2023-2024屆新高考一輪復(fù)習(xí)人教A版 第十章 第二講　排列與組合 學(xué)案

第二講排列與組合

?雙基自測(cè)

知識(shí)梳理

知識(shí)點(diǎn)一排列與排列數(shù)

(1)排列的定義：從〃個(gè)一不同一元素中取出(加個(gè)元素,并按照一定的_

順序排成一列,叫做從"個(gè)不同元素中取出〃，個(gè)元素的一個(gè)排列.

(2)排列數(shù)的定義：從〃個(gè)不同元素中取出""m≤m個(gè)元素的.所有不同排列

_的個(gè)數(shù)叫做從〃個(gè)不同元素中取出機(jī)個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)表示.

(3)排列數(shù)公式：A?=〃1)(〃一2)…(〃一加+l)(∕w,〃￡N",且mW“).

(4)全排列:〃個(gè)不同元素全部取出的一個(gè)排列，叫做〃個(gè)元素的一個(gè)全排列，

A；；=〃X(〃-1)X(〃-2)X…X2Xl=H一.排列數(shù)公式寫成階乘的形式為A；；,=

∕z!

7----L-^Γ^,這里規(guī)定O!=_1一.

?∏-m)!

知識(shí)點(diǎn)二組合與組合數(shù)

(1)組合的定義：一般地，從〃個(gè)一不同一元素中取出"”m≤m個(gè)元素.作為一

組一，叫做從〃個(gè)不同元素中取出〃Z個(gè)元素的一個(gè)組合.

(2)組合數(shù)的定義：從〃個(gè)不同元素中取出〃”加Wm個(gè)元素的所有不同組合

_的個(gè)數(shù)，叫做從〃個(gè)不同元素中取出，"個(gè)元素的組合數(shù)，用符號(hào)表示.

,r人w,八I、A；?n?〃(題一…(〃—m+1)

(3)組合數(shù)的計(jì)算公式：C,=?=————-------——卜」-------l,

這里規(guī)定Cθ=1.

(4)組合數(shù)的性質(zhì)：①CT=-CF5-;②c%∣=0-+KF1-.

注：應(yīng)用公式化簡(jiǎn)、求值、解方程、解不等式時(shí)，注意AKC9中的隱含條

件且機(jī)，〃GN*.

歸納拓展

對(duì)于有附加條件的排列'組合應(yīng)用題，通常從三個(gè)途徑考慮

(1)以元素為主考慮，即先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素.

(2)以位置為主考慮，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置.

(3)先不考慮附加條件，計(jì)算出排列數(shù)或組合數(shù)，再減去不合要求的排列數(shù)

或組合數(shù).

雙基自測(cè)

題組一走出誤區(qū)

1.判斷下列結(jié)論是否正確（請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“X”）

（1）所有元素完全相同的兩個(gè)排列為相同排列?（X）

（2）一個(gè)組合中取出的元素講究元素的先后順序.（義）

（3）兩個(gè)組合相同的充要條件是其中的元素完全相同.（√）

（4）5+1）!—〃！=〃?〃！.（＞/）

（5）若組合式CAC?,貝UX=加成立.（×）

（6）M="CM.（√）

題組二走進(jìn)教材

2.（選擇性必修3P38T3（2）改編）某班一天上午有4節(jié)課，下午有2節(jié)課，安

排語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、政治、英語(yǔ)、體育、藝術(shù)每科一節(jié)，要求數(shù)學(xué)排在上午，體育不

排上午第一節(jié)和下午第二節(jié)，則不同的安排種數(shù)是

［解析］上午第一節(jié)排數(shù)學(xué)有4A4=96種排法；

上午第一節(jié)不排數(shù)學(xué)有3X3A4=216種排法，

/.不同的排法共有96+216=312種排法.

題組三走向高考

3.（2018?新課標(biāo)I）從2位女生，4位男生中選3人參加科技比賽，且至少

有1位女生入選，則不同的選法共有1色種.（用數(shù)字填寫答案）

［解析］解法一：從2位女生，4位男生中選3人，且至少有1位女生入選

的情況有以下2種：①2女1男：有C支J=4種選法；②1女2男：有CJei=I2

種選法，故至少有1位女生入選的選法有4+12=16種.

