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文檔簡介
2024屆貴州省正安縣第八中學(xué)高三一診考試數(shù)學(xué)試卷注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標號?;卮鸱沁x擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知,,,,.若實數(shù),滿足不等式組,則目標函數(shù)()A.有最大值,無最小值 B.有最大值,有最小值C.無最大值,有最小值 D.無最大值,無最小值2.已知函數(shù),若方程恰有兩個不同實根,則正數(shù)m的取值范圍為()A. B.C. D.3.直角坐標系中,雙曲線()與拋物線相交于、兩點,若△是等邊三角形,則該雙曲線的離心率()A. B. C. D.4.如圖,在平行四邊形中,對角線與交于點,且,則()A. B.C. D.5.已知是虛數(shù)單位,若,,則實數(shù)()A.或 B.-1或1 C.1 D.6.已知函數(shù)f(x)=,若關(guān)于x的方程f(x)=kx-恰有4個不相等的實數(shù)根,則實數(shù)k的取值范圍是()A. B.C. D.7.三棱錐中,側(cè)棱底面,,,,,則該三棱錐的外接球的表面積為()A. B. C. D.8.要得到函數(shù)的圖象,只需將函數(shù)的圖象上所有點的()A.橫坐標縮短到原來的(縱坐標不變),再向左平移個單位長度B.橫坐標縮短到原來的(縱坐標不變),再向右平移個單位長度C.橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變),再向左平移個單位長度D.橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變),再向右平移個單位長度9.已知雙曲線的右焦點為為坐標原點,以為直徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于點及點,則雙曲線的方程為()A. B. C. D.10.已知點是拋物線的對稱軸與準線的交點,點為拋物線的焦點,點在拋物線上且滿足,若取得最大值時,點恰好在以為焦點的橢圓上,則橢圓的離心率為()A. B. C. D.11.在函數(shù):①;②;③;④中,最小正周期為的所有函數(shù)為()A.①②③ B.①③④ C.②④ D.①③12.已知復(fù)數(shù)是正實數(shù),則實數(shù)的值為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知數(shù)列的首項,函數(shù)在上有唯一零點,則數(shù)列|的前項和__________.14.若函數(shù)在和上均單調(diào)遞增,則實數(shù)的取值范圍為________.15.若展開式中的常數(shù)項為240,則實數(shù)的值為________.16.如圖所示,邊長為1的正三角形中,點,分別在線段,上,將沿線段進行翻折,得到右圖所示的圖形,翻折后的點在線段上,則線段的最小值為_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知.(1)解關(guān)于x的不等式:;(2)若的最小值為M,且,求證:.18.(12分)已知,,不等式恒成立.(1)求證:(2)求證:.19.(12分)已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性;(2)若恒成立,求實數(shù)的取值范圍.20.(12分)已知滿足,且,求的值及的面積.(從①,②,③這三個條件中選一個,補充到上面問題中,并完成解答.)21.(12分)設(shè)數(shù)陣,其中、、、.設(shè),其中,且.定義變換為“對于數(shù)陣的每一行,若其中有或,則將這一行中每個數(shù)都乘以;若其中沒有且沒有,則這一行中所有數(shù)均保持不變”(、、、).表示“將經(jīng)過變換得到,再將經(jīng)過變換得到、,以此類推,最后將經(jīng)過變換得到”,記數(shù)陣中四個數(shù)的和為.(1)若,寫出經(jīng)過變換后得到的數(shù)陣;(2)若,,求的值;(3)對任意確定的一個數(shù)陣,證明:的所有可能取值的和不超過.22.(10分)設(shè)函數(shù).(Ⅰ)當(dāng)時,求不等式的解集;(Ⅱ)若函數(shù)的圖象與直線所圍成的四邊形面積大于20,求的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】
判斷直線與縱軸交點的位置,畫出可行解域,即可判斷出目標函數(shù)的最值情況.【詳解】由,,所以可得.,所以由,因此該直線在縱軸的截距為正,但是斜率有兩種可能,因此可行解域如下圖所示:由此可以判斷該目標函數(shù)一定有最大值和最小值.故選:B【點睛】本題考查了目標函數(shù)最值是否存在問題,考查了數(shù)形結(jié)合思想,考查了不等式的性質(zhì)應(yīng)用.2、D【解析】
當(dāng)時,函數(shù)周期為,畫出函數(shù)圖像,如圖所示,方程兩個不同實根,即函數(shù)和有圖像兩個交點,計算,,根據(jù)圖像得到答案.【詳解】當(dāng)時,,故函數(shù)周期為,畫出函數(shù)圖像,如圖所示:方程,即,即函數(shù)和有兩個交點.,,故,,,,.根據(jù)圖像知:.故選:.【點睛】本題考查了函數(shù)的零點問題,確定函數(shù)周期畫出函數(shù)圖像是解題的關(guān)鍵.3、D【解析】
根據(jù)題干得到點A坐標為,代入拋物線得到坐標為,再將點代入雙曲線得到離心率.【詳解】因為三角形OAB是等邊三角形,設(shè)直線OA為,設(shè)點A坐標為,代入拋物線得到x=2b,故點A的坐標為,代入雙曲線得到故答案為:D.【點睛】求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍),常見有兩種方法:①求出,代入公式;②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于的齊次式,結(jié)合轉(zhuǎn)化為的齊次式,然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式),解方程(不等式)即可得(的取值范圍).4、C【解析】
