2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)（全國版）專題22 直角三角形【十六大題型】（舉一反三）（原卷版）

專題22直角三角形【十六大題型】TOC\o"1-3"\h\u【題型1由直角三角形的性質(zhì)求解】 3【題型2根據(jù)已知條件判定直角三角形】 4【題型3利用勾股定理求解】 5【題型4判斷勾股數(shù)問題】 5【題型5勾股定理與網(wǎng)格問題】 6【題型6利用勾股定理解決折疊問題】 8【題型7勾股定理與無理數(shù)】 9【題型8利用勾股定理證明線段的平方關(guān)系】 10【題型9勾股定理的證明方法】 12【題型10以弦圖為背景的計算】 13【題型11利用勾股定理構(gòu)造圖形解決問題】 14【題型12利用勾股定理解決實際問題】 15【題型13在網(wǎng)格中判定直角三角形】 17【題型14利用勾股定理逆定理求解】 18【題型15圖形上與已知兩點構(gòu)成直角三角形的點】 19【題型16用勾股定理解決實際生活問題】 20【知識點直角三角形】1.直角三角形的性質(zhì)與判定直角三角形的定義：有一個角是直角的三角形叫做直角三角形．直角三角形的性質(zhì)：1）直角三角形兩個銳角互余.2）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.3）在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半.直角三角形的判定：1）兩個內(nèi)角互余的三角形是直角三角形.2）有一個角是直角的三角形叫做直角三角形．3）勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c有關(guān)系a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形。面積公式：S=12ab=12cm(勾股定理勾股定理的概念：如果直角三角形的兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2變式：a2=c2-b2，b勾股定理的證明方法（常見）：方法一（圖一）：4SΔ+方法二（圖二）：四個直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積．四個直角三角形的面積與小正方形面積的和為S=4×大正方形面積為S=(a+b)2方法三（圖三）：S梯形=12圖一圖二圖三勾股數(shù)概念：能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長的三個正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即a2+b2=c2中，a，b，c為正整數(shù)時，稱常見的勾股數(shù)：如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等.判斷勾股數(shù)的方法：1）確定是三個正整數(shù)a，b，c；2）確定最大的數(shù)c；3）計算較小的兩個數(shù)的平方a2+b3.勾股定理的逆定理如果三角形三邊長a，b，c滿足a2+b2【題型1由直角三角形的性質(zhì)求解】【例1】（2023·內(nèi)蒙古包頭·包頭市第三十五中學(xué)?？既＃┤鐖D，在正方形ABCD中，點E、F分別在邊CD,BC上，且DE=CF，連接AE,DF,DG平分∠ADF交AB于點G，若∠AED=70°，則∠AGD的度數(shù)為

【變式1-1】（2023·北京平谷·統(tǒng)考一模）如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥

A．∠1+∠2=90° B．∠1=30° C．∠1=∠4 D．∠2=∠3【變式1-2】（2023·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考二模）如圖，分別以△ABC的邊AC和AB向外作等腰Rt△ACE和等腰Rt△ABD，點M、N分別是BC、CE中點，若MN

【變式1-3】（2023·河南信陽·二模）【閱讀理解】如圖1，小明把一副三角板直角頂點O重疊在一起．如圖2固定三角板AOB，將三角板COD繞點O以每秒15°的速度順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)時間為t秒，當(dāng)OD邊與OB邊重合時停止轉(zhuǎn)動．

【解決問題】(1)在旋轉(zhuǎn)過程中，請?zhí)畛觥螦OC、∠BOD之間的數(shù)量關(guān)系(2)當(dāng)運動時間為9秒時，圖中有角平分線嗎？找出并說明理由；(3)當(dāng)∠AOC、∠AOB、∠BOC中一個角的度數(shù)是另一個角的兩倍時，則稱射線OC是∠AOB的【題型2根據(jù)已知條件判定直角三角形】【例2】（2023·福建漳州·統(tǒng)考一模）在下列條件中：①∠A+∠B=∠C，②∠A:∠B:∠C=1:5:6A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式2-1】（2023·陜西西安·一模）如圖，已知銳角三角形ABC，用尺規(guī)作圖法在BC上作一點P，使得∠B【變式2-2】（2023·湖北武漢·?？寄M預(yù)測）如圖，⊙O經(jīng)過△ABC的頂點A，C及AB的中點D，且D是

