2024年西安市高三數(shù)學(xué)（理）第四次模擬聯(lián)考試卷附答案解析

年西安市高三數(shù)學(xué)（理）第四次模擬聯(lián)考試卷（滿分：150分，考試時間：120分鐘）必考題部分一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．設(shè)集合，，則（

）A． B． C． D．2．已知是虛數(shù)單位，若是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)（

）A． B．2 C． D．3．已知，，若與模相等，則=（

）.A．3 B．4 C．5 D．64．以下四個選項(xiàng)中的函數(shù)，其函數(shù)圖象最適合如圖的是（

）A． B． C． D．5．已知圓錐的頂點(diǎn)和底面圓周都在球O面上，圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為，面積為，則球O的表面積等于（

）A． B． C． D．6．下列說法不正確的是（

）A．若直線a不平行于平面，，則內(nèi)不存在與a平行的直線B．若一個平面內(nèi)兩條不平行的直線都平行于另一個平面，則C．設(shè)l，m，n為直線，m，n在平面內(nèi)，則“”是“且”的充分條件D．若平面平面，平面平面，則平面與平面所成的二面角和平面與平面所成的二面角相等或互補(bǔ)7．化簡（

）A． B． C． D．28．已知一個古典概型的樣本空間和事件，如圖所示.其中則事件與事件（

）A．是互斥事件，不是獨(dú)立事件B．不是互斥事件，是獨(dú)立事件C．既是互斥事件，也是獨(dú)立事件D．既不是互斥事件，也不是獨(dú)立事件9．?dāng)?shù)學(xué)對于一個國家的發(fā)展至關(guān)重要，發(fā)達(dá)國家常常把保持?jǐn)?shù)學(xué)領(lǐng)先地位作為他們的戰(zhàn)略需求.現(xiàn)某大學(xué)為提高數(shù)學(xué)系學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，特開設(shè)了“古今數(shù)學(xué)思想”，“世界數(shù)學(xué)通史”，“幾何原本”，“什么是數(shù)學(xué)”四門選修課程，要求數(shù)學(xué)系每位同學(xué)每學(xué)年至多選門，大一到大三三學(xué)年必須將四門選修課程選完，則每位同學(xué)的不同選修方式有（

）A．種 B．種 C．種 D．種10．函數(shù)的部分圖象如圖中實(shí)線所示，圖中圓C與的圖象交于M，N兩點(diǎn)，且M在y軸上，則（

）A．函數(shù)在上單調(diào)遞增B．圓的半徑為C．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱D．函數(shù)在上單調(diào)遞減11．已知點(diǎn)M，N是拋物線：和動圓C：的兩個公共點(diǎn)，點(diǎn)F是的焦點(diǎn)，當(dāng)MN是圓C的直徑時，直線MN的斜率為2，則當(dāng)變化時，的最小值為（

