2024年初中升學考試真題卷湖南省長沙市岳麓區(qū)長郡雙語實驗中學中考數(shù)學適應性試卷

第1頁（共1頁）2023年湖南省長沙市岳麓區(qū)長郡雙語實驗中學中考數(shù)學適應性試卷一、選擇題：（本大題共10個小題，每小題3分，滿分30分）1．（3分）﹣2023的相反數(shù)是（）A．2023 B． C．﹣ D．﹣20232．（3分）傳統(tǒng)藝術(shù)是我國勞動人民智慧的結(jié)晶，剪紙文化是最古老的傳統(tǒng)藝術(shù)之一，下列剪紙圖案中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．3．（3分）下列計算正確的是（）A．3a+4b＝7ab B．a(chǎn)2+a2＝2a4 C．4a2b+3ba2＝7a2b D．3a3﹣2a2＝a4．（3分）如圖，∠1的內(nèi)錯角是（）?A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠55．（3分）點M（m，n）在y軸上，則點M的坐標可能為（）A．（﹣4，﹣4） B．（4，4） C．（﹣2，0） D．（0，2）6．（3分）如圖是一個幾何體的側(cè)面展開圖，這個幾何體可以是（）A．圓錐 B．圓柱 C．棱錐 D．棱柱7．（3分）下列命題為真命題的是（）A．對角線相等的平行四邊形是矩形 B．對角線互相垂直的四邊形是菱形 C．有一組鄰邊相等的平行四邊形是正方形 D．有一個內(nèi)角是直角的平行四邊形是正方形8．（3分）不等式組的解集在以下數(shù)軸表示中正確的是（）A． B． C． D．9．（3分）把半徑為5cm的球放在長方體紙盒內(nèi)，球的一部分露出盒外，其截面如圖所示，若CD＝8cm，則EF的長為（）A．8cm B．7cm C．5cm D．4cm10．（3分）將4個全等的小長方形按如圖所示的方式擺放拼成一個大長方形ABCD，且AB＝12cm．設(shè)小長方形的寬為xcm，長為ycm，依題意列二元一次方程組正確的是（）A． B． C． D．二、填空題：（本大題共6個小題，每小題3分，滿分18分）11．（3分）因式分解：m2﹣n2＝．12．（3分）2023年5月30日9時31分我國神舟十六號載人飛船在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)射，據(jù)報道神舟飛船的速度可達每小時28000千米，將28000用科學記數(shù)法可以表示為．13．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝70°，分別以點A，B為圓心，大于AB的長為半徑作弧，兩弧相交于M，N兩點，作直線MN交AC于點D，連接BD，則∠BDC＝°．14．（3分）商家進行夏季空調(diào)讓利大促銷，將A型號空調(diào)按標價的八折出售，此時該空調(diào)的利潤率是10%．若該空調(diào)的進價是1600元，則該空調(diào)的標價是元．15．（3分）如圖，四邊形OABC是平行四邊形，點O是坐標原點，點C在y軸上，點B在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，點A在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，若平行四邊形OABC的面積是7，則k＝．16．（3分）學生王芳、李聰、張濤三人競選學校的學生會主席，選舉時收到有效選票1500張，統(tǒng)計其中1000張選票的結(jié)果如圖（方框上方數(shù)字表示得票數(shù)），則李聰在剩下的500張選票中只要再得票，就可確保以得票最多當選該校的學生會主席．三、解答題：（本大題共9個小題，第17、18、19題每小題6分，第20、21題每小題6分，第22、23題每小題6分，第24題、25題每小題6分）17．（6分）計算：．18．（6分）已知a2+a﹣6＝0，求代數(shù)式的值．19．（6分）學校組織學生參加勞動實踐活動，休息時小明發(fā)現(xiàn)，坡角為∠BCD的斜坡上有一棵垂直于水平地面的樹AB（如圖所示），當太陽光線與水平線成45°角沿斜坡照下時，在斜坡上的樹影為BC，經(jīng)測量BC長為10米，∠BCD＝18.34°，求樹AB的高約為多少米？（參考數(shù)據(jù)：sin18.34°≈0.314，cos18.34°≈0.949，結(jié)果精確到0.1米）?20．（8分）今年是中國共產(chǎn)主義青年團成立101周年，某校組織學生觀看慶祝大會實況進行團史學習，現(xiàn)隨機抽取50名學生的測試成績進行整理和分析（成績共分成四組：D．60＜x≤70，C．70＜x≤80，B．80＜x≤90，A．90＜x≤100．）