(1)求證：△ABC(2)若⊙O的半徑為1，求A【變式2-3】（2023·湖南邵陽·統(tǒng)考一模）如圖，已知拋物線經(jīng)過原點O，頂點為A1，1，且與直線y(1)求拋物線的解析式及點C的坐標(biāo)；(2)求證：△ABC(3)若點N為x軸上的一個動點，過點N作MN⊥x軸與拋物線交于點M，則是否存在以O(shè)，M，【題型3利用勾股定理求解】【例3】（2023·廣東·模擬預(yù)測）如圖，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，O是矩形的對稱中心，點E、F分別在邊AD、BC上，連接OE、OF，若AE=BF=2A．22 B．52 C．5 D【變式3-1】（2023·河北保定·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標(biāo)系中，點A1,2,B-3,b，當(dāng)線段A．2 B．3 C．4 D．0【變式3-2】（2023上·遼寧沈陽·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，四邊形ABCD的對角線AC，BD交于點O．若AC⊥BD，AB=4，

【變式3-3】（2023·河南濮陽·統(tǒng)考三模）如圖，在△ABD中，∠BAD=90°，AB=2，AD=23，將AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)α度(0<α<90)，得到AP，當(dāng)【題型4判斷勾股數(shù)問題】【例4】（2023·四川瀘州·統(tǒng)考二模）《周髀算經(jīng)》是中國最古老的天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作，約成書于公元前1世紀(jì)．《周髀算經(jīng)》中記載：“勾廣三，股修四，經(jīng)隅五”，意為：當(dāng)直角三角形的兩條直角邊分別為3（勾）和4（股）時，徑隅（弦）則為5，后人簡單地把這個事實說成“勾三股四弦五”．觀察下列勾股數(shù)：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，這類勾股數(shù)的特點是：勾為奇數(shù)，弦與股相差為1．柏拉圖研究了勾為偶數(shù)，弦與股相差為2的一類勾股數(shù)，如：6，8，10；8，15，17；…，若某個此類勾股數(shù)的勾為16，則其弦是．【變式4-1】（2023·黑龍江牡丹江·?？寄M預(yù)測）下圖是“畢達(dá)哥拉斯樹”的“生長”過程：如圖①，一個邊長為a的正方形，經(jīng)過第一次“生長”后在它的上側(cè)長出兩個小正方形，且三個正方形所圍成的三角形是直角三角形；再經(jīng)過一次“生長”后變成了圖②；如此繼續(xù)“生長”下去，則第2015次“生長”后，這棵“畢達(dá)哥拉斯樹”上所有正方形的面積和為．【變式4-2】（2023·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）勾股數(shù)是指能成為直角三角形三條邊長的三個正整數(shù)，世界上第一次給出勾股數(shù)公式的是中國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》．現(xiàn)有勾股數(shù)a，b，c，其中a，b均小于c，a=12m2-12，c=1【變式4-3】（2023·四川瀘州·統(tǒng)考中考真題）《九章算術(shù)》是中國古代重要的數(shù)學(xué)著作，該著作中給出了勾股數(shù)a，b，c的計算公式：a=12m2-n2，b=mn，A．3，4，5 B．5，12，13 C．6，8，10 D．7，24，25【題型5勾股定理與網(wǎng)格問題】【例5】（2023·廣東·統(tǒng)考中考真題）綜合與實踐主題：制作無蓋正方體形紙盒素材：一張正方形紙板．步驟1：如圖1，將正方形紙板的邊長三等分，畫出九個相同的小正方形，并剪去四個角上的小正方形；步驟2：如圖2，把剪好的紙板折成無蓋正方體形紙盒．猜想與證明：

(1)直接寫出紙板上∠ABC與紙盒上∠(2)證明（1）中你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論．【變式5-1】（2023·浙江溫州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在2×4的方格紙ABCD中，每個小方格的邊長為1．已知格點P，請按要求畫格點三角形（頂點均在格點上）．

(1)在圖中畫一個等腰三角形PEF，使底邊長為2，點E在BC上，點F在AD上，再畫出該三角形繞矩形ABCD的中心旋轉(zhuǎn)180°后的圖形．(2)在圖中畫一個Rt△PQR，使∠P=45°，點Q在BC上，點R在【變式5-2】（2023·安徽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，點A,

(1)畫出線段AB關(guān)于直線CD對稱的線段A1(2)將線段AB向左平移2個單位長度，再向上平移1個單位長度，得到線段A2B2(3)描出線段AB上的點M及直線CD上的點N，使得直線MN垂直平分AB．【變式5-3】（2023·吉林長春·統(tǒng)考中考真題）圖①、圖②、圖③均是5×5的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點稱為格點．點A、B均在格點上，只用無刻度的直尺，分別在給定的網(wǎng)格中按下列要求作△ABC，點C

