贏戰(zhàn)2023年高考數(shù)學(xué)模擬仿真卷 2卷(理科)(全國(guó)卷專用)(解析版)

【沖鋒號(hào)?考場(chǎng)模擬】贏戰(zhàn)2023年高考數(shù)學(xué)模擬仿真卷02卷（理科）

（全國(guó)卷專用）

（解析版）

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分.答卷前，考生務(wù)必將自

己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.

2.回答第I卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂

黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).寫在本試卷上無(wú)效.

3.回答第II卷時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.

4.測(cè)試范圍：高考全部?jī)?nèi)容

5.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

第I卷

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)

選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知集合/={刈幺<x+2},5={-1,0,1,2,3},則1口8=（）

A.{-1,0,1}B.{0,1,2}C.{0,1}D.{1,2}

【答案】C

【分析】解不等式得到“={x|-l<x<2},求出交集.

【詳解】x2<x+2>即/-》-2<0，解得：-l<x<2,故/={x|-l<x<2},

所以"n5={x|-l<x<2}n{-l,0,l,2,3}={0,l}.

故選：C

2.若復(fù)數(shù)z滿足白為純虛數(shù)，且|z|=l,則z的虛部為（）

2+1

A.士述B.—C.土有D.V?

55

【答案】A

【分析】設(shè)z=代入.后利用復(fù)數(shù)的定義求得.關(guān)系，然后由復(fù)數(shù)模的

定義計(jì)算求得z,從而得結(jié)論.

za+bi(a+Ai)(2-i)2a+b+(2b-a)i

【詳解】設(shè)2=。+/（°,661?）,則

2+i2+i(2+i)(2-i)5

'7"十0=U,II

因?yàn)檎紴榧兲摂?shù)，所以L1所以6=-2。=0,z=a-2ai,因?yàn)閦=l,所以

2+1[2b-a^0,

業(yè)+(_2a)=i,

解得4=±1,則6=不型，即z的虛部為土拽.

555

故選：A.

3.下列命題正確的個(gè)數(shù)為()

①命題“*eR,V+x+lNO”的否定是“VxeR,x2+x+l<0，>;

②a+6=0的充要條件是2=-1；

a

③若函數(shù)y=/(x)為奇函數(shù)，則/(x)=0;

④aZ>20是/+〃Z246的必要條件.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】A

【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定法則即可判斷①；取特例可判斷②、③、④項(xiàng).

【詳解】命題“太eR,V+x+izo，，的否定是“vxwR,Y+x+ivO”，①正確：

當(dāng)a=b=O時(shí)，a+b=O,但是。=一1不成立，②錯(cuò)誤；

a

函數(shù)〃X)=g是奇函數(shù)，但是/(1)#0,③錯(cuò)誤；

取a=l,b=T,a2+b2=2,2ab=-2,顯然有/十/22〃/,成立，但是M20不成立，④

錯(cuò)誤.

所以，只有①正確.

故選：A.

4.已知函數(shù)y=/(%)在定義域中滿足/(-%)=/(“)，且在(-%。)上單調(diào)遞減，則y=/(x)可

能是()

11_V

A.f(x)=一一B.f(x)=-x2C.f(x)=ex+exD./(x)=ln—

Xl+x

【答案】C

【分析】求出各個(gè)選項(xiàng)中函數(shù)的定義域，再判斷該函數(shù)是否同時(shí)滿足兩個(gè)條件作答.

【詳解】對(duì)于A,函數(shù)/(x)=-!■的定義域是(-8,0)U(0,+oo),/(-x)=L=-/(x),A不是;

XX

對(duì)于B,函數(shù)〃x)=-x2的定義域是R,而〃x)在(-8,0)上單調(diào)遞增，B不是；

xx

對(duì)于C,函數(shù)/(x)=e*+e-*的定義域是R,f(-x)=e+e=/(x),Vx,,x2e(-^O),%,<x2,

/(X,)-f(x,)=e&+ef-(e*2+e-12)=(e*-e*)(1_-,因玉<x?<0,則0<eV|<eA：<1>

e1-e2

We^'-e12<0,1---^<0,即有/(%)-/口2)>0,因此.，(再)>/(々)，/(x)在(-8,0)上單

調(diào)遞減，C正確；

對(duì)于D,函數(shù)〃x)=lnF的定義域是(-1,1),/(-x)=ln^=-/(x),D不是.