成績頻數(shù)分布表：成績等級D等C等B等A等分數(shù)（單位：分）60＜x≤7070＜x≤8080＜x≤9090＜x≤100學生數(shù)9a1116成績在80＜x≤90這一組的是81，82，85，85，85，86，87，89，89，90，90．（單位：分）根據(jù)以上信息，回答下列問題：（1）在80＜x≤90這一組成績的眾數(shù)是；（2）上述表中a＝，成績達到A等級的人數(shù)占測試人數(shù)的百分比是；（3）本次知識競賽超過95分的學生中有3名女生，1名男生，現(xiàn)從以上4人中隨機抽取2人去參加全市的團史知識競賽，請用列表或畫樹狀圖的方法，求恰好抽中2名女生參加知識競賽的概率．21．（8分）如圖，△ABC為等邊三角形，BD⊥AC交AC于點D，DE∥BC交AB于點E．（1）求證：△ADE是等邊三角形．（2）求證：AE＝AB．22．（9分）自2014年以來，全民閱讀連續(xù)十年寫入政府工作報告，2023年全國教育工作會議進一步提出，要把開展讀書活動作為一件大事來抓，引導學生愛讀書，讀好書，善讀書．某校為了提高學生讀書興趣，為各班購買學生讀本《三國演義》和《水滸傳》若干，其中《三國演義》的單價比《水滸傳》的單價貴15元；用2000元購買《水滸傳》的數(shù)量和用3200元購買《三國演義》數(shù)量相同．（1）求：《水滸傳》《三國演義》單價分別是多少元？（2）學校準備用不超過6320元的經(jīng)費購買這兩種書共200本，那么《三國演義》最多可買多少本？23．（9分）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠BAC＝90°，AB＝AC，過點A作邊BC的垂線AF交DC的延長線于點E，點F是垂足，連接BE、DF，DF交AC于點O．（1）求證：EC＝CD；（2）求證：四邊形ABEC是正方形．24．（10分）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，對角線AC是⊙O的直徑，過點C作AC的垂線交AD的延長線于點E，F(xiàn)為CE的中點，連接BD，DF，BD與AC交于點P．（1）求證：DF是⊙O的切線；（2）若AC＝DE，求tan∠ABD的值；（3）若，求sin∠DPC的值．25．（10分）定義：如果函數(shù)的圖象上至少存在不重合的兩點（a，b），（﹣a，﹣b），那么我們稱函數(shù)為“S函數(shù)”，這對點叫做“S函數(shù)”的S點．（1）在下列關(guān)于x的函數(shù)中，是“S函數(shù)”的，請在后面的橫線上打“√”，不是“S函數(shù)”的打“×”．①y＝3x；②y＝﹣2x+5；③（k≠0）．（2）若關(guān)于x的函數(shù)y＝ax2+2x﹣3a是“S函數(shù)”，求該函數(shù)上的S點；（3）若A，B記作“S函數(shù)”的一組S點，以AB為邊作等邊△ABC，若點C在反比例函數(shù)上運動，“S函數(shù)”y＝﹣x2﹣2bx+c一個S點是（2b，n）當2b≤x≤2時，是否存在實數(shù)b，使得“S函數(shù)”y＝﹣x2﹣2bx+c的最大值為k，若存在，求出b的值，若不存在，請說明理由．

2023年湖南省長沙市岳麓區(qū)長郡雙語實驗中學中考數(shù)學適應性試卷參考答案與試題解析一、選擇題：（本大題共10個小題，每小題3分，滿分30分）1．（3分）﹣2023的相反數(shù)是（）A．2023 B． C．﹣ D．﹣2023【答案】A【分析】只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)，由此即可得到答案．【解答】解：﹣2023的相反數(shù)是2023，故選：A．2．（3分）傳統(tǒng)藝術(shù)是我國勞動人民智慧的結(jié)晶，剪紙文化是最古老的傳統(tǒng)藝術(shù)之一，下列剪紙圖案中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．【解答】解：A．原圖是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；B．原圖是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；C．原圖是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；D．原圖既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故此選項符合題意；故選：D．3．（3分）下列計算正確的是（）A．3a+4b＝7ab B．a(chǎn)2+a2＝2a4 C．4a2b+3ba2＝7a2b D．3a3﹣2a2＝a【答案】C【分析】直接利用合并同類項法則分別判斷得出答案．【解答】解：A、3a與4b不是同類項，無法計算，故此選項不符合題意；B、a2+a2＝2a2，故此選項不符合題意；C、4a2b+3ba2＝7a2b，正確，符合題意；D、3a3與2a2不是同類項，無法計算，故此選項不符合題意；故選：C．