(1)在圖①中，△ABC的面積為9(2)在圖②中，△ABC的面積為(3)在圖③中，△ABC是面積為5【題型6利用勾股定理解決折疊問題】【例6】（2023·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)中，矩形ABCD的邊AD=5,OA:OD=1:4，將矩形ABCD沿直線OE折疊到如圖所示的位置，線段OD1恰好經(jīng)過點B，點C落在y

A．1,2 B．-1,2 C．5-1,2【變式6-1】（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知正方形ABCD的邊長為1，點E、F分別在邊AD、BC上，將正方形沿著EF翻折，點B恰好落在CD邊上的點B'處，如果四邊形ABFE與四邊形EFCD的面積比為3∶5，那么線段FC

【變式6-2】（2023·遼寧盤錦·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形ABCD是矩形，AB=6，BC=6．點E為邊BC的中點，點F為邊AD上一點，將四邊形ABEF沿EF折疊，點A的對應(yīng)點為點A'，點B的對應(yīng)點為點B'，過點B'作B'H⊥

【變式6-3】（2023·河南周口·統(tǒng)考二模）如圖，在長方形ABCD中，AB=10，AD=12，P是射線AD上一點，將△ABP沿BP折疊得到△A'BP，若點A'恰好落在BC的垂直平分線

【題型7勾股定理與無理數(shù)】【例7】（2023·浙江杭州·模擬預(yù)測）如圖，平面內(nèi)某正方形內(nèi)有一長為10寬為5的矩形，它可以在該正方形的內(nèi)部及邊界通過平移或旋轉(zhuǎn)的方式，自由地從橫放變換到豎放，則該正方形邊長的最小整數(shù)n為（

）

A．10 B．11 C．12 D．13【變式7-1】（2023·河北石家莊·統(tǒng)考三模）張華學(xué)習(xí)了“數(shù)軸上的點與實數(shù)是一一對應(yīng)的關(guān)系”后，課下便嘗試在數(shù)軸上找一個表示無理數(shù)的點．首先畫一條數(shù)軸，原點為O，點A表示的數(shù)是2，然后過點A作AB⊥OA，使AB=3，連接OB，以O(shè)為圓心，OB長為半徑作弧，交數(shù)軸負(fù)半軸于點C，則點C

A．-1和-2之間 B．-2和-3之間 C．-3和-4之間【變式7-2】（2023·廣東深圳·深圳市高級中學(xué)?？级＃?shù)形結(jié)合是解決代數(shù)類問題的重要思想，在比較2+1與5的大小時，可以通過如圖所示幾何圖形解決問題：若要比較2+3與17的大小，以下數(shù)形結(jié)合正確的是（

A．

B．

C．

D．

【變式7-3】（2023·遼寧大連·統(tǒng)考中考真題）如圖，在數(shù)軸上，OB=1，過O作直線l⊥OB于點O，在直線l上截取OA=2，且A在OC上方．連接AB，以點B為圓心，AB為半徑作弧交直線OB于點C，則【題型8利用勾股定理證明線段的平方關(guān)系】【例8】（2023·廣東佛山·?？家荒＃┤鐖D，在△ABC中，∠ACB=90°，BC>AC，CD⊥AB于點D(1)若AC=3，BC=4，求(2)求證：BD(3)求證：CE=12【變式8-1】（2023·浙江杭州·?？既＃┤鐖D，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，對角線AC⊥BD于點E，若AD的長與⊙A．2BC2C．4BC2【變式8-2】（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，△ACB

(1)判斷∠ACD與∠(2)直接寫出線段AD、AE、AC間滿足的數(shù)量關(guān)系．【變式8-3】（2023·北京平谷·統(tǒng)考一模）在△ABC中，BD⊥AC，E為AB邊中點，連接CE，BD與CE相交于點F，過E作EM⊥EF，交BD(1)依題意補(bǔ)全圖形；(2)求證：∠EMF(3)判斷BM、【題型9勾股定理的證明方法】【例9】（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在證明勾股定理時，甲、乙兩位同學(xué)分別設(shè)計了如下方案：甲乙如圖，用四個全等的直角三角形拼成，其中四邊形ABDE和四邊形CFCH均是正方形，通過用兩種方法表示正方形ABDE的面積來進(jìn)行證明．如圖是兩個全等的直角三角板ABC和直角三角板DEF，頂點F在BC邊上，頂點C，D重合，通過用兩種方法表示四邊形ACBE的面積來進(jìn)行證明．對于甲、乙分別設(shè)計的兩種方案，下列判斷正確的是（