解法二：從2位女生，4位男生中選3人有Cg=20種選法，其中選出的3

人都是男生的選法有Cl=A種，所以至少有1位女生入選的選法有20-4=16

種.

4.（2020?新高考Il卷）要安排3名學(xué)生到2個(gè)鄉(xiāng)村做志愿者，每名學(xué)生只能

選擇去一個(gè)村，每個(gè)村里至少有一名志愿者，則不同的安排方法共有（C）

A.2種B.3種

C.6種D.8種

［解析］解法一：將3名學(xué)生A、B、C分成兩組有A3、C,AC,B,A、BC,3

種方法，再將兩組學(xué)生1、2分到甲、乙兩村有甲1乙2、甲2乙1,2種方法，故

共有2X3=6種安排方法.故選C.

解法二：安排方法共有CJGA3=6種，故選C.

5.（2022?新高考Il卷）有甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯

演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同排列方式共有（B）

A.12種B.24種

C.36種D.48種

［解析］先將丙和丁捆在一起有A芬中排列方式，然后將其與乙、戊排列，有

Ag種排列方式，最后將甲插入中間兩空，有G種排列方式，所以不同的排列方

式共有A%dC=24種，故選B.

?互動(dòng)探究

考點(diǎn)一排列問題——自主練透

H?■例1（］）有3名男生、4名女生，在下列不同條件下，不同的排列方法

總數(shù)，分別為：

①選其中5人排成一排；2520

②排成前后兩排，前排3人，后排4人；5040

③全體排一排，排頭只能站甲或乙，排尾不能站甲；1320

④全體排成一排，女生必須站在一起；576

⑤全體排成一排，男生互不相鄰；1440

⑥全體排成一排，甲、乙兩人中間恰好有3人；720

⑦全體排成一排，甲必須排在乙前面；2520

⑧全部排成一排，甲不排在左端，乙不排在右端.3720

（2）（2023?山東“學(xué)情空間”教研共同體聯(lián)考）隨著北京冬奧會(huì)的開幕，吉祥物

“冰墩墩”火遍國(guó)內(nèi)外，現(xiàn)有3個(gè)完全相同的“冰墩墩”，甲、乙、丙、丁4

位運(yùn)動(dòng)員要與這3個(gè)“冰墩墩”站成一排拍照留念，則有且只有2個(gè)“冰墩墩”

相鄰的排隊(duì)方法數(shù)為（B）

A.240B.480

C.1440D.2880

［解析］（1）①?gòu)?人中選5人來排，是排列,

有A3=7X6X5X4X3=252O（種）.

②分兩步完成，先選3人排在前排，有A彳種方法，余下4人排在后排，有

A才種方法，故共有A%A才=5040（種）.事實(shí)上，本小題即為7人排成一排的全排

列，無任何限制條件.

③（特殊元素優(yōu)先法）甲站排頭有Ag種排法；乙站排頭有CgAg種排法，故共

有M+C?Ag=l320種排法.

④（捆綁法）將女生看成一個(gè)整體，與3名男生在一起進(jìn)行全排列，有Aa種方

法，再將4名女生進(jìn)行全排列，也有A才種方法，故共有A才XA才=576種.

⑤（插空法）男生不相鄰，而女生不作要求，所以應(yīng)先排女生，有Ai種方法,

再在女生之間及首尾空出5個(gè)空位中任選3個(gè)空位排男生，有Ag種方法，故共

有A才XAg=I440種.

⑥把甲、乙及中間3人看作一個(gè)整體，第一步先排甲、乙兩人，有A3種方

法；第二步從余下5人中選3人排在甲、乙中間，有Ag種；第三步把這個(gè)整體

與余下2人進(jìn)行全排列，有用種方法.故共有A5?Ag?AW=72O種.

AZ

⑦消序法：十=2520種.

⑧間接法：A彳-2A9+Ag=3720種.

位置分析法：分甲在右端與不在右端兩類.