4．（3分）如圖，∠1的內(nèi)錯角是（）?A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5【答案】B【分析】根據(jù)內(nèi)錯角的定義判斷即可．【解答】解：∠1的內(nèi)錯角是∠3．故選：B．5．（3分）點M（m，n）在y軸上，則點M的坐標可能為（）A．（﹣4，﹣4） B．（4，4） C．（﹣2，0） D．（0，2）【答案】D【分析】根據(jù)y軸上的點的橫坐標為0判斷即可．【解答】解：∵點M（m，n）在y軸上，∴m＝0，∴（0，2）．故選：D．6．（3分）如圖是一個幾何體的側(cè)面展開圖，這個幾何體可以是（）A．圓錐 B．圓柱 C．棱錐 D．棱柱【答案】A【分析】根據(jù)基本幾何體的展開圖判斷即可．【解答】解：∵圓錐的側(cè)面展開圖是扇形，∴判斷這個幾何體是圓錐，故選：A．7．（3分）下列命題為真命題的是（）A．對角線相等的平行四邊形是矩形 B．對角線互相垂直的四邊形是菱形 C．有一組鄰邊相等的平行四邊形是正方形 D．有一個內(nèi)角是直角的平行四邊形是正方形【答案】A【分析】根據(jù)矩形和菱形的判定方法可對A、B進行判定；根據(jù)正方形的判定方法可對C、D進行判定．【解答】解：A．對角線相等的平行四邊形是矩形，所以A選項符合題意；B．對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，所以B選項不符合題意；C．有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，所以C選項不符合題意；D．有一個角是直角的平行四邊形是矩形，所以D選項不符合題意；故選：A．8．（3分）不等式組的解集在以下數(shù)軸表示中正確的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】解兩個一元一次不等式，再在數(shù)軸上畫出兩個不等式的解集．【解答】解：，解不等式①，得：x＜3，解不等式②，得：x≥1，如圖，在數(shù)軸上表示不等式①、②的解集，可知所求不等式組的解集是：1≤x＜3．故選：B．9．（3分）把半徑為5cm的球放在長方體紙盒內(nèi)，球的一部分露出盒外，其截面如圖所示，若CD＝8cm，則EF的長為（）A．8cm B．7cm C．5cm D．4cm【答案】A【分析】設(shè)球心為O，過O作MN⊥AD交AD于M，交BC于N，連接OF，結(jié)合題意可解得OF＝5cm，OM＝3cm，根據(jù)勾股定理求得MF，最后由垂徑定理求得結(jié)果．【解答】解：如圖，設(shè)球心為O，過O作MN⊥AD交AD于M，交BC于N，連接OF，由題意可知ABCD是矩形，ON＝OF＝5cm，∵CD＝8cm，∴MN＝8cm，∴OM＝MN﹣ON＝8﹣5＝3（cm），∵MN⊥AD，∴∠OMF＝90°，EF＝2FM，∴，∴EF＝2FM＝8cm，故選：A．10．（3分）將4個全等的小長方形按如圖所示的方式擺放拼成一個大長方形ABCD，且AB＝12cm．設(shè)小長方形的寬為xcm，長為ycm，依題意列二元一次方程組正確的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)圖可得等量關(guān)系：①1個長+1個寬＝12cm，②3個寬＝1個長，根據(jù)等量關(guān)系可得方程組．【解答】解：根據(jù)題意，得．故選：A．二、填空題：（本大題共6個小題，每小題3分，滿分18分）11．（3分）因式分解：m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】運用a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）分解即可．【解答】解：原式＝（m+n）（m﹣n），故答案為（m+n）（m﹣n）．12．（3分）2023年5月30日9時31分我國神舟十六號載人飛船在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)射，據(jù)報道神舟飛船的速度可達每小時28000千米，將28000用科學記數(shù)法可以表示為2.8×104．【答案】2.8×104．【分析】科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值≥10時，n是正整數(shù)；當原數(shù)的絕對值＜1時，n是負整數(shù)．【解答】解：28000＝2.8×104．故答案為：2.8×104．13．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝70°，分別以點A，B為圓心，大于AB的長為半徑作弧，兩弧相交于M，N兩點，作直線MN交AC于點D，連接BD，則∠BDC＝80°．