1+x1-x

故選：C

5./801=9044,4G

在直三棱柱中，。,?！岸謩e是的中點(diǎn)，BC=CA=CC.,

則8Q與/月所成角的正弦值是()

A廊R1「痂n聞

A?---------D.-V/?-----------Lz?---------

1021015

【答案】C

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得3烏與4片所成角的余弦值，從而求得所求.

【詳解】根據(jù)題意易知4C,8C,CG兩兩相互垂直，

由此建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)BC=4C=CG=2,

則“(2,0,0),耳(1,0,2),5(0,2,0)Q(l,l,2),

故西=(1,-1,2),^=(-1,0,2),

設(shè)2〃與所成角為a，0。4a490。，

~AF~BD,35/30

貝ijcosa=

M-Hy[5xyf6記

所以sina=Jl-cos2a=畫,即8鼻與/耳所成角的正弦值是畫.

1010

故選：C.

6.從2位男生，4位女生中安排3人到三個(gè)場(chǎng)館做志愿者，每個(gè)場(chǎng)館各1人，且至少有1

位男生入選，則不同安排方法有()種.

A.16B.20C.96D.120

【答案】C

【分析】分一男兩女與兩男一女兩類討論.

【詳解】若選一男兩女共有:C；C：A；=72；

若選兩男一女共有：C：C；A；=24；

因此共有96種，

故選：C

7.函數(shù)/（x）=2心m（5+*）其中。>0,|夕|<],的圖象的一部分如圖所示,

g（x）=2j忌nox,要想得到g（x）的圖象，只需將"X）的圖象（）

A.向右平移;個(gè)單位長(zhǎng)度

4

c.向左平移：個(gè)單位長(zhǎng)度D.向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度

4

【答案】B

【分析】根據(jù)圖象求出函數(shù)/（X）的解析式，然后根據(jù)圖象變換關(guān)系進(jìn)行求解即可.

【詳解】函數(shù)的周期T=4X（6-2）=4X4=16,即生=16,得。=三,

0）8

貝=R+夕），

由五點(diǎn)對(duì)應(yīng)法得;、2+夕=；,得0=：,

得/(x)=2缶in(孰+=2志in—(r+2),

8

為得到g（x）=2-V2sind9x=2V2sin—x,

8

則只需要將〃x）的圖象向右平移2個(gè)單位,即可得到g（x）的圖象，

故選：B.

8.排球比賽實(shí)行“五局三勝制”，根據(jù)此前的若干次比賽數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)可知，在甲、乙兩隊(duì)的比賽

中，每場(chǎng)比賽甲隊(duì)獲勝的概率為彳2，乙隊(duì)獲勝的概率為g1,則在這場(chǎng)“五局三勝制”的排球賽

中乙隊(duì)獲勝的概率為（）

1416

A.—BD.

81-I8?

【答案】C

【分析】乙隊(duì)獲勝可分為乙隊(duì)以3:0或3:1或3:2的比分獲勝.然后分別求出各種情況的概率,

加起來(lái)即可；也可以構(gòu)建二項(xiàng)分布模型解決.

【詳解】解法一：乙隊(duì)獲勝可分為乙隊(duì)以3:0或3:1或3:2的比分獲勝.

乙隊(duì)以3:0獲勝,即乙隊(duì)三場(chǎng)全勝,概率為C；"(JW

乙隊(duì)以3:1獲勝，即乙隊(duì)前三場(chǎng)兩勝一負(fù)，第四場(chǎng)獲勝，概率為x-xl=—；

3⑶3327

乙隊(duì)以3:2獲勝，即乙隊(duì)前四場(chǎng)兩勝兩負(fù)，第五場(chǎng)獲勝，概率為C；x(g)xj=A

所以，在這場(chǎng)“五局三勝制，，的排球賽中乙隊(duì)獲勝的概率為導(dǎo)號(hào)+福噂

解法二:采用五局三勝制，不妨設(shè)賽滿5局，用X表示5局比賽中乙勝的局?jǐn)?shù)，則X8。,；

乙最終獲勝的概率為

尸"3)+*=4)+「25)心(品。+中(小圖’+飆「哈.