甲在右端的排法有Ag（種）排法，

甲不在右端的排法有5X5Ag（種）排法，

；?共有Ag+25Ag=3720（種）.

（2）因?yàn)?個(gè)“冰墩墩”完全相同，將其中2個(gè)“冰墩墩”捆綁,記為元素α,

另外1個(gè)“冰墩墩”記為元素兒先將甲、乙、丙、丁4位運(yùn)動(dòng)員全排，然后將

久萬元素插入這4位運(yùn)動(dòng)員所形成的空中，且。、b元素不相鄰，則不同的排法

種數(shù)為A執(zhí)g=480.故選B.

［引申］本例中7人排一排，①甲站中間的站法有處—種；②甲、乙相鄰且

丙不站排頭和排尾的站法有960種:③甲、乙相鄰且都與丙不相鄰的站法有

960種.

［解析］①A認(rèn)《=720；或Ag=720;

②A認(rèn)IAg=960；

③AgA執(zhí)g=960.

名師點(diǎn)披MINGSHIDIANBO

解決排列、組合問題的十種技巧

(1)特殊元素優(yōu)先安排.

(2)合理分類與準(zhǔn)確分步.

(3)排列、組合混合問題要先選后排.

(4)相鄰問題捆綁處理.

(5)不相鄰問題插空處理.

(6)定序問題倍縮法處理.

(7)分排問題直排處理.

(8)“小集團(tuán)”排列問題先整體后局部.

(9)構(gòu)造模型.

(10)正難則反，等價(jià)轉(zhuǎn)化.

〔變式訓(xùn)練1〕

(l)(2023?云南師大附中月考)成語(yǔ)“五音不全”中的五音指古樂的五聲音階:

宮、商、角、徵、羽，是中國(guó)古樂基本音階.把這五個(gè)音階排成一列，形成一個(gè)

音序.滿足“徵”“羽”兩音階相鄰且在“宮”音階之前的不同音序的種數(shù)為

24.(用數(shù)字作答)

(2)(2022?遼寧沈陽(yáng)市郊聯(lián)合體期末)電影《奪冠》講述中國(guó)女排姑娘們頑強(qiáng)奮

斗、為國(guó)爭(zhēng)光的勵(lì)志故事，打造一部見證新中國(guó)體育改革40年的力作，該影片

于2020年09月25日正式上映，在《奪冠》上映當(dāng)天，一對(duì)夫婦帶著他們的兩

個(gè)小孩一起去觀看該影片，訂購(gòu)的4張電影票恰好在同一排且連在一起，為安全

起見，影院要求每個(gè)小孩子要有家長(zhǎng)相鄰陪坐，則不同的坐法種數(shù)是16.

［解析］(1)把“徵”“羽"看成一個(gè)“合體”元素和其余3個(gè)音階共4個(gè)元

素有A才種不同排法，又“宮”在“合體”元素前、后各占去故不同音序的種數(shù)

為1執(zhí)3=24.

(2)根據(jù)題意，將兩名家長(zhǎng)、孩子全排列，有Af=24種排法，其中兩個(gè)孩子

相鄰且在兩端的情況有A3A3AM=8種，則每個(gè)小孩子要有家長(zhǎng)相鄰陪坐的排法

有24—8=16種，故答案為16.

考點(diǎn)二組合問題——師生共研

2■例2(1)(多選題)(2023?吉林東北師大附中開學(xué)考)某學(xué)生在物理、化學(xué)、

生物、政治、歷史、地理、技術(shù)這七門課程中選三門作為選考科目，下列說法正

確的是(ABC)

A.若任意選擇三門課程，選法總數(shù)為C3

B.若物理和化學(xué)至少選一門，選法總數(shù)為C3R+GQ?

