2023-2024學(xué)年遼寧省葫蘆島市高一年級(jí)上冊(cè)期末數(shù)學(xué)試題（含答案）

2023-2024學(xué)年遼寧省葫蘆島市高一上冊(cè)期末數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.已知集合厶={幻一1＜》＜6},8={》|2＜；1＜3},則()

A.BeAB.B=AC.A=BD.H

【正確答案】B

【分析】運(yùn)用集合與集合的包含關(guān)系分析即可.

［詳解］由題意知，—L-------口------------A,

-10236x

所以8aA.

故選：B.

2.已知mbwR,下列表達(dá)式中為。＞6的充要條件的是()

A.丄B.同＞例C.a2＞b2D.a3＞b3

ab1111

【正確答案】D

【分析】對(duì)于選項(xiàng)A、B、C可以通過(guò)舉反例分析，對(duì)于選項(xiàng)D,通過(guò)立方差公式可證得.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A,當(dāng)。=-2,6=1時(shí)，滿(mǎn)足丄＜、，但不滿(mǎn)足a＞b,所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)B,當(dāng)a=-2,。=1時(shí)，滿(mǎn)足1。1＞1勿，但不滿(mǎn)足。＞打，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C,當(dāng)。=-2,。=1時(shí)，滿(mǎn)足但不滿(mǎn)足。＞6,所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

1o13

對(duì)于選項(xiàng)D,因?yàn)?ab+b2)=(a-b)［(a+-b)2+-b2］,(a+—b)~+—b2＞。恒

2424

成立，所以a-b＞0,即

［31

當(dāng)時(shí)，又因?yàn)?+］力2+7^＞0恒成立，所以(“-切［(a+］庁+^〃］＞0,即o'-方＞0,

所以，＞〃.所以選項(xiàng)D正確.

故選：D.

3.2022年第24屆冬奧會(huì)在北京和張家口成功舉辦，出色的賽事組織工作贏得了國(guó)際社會(huì)

的一致稱(chēng)贊、經(jīng)濟(jì)效益方面，多項(xiàng)收入也創(chuàng)下歷屆冬奧會(huì)新高.某機(jī)構(gòu)對(duì)本屆冬奧會(huì)各項(xiàng)主

要收入進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到的數(shù)據(jù)如圖所示.已知賽事轉(zhuǎn)播的收入比政府補(bǔ)貼和特許商品銷(xiāo)售

的收入之和多24.8億元，則2022年冬奧會(huì)這幾項(xiàng)收入總和為()

特許商品銷(xiāo)售

C.160億元D.118億元

【正確答案】A

【分析】根據(jù)己知條件列式解方程即可.

【詳解】設(shè)收入總和為x億元，WO35.4%x-(12.2%+10.8%)x=24.8,解得：x=200,即:

收入總和為200億元.

故選：A.

4.在工A3C中，。為AB邊的中點(diǎn)，記C4=〃?,CO=〃，則C8=()

A.m-2nB.m+2nC.2m+nD.-m+2n

【正確答案】D

【分析】根據(jù)幾何條件以及平面向量的線性運(yùn)算即可解出.

【詳解】因?yàn)?。為AB邊的中點(diǎn)，所以8O=D4，即CO-CB=C4-C。，

所以C8=2C￡>-C4=2〃-〃？=-m+2n.

故選：D

91

5.已知3*=2,log31=y,則x+]y=()

A.1B.2C.3

【正確答案】A

【分析】先計(jì)算出x,然后求解即可.

119

【詳解】由題可知xfog.",x+-y=log32+-log3-=log3

故選：A

6.張益唐是當(dāng)代著名華人數(shù)學(xué)家，他在數(shù)論研究方面取得了巨大成就，曾經(jīng)在《數(shù)學(xué)年刊》

發(fā)表《質(zhì)數(shù)間的有界間隔》，證明了存在無(wú)窮多對(duì)質(zhì)數(shù)間隙都小于7000萬(wàn).2013年張益唐

證明了李生素?cái)?shù)猜想的一個(gè)弱化形式，李生素?cái)?shù)猜想是希爾伯特在1900年提出的23個(gè)問(wèn)題

之一，可以這樣描述，存在無(wú)窮多個(gè)素?cái)?shù)p,使得2+2是素?cái)?shù)，素?cái)?shù)對(duì)（p,p+2）稱(chēng)為學(xué)生

素?cái)?shù)，在不超過(guò)12的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，能夠組成攣生素?cái)?shù)的概率是（）

【正確答案】B

【分析】運(yùn)用列舉法解決古典概型即可.