【答案】80．【分析】由等腰三角形的性質(zhì)與三角形內(nèi)角和定理求出∠A，由作圖過程可得DM是AB的垂直平分線，得到AD＝BD，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠ABD，由三角形外角的性質(zhì)即可求得∠BDC．【解答】解：∵AB＝AC，∠C＝70°，∴∠ABC＝∠C＝70°，∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝40°，由作圖過程可知：DM是AB的垂直平分線，∴AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝40°，∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝40°+40°＝80°，故答案為：80．14．（3分）商家進行夏季空調(diào)讓利大促銷，將A型號空調(diào)按標價的八折出售，此時該空調(diào)的利潤率是10%．若該空調(diào)的進價是1600元，則該空調(diào)的標價是2200元．【答案】2200．【分析】設(shè)該空調(diào)的標價是x元，利用利潤＝售價﹣進價，可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)該空調(diào)的標價是x元，根據(jù)題意得：0.8x﹣1600＝1600×10%，解得：x＝2200，∴該空調(diào)的標價是2200元．故答案為：2200．15．（3分）如圖，四邊形OABC是平行四邊形，點O是坐標原點，點C在y軸上，點B在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，點A在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，若平行四邊形OABC的面積是7，則k＝﹣4．【答案】﹣4．【分析】連接OB，根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義得到|k|+3＝7，進而即可求得k的值．【解答】解：連接OB，∵四邊形OABC是平行四邊形，∴AB∥OC，∴AB⊥x軸，∴S△AOD＝|k|，S△BOD＝＝，∴S△AOB＝S△AOD+S△BOD＝|k|+，∴S平行四邊形OABC＝2S△AOB＝|k|+3，∵平行四邊形OABC的面積是7，∴|k|＝4，∵在第四象限，∴k＝﹣4，故答案為：﹣4．16．（3分）學生王芳、李聰、張濤三人競選學校的學生會主席，選舉時收到有效選票1500張，統(tǒng)計其中1000張選票的結(jié)果如圖（方框上方數(shù)字表示得票數(shù)），則李聰在剩下的500張選票中只要再得241票，就可確保以得票最多當選該校的學生會主席．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】此題運用極端考慮的方法，因為王芳、李聰兩人選票最多，所以把500張票只分給王芳、李聰兩人選票，進一步分析解答即可．【解答】解：由王芳350張，李聰370張，得出王芳與李聰相差20，剩下500張只分給王芳、李聰兩人選票，首先使兩人票數(shù)相同，從500張中先拿出20張給王芳，若剩下的500﹣20＝480張中，王芳、李聰各占一半，則李聰至少需要240+1＝241才能當主席．故答案為：241．三、解答題：（本大題共9個小題，第17、18、19題每小題6分，第20、21題每小題6分，第22、23題每小題6分，第24題、25題每小題6分）17．（6分）計算：．【答案】1．【分析】直接利用負整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)值、絕對值的性質(zhì)分別化簡得出答案．【解答】解：＝2﹣4×+3﹣2＝2﹣2+3﹣2＝1．18．（6分）已知a2+a﹣6＝0，求代數(shù)式的值．【答案】6．【分析】先根據(jù)分式的混合運算順序和運算法則化簡原式，再根據(jù)已知等式可得答案．【解答】解：原式＝（﹣）?＝?＝a（a+1）＝a2+a，∵a2+a﹣6＝0，∴a2+a＝6，則原式＝6．19．（6分）學校組織學生參加勞動實踐活動，休息時小明發(fā)現(xiàn)，坡角為∠BCD的斜坡上有一棵垂直于水平地面的樹AB（如圖所示），當太陽光線與水平線成45°角沿斜坡照下時，在斜坡上的樹影為BC，經(jīng)測量BC長為10米，∠BCD＝18.34°，求樹AB的高約為多少米？（參考數(shù)據(jù)：sin18.34°≈0.314，cos18.34°≈0.949，結(jié)果精確到0.1米）?【答案】樹AB的高約為6.4米．