C.若物理和歷史不能同時(shí)選，選法總數(shù)為C夕一eg

D.若物理和化學(xué)至少選一門，且物理和歷史不能同時(shí)選，選法總數(shù)為ClCg

—eg

(2)(2022.江蘇南通質(zhì)檢)我國(guó)進(jìn)入雙航母時(shí)代,航母編隊(duì)的要求是每艘航母配

2?3艘驅(qū)逐艦，1?2艘核潛艇.船廠現(xiàn)有5艘驅(qū)逐艦和3艘核潛艇全部用來組

建航母編隊(duì)，則不同的組建方法種數(shù)為(D)

A.30B.60

C.90D.120

［解析］(1)若任意選擇三門課程，選法總數(shù)為C芬中，A正確；若物理和化學(xué)

選一門，有CJ種方法，其余兩門從剩余的5門中選2門，有Cg種選法，若物理

和化學(xué)選兩門，有CS種選法，剩下一門從剩余的5門中選1門，有Cg種選法，

由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，總數(shù)為αcg+Gc!種選法，故B正確；若物理和歷史

不能同時(shí)選，選法總數(shù)為CM—Cg種，故C正確；若物理和化學(xué)至少

選一門，有3種情況，①只選物理不選化學(xué)且物理和歷史不同時(shí)選，有ClCi種

選法；②選化學(xué)，不選物理，有CICg種選法；③物理與化學(xué)都選，有c2c3種選

法，故選法總數(shù)為C∣d+C∣Cg+CKU=6+10+4=20,而CJeg—Cg=15,故D

錯(cuò)誤.故選ABC.

(2)有兩種情況，①一艘航母配2艘驅(qū)逐艦和1艘核潛艇，另一艘航母配3

艘驅(qū)逐艦和2艘核潛艇，②一艘航母配2艘驅(qū)逐艦和2艘核潛艇，另一艘航母配

3艘驅(qū)逐艦和1艘核潛艇，Ci?(C5d+Csd)=120,故選D.

名師點(diǎn)披MINGSHIDIANBO

組合問題常有以下兩類題型變化：

(1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：“含”，則先將這些元素

取出，再由另外元素補(bǔ)足；“不含”，則先將這些元素剔除，再?gòu)氖Ｏ碌脑刂?/p>

去選取.

(2)“至少”或“至多”含有幾個(gè)元素的組合題型：解這類題必須十分重視

“至少”與“至多”這兩個(gè)關(guān)鍵詞的含義，謹(jǐn)防重復(fù)與漏解.用直接法和間接法

都可以求解，通常用直接法分類復(fù)雜時(shí)，考慮逆向思維，用間接法處理.

〔變式訓(xùn)I練2〕

(1)樓道里有9盞燈，為了節(jié)約用電，需關(guān)掉3盞互不相鄰的燈，為了行走

安全，第一盞和最后一盞不關(guān)，則關(guān)燈方案的種數(shù)為(A)

A.10B.15

C.20D.24

(2)(2023.廣東摸底)“全員檢測(cè)，阻斷清零”的新冠防疫政策，使得我國(guó)成為

全球最安全的國(guó)家.現(xiàn)某處需要三組全民核酸檢測(cè)人員，其中有3名醫(yī)生和6

名社會(huì)志愿者組成，每組人員由1名醫(yī)生和2名志愿者組成.根據(jù)需要，志愿者

甲與乙要分配在同一組，則這9名檢測(cè)人員分組方法種數(shù)為18.

［解析］(1)問題等價(jià)于將這3盞關(guān)著的燈插入4盞亮著的燈形成的5個(gè)空檔

中，所以關(guān)燈方案共有Cg=Io種.

⑵C*k=18(種).

考點(diǎn)三排列'組合的綜合應(yīng)用——多維探究

角度1相鄰`相間問題

???例3(l)(2023?湖南長(zhǎng)沙一中月考)《紅海行動(dòng)》是一部現(xiàn)代海軍題材影

片，該片講述了中國(guó)海軍“蛟龍突擊隊(duì)”奉命執(zhí)行撤僑任務(wù)的故事.撤僑過程中，

海軍艦長(zhǎng)要求隊(duì)員們依次完成六項(xiàng)任務(wù)，并對(duì)任務(wù)的順序提出了如下要求：重點(diǎn)

任務(wù)A必須排在前三位，且任務(wù)E,b必須排在一起，則這六項(xiàng)任務(wù)的不同安排

方案共有(D)