畫出圖形,以為基底將向量進行分解后可得結(jié)果.【詳解】畫出圖形,如下圖.選取為基底,則,∴.故選C.【點睛】應(yīng)用平面向量基本定理應(yīng)注意的問題(1)只要兩個向量不共線,就可以作為平面的一組基底,基底可以有無窮多組,在解決具體問題時,合理選擇基底會給解題帶來方便.(2)利用已知向量表示未知向量,實質(zhì)就是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加減運算或數(shù)乘運算.5、B【解析】
由題意得,,然后求解即可【詳解】∵,∴.又∵,∴,∴.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的運算,屬于基礎(chǔ)題6、D【解析】
由已知可將問題轉(zhuǎn)化為:y=f(x)的圖象和直線y=kx-有4個交點,作出圖象,由圖可得:點(1,0)必須在直線y=kx-的下方,即可求得:k>;再求得直線y=kx-和y=lnx相切時,k=;結(jié)合圖象即可得解.【詳解】若關(guān)于x的方程f(x)=kx-恰有4個不相等的實數(shù)根,則y=f(x)的圖象和直線y=kx-有4個交點.作出函數(shù)y=f(x)的圖象,如圖,故點(1,0)在直線y=kx-的下方.∴k×1->0,解得k>.當(dāng)直線y=kx-和y=lnx相切時,設(shè)切點橫坐標為m,則k==,∴m=.此時,k==,f(x)的圖象和直線y=kx-有3個交點,不滿足條件,故所求k的取值范圍是,故選D..【點睛】本題主要考查了函數(shù)與方程思想及轉(zhuǎn)化能力,還考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義及計算能力、觀察能力,屬于難題.7、B【解析】由題,側(cè)棱底面,,,,則根據(jù)余弦定理可得,的外接圓圓心三棱錐的外接球的球心到面的距離則外接球的半徑,則該三棱錐的外接球的表面積為點睛:本題考查的知識點是球內(nèi)接多面體,熟練掌握球的半徑公式是解答的關(guān)鍵.8、C【解析】
根據(jù)三角函數(shù)圖像的變換與參數(shù)之間的關(guān)系,即可容易求得.【詳解】為得到,將橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變),故可得;再將向左平移個單位長度,故可得.故選:C.【點睛】本題考查三角函數(shù)圖像的平移,涉及誘導(dǎo)公式的使用,屬基礎(chǔ)題.9、C【解析】
根據(jù)雙曲線方程求出漸近線方程:,再將點代入可得,連接,根據(jù)圓的性質(zhì)可得,從而可求出,再由即可求解.【詳解】由雙曲線,則漸近線方程:,,連接,則,解得,所以,解得.故雙曲線方程為.故選:C【點睛】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì),需掌握雙曲線的漸近線求法,屬于中檔題.10、B【解析】
設(shè),利用兩點間的距離公式求出的表達式,結(jié)合基本不等式的性質(zhì)求出的最大值時的點坐標,結(jié)合橢圓的定義以及橢圓的離心率公式求解即可.【詳解】設(shè),因為是拋物線的對稱軸與準線的交點,點為拋物線的焦點,所以,則,當(dāng)時,,當(dāng)時,,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,此時,,點在以為焦點的橢圓上,,由橢圓的定義得,所以橢圓的離心率,故選B.【點睛】本題主要考查橢圓的定義及離心率,屬于難題.離心率的求解在圓錐曲線的考查中是一個重點也是難點,一般求離心率有以下幾種情況:①直接求出,從而求出;②構(gòu)造的齊次式,求出;③采用離心率的定義以及圓錐曲線的定義來求解.11、A【解析】逐一考查所給的函數(shù):,該函數(shù)為偶函數(shù),周期;將函數(shù)圖象x軸下方的圖象向上翻折即可得到的圖象,該函數(shù)的周期為;函數(shù)的最小正周期為;函數(shù)的最小正周期為;綜上可得最小正周期為的所有函數(shù)為①②③.本題選擇A選項.點睛:求三角函數(shù)式的最小正周期時,要盡可能地化為只含一個三角函數(shù)的式子,否則很容易出現(xiàn)錯誤.一般地,經(jīng)過恒等變形成“y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ),y=Atan(ωx+φ)”的形式,再利用周期公式即可.12、C【解析】
將復(fù)數(shù)化成標準形式,由題意可得實部大于零,虛部等于零,即可得到答案.【詳解】因為為正實數(shù),所以且,解得.故選:C【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的基本定義,屬基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
由函數(shù)為偶函數(shù),可得唯一零點為,代入可得數(shù)列的遞推關(guān)系式,再進行配湊轉(zhuǎn)換為等比數(shù)列,最后運用分部求和可得答案.【詳解】因為為偶函數(shù),在上有唯一零點,所以,∴,∴,∴為首項為2,公比為2的等比數(shù)列.所以,.故答案為:【點睛】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的零點,同時也考查了由遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項,考查了數(shù)列的分部求和,屬于中檔題.14、【解析】
化簡函數(shù),求出在上的單調(diào)遞增區(qū)間,然后根據(jù)在和上均單調(diào)遞增,列出不等式求解即可.【詳解】由知,當(dāng)時,在和上單調(diào)遞增,在和上均單調(diào)遞增,,
,
的取值范圍為:.