故選：C.

9.八角星紋是一種有八個(gè)向外突出的銳角的幾何紋樣(如圖1),它由八個(gè)均等的向外伸展

的銳角組成的對(duì)稱多邊形紋樣，具有組合性強(qiáng)、結(jié)構(gòu)穩(wěn)定等特點(diǎn).有的八角星紋中間鏤空出

一個(gè)正方形，有的由八個(gè)菱形組成，內(nèi)部呈現(xiàn)米字形線條.八角星紋目前仍流行在中國(guó)南方

的挑花和織錦中.在圖2所示的八角星紋中，各個(gè)最小的三角形均為全等的等腰直角三角形,

中間的四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形，在圖2的基礎(chǔ)上連接線段，得到角a,P，如圖3所

示，則a+?=()

A.30°B.45°D.75°

【答案】B

【分析】根據(jù)圖形的結(jié)構(gòu)特征求出tana,tan/7,然后利用兩角和的正切公式求解即可.

【詳解】如圖所示，連接BC,

BC1

tana=-----二—

AC3

EF1

在RtZXQE尸中，EF=2,DE=4,tan^=—=-

DE2

11

一+一

tana+tan夕32

所以tan(a+1)==1,

11

1-tanatanf3—x—

32

又a,〃e((r,45。)，所以a+￡=45°.

故選:B.

10.函數(shù)/(x)=(eT-e")cos2x在區(qū)間大致圖像可能為()

【答案】B

【分析】利用定義判斷/(x)的奇偶性，再結(jié)合函數(shù)值的符號(hào)分析判斷，即可得答案.

【詳解】：/(x)+/(-x)=(e-v-ev)cos2x+(e'-e-x)cos(-2］《e-r-ev+e*-e-jcos2x=(,

即/'(x)=-/(-x)，

.../(x)在定義域內(nèi)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

故A、C錯(cuò)誤：

當(dāng)弓)時(shí)，則^>1?"=卜<1,2》￡(0,方，

b-e*<0,cos2x>0,故/(x)=(e-*-e*)cos2x<0；

當(dāng)xw仔,/)時(shí),則e">1"=/<l,2r,n),

e-v-e1<0,cos2x<0,故/(x)=(e='-ev)cos2x>0；

故D錯(cuò)誤，B正確；

故選：B.

11.若雙曲線￡一4=1(.>°，6>°)的漸近線與圓。：/+3?-以+2=0相交，則此雙曲線

ab

的離心率的取值范圍是()

A.(1,^/2)B.(1,2)C.(V2,2)D.(五,+可

【答案】A

【分析】雙曲線的漸近線與圓相交，則圓心到漸近線的距離小于半徑，解出的不等式代入離

心率算式即可.

【詳解】由圓一+/-4戈+2=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程(x-2y+/=2,得到圓心(2,0),半徑/=&.

???雙曲線W-g=l(a>0,b>0)的漸近線夕=±2%與圓/+2-4x+2=0相交，

a~ba

則圓心到漸近線的距離小于半徑，即/產(chǎn)，〈海,可得...與=《4=?2T<1,

即/<2,XVe>l,

:A<e<y[2-

該雙曲線的離心率的取值范圍是(1,四).

故選：A.

12.若0〈為〈/〈I，則()

v,

A.e"2-e演>lnx2-lnx}B.-e<lnx2-lnx}

X|eX|

C.x2e>工戶”D.x2〈工戶必

【答案】C

【分析】構(gòu)造函數(shù)/(x)=e、-lru,利用導(dǎo)數(shù)討論單調(diào)性即可判斷A和B,再構(gòu)造g(x)=《，

利用導(dǎo)數(shù)討論單調(diào)性即可判斷C和D.