【詳解】不超過(guò)12的素?cái)?shù)有2、3、5、7、11共5個(gè)，在其中任取兩個(gè)數(shù)的基本事件為（2,3）、

（2,5）、（2,7）、（2,11）、（3,5）、（3,7）、（3,11）、（5,7）、（5,11）、（7,11）共10個(gè),其中是攣生

素?cái)?shù)的基本事件為（3,5）、（5,7）共2個(gè)，

21

所以在不超過(guò)12的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，能夠組成孳生素?cái)?shù)的概率為木=g.

故選：B.

7.對(duì)任意正數(shù)x,滿(mǎn)足q+』=2-4y2,則正實(shí)數(shù)〉的最大值為（）

X

A.2B.1C.-D.一

24

【正確答案】C

v121

【分析】先將孫+2=2-4/兩邊同時(shí)除以九得X+—=--4九再根據(jù)x+丄的范圍得到

XXyX

2

不等式一-4），之2,解得y的范圍，即可求得y的最大值

y

【詳解】肛+上=2—4V，兩邊同時(shí)除以>得：x+丄=2-4y,

xxy

.x>O,x+->2jx--=2,當(dāng)且僅當(dāng)“％=丄”時(shí)，即“x=l”時(shí)取等號(hào)，

X\XX

一一4y>2,

y

y>0,.,.2/+y-l<0,解得：

?丿的最大值為

故選：c.

8.已知函數(shù)〃x)的定義域?yàn)镽,/(x+2)為偶函數(shù)，/(x+1)為奇函數(shù)，則下列選項(xiàng)中值

一定為。的是()

A./(-I)B./(O)C./(2)D."4)

【正確答案】A

【分析】運(yùn)用抽象函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱(chēng)性、周期性求解即可.

【詳解】???/(X)定義域?yàn)镽，f(x+2)為偶函數(shù)，

A/(x+2)=/(-x+2),①即:/(*)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱(chēng)，

為奇函數(shù)，

/./(-x+l)+/(x+l)=O,②即：/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱(chēng)，

.?.在②中，以x-1替換x,得/(x)=-f(2-x)=-f(x+2),

A/(2-x)=/(x+2),/(x+2)=-/W,③

.?./(x+4)=-/(x+2)=/U),④即：f(x)是周期為4的周期函數(shù)，

在②中，令x=0,得/⑴+/⑴=0,解得：/(1)=0,

/./(-D=/(-I+4)=/(3)=/(1+2)=/(-1+2)=/(I)=0,

在④中，令x=0,得〃4)=一/(2)=/(0),由于f(0)的值無(wú)法確定，所以/(4)、/⑵、/(0)

的值無(wú)法確定.

故選：A.

二、多選題

9.已知。=1082a方=1112,，=1082兀,則a,b,c的大小關(guān)系為()

A.i?aB.a>hC.c>aD.a>c

【正確答案】BC

【分析】由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性并借助1進(jìn)行比較.

【詳解】由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，IfogzZvlogzevlogj,ln2<lne=l.

即匕<a<c.

故選：BC

10.下列命題中是真命題的有()

A.有A,B,C三種個(gè)體按3：1：2的比例分層抽樣調(diào)查，如果抽取的A個(gè)體數(shù)為9,則樣本容

量為30

B.一組數(shù)據(jù)1,2,3,3,4,5的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)相同

C.若甲組數(shù)據(jù)的方差為5,乙組數(shù)據(jù)為5,6,9,10,5,則這兩組數(shù)據(jù)中較穩(wěn)定的是甲

D.某一組樣本數(shù)據(jù)為125,120,122,105,130,114,116,95,120,134,則樣本數(shù)據(jù)

落在區(qū)間［1145124.5］內(nèi)的頻率為0.4

【正確答案】BD

【分析】利用分層抽樣中樣本的抽樣比等于各層的抽樣比即可判斷A,求岀這一組數(shù)據(jù)的平

均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)即可判B,計(jì)算乙的方差，比較方差大小即可判斷C,利用落在區(qū)間