A.240種B.188種

C.156種D.120種

(2)(2022.湖南師范大學(xué)附屬中學(xué)模擬)某班上午有五節(jié)課，分別安排語(yǔ)文、數(shù)

學(xué)、英語(yǔ)、物理、化學(xué)各一節(jié)課.要求語(yǔ)文與化學(xué)相鄰，數(shù)學(xué)與物理不相鄰，且

數(shù)學(xué)課不排第一節(jié)，則不同排課方案的種數(shù)是(A)

A.16B.24

C.8D.12

［解析］（1）①當(dāng)A在首位，E、JF捆綁，自由排列，共有A3XA9=48種；②

當(dāng)A在第二位，首位不能是E和凡共有3XA5XA9=36種；③當(dāng)A在第三位，

前兩位分為是以尸和不是￡、尸兩種情況，共A3XAW+A*XA3XA2=36種，

因此共有48+36+36=120種.

（2）根據(jù)題意，分三步進(jìn)行分析，①要求語(yǔ)文與化學(xué)相鄰，將語(yǔ)文和化學(xué)看

成一個(gè)整體，考慮其順序，有A3=2（種）情況；②將這個(gè)整體與英語(yǔ)全排列，有

A%=2（種）情況，排好后，有3個(gè)空位；③數(shù)學(xué)課不排第一節(jié)，有2個(gè)空位可選，

在剩下的2個(gè)空位中任選1個(gè)，安排物理，有2種情況，則數(shù)學(xué)、物理的安排方

法有2X2=4（種），則不同排課方案的種數(shù)是2X2X4=16,故選A.

［引申］本例⑴中,若將“E、一必須排在一起”改為“E、尸不相鄰”，則應(yīng)

填240.

［解析］A排第一位有AUi=72種，A排第二位有ClAHCiAU^=84種；

A排第三位有ααA5Ag+AgAg=84種，故應(yīng)填72+84+84=240.

角度2特殊元素（位置）問題

2?例4（1）（2022?重慶模擬）從5名學(xué)生中選出4名分別參加數(shù)學(xué)、物理、

化學(xué)、生物四科競(jìng)賽，其中甲不能參加生物競(jìng)賽，則不同的參賽方案種數(shù)為（D）

A.48B.72

C.90D.96

（2）（2022.山東質(zhì)檢）高三一班周一上午有四節(jié)課，分別安排語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)

和體育.其中語(yǔ)文不安排在第一節(jié),數(shù)學(xué)不安排在第二節(jié),英語(yǔ)不安排在第三節(jié)，

體育不安排在第四節(jié)，則不同的課表安排方法共有9種.

［解析］（1）由于甲不參加生物競(jìng)賽，則安排甲參加另外3場(chǎng)競(jìng)賽或甲不參加

任何競(jìng)賽.

①當(dāng)甲參加另外3場(chǎng)競(jìng)賽時(shí)，共有C%A∣=72（種）選擇方案；

②當(dāng)甲學(xué)生不參加任何競(jìng)賽時(shí)，共有A∣=24（種）選擇方案.

綜上所述，所有參賽方案有72+24=96（種）或Ag—Al=96（種）.

（2）由于四個(gè)元素都有特殊要求，不宜從排列、組合數(shù)公式入手，列表法為

佳，

如：第一節(jié)第二節(jié)第三節(jié)第四節(jié)

語(yǔ)文——體育——英語(yǔ)

數(shù)學(xué)〈英語(yǔ)一體育一語(yǔ)文

'體育——語(yǔ)文一英語(yǔ)

同理第一節(jié)排英語(yǔ)、體育也都有3種排法，故共有9種排法.

［引申］本例(1)若增加“且乙不參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽”，則不同的參賽方法種數(shù)為

78.

［解析］①甲、乙都參賽有C*(A?+ClGA3)=42種方案；②甲參賽乙不參賽

或乙參賽甲不參賽均有Awa=I8種方案，,共有42+18+18=78種參賽方案.