【詳解】令/(x)=e，-lnx,則/")=e"T，

令/>(x)=e，-4,l(x)=e'+[>0恒成立，

XX

即/'(x)=e=3在定義域(0,+8)單調(diào)遞增，

且j=e；-e<0/(l)=e-l>0,

因此在區(qū)間(0,1)卜一必然存在唯F使得/'(x°)=0,

所以當(dāng)xe(O,x。)時(shí)〃x)單調(diào)遞減，當(dāng)xe(x0,l)時(shí)“X)單調(diào)遞增，

故A,B均錯(cuò)誤；

令g(x)=：，g(x)=，，

當(dāng)0<x<l時(shí)，g'(x)<0,

；.g(x)在區(qū)間(0,1)上為減函數(shù),

x?e"2

0<X1<x,,<*.—e>—,即x)e、>x,eX2,

玉x?

??.選項(xiàng)C正確，D不正確.

故選:C.

第n卷

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分

13.雙曲線C：WW=l(°>0/>0)的左、右焦點(diǎn)分別為石，尺，已知焦距為8,離心率為2,

a'b

過(guò)右焦點(diǎn)F2作垂直于x軸的直線/與雙曲線C的右支交于A,B兩點(diǎn),則1=.

【答案】12

【分析】根據(jù)雙曲線的焦距和離心率求得雙曲線方程，根據(jù)題意可令x=4,即可求得答案.

【詳解】由題意雙曲線。：m-[=1(。>08>0),貝I]半焦距c=4,

a~b

乂離心率為2,則￡=2,故4=2,.二b=J16-4=2百,

a

則雙曲線方程為C:■一片=1,5(4,0)

412

過(guò)右焦點(diǎn)用作垂直于x軸的直線/與雙曲線。的右支交于46兩點(diǎn)，

則令x=4,故卜-"=1,”=±6,

故|4用=6-(-6)=12,

故答案為：12.

14.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，且4(1,機(jī)),8(4,4-機(jī))，若0,48三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)〃?=.

4

【答案】y##0.8

【分析】將三點(diǎn)共線，轉(zhuǎn)化為況//礪，再利用向量平行的坐標(biāo)表示，即可求解.

【詳解】因?yàn)椤?48—：點(diǎn)共線，所以方//麗，04=(1,m),麗=(4,4-m),

4

所以4-〃7=4/n,解得：/?=—.

4

故答案為：—

15.在48c中，角4瓦C所對(duì)的邊分別為a,6,c,若a=2,c=3,sinJ=2sin8cosc，則ABC

的面積為.

【答案】2亞

【分析】利用正弦定理邊角互化，結(jié)合余弦定理解得6=3,再利用三角形面積公式求解即

可.

【詳解】由正弦定理邊角互化可得a=26cosC①，

乂由余弦定理可得C?=a2+b2-labcosC?,

①②聯(lián)立解得b=3,

所以cosC=1?=!，又因?yàn)镃e(0,n),所以sinC=P但，

2b33

所以S"c=；/sinC=2近，

故答案為：2近

16.已知矩形/BCD,P是矩形內(nèi)一點(diǎn)，|/尸|=括且產(chǎn)到/8的距離為2.若將矩形

繞“。順時(shí)針旋若，則線段”掃過(guò)的區(qū)域面積為一

,JI1

【分析】矩形/BCD繞ZO順時(shí)針旋轉(zhuǎn)?，則/P掃過(guò)了一個(gè)圓錐的側(cè)面的;，圓錐的側(cè)面

24

展開即可計(jì)算.

【詳解】過(guò)P作PE/4D于E,PE=JAP?-AE?=75-22=1，

若旋轉(zhuǎn)一圈則4尸可旋轉(zhuǎn)成一個(gè)底面半徑為1，高為2的圓錐，則

S=—X—xlx^/5=

224

故答案為：叵.

4

三、解答題：本大題共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第

17?21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根

據(jù)要求作答.

(-)必考題：共60分.

17.某商場(chǎng)計(jì)劃按月訂購(gòu)一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶8元，售價(jià)每瓶10元,

未售出的酸奶降價(jià)處理，以每瓶4元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn)，每天需求

量與當(dāng)天最高氣溫(單位：。C)有關(guān).如果最高氣溫不低于25,需求量為600瓶；如果最高

氣溫位于區(qū)間［20,25),需求量為40()瓶；如果最高氣溫低于20,需求量為300瓶.為了確定

六月份的訂購(gòu)計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：

最高氣溫[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)

天數(shù)117382275

以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計(jì)最高氣溫位于該區(qū)間的概率.