［114.5,124.5］內(nèi)的個(gè)數(shù)除以總的個(gè)數(shù)計(jì)算概率，即可判斷D,從而得出正確選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：根據(jù)樣本的抽樣比等于各層的抽樣比，樣本容量為9+丁4F=18,

故選項(xiàng)A不正確；

對(duì)于選項(xiàng)B：數(shù)據(jù)1,2,3,3,4,5的平均數(shù)為：(1+2+3+4+5)=3,眾數(shù)和中位數(shù)都是3,

故選項(xiàng)B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C：乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，5+6+9+10+5)=7,乙組數(shù)據(jù)的方差為

1［(5-7)2+(6-7)2+(9-7)2+(10-7)2+(5-7)2］=4.4<5,所以這兩組數(shù)據(jù)中較穩(wěn)定的是

乙，故選項(xiàng)C不正確；

對(duì)于選項(xiàng)D：樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間［114.5,124.5］有120,122,116,120有4個(gè)，所以樣本數(shù)據(jù)

落在區(qū)間［114.5,124.5］內(nèi)的頻率為^=0.4,故選項(xiàng)D正確，

故選：BD

11.已知集合卜|/+"+/,=0,。>0｝有且僅有兩個(gè)子集，則下面正確的是()

A.a2-b2>4

1

B.7礦+一<4

b

c.若不等式/+以一〃<0的解集為(百,々)，貝1］工然2<0

D.若不等式的解集為a，w)，且%-々1=4,則c=4

【正確答案】CD

【分析】根據(jù)集合卜|戸+奴+匕=0,。>0｝子集的個(gè)數(shù)列岀方程，求得的關(guān)系式，對(duì)A,

利用二次函數(shù)性質(zhì)可判斷；對(duì)B,利用基本不等式可判斷；對(duì)CD,利用不等式的解集及韋

達(dá)定理可判斷.

【詳解】由于集合｛巾2+以+3=0,。>0｝有且僅有兩個(gè)子集，

所以方程X?+or+b=0只有一解，所以厶=巒-4/?=0,所以"=4。，

由于〃>0,所以b>0.

A,a2-b2=4b-b2=-^-2^+4<4,當(dāng)〃=2,a=20時(shí)等號(hào)成立，故A錯(cuò)誤.

B,a2+-=4b+->2.Ub^-=4,當(dāng)且僅當(dāng)46=:，匕=!，。=0時(shí)等號(hào)成立，故B錯(cuò)誤.

bb\bb2

C,不等式d+依-b<o的解集為（公々），所以方程/+以一〃=（）的兩根為占,電，所以

xix2=-/?<0,故C正確.

D,不等式f+or+bvc的解集為&,々），即不等式/+辦+6-°<0的解集為（.電），且

-x,|=4,貝!］蜀+x2=_。,&w=b-c,

則歸一=（3+々）2-4%々=/-4（A—c）=4c=16,所以c=4,故D正確，

故選：CD

12.函數(shù)y=〃x）是R上的奇函數(shù)，對(duì)任意xeR,都有〃2-6=〃力+〃2）成立，當(dāng)

x,,x2G［0,1］,且X產(chǎn)々時(shí)，都有"”4）+X2/（毛）>n/'（毛）+%2/（%），則下列結(jié)論正確的有

（）

A./（1）+/（2）+/（3）+...+/（2022）=0

B.直線x=-5是函數(shù)y=/（x）圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸

C.函數(shù)y=〃x）在［-7,7］上有5個(gè)零點(diǎn)

D.函數(shù)y=〃x）在［-7,-5］上為減函數(shù)

【正確答案】BD

【分析】根據(jù)題意得出函數(shù)y=/（x）性質(zhì)，利用函數(shù)性質(zhì)判斷選項(xiàng)，利用對(duì)稱(chēng)性可得A,B

選項(xiàng)正誤，利用零點(diǎn)分別特點(diǎn)可得C選項(xiàng)正誤，利用單調(diào)性可得D選項(xiàng)正誤.

【詳解】由函數(shù)y=/(x)是R上的奇函數(shù)，得"0)=0；令x=2,得/(2-2)=〃2)+〃2),

故"2)=0,于是“2-x)W(x),所以y=的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱(chēng).

因?yàn)椤▁)=〃2-x)-2),所以〃x+4)=—/(x+2)=/(x).

從而得到y(tǒng)=/(x)是周期函數(shù)，且T=4.