角度3分配問題

A■■例5(1)按下列要求分配6本不同的書，各有多少種不同的分配方式？

將答案填在對(duì)應(yīng)橫線上.

①分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；60

②甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；360

③平均分成三份，每份2本；15

④平均分配給甲、乙、丙三人，每人2本；90

⑤分成三份，1份4本，另外兩份每份1本；15

⑥甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外兩人每人得1本；90

⑦甲得1本，乙得1本，丙得4本.30

(2)①8個(gè)相同的小球放入5個(gè)不同盒子中，每盒不空的放法共有35種.

②15個(gè)小球完全相同，放入編號(hào)依次為1,2,3的三個(gè)不同盒子中，若每個(gè)盒

子內(nèi)的小球數(shù)不少于盒子的編號(hào)，則不同放法有55種.

(3)(2023?安徽皖江名校聯(lián)考)某小區(qū)因疫情需求,物業(yè)把招募的5名志愿者分

配到3處核酸采樣點(diǎn)，每處采樣點(diǎn)至少分配一名，則不同的分配方法共有(A)

A.150種B.180種

C.200種D.280種

(4)(2023?甘肅蘭州西北中學(xué)期中)某地舉辦高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽，已知某校有20個(gè)

參賽名額，現(xiàn)將這20個(gè)參賽名額分配給A,B,C,。四個(gè)班，其中1個(gè)班分配

4個(gè)參賽名額，剩下的3個(gè)班都有參賽名額，則不同的分配方案有420種.

［解析］（1）①CAeWC§=60；②CAegCgAW=360；③Cf2=5④Cr?ɑ=

90；⑤Cg=15；⑥CgAW=90；⑦CgC2=30.

（2）①一共有8個(gè)相同的小球，放入5個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子不空，即將

小球分成5份，每份至少1個(gè).（定份數(shù)）

將8個(gè)小球擺放一列，形成9個(gè)空，中間有7個(gè)空，（定空位）

則只需在這7個(gè)空中插入4個(gè)隔板，隔板不同的放法有G=G=若曰=

??Z?1

35（種）（插隔板）

所以每盒不空的放法共有35種.

②先將2號(hào)盒內(nèi)放一個(gè)球，3號(hào)盒內(nèi)放2個(gè)小球，還剩余12個(gè)小球，用隔

板法將12個(gè)小球分成3組，每組至少1個(gè)小球，共有C%=55種分法，亦即有

55種不同放法.

（3）先將5人分組，可能情況有1,2,2人與1,1,3人兩種情況.

①分成1,2,2人的所有情況共筆F=I5種情況；

②分成1,1,3人的所有情況共Cg=IO種情況；

再將分好的組分配到3處核酸采樣點(diǎn)，共（15+10）XA§=150種情況.故選

A.

（4）第一步，確定分配有4個(gè)名額的班，共有4種，第二步，利用隔板法，

剩余16個(gè)參賽名額的分配方式有C彳5=105種則不同的分配方案有4X105=420.

名帥點(diǎn)披MINGSHIDIANBO

解排列組合綜合問題的方法

先選后排法是解答排列、組合應(yīng)用問題的根本方法，利用先選后排法解答問

題只需三步即可完成.

第一步：選元素，即選出符合條件的元素；

第二步：進(jìn)行排列，即把選出的元素按要求進(jìn)行排列；

第三步：計(jì)算總數(shù)，即根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理、分類加法計(jì)數(shù)原理計(jì)算方法

總數(shù).

注意：（1）均勻分組時(shí)要除以均勻組數(shù)的階乘；（2）相同元素的分配問題常用

“隔板法”.

隔板法的解題步驟

①定個(gè)數(shù)：確定名額的個(gè)數(shù)、分成的組數(shù)以及各組名額的數(shù)量.

②定空位：將元素排成一列，確定可插隔板的空位數(shù).

③插隔板：確定需要的隔板個(gè)數(shù)，根據(jù)組數(shù)要求，插入隔板，利用組合數(shù)求

解不同的分法種數(shù).