(1)估計(jì)六月份這種酸奶一天的需求量不超過(guò)400瓶的概率，并求出前三年六月份這種酸奶

每天平均的需求量；

(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤(rùn)為丫(單位：元)，當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量為

550瓶時(shí)，寫出y的所有可能值，并估計(jì)丫大于零的概率.

【答案】⑴"77；456

45

4

(2)丫值見(jiàn)解析，y

【分析】(1)由前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，求出最高氣溫位于區(qū)間［20,25)和最

高氣溫低于20的天數(shù)，由此能求出六月份這種酸奶一天的需求量不超過(guò)400瓶的概率：利

用平均數(shù)公式可求前三年六月份每天平均需求量；

(2)分別求當(dāng)溫度大于等于25℃時(shí)，溫度在［20,25)℃時(shí)，以及溫度低于20℃時(shí)的利潤(rùn),

從而估計(jì)丫大于零的概率.

【詳解】(1)由前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，

得到最高氣溫位于區(qū)間［20,25)和最高氣溫低于20的天數(shù)為1+17+38=56,

.??六月份這種酸奶一天的需求量不超過(guò)300瓶的概率=

9045

前三年六月份這種酸奶每天平均的需求量為

(22+7+5)x600+38x400+(1+17)x300_41000

“456(瓶)；

―9090

(2)當(dāng)溫度大于等于25C時(shí)，需求量為600,

y=550x2=1100元，

當(dāng)溫度在［20,25)℃時(shí)，需求量為400,

y=400x2-(550-400)/4=200元，

當(dāng)溫度低于20℃時(shí)，需求量為300,

丫=600-(550-300)x4=-400元，

當(dāng)溫度大于等于20ff寸，r>o,

由前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得當(dāng)溫度大于等于20℃的天數(shù)有:

90-(1+17)=72,

估計(jì)Y大于零的概率P=72U4

5

18.有下列3個(gè)條件：①%+%=-2；②S,=-28；③%,4，6成等比數(shù)列.從中任選1

個(gè)，補(bǔ)充到下面的問(wèn)題中并解答

問(wèn)題：設(shè)數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S,,已知S,M=5“+%+2(〃eN*),.

(1)求數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式；

(2)S,,的最小值并指明相應(yīng)的〃的值.

【答案】(1M,=2N-12；

(2)〃=5或者6時(shí)，S.取到最小值-30.

【分析】(1)由已知可得。=2,則｛a“｝是公差為2的等差數(shù)列，若選①，則由。3+4=-2

列方程可求出生,從而可求出通項(xiàng)公式；若選②，則由S?=-28列方程可求出力,從而可求

出通項(xiàng)公式；若選③，則由4，%，%成等比數(shù)列可得(如『=%為，由此可求出4,從而

可求出通項(xiàng)公式；

(2)由(1)可得.="2_11”=(〃-￡，-半，再由二次函數(shù)的性質(zhì)可求出其最小值.