又當(dāng)用且時(shí)，都有石/(與)+電/(々)>%/(々)+電/(與)，即

(x1-x2)［/(x,)-/(x2)］>0,故y=〃x)在［0』上單調(diào)遞增.

對(duì)于選項(xiàng)A,因?yàn)椤?)+/(2)+/⑶+/(4)=〃1)+/(-1)+/(0)=0,

所以/⑴+/(2)+〃3)+…+〃2022)=〃1)+/⑵=/⑴>40)=0,選項(xiàng)A錯(cuò)誤;

對(duì)于選項(xiàng)B,因?yàn)?=4,所以/(—10—x)=〃2—x)=/(x),所以直線x=-5是函數(shù)y=/(x)

圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸，選項(xiàng)B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C,因?yàn)?=4,所以f(0)=/(4)=0,/(2)=/(6)=0；

又因?yàn)镕3為奇函數(shù)，所以〃-2)=/(-4)=八-6)=0,所以函數(shù)y=在［-7,7］上有7

個(gè)零點(diǎn)，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)D,因?yàn)槠婧瘮?shù)/(X)在［0,1］上單調(diào)遞增，所以，/(x)在［-1,1］上單調(diào)遞增，又f(x)

的圖象關(guān)于x=l對(duì)稱(chēng)，所以

y=/(x)的減區(qū)間為1+44,3+4打，keZ,當(dāng)人=一2時(shí)，減區(qū)間為［-7,—5］,選項(xiàng)D正確;

故選：BD.

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題求解的關(guān)鍵是內(nèi)/(XJ+A2f(%)>毛/(七)+&/(為)的轉(zhuǎn)化，函數(shù)單調(diào)性的

表述常見(jiàn)有：以增函數(shù)為例，①若用<當(dāng)，都有了(芭)<“天)；②(為一/)卜u)-廣仁)］>o；

③/⑺一〃切>0.

王一赴

三、填空題

13.命題“對(duì)任意X>1,爐>1"的否定是.

【正確答案】存在%>1,使得年41

【詳解】試題分析：根據(jù)命題否定的概念，可知命題“對(duì)任意X>1,f>i，，的否定是“存在

%>1,使得焼41”.

命題的否定.

14.寫(xiě)出一個(gè)同時(shí)具有性質(zhì)①②③的函數(shù)〃力=.

①丹)=/&)/(々)；②當(dāng)xeR時(shí)，/(x)>0；③/(x)是增函數(shù).

【正確答案】2,(寫(xiě)一個(gè)滿(mǎn)足的即可).

【分析】運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分析即可.

【詳解】當(dāng)f(x)=a",時(shí)，

所以f(x)定義域?yàn)镽,且/*)>0恒成立，且f(x)是增函數(shù)，

又因?yàn)?(X)/(%)=優(yōu)'=優(yōu)宀=f(x,+x2),

所以f(x)=優(yōu)，符合題意.

所以可以是滿(mǎn)足，。)=優(yōu)，。>1的即可，如：r(或e，、3'、5'等).

故答案為.2、

四、雙空題

15.在直角坐標(biāo)系X。)，中，已知點(diǎn)4(3,3),8(5,1),P(2,l),“是坐標(biāo)平面內(nèi)的一點(diǎn).

(1)若四邊形AP8M是平行四邊形，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為；

(2)若PA+PB=2PM，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為.

【正確答案】(6,3)(4,2)

【分析】(1)根據(jù)平行四邊形特點(diǎn)知=利用向量坐標(biāo)運(yùn)算可構(gòu)造方程求得結(jié)果;

(2)根據(jù)向量相等關(guān)系，由向量坐標(biāo)運(yùn)算可構(gòu)造方程求得結(jié)果.

【詳解】(1)設(shè)

5-x=2-3,x=6

四邊形AP3M是平行四邊形，=即1-,1-3，解得:

=)=3,

，M（6,3）；

(2)設(shè)M(x,y),

VPA+PB=(1,2)+(3,0)=(4,2),PM=(x-2,y-l),

2(x-2)=4|x=4

解得：c

2(y-i)=2[y=2

故（6,3）；（4,2）.

