范圍是.題型三一元二次不等式有解問題1．若關(guān)于的不等式在內(nèi)有解，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】原不等式在內(nèi)有解等價于在內(nèi)有解，設(shè)函數(shù)，所以原問題等價于又當(dāng)時，，所以.故選：A.2．當(dāng)時，不等式有解，則實數(shù)的取值范圍是_______.【答案】【解析】解：由題知，且，所以方程恒有一正一負(fù)兩根，設(shè)，作出函數(shù)的大致圖象如圖所示：由圖象知，不等式在上有解的充要條件是當(dāng)時，，即，解得，故答案為：．3．已知函數(shù)在時至少存在一個實數(shù)c，使成立，求實數(shù)p的取值范圍.【答案】【解析】二次函數(shù)在時至少存在一個實數(shù)c，使的否定是：對于中任意一個x都有，所以整理得解得或.故二次函數(shù)在內(nèi)至少存在一個實數(shù)c，使成立的實數(shù)p的取值范圍是.4．已知關(guān)于的不等式的解集非空，對于其解集內(nèi)的每一個的值，至少能使不等式或中的一個成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】【解析】由得，設(shè)集合，由得，設(shè)集合，所以，設(shè)，則的解集非空，設(shè)解集為，其中，是方程的兩實根，且，要使關(guān)于的不等式的解集內(nèi)的每一個的值，至少能使不等式或中的一個成立，則需，即，即，所以，即，解得，所以.故得解.題型四一元二次不等式的應(yīng)用1．某小型服裝廠生產(chǎn)一種風(fēng)衣，日銷售量x（件）與單價P（元）之間的關(guān)系為，生產(chǎn)x件所需成本為C（元），其中元，若要求每天獲利不少于1300元，則日銷量x的取值范圍是A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)該廠每天獲得的利潤為元，則，，根據(jù)題意知，，解得：，所以當(dāng)時，每天獲得的利潤不少于元，故選．2．在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建一個面積不小于300m2的內(nèi)接矩形花園（陰影部分），則其邊長（單位：m）的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)矩形的另一邊長為m，則由三角形相似知，，所以，因為，所以，即，解得.故選:C2．在一個限速40的彎道上，甲，乙兩輛汽車相向而行，發(fā)現(xiàn)情況不對，同時剎車，但還是相撞了.事發(fā)后現(xiàn)場測得甲車的剎車距離略超過12，乙車的剎車距離略超過10.又知甲?乙兩種車型的剎車距離S與車速x之間分別有如下關(guān)系：S甲=0.1x+0.01x2，S乙=0.05x+0.005x2.則下列判斷錯誤的是（）A．甲車超速 B．乙車超速C．兩車均不超速 D．兩車均超速【答案】ACD【解析】設(shè)甲的速度為由題得0.1x1+0.01>12，解之得或；設(shè)乙的速度為，由題得0.05x2+0.005>10.解之得x2<-50或x2>40.由于x>0，從而得x1>30km/h，x2>40km/h.經(jīng)比較知乙車超過限速.故選：ACD3．十九大以來，國家深入推進(jìn)精準(zhǔn)脫貧，加大資金投入，強化社會幫扶，為了更好的服務(wù)于人民，派調(diào)查組到某農(nóng)村去考察和指導(dǎo)工作．該地區(qū)有100戶農(nóng)民，且都從事水果種植，據(jù)了解，平均每戶的年收入為2萬元．為了調(diào)整產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)，調(diào)查組和當(dāng)?shù)卣疀Q定動員部分農(nóng)民從事水果加工，據(jù)估計，若能動員戶農(nóng)民從事水果加工，則剩下的繼續(xù)從事水果種植的農(nóng)民平均每戶的年收入有望提高，而從事水果加工的農(nóng)民平均每戶收入將為萬元．（1）若動員戶農(nóng)民從事水果加工后，要使從事水果種植的農(nóng)民的總年收入不低于動員前從事水果種植的農(nóng)民的總年收入，求的取值范圍；（2）在（1）的條件下，要使這100戶農(nóng)民中從事水果加工的農(nóng)民的總收入始終不高于從事水果種植的農(nóng)民的總收入，求的最大值．【答案】（1）＜（2）最大值為9【解析】（1）由題意得，由可得.答：的取值范圍為.（2）由題意得，所以在上恒成立，又，（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”），所以.答：的最大值為9.4．為鼓勵大學(xué)畢業(yè)生自主創(chuàng)業(yè)，某市出臺了相關(guān)政策：由政府協(xié)調(diào)，企業(yè)按成本價提供產(chǎn)品給大學(xué)畢業(yè)生自主銷售，成本價與出廠價之間的差價由政府承擔(dān)．某大學(xué)畢業(yè)生按照相關(guān)政策投資銷售一種新型節(jié)能燈．已知這種節(jié)能燈的成本價為每件10元，出廠價為每件12元，每月的銷售量y（單位：件）與銷售單價x（單位：元）之間的關(guān)系近似滿足一次函數(shù)：．（1）設(shè)他每月獲得的利潤為w（單位：元），寫出他每月獲得的利潤w與銷售單價x的函數(shù)關(guān)系．（2）相關(guān)部門規(guī)定，這種節(jié)能燈的銷售單價不得高于25元．如果他想要每月獲得的利潤不少于3000元，那么政府每個月為他承擔(dān)的總差價的取值范圍是多少？【答案】（1）；（2）【解析】（1）依題意可知每件的銷售利潤為元，每月的銷售量為件，所以每月獲得的利潤w與銷售單價x的函數(shù)關(guān)系為．（2）由每月獲得的利潤不小于3000元，得．化簡，得．解得．又因為這種節(jié)能燈的銷售單價不得高于25元，所以．設(shè)政府每個月為他承擔(dān)