）A．甲、乙均對 B．甲對、乙不對 C．甲不對，乙對 D．甲、乙均不對【變式9-1】（2023·遼寧盤錦·校聯(lián)考二模）意大利著名畫家達(dá)·芬奇用一張紙片剪拼出不一樣的空洞，而兩個空洞的面積是相等的，如圖所示，證明了勾股定理，若設(shè)圖1中空白部分的面積為S1，圖2中空白部分的面積為S2，則下列對S1，SA．S1=a2+b2+2ab【變式9-2】（2023·四川攀枝花·校聯(lián)考二模）將兩個全等的直角三角形按如圖所示擺放，使點A、E、D在同一條直線上．利用此圖的面積表示式證明勾股定理．

【變式9-3】（2023·江蘇鹽城·?？既＃?000多年來，人們對勾股定理的證明頻感興趣，不但因為這個定理重要、基本還因為這個定理貼近人們的生活實際所以很多人都探討、研究它的證明，新的證法不斷出現(xiàn)，如圖2是將圖1中的直角三角形通過旋轉(zhuǎn)、平移得到的正方形ABCD．(1)請你利用圖2證明勾股定理；(2)如圖3，以MN為直徑畫圓O，延長CF交DM于點E，判斷直線CE與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；(3)若b=3a，則圖3中陰影部分的面積為____________（用含【題型10以弦圖為背景的計算】【例10】（2023·江蘇徐州·?？寄M預(yù)測）如圖，“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形．連接AC，若AH平分∠CAD，且正方形EFGH的面積為3，則正方形ABCD的面積為（

A．6+32 B．4+22 C．6+23【變式10-1】（2023·陜西西安·西安市第六中學(xué)校考模擬預(yù)測）國際數(shù)學(xué)大會是全世界數(shù)學(xué)家的大聚會．如圖是某次大會的會徽，選定的是我國古代數(shù)學(xué)家趙爽用來證明勾股定理的弦圖，充分肯定了我國在數(shù)學(xué)方面的成就，也弘揚了我國古代的數(shù)學(xué)文化．如圖，弦圖是由四個全等的直角三角形和中間的小正方形拼成的一個大正方形，如果大正方形的面積是25，小正方形的面積是1，直角三角形中較小的銳角為θ，那么cosθ的值等于

【變式10-2】（2023·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）第二十四屆國際數(shù)學(xué)家大會會徽的設(shè)計基礎(chǔ)是1700多年前中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”．如圖，在由四個全等的直角三角形（△DAE,△ABF,△BCG,△CDH）和中間一個小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，∠ABF>∠BAF，連接BE．設(shè)∠BAF

A．5 B．4 C．3 D．2【變式10-3】（2023·河南周口·校聯(lián)考三模）任意一張正方形先對折再翻折然后加上廢舊的草桿就能做成一個簡易的紙風(fēng)車，迎著風(fēng)就會嘩啦啦轉(zhuǎn)動起來，小小的紙風(fēng)車帶來童年滿滿的回憶．如圖是彤彤折疊的一個紙風(fēng)車，風(fēng)車由四個全等的直角三角形組成，其中∠DOG為90°．延長直角三角形的斜邊，恰好交于四個直角三角形的斜邊中點，若IJ=

A．22 B．42 C．4-2【題型11利用勾股定理構(gòu)造圖形解決問題】【例11】（2023·河北保定·統(tǒng)考模擬預(yù)測）平面內(nèi)，將長分別為2，4，3的三根木棒按如圖方式連接成折線A-B-C-D，其中AB可以繞點B任意旋轉(zhuǎn)，保持∠C=90°，將

A．3 B．5 C．7 D．8【變式11-1】（2023·吉林·模擬預(yù)測）如圖，三級臺階，每一級的長、寬、高分別為8dm、3dm、2dm．A和B是這個臺階上兩個相對的端點，點A處有一只螞蟻，想到點B處去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬行到點B的最短路程為（）A．15dm B．17dm C．20dm D．25dm【變式11-2】（2023·江蘇南京·統(tǒng)考一模）如圖，用7個棱長為1的正方體搭成一個幾何體，沿著該幾何體的表面從點M到點N的所有路徑中，最短路徑的長是（