五、填空題

log,（x+l）,xe（O,l]

16.定義在R上的奇函數(shù)/（x）,當(dāng)x>0時(shí)，f（x）=2,則關(guān)于x的函數(shù)

1-|X-4|,X€（1,+??）

尸（力=3〃力-“（0<”<￡|的所有零點(diǎn)之和為.（結(jié)果用含。的代數(shù)式表示）

【正確答案】1-4。

【分析】利用奇函數(shù)的性質(zhì)畫(huà)出“X）的圖象，函數(shù)F（x）=g/（x）-a（0<a<￡|的所有零點(diǎn)

之和可以轉(zhuǎn)化？=/（力與），=2。圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和，利用函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性和對(duì)數(shù)函數(shù)的

運(yùn)算性質(zhì)，求解即可.

函數(shù)尸（同=：〃対-?0<"；）的所有零點(diǎn)之和可以轉(zhuǎn)化產(chǎn)〃”與丫=2”圖象的交點(diǎn)的

橫坐標(biāo)之和，

因?yàn)樗?<2“<】，

由圖可知，X1+X2=-8,X4+X5=8,

當(dāng)xe(O,l]時(shí)，/(x)=log,(x+l)；

2

所以當(dāng)xe[-l,O)時(shí),-xe(O,ll,/(-x)=log,(-x+1),

2

又因?yàn)椤▁)是奇函數(shù)，所以當(dāng)xe[-l,o)時(shí)，/(x)=-log,(-x+l)

2

所以Tog[(-x+l)=2a,解得：x=l-4",

2

所以函數(shù)尸(x)=；〃x)-a(0<"￡|的所有零點(diǎn)之和為：

X]+%2+無(wú)3+工4+X5=]_4〃.

故答案為.1-4“

關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)是先根據(jù)解析式作出函數(shù)y=f(x)的圖象，函數(shù)

尸(力=3〃可-“(0<4<5的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為函數(shù)丫=/(力與1=2〃的交點(diǎn)，由對(duì)稱(chēng)性可得交

點(diǎn)之和.

六、解答題

17.已知集合知=卜,2+21+〃=0}.

(1)若0M,求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

⑵若八卜苗+戶(hù)。}且McNw0,求實(shí)數(shù)a的值.

【正確答案】⑴{麗41};

(2)a=0或a=L

【分析】(1)由方程/+2x+a=0有實(shí)數(shù)解，結(jié)合判別式得出實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)由McNwO得出OeM或—leM,進(jìn)而得出實(shí)數(shù)a的值.

【詳解】(1)由題意得方程戸+2》+〃=0有實(shí)數(shù)解，

/.A=22-4tz>0,得a￡1,

，實(shí)數(shù)。的取值范圍是{4a41};

(2)V2V=(X|X2+X=0}={0,-1},

McN*0,

則4=0或a=1.

18.已知幕函數(shù)f（x）=（/-3皿+3）x""一”是偶函數(shù).

⑴求函數(shù)“X）的解析式；

⑵若〃2x-1）＜/（2-力，求x的取值范圍.

【正確答案】（1）/（力=/

⑵（T』）

【分析】（1）根據(jù)幕函數(shù)的定義求得〃，的值，再結(jié)合基函數(shù)的奇偶性確定函數(shù)解析式；

（2）根據(jù)募函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性列不等式即可求得x的取值范圍.

【詳解】（1）已知事函數(shù)/但=（療-3〃?+3卜*/，貝|]/_3帆+3=1,解得加=1或m=2,

所以/（x）=d或〃力=總又函數(shù)"X）為偶函數(shù)，所以〃力=公；

（2）由于累函數(shù)/（x）=f在[0,+功上單調(diào)遞增,又函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，所以“X）在（7,0）

單調(diào)遞減，

若/（2x—1）＜/（2-力，貝“2》一1|＜|2-H，平方后解得—

所以x的取值范圍是

19.2022年下半年，我國(guó)新冠肺炎疫情“多點(diǎn)散發(fā)”的特點(diǎn)愈加明顯，為了有效阻斷疫情的

快速傳播，全國(guó)各地均提供了生活必需品線上采購(gòu)服務(wù)，某地區(qū)為了更好的做好此項(xiàng)工作,

高質(zhì)量服務(wù)于百姓生活，對(duì)愛(ài)好線上采購(gòu)生活必需品的人員進(jìn)行了調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100

位線上采購(gòu)愛(ài)好者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：

（1）估計(jì)該地區(qū)愛(ài)好線上采購(gòu)生活必需品人員的平均年齡（同?組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中

點(diǎn)值為代表）；

（2）估計(jì)該地區(qū)一位線上采購(gòu)愛(ài)好者的年齡位于區(qū)間［20,70）的概率；

（3）工作人員為了確定20歲以下和80歲以上是否具有主動(dòng)性和代表性，在參與調(diào)查的100

位線上采購(gòu)愛(ài)好者中20歲以下和80歲以上人員中抽取兩名進(jìn)行電話訪問(wèn)，求被訪問(wèn)者恰有

一名是80歲以上的概率.