④回顧反思：隔板法的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確確定空位個(gè)數(shù)以及需要的隔板個(gè)數(shù)，使

用這種方法需要注意兩個(gè)方面的問題：一是要根據(jù)題意確定能否轉(zhuǎn)化為“每組至

少一個(gè)”的問題，以便確定能否利用隔板法；二是要注意準(zhǔn)確確定空位數(shù)以及需

要的隔板數(shù)，一般來說，兩端不能插隔板.

〔變式訓(xùn)練3〕

（1）（角度1）（2022.北京通州期中）中國(guó)古代中的“禮、樂、射、御、書、數(shù)”

合稱“六藝”.“禮”主要指德育；“樂”主要指美育；“射”和“御”就是體

育和勞動(dòng)；“書”指各種歷史文化知識(shí)；“數(shù)”指數(shù)學(xué).某校國(guó)學(xué)社團(tuán)開展“六

藝”講座活動(dòng),每周安排一次講座,共講六次.講座次序要求“射”不在第一次，

“數(shù)”和“樂”兩次不相鄰，則“六藝”講座不同的次序共有（A）

A.408種B.240種

C.192種D.120種

（2）（角度2）（2022?西南四省名校聯(lián)考）某校為慶祝建黨一百周年，要安排一場(chǎng)

共11個(gè)節(jié)目的文藝晚會(huì)，除第1個(gè)節(jié)目和最后一個(gè)節(jié)目已經(jīng)確定外，3個(gè)音樂

節(jié)目要求排在2,6,9的位置，3個(gè)舞蹈節(jié)目必須相鄰，3個(gè)曲藝節(jié)目沒有要求，共

有不同的演出順序多少種（C）

A.144B.192

C.216D.324

（3）（角度3）（2023?陜西寶雞陳倉(cāng)中學(xué)質(zhì)檢）我國(guó)棉田面積在40萬公頃以上有7

個(gè)省份，分別為新疆、河南、江蘇、湖北、山東、河北、安徽.現(xiàn)有5名黨員同

志準(zhǔn)備分別前往新疆、湖北、山東這三個(gè)地方考察,每個(gè)地方至少安排1名同志，

則不同的安排方案種數(shù)是150種.

［解析］（1）解法一：將六藝全排列，有AE種，當(dāng)“射”排在第一次有Ag種，

“數(shù)”和“樂”兩次相鄰的情況有A3Ag種,“射”排在第一次且“數(shù)”和“樂”

兩次相鄰的情況有AaA才種，所以“射”不在第一次，“數(shù)”和“樂”兩次不相

鄰的排法有Ag-Ag-A認(rèn)W+A3A3=408種，故選A.

解法二："數(shù)''或"樂”排在第一次有CjcIAa=192種排法；“數(shù)”和“樂”

都不排第一次有CJA3A2=216種排法；，共有192+216=408種不同的排法.故

選A.

(2)①先排3個(gè)音樂節(jié)目有Ah÷排法，共6種排法；

②再排3個(gè)舞蹈節(jié)目只能排3、4、5位置，共6種排法；

③再排3個(gè)曲藝節(jié)目，共6種排法；

，由分步乘法記數(shù)原理有6×6×6=216種排法.故選C.

(3)5人分成3組，各組人數(shù)有1,1,3或1,2,2兩類，

當(dāng)各組人數(shù)為1,1,3時(shí)，不同的安排方案有重等LM=60種，

當(dāng)各組人數(shù)為1,2,2時(shí)，不同的安排方案有券@-AW=90種，

所以，不同的安排方案有150種.

排列組合的其他題型及解法

1.限制條件的分配問題分類法：

A例6(2022?湖南三湘名校聯(lián)盟聯(lián)考)2020年4月22日是第51個(gè)世界地

球日，今年的活動(dòng)主題是“珍愛地球，人與自然和諧共生”.某校5名大學(xué)生到

A,B,C三個(gè)社區(qū)做宣傳，每個(gè)社區(qū)至少分配一人，每人只能去一個(gè)小區(qū)宣傳.若

甲、乙要求去同一個(gè)小區(qū)且不去A小區(qū)，則不同的安排方案共有(B)

A.20種