）A．5 B．5+22 C．25【變式11-3】（2023·北京海淀·中關(guān)村中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知a，b均為正數(shù)，且a2+b2，a2A．32ab B．a(chǎn)b C．12【題型12利用勾股定理解決實際問題】【例12】（2023·湖北十堰·統(tǒng)考一模）無蓋圓柱形杯子的展開圖如圖所示．將一根長為20cm的細(xì)木筷斜放在該杯子內(nèi)，木筷露在杯子外面的部分至少有（

A．5cm B．7cm C．8cm【變式12-1】（2023·浙江衢州·三模）某工程隊負(fù)責(zé)挖掘一處通山隧道，為了保證山腳A，B兩處出口能夠直通，工程隊在工程圖上留下了一些測量數(shù)據(jù)（此為山體俯視圖，圖中測量線拐點處均為直角，數(shù)據(jù)單位：米）．據(jù)此可以求得該隧道預(yù)計全長米．【變式12-2】（2023·山東泰安·統(tǒng)考三模）如圖，一艘船由A港沿北偏東65°方向航行302km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏東20°方向，則A，C兩港之間的距離為

【變式12-3】（2023·江西吉安·?？寄M預(yù)測）我校的八（1）班教室A位于工地B處的正西方向，且AB=160米，一輛大型貨車從B處出發(fā)，以10米/秒的速度沿北偏西60度的方向行駛，如果大型貨車的噪聲污染半徑為100(1)教室A是否在大型貨車的噪聲污染范圍內(nèi)？請說明理由．(2)若在，請求出教室A受污染的時間是多少？【題型13在網(wǎng)格中判定直角三角形】【例13】（2023·吉林白山·校聯(lián)考二模）圖①、圖②均是5×5的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點稱為格點，點A、B均在格點上．在圖①、圖

(1)在圖①中，畫等腰直角三角形ABD，使其面積為5；(2)在圖②中，畫平行四邊形ABEF，使其面積為9．【變式13-1】（2023·陜西商洛·?？既＃┤鐖D，△ABC的頂點在正方形網(wǎng)格的格點上，則tanA的值為（

A．13 B．12 C．55【變式13-2】（2023·河北張家口·統(tǒng)考三模）如圖是由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格，A、B、C、

（1）AB與AC是否垂直？（填“是”或“否”）；（2）AE=【變式13-3】（2023·廣東·統(tǒng)考中考真題）綜合與實踐主題：制作無蓋正方體形紙盒素材：一張正方形紙板．步驟1：如圖1，將正方形紙板的邊長三等分，畫出九個相同的小正方形，并剪去四個角上的小正方形；步驟2：如圖2，把剪好的紙板折成無蓋正方體形紙盒．猜想與證明：

(1)直接寫出紙板上∠ABC與紙盒上∠(2)證明（1）中你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論．【題型14利用勾股定理逆定理求解】【例14】（2023·山東日照·?？级＃┤鐖D，在?ABCD中，以點B為圓心，適當(dāng)長度為半徑作弧，分別交AB，BC于點F，G，再分別以點F，G為圓心，大于12FG長為半徑作弧，兩弧交于點H，作射線BH交AD于點E，連接CE，若AE=5，DE=3

A．85 B．45 C．241【變式14-1】（2023·山東聊城·統(tǒng)考三模）已知△ABC的三邊分別為a、b、c，且a-5+bA．30 B．60 C．65 D．無法計算【變式14-2】（2023·四川自貢·統(tǒng)考一模）如圖，點P是等邊△ABC內(nèi)的一點，PA＝6，PB＝8，PC＝10，若點P′是△ABC外的一點，且△P′AB≌△PAC，則∠APB的度數(shù)為．【變式14-3】（2023·四川遂寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，AB=10，BC=6，AC=8，點P為線段AB上的動點，以每秒1個單位長度的速度從點A向點B移動，到達(dá)點B時停止．過點P作PM⊥AC于點M、作PN⊥BC于點N，連接MN，線段

A．5，5 B．6,245 C【題型15圖形上與已知兩點構(gòu)成直角三角形的點】【例15】（2023·福建·校聯(lián)考一模）點A（2，m），B（2，m-5）在平面直角坐標(biāo)系中，點O為坐標(biāo)原點．若△ABO是直角三角形，則m的值不可能是（

）A．4 B．2 C．1 D．0【變式15-1】（2023·遼寧沈陽·校聯(lián)考一模）在平