【正確答案】（1）48歲

（2）0.89

（3）0.6

【分析】（1）由頻率分布直方圖計(jì)算平均數(shù)的方法計(jì)算即可；

（2）由這100位線上采購(gòu)愛(ài)好者的年齡位于區(qū)間［20,70）的頻率估計(jì)概率；

（3）由列舉法結(jié)合概率公式求解即可.

【詳解】（1）該地區(qū)愛(ài)好線上采購(gòu)生活必需品人員的平均年齡為

5x0.01+15x0.02+25x0.12+35x0.17+45x0.23+55x0.2+

65x0.17+75x0.06+85x0.02=47.9?48（歲）

（2）這100位線上采購(gòu)愛(ài)好者的年齡位于區(qū)間［20,70）的頻率為

（0.012+0.017+0.023+0.02+0.017）x10=0.89.

故估計(jì)該地區(qū)一位線上采購(gòu)愛(ài)好者的年齡位于區(qū)間［20,70）的概率0.89.

（3）參與調(diào)查的100位線上采購(gòu)愛(ài)好者中20歲以下的人數(shù)為0.03x100=3人，記為1,2,3；

80歲以上的人數(shù)為0.02x100=2人,記為a,b.

從這三名中抽取兩名進(jìn)行電話訪問(wèn)，所有情況如下:

{l,2},{L3},{lM},{l，W，{23},{2,a},{2/},{3,a},{3,6},{Gb},共10種.

其中被訪問(wèn)者恰有一名是80歲以上的情況分別為力},{2,a},{2,b},{3,a},{3,b},共6

種.

則被訪問(wèn)者恰有一名是80歲以上的概率為糸=0.6

20.平面內(nèi)給定三個(gè)向量d=(2,2),6=(〃+l,4),C=(A,3),且(d+2C)〃伍-d).

(1)求實(shí)數(shù)k關(guān)于n的表達(dá)式；

(2)如圖，在二。4s中，G為中線0M上一點(diǎn)，且OG=2GM，過(guò)點(diǎn)G的直線與邊。A,OB

分別交于點(diǎn)P,Q(RQ不與。重合).設(shè)向量OP=(A+3)OAOQ=〃?OB,求機(jī)+2〃的最小

值.

【正確答案】(1)々=2〃-3

尾

【分析】(1)由向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可；

(2)由向量的運(yùn)算得岀OG=J-OP+J-OQ,再由P,GQ三點(diǎn)共線，得岀再

on3m6〃3m

由基本不等式求最值.

【詳解】⑴因?yàn)?+2°=(2+2?,8)8-4=(〃-1,2),(a+2c)〃,-a)

所以2(2+2%)=8(“-1),即左=2〃-3.

(2)由(1)可知，OP=2〃OA，OQ=mOB,由題意可知小”7>0

12111

因?yàn)镺G=2GM，所以。6=3。知=§乂2(。厶+08)=§04+］。8

又。4=—OP,OB=—OQ,所以O(shè)G=—OP+——OQ.

因?yàn)镻,G,。三點(diǎn)共線，所以3t+，-=l.

6n3m

m+2/1=——十——

6n3〃2

2224

當(dāng)且僅當(dāng)加=2〃=§時(shí)，取等號(hào)，即。尸二§。4,0。=］。8時(shí)，機(jī)+2〃取最小值

21.通信信號(hào)利用BEC信道傳輸，若BEC信道傳輸成功，則接收端收到的信號(hào)與發(fā)來(lái)的信

號(hào)完全相同.若BEC信道傳輸失敗，則接收端收不到任何信號(hào).傳輸技術(shù)有兩種：一種是

傳統(tǒng)通信傳輸技術(shù)，采用多個(gè)信道各自獨(dú)立傳輸信號(hào)(以?xún)蓚€(gè)信道為例，如圖1).

信道1(

信道、一?