【詳解】(1)因?yàn)槭?=5.+%+2,

所以%-4=2,即｛可｝是公差為2的等差數(shù)列,

選擇條件①：因?yàn)椤?/=-2,所以2%+9d=-2,則2q+9x2=-2,

解得q=-10,所以勺=2"-12；

選擇條件②：因?yàn)橐?-28,所以7%+型7x61=-28,解得q=-10,

所以=2〃-12；

選擇條件③：因?yàn)?，生成等比數(shù)列，

所以(%)2=出/，即(q+3d)2=(4+d)(q+4d),解得q=-10,

所以&=2〃-12；

(2)flI(1)可知q=-10,d=2,

,n(n-l)-2,,CIlf121

所rri以>Sn“=-1i0n/?+------x2=n2-lln=\n---------，

"2V2J4

因?yàn)椤╡N,,

所以當(dāng)”=5或者6時(shí)，S,,取到最小值，即(S“)mM=-30

19.如圖，直三棱柱zIBC-Z/C的底面為正三角形，4B=4A1=2,點(diǎn)、D,E分別在N8,

B片上，且工。=。8,BE=；EB「

(1)證明：平面NQCJ■平面EDC；

(2)求二面角A.-EC-D的余弦值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

⑵巫

10

【分析】（1）解法一：先建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算得到甌?皮=0，

瓦?函=0,即可證明。4_LOE,DAtlDC,再利用線面垂宜的判定定理及面面垂直的

判定定理即可得證；

解法二：先根據(jù)已知，利用相似三角形和勾股定理的逆定理得到DA.1CD,再

利用線面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理即可得證；

（2）先求出平面4EC的法向量，再利用（1）中的結(jié)論得出兩為平面EQC的一個(gè)法向量,

最后利用向量的夾角公式即可得解.

【詳解】（1）解法一，取8c的中點(diǎn)O,連接04

因?yàn)?8c是等邊三角形，所以。4上BC,

因?yàn)槠矫鍭BC1平面BB￡C,且平面ABCC平面BB?C=BC,

所以。/，平面

以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB,04所在直線分別為x,z軸，平面88CC內(nèi)，過(guò)點(diǎn)。作。軸，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

由題意得8（1,0,0）,C（-l,0,0）,Z（0,0,JJ）,4（1,2,0）,

因?yàn)閆Z）=￡>8,BE=—EB},用「以,

—（3——

所以礪=,DC=DA.

1-2-,0,-2-J,

所以西?友=0,瓦?西=0,所以。4_LOE,DA,1DC,

又C￡）nOE=。，CD,￡>Eu平面COE,所以。4,平面。CE,

又u平面A,DC,所以平面A,DCL平面EDC.

解法二，山題意知四邊形N網(wǎng)4為正方形，條=黑=2,

所以△4）&s^BED,則ZAAQ=ABDE,

因?yàn)?/14。+4|。力=90。，所以ZBDE+ZAi￡l4=90。,所以N/QE=90。，則。EJ.。4.

易得CZ>=C，DA、=后,CA}=25/2,因?yàn)椋ㄍ耍?（石'）=（2&）,

所以82+。42=0：，則。4LCD.

又CDCiDE=D,CD,。Eu平面C。E,所以。4、平面COE,

又DA,u平面CD4,所以平面ZQC1平面EDC.

(2)

因?yàn)锳D=L>8，BE=；EB],所以。，明可,

所以在=(2,；,0),瓦=(1,2,6)，函=一；2與

設(shè)平面4EC的法向量為分=(x,y,z),

n-CE=Q

則一，所以<

ii-CAt=0

由(|)知。41■平面CDE,故可為平面CQE的一個(gè)法向量.(注意利用(1)的結(jié)論)

易知二面角A.-EC-D為銳二面角，所以二面角A.-EC-D的余弦值為嫗.

10

20.已知橢圓C：W+E=l(a>Z>>0)的下頂點(diǎn)為點(diǎn)。，右焦點(diǎn)為瑪(1,0).延長(zhǎng)。鳥交橢圓

a-h'

C于點(diǎn)E,且滿足|。曰=3|心耳.

(1)試求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)/,8分別是橢圓長(zhǎng)軸的左右兩個(gè)端點(diǎn)，M,N是橢圓上與N,8均不重合的相異兩點(diǎn)，

設(shè)直線ZN的斜率分別是勺，若直線的過(guò)點(diǎn)則勺?&是否為定值，若是

求出定值，若不是請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)[+V=1

(2)是定值：k「k,=J

O

【分析】(1)由|。入卜3|乙同轉(zhuǎn)化為平面向量表達(dá)式，根據(jù)橢圓的頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)

合平面向量共線的坐標(biāo)表示得到E的坐標(biāo)，從而代入橢圓求解即可；

(2)設(shè)出直線1W的方程，與橢圓方程聯(lián)立，消元，化為一元二次方程，根據(jù)一元二次方

程根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合直線斜率公式進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算證明即可.