故答案為:.【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性列出關(guān)于m的方程組,屬中檔題.15、-3【解析】
依題意可得二項式展開式的常數(shù)項為即可得到方程,解得即可;【詳解】解:∵二項式的展開式中的常數(shù)項為,∴解得.故答案為:【點睛】本題考查二項式展開式中常數(shù)項的計算,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】
設(shè),,在中利用正弦定理得出關(guān)于的函數(shù),從而可得的最小值.【詳解】解:設(shè),,則,,∴,在中,由正弦定理可得,即,∴,∴當(dāng)即時,取得最小值.故答案為.【點睛】本題考查正弦定理解三角形的應(yīng)用,屬中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)證明見解析.【解析】
(1)分類討論求解絕對值不等式即可;(2)由(1)中所得函數(shù),求得最小值,再利用均值不等式即可證明.【詳解】(1)當(dāng)時,等價于,該不等式恒成立,當(dāng)時,等價于,該不等式解集為,當(dāng)時,等價于,解得,綜上,或,所以不等式的解集為.(2),易得的最小值為1,即因為,,,所以,,,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.【點睛】本題考查利用分類討論求解絕對值不等式,涉及利用均值不等式證明不等式,屬綜合中檔題.18、(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】
(1)先根據(jù)絕對值不等式求得的最大值,從而得到,再利用基本不等式進行證明;(2)利用基本不等式變形得,兩邊開平方得到新的不等式,利用同理可得另外兩個不等式,再進行不等式相加,即可得答案.【詳解】(1)∵,∴.∵,,,∴,∴,∴.(2)∵,,即兩邊開平方得.同理可得,.三式相加,得.【點睛】本題考查絕對值不等式、應(yīng)用基本不等式證明不等式,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力和推理論證能力.19、(1)當(dāng)時,在上單調(diào)遞增;當(dāng)時,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;當(dāng)時,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;(2).【解析】
(1)對a分三種情況討論求出函數(shù)的單調(diào)性;(2)對a分三種情況,先求出每一種情況下函數(shù)f(x)的最小值,再解不等式得解.【詳解】(1),當(dāng)時,,在上單調(diào)遞增;當(dāng)時,,,,,∴在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;當(dāng)時,,,,,∴在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.綜上:當(dāng)時,在上單調(diào)遞增;當(dāng)時,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;當(dāng)時,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.(2)由(1)可知:當(dāng)時,,∴成立.當(dāng)時,,,∴.當(dāng)時,,,∴,即.綜上.【點睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和不等式的恒成立問題,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.20、見解析【解析】
選擇①時:,,計算,根據(jù)正弦定理得到,計算面積得到答案;選擇②時,,,故,為鈍角,故無解;選擇③時,,根據(jù)正弦定理解得,,根據(jù)正弦定理得到,計算面積得到答案.【詳解】選擇①時:,,故.根據(jù)正弦定理:,故,故.選擇②時,,,故,為鈍角,故無解.選擇③時,,根據(jù)正弦定理:,故,解得,.根據(jù)正弦定理:,故,故.【點睛】本題考查了三角恒等變換,正弦定理,面積公式,意在考查學(xué)生的計算能力和綜合應(yīng)用能力.21、(1);(2);(3)見解析.【解析】
(1)由,能求出經(jīng)過變換后得到的數(shù)陣;(2)由,,求出數(shù)陣經(jīng)過變化后的矩陣,進而可求得的值;(3)分和兩種情況討論,推導(dǎo)出變換后數(shù)陣的第一行和第二行的數(shù)字之和,由此能證明的所有可能取值的和不超過.【詳解】(1),經(jīng)過變換
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