另一種是華為公司5G信號(hào)現(xiàn)使用的土耳其通訊技術(shù)專(zhuān)家ErdalArikan教授的發(fā)明的極化碼

技術(shù)(以?xún)蓚€(gè)信道為例，如圖2).傳輸規(guī)則如下，信號(hào)力直接從信道2傳輸；信號(hào)q在傳

輸前先與?！府惢颉边\(yùn)算得到信號(hào)X一再?gòu)男诺?傳輸.若信道1與信道2均成功輸出，則

兩信號(hào)通過(guò)“異或”運(yùn)算進(jìn)行解碼后，傳至接收端，若信道1輸出失敗信道2輸出成功，則接

收端接收到信道2信號(hào)，若信道1輸出成功信道2輸出失敗，則接收端對(duì)信號(hào)進(jìn)行自身“異

或''運(yùn)算而解碼后，傳至接收端.

5"A(EC信道i(弓—?

*BEC信道2

圖2

(注：定義“異或”運(yùn)算：4十3=%,及十十&=a，x，十X1=%).假設(shè)每個(gè)信

道傳輸成功的概率均為2(0<0<1).

(1)對(duì)于傳統(tǒng)傳輸技術(shù)，求信號(hào)4和力中至少有一個(gè)傳輸成功的概率；

(2)對(duì)于ErdalArikan教授的極化碼技術(shù);

①求接收端成功接收信號(hào)q的概率；

②若接收端接收到信號(hào)4才算成功完成一次任務(wù)，求利用極化碼技術(shù)成功完成一次任務(wù)的

概率.

【正確答案】(l)2p-p2

⑵①p2；?2p-2p2

【分析】(1)根據(jù)獨(dú)立事件的概率乘法公式即可求得答案；

(2)先討論信道1和信道2是否傳輸成功，計(jì)算對(duì)應(yīng)的概率，即可求解

【詳解】(1)設(shè)“信號(hào)q和4中至少有一個(gè)傳輸成功”為事件A,“信號(hào)q傳輸成功，，為事件

仇“信號(hào)力傳輸成功”為事件C,

則P(A)=P(B)P?+尸冋P(c)+P⑻P(C)=p(l-p)+(l—p)p+p2=2p-p2

(2)若信道1和信道2都傳輸成功，

2

由q十a(chǎn)=X，,X，十。?=q可得口被成功接收，概率為P；

若信道1傳輸成功，信道2傳輸失敗，

由X|十X|=%可得力被成功接收，4接收失敗，概率為P(I-P)；

若信道2傳輸成功，信道1傳輸失敗，

可得力被成功接收，G接收失敗，概率為2(1-0：

若信道1,2都傳輸失敗，

可得a，%接收失敗,概率為(「pF；

①接收端成功接收信號(hào)a的概率為p2；

②接收端接收到信號(hào)凡的概率為P(l-p)+p(l-P)=2p-2P2

22.設(shè)函數(shù)〃x)=a―(log2x)2+力logzx+l",人為常數(shù)且"0),42)=4且的最小

值為0,當(dāng)x>0時(shí)，F(xiàn)(x)=/(%),且P(x)為R上的奇函數(shù).

⑴求函數(shù)Rx)的解析式；

⑵加e［垃,4］,叫目T1］,有/（芭）4（3他-吐3-*2）嚏2%成立，求實(shí)數(shù)，〃的取值范圍.

(log2x)"+21og2x+l,x>0

【正確答案】（l）F（x）=,0,x=0

_

-[log2(-x)]log2(—x)-1,x<0

11

(2)me—00,----------

9

【分析】（1）由"2）=4結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得出a,b,進(jìn)而由奇偶性得出函數(shù)P（x）的解

析式；

（2）%）4（3&-機(jī)-3F）log2M可化為log2%+丁丄一+2《卜&一加即

log?玉\3）

log，X+J—+2］4門(mén)--“二］,再由對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性討論即可.

I隰占；mi?I3?丿a

i=o

4a

【詳解】（1）因?yàn)?2）=4且〃x）的最小值為0,所以a+b+l=4,解得a=l,b=2

b>0

2

即/(x)=(log2x)+21og,x+l.

2

當(dāng)x<0時(shí)，-x>0,F(-x)=f(-x)=[log2(-x)]+2log2(-x)+1=-F(x)

2

即F(x)=-[log2(-x)]-2log2(-x)-l.

,、2

{log2x)+21og2x+l,x>0

故F(x)=<0,