【詳解】(1)橢圓C的下頂點(diǎn)為。(0,-6),右焦點(diǎn)心(L0),設(shè)點(diǎn)￡的坐標(biāo)為(xj),

因?yàn)橹?3區(qū)同，所以配=3祿，又麗=(l,b),F\E=(x-1,y),

4

X

3(1)=13

所以，解得

b'

y

3

代入：+E=l可得豆+邕"即裊9、得"=2，

又/一從==1,則從=1,

所以橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程為三+V=1:

(2)由題意設(shè)直線A/N:x=my+*，M(xt,yi),N(x2,y2),/卜板,0),

五

x=my+——

2

聯(lián)立消去x,得2(〃尸+2)/+2在機(jī)y-3=0,

—+/=1

,2

則—魯3=-3

2(m2+2),

必必

所以匕?左2

x]x2+&(X,+x2)4-2

___________y^2___________

,3V2z\9

獷必%+W用(％+%)+2

3

_3

-2(/n2+2)_____22_____，

-3^11m~9一；機(jī)2—3加2+2(,〃2+2)6

-m--------------m------1—

2(W2+2)2團(tuán)2+22

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)暗：直線與圓錐曲線位置關(guān)系的題目，往往需要聯(lián)立兩者方程，利川韋達(dá)定

理解決相應(yīng)關(guān)系，其中的計(jì)算量往往較大，需要反復(fù)練習(xí)，做到胸有成竹.

21.已知函數(shù)/(x)=e'-x,g(x)=alnx+a(a>0,e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

⑴若直線夕=丘與曲線y=/(x),y=g(x)都相切，求°的值;

(2)若〃x)2g(x)恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】(l)a=e_l

(2)(0,e-1]

【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義分別求出曲線》=/(x)，y=g(x)的過(guò)原點(diǎn)的切線，列方

程即可求得。的值；

(2)先討論g(x)40的情況，再討論g(x)>0的情況，分離參數(shù)，將不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)

化為函數(shù)的最值問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，進(jìn)而得出結(jié)果.

【詳解】(1)解：設(shè)直線了=履與曲線V=/(x)，V=g(x)分別切于點(diǎn)尸(為,/(再))，

。卜2國(guó)(々))，

易知/(X|)=e*-X],/,(x)=eI-l,

A;(國(guó))=9-1,

與曲線y=/(x)切于點(diǎn)尸的直線方程為y=(鏟f(x-xj+e%-%,

；直線y=b過(guò)原點(diǎn)，

-X|(e、1-1)+e'1-X|=0,

整理得(lf)e*=0,

切線方程為夕=(e-l)x.

易知g(x2)=alnz+a,g'(x)=-,

?1?g'(x2)=K，

工2

二與曲線y=g(x)切于點(diǎn)Q的直線方程為V=色(》72)+。111々+a,

X2

整理得V=2,x+alnx2,

?'?1X2，

QIn%=0

/.a=e-1.

(2)解:由/(x)2g(x),Wex-x>a(lnx+l),

令0(x)=e“-x-\,

貝iJd(x)=e'-l,

當(dāng)x<0時(shí)，"(x)<0,9(x)遞減；

當(dāng)%>0時(shí),“(x)>0,°(x)遞增，

???9(x)mi0=夕(0)=。，

:.ex>x+\>x^

ev-x>0?

當(dāng)時(shí)一,6f(lnx4-l)<0,

e”一x?Q(lnx+l)恒成立.

當(dāng)x￡(一,+00)H寸，a<e-x

lnx+1

令〃（x）=W，XC>8,

fev-l)(lnx+l)--(ex-x)『1)lnx+ex-

則，(、)='_「消一

(lnx+1)(Inx+lf

當(dāng)時(shí)，/（、）＜（）,單調(diào)遞減,

當(dāng)X€(l,+oo)時(shí)，/(x)>0,〃(x)單調(diào)遞增,

?y(x)min="l)=eT，

?/4>0,

實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0,e-l].

【點(diǎn)睛】本題的解題關(guān)鍵是對(duì)lnx+1的符號(hào)分類討論，難點(diǎn)是對(duì)"（x）符號(hào)判斷；另外對(duì)常

見(jiàn)的求參方法要注意積累，比如本題中用到了分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值的方法求參.

（-）選考題：共