【分析】根據(jù)題意可得：AD⊥CD，∠FAE＝45°，AE∥CD，從而可得∠FAE＝∠ACD＝45°，然后在Rt△BCD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出BD和CD的長，再在Rt△ACD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AD的長，最后利用線段的和差關(guān)系進行計算即可解答．【解答】解：如圖：由題意得：AD⊥CD，∠FAE＝45°，AE∥CD，∴∠FAE＝∠ACD＝45°，在Rt△BCD中，BC＝10米，∠BCD＝18.34°，∴BD＝BC?sin18.34°≈10×0.314＝3.14（米），CD＝BC?cos18.34°≈10×0.949＝9.49（米），在Rt△ACD中，AD＝CD?tan45°＝9.49（米），∴AB＝AD﹣BD＝9.49﹣3.14≈6.4（米），∴樹AB的高約為6.4米．20．（8分）今年是中國共產(chǎn)主義青年團成立101周年，某校組織學生觀看慶祝大會實況進行團史學習，現(xiàn)隨機抽取50名學生的測試成績進行整理和分析（成績共分成四組：D．60＜x≤70，C．70＜x≤80，B．80＜x≤90，A．90＜x≤100．）成績頻數(shù)分布表：成績等級D等C等B等A等分數(shù)（單位：分）60＜x≤7070＜x≤8080＜x≤9090＜x≤100學生數(shù)9a1116成績在80＜x≤90這一組的是81，82，85，85，85，86，87，89，89，90，90．（單位：分）根據(jù)以上信息，回答下列問題：（1）在80＜x≤90這一組成績的眾數(shù)是90；（2）上述表中a＝14，成績達到A等級的人數(shù)占測試人數(shù)的百分比是32%；（3）本次知識競賽超過95分的學生中有3名女生，1名男生，現(xiàn)從以上4人中隨機抽取2人去參加全市的團史知識競賽，請用列表或畫樹狀圖的方法，求恰好抽中2名女生參加知識競賽的概率．【答案】（1）90；（2）14；32%；（3）．【分析】（1）根據(jù)眾數(shù)的定義解答即可；（2）用總數(shù)50分別減去其它三個等級的頻數(shù)可得a的值；用A等級的人數(shù)除以總數(shù)可得A等級所占百分比；（3）畫樹狀圖，共有12種等可能情況，其中被抽取的2人恰好是女生的有6種結(jié)果，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）在80＜x≤90這一組成績中，90出現(xiàn)的次數(shù)最多，故眾數(shù)為90．故答案為：90；（2）上述表中a＝50﹣9﹣11﹣16＝14；成績達到A等級的人數(shù)占測試人數(shù)的百分比是×100%＝32%．故答案為：14；32%；（3）畫樹狀圖為：共有12種等可能情況，其中被抽取的2人恰好是女生的有6種結(jié)果，∴恰好抽中2名女生參加知識競賽的概率為＝．21．（8分）如圖，△ABC為等邊三角形，BD⊥AC交AC于點D，DE∥BC交AB于點E．（1）求證：△ADE是等邊三角形．（2）求證：AE＝AB．【答案】見解答．【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)證明即可．（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)解答即可．【解答】證明：（1）∵△ABC為等邊三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠C＝60°．∵DE∥BC，∴∠AED＝∠ABC＝60°，∠ADE＝∠C＝60°．∴△ADE是等邊三角形．（2）∵△ABC為等邊三角形，∴AB＝BC＝AC．∵BD平分∠ABC，∴AD＝AC．∵△ADE是等邊三角形，∴AE＝AD．∴AE＝AB．22．（9分）自2014年以來，全民閱讀連續(xù)十年寫入政府工作報告，2023年全國教育工作會議進一步提出，要把開展讀書活動作為一件大事來抓，引導學生愛讀書，讀好書，善讀書．某校為了提高學生讀書興趣，為各班購買學生讀本《三國演義》和《水滸傳》若干，其中《三國演義》的單價比《水滸傳》的單價貴15元；用2000元購買《水滸傳》的數(shù)量和用3200元購買《三國演義》數(shù)量相同．（1）求：《水滸傳》《三國演義》單價分別是多少元？（2）學校準備用不超過6320元的經(jīng)費購買這兩種書共200本，那么《三國演義》最多可買多少本？【答案】（1）《水滸傳》單價為25元，《三國演義》的單價為40元．（2）三國演義最多可買88本．【分析】（1）設(shè)《水滸傳》單價為x元，則《三國演義》的單價為（x+15）元，根據(jù)用2000元購買《水滸傳》的數(shù)量是用3200元購買《三國演義》數(shù)量相同，建立分式方程求解即可；（2）設(shè)三國演義最多可買m本，則《水滸傳》買（200﹣m）本，根據(jù)學校準備用不超過6320元的經(jīng)費，再列不等式即可．【解答】解：（1）設(shè)《水滸傳》單價為x元，則《三國演義》的單價為（x+15）元，則＝，解得：x＝25，經(jīng)檢驗x＝25是原方程的根且符合題意，∴x+15＝40，答：《水滸傳》單價為25元，《三國演義》的單價為40元．（2）設(shè)三國演義買m本，則《水滸傳》買（200﹣m）本，40m+25（200﹣m）≤6320，∴15m≤1320，解得：x≤88，答：三國演義最多可買88本．23．（9分）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠BAC＝90°，AB＝AC，過點A作邊BC的垂線AF交DC的延長線于點E，點F是垂足，連接BE、DF，DF交AC于點O．（1）求證：EC＝CD；（2）求證：四邊形ABEC是正方形．【答案】（1）見解析；（2）見解析．【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AD＝BC，AD∥BC，等量代換得到CF＝AD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）先證明△ABF≌△ECF，得AB＝CE，再得四邊形ABEC為平行四邊形，進而由∠BAC＝90°，得四邊形ABCD是正方形．【解答】證明：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴BF＝CF，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴CF＝AD，∵CF∥AD，∴△EFC∽△EAD，∴，（2）∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴BF＝CF，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥DE，∴∠BAF＝∠CEF，∵∠AFB＝∠CFE，∴△ABF≌△ECF（AAS），∴AB＝CE，∴四邊形ABEC是平行四邊形，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴四邊形ABEC是正方形．24．（10分）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，對角線AC是⊙O的直徑，過點C作AC的垂線交AD的延長線于點E，F(xiàn)為CE的中點，連接BD，DF，BD與AC交于點P．（1）求證：DF是⊙O的切線；（2）若AC＝DE，求tan∠ABD的值；（3）若，求sin∠DPC的值．【答案】（1）見解答；（2）2；（3）45°．【分析】（1）由圓周角定理得出ADC＝∠CDE＝90°，利用直角三角形的性質(zhì)結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)得出∠ODF＝∠ODC+∠FDC＝∠OCD+∠DCF＝90°，進而得出答案；（2）利用相似三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理表示出AD，DC的長，再利用圓周角定理得出tan∠ABD的值；（3）過點O作OG⊥BD于點G，由垂徑定理可得BG＝DG，利用PD2+PB2＝8，可求半徑為2，即可求解．【解答】（1）證明：如圖，連接OD，∵AC是⊙O的直徑，∴∠ADC＝90°，∴∠EDC＝90°，∵F是EC的中點，∴DF＝FC，∴∠FDC＝∠FCD，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，∵AC⊥CE，∴∠OCF＝90°，∴∠ODF＝∠ODC+∠FDC＝∠OCD+∠FCD＝∠OCF＝90°，即DF⊥OD，∵OD是圓的半徑，∴DF是⊙O的切線；（2）解：∵∠CAE+∠E＝90°，∠CAE+∠ACD＝90°，∴∠E＝∠ACD，又∠ACE＝∠ADC＝90°，∴△ACE∽△ADC，∴，即AC2＝AD?AE．設(shè)DE＝x，則AC＝x，即（x）2＝AD（AD+x）．整理，得AD2+AD?x﹣20x2＝0．解得AD＝4x或AD＝﹣5x（舍去）．∴DC＝＝2x．∴tan∠ABD＝tan∠ACD＝＝＝2；（3）解：如圖，過點O作OG⊥BD于點G，由垂徑定理，得BG＝DG，設(shè)BG＝DG＝m，則PD＝m+PG，PB＝m﹣PG，∵PD2+PB2＝，∴（m+PG）2+（m﹣PG）2＝，整理，得2m2+2PG2＝，即m2+PG2＝．∵∠DPC＝45°，25．（10分）定義：如果函數(shù)的圖象上至少存在不重合的兩點（a，b），（﹣a，﹣b），那么我們稱函數(shù)為“S函數(shù)”，這對點叫做“S函數(shù)”的S點．（1）在下列關(guān)于x的函數(shù)中，是“S函數(shù)”的，請在后面的橫線上打“√”，