）A．3 B．4 C．5 D．612．定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，滿足，且，若，則的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知，則在上的投影為.14．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)積為，那么當(dāng)時，＝．15．已知雙曲線左右焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)作與一條漸近線垂直的直線l，且l與雙曲線的左右兩支分別交于M，N兩點(diǎn)，若，則該雙曲線的漸近線方程為．16．在銳角中，內(nèi)角A，B，C所對應(yīng)的邊分別是a，b，c，且，則的取值范圍是．三、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．記是公差為整數(shù)的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，，且，，成等比數(shù)列．(1)求和；(2)若，求數(shù)列的前20項(xiàng)和．18．今天，中國航天仍然邁著大步向浩瀚字宙不斷探索，取得了舉世矚目的非凡成就.某學(xué)校為了解學(xué)生對航天知識的知曉情況，在全校學(xué)生中開展了航天知識測試（滿分100分），隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的測試成績，按照，，，分組，得到如圖所示的樣本頻率分布直方圖：(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計該校學(xué)生測試成績的中位數(shù)；(2)從測試成績在的同學(xué)中再次選拔進(jìn)入復(fù)賽的選手，一共有6道題，從中隨機(jī)挑選出4道題進(jìn)行測試，至少答對3道題者才可以進(jìn)入復(fù)賽.現(xiàn)有甲、乙兩人參加選拔，在這6道題中甲能答對4道，乙能答對3道，且甲、乙兩人各題是否答對相互獨(dú)立，記甲、乙兩人中進(jìn)入復(fù)賽的人數(shù)為，求分布列及期望.19．如圖，三棱柱中，，是的中點(diǎn)，．(1)證明：平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離；(3)求平面與平面的夾角的余弦值．20．已知（且），．(1)求在上的最小值；(2)如果對任意的，存在，使得成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．21．已知橢圓E：過兩點(diǎn)，，橢圓的上頂點(diǎn)為P，圓C：在橢圓E內(nèi)．(1)求橢圓E的方程；(2)過點(diǎn)P作圓C的兩條切線，切點(diǎn)為A、B，切線PA與橢圓E的另一個交點(diǎn)為N，切線PB與橢圓E的另一個交點(diǎn)為M．直線AB與y軸交于點(diǎn)S，直線MN與y軸交于點(diǎn)T．求的最大值，并計算出此時圓C的半徑r．選考題部分請考生在第22、23兩題中任選一題作答．注意：只能做所選定的題目．如果多做，則按所做的第一個題目計分．22．平面直角坐標(biāo)系中，圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.(1)求圓的極坐標(biāo)方程和直線的直角坐標(biāo)方程；(2)已知點(diǎn)，且直線與圓交于、兩點(diǎn)，求的值.23．不等式選講已知均為正實(shí)數(shù)，函數(shù)的最小值為4．(1)求證：；(2)求證：．1．D【分析】解指數(shù)，對數(shù)不等式，求出集合后，結(jié)合集合的運(yùn)算即可求出結(jié)果?！驹斀狻坎坏仁絣og，即可loglog，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，，解得，所以，，顯然集合是的真子集，所以，即D正確。故選：D2．D【分析】根據(jù)虛數(shù)性質(zhì)結(jié)合復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算可得，再根據(jù)是純虛數(shù)列式求解.【詳解】，又因?yàn)槭羌兲摂?shù)，所以，所以.故選：D.3．C【分析】利用坐標(biāo)求出的模長，進(jìn)而根據(jù)已知條件可以得到一個關(guān)于的方程，問題即可得到解決.【詳解】因?yàn)椋?，故，而又已知，且，所以，解?故選：C4．C【分析】利用排除法，結(jié)合函數(shù)值的符號和定義域逐項(xiàng)分析判斷．【詳解】根據(jù)題意，用排除法分析：對于選項(xiàng)A：，當(dāng)時，有，不符合題意；對于選項(xiàng)B：當(dāng)時，，不符合題意；對于選項(xiàng)D：的定義域?yàn)椋环项}意；故選：C．5．A【分析】求得圓錐的底面半徑和高，利用勾股定理求得球的半徑，從而求得球的表面積.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長為，高為，依題意，解得，所以.設(shè)球的半徑為，則，.所以球的表面積為.故選：A6．D【分析】對于選項(xiàng)ABC，可根據(jù)線面平行的判定定理，面面平行的判定定理和線面垂直的判定定理進(jìn)行判定；對于選項(xiàng)D，可在長方體中尋找特殊平面進(jìn)行排除.【詳解】對于選項(xiàng)A：若存在直線，則由直線和平面平行的判定定理知直線與平面平行，與條件相矛盾，故A正確；對于選項(xiàng)B：由面面平行的判定定理可知B正確；對于選項(xiàng)C：由線面垂直的性質(zhì)定理知：由，可得且，故C正確；對于選項(xiàng)D：例如在正方體中，平面為平面，平面為平面，平面為平面，平面為平面，此時平面與平面所成的二面角為,平面與平面所成的二面角為，故D錯誤.故選：D.7．B【分析】利用同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系化切為弦，然后利用平方關(guān)系和正弦的二倍角公式化簡轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)即可得解.【詳解】原式．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查同角三角函數(shù)的關(guān)系，特殊角三角函數(shù)值，二倍角的正弦公式，利用商數(shù)關(guān)系切化弦是解決問題的關(guān)鍵.8．B【解析】由可判斷事件是否為互斥事件，由可判斷事件是否為獨(dú)立事件.【詳解】因?yàn)?，所以，，，所以事件與事件不是互斥事件，所以，，所以，所以事件與事件是獨(dú)立事件.故選：B.9．B【分析】先分類，再每一類中用分步乘法原理即可.【詳解】由題意可知三年修完四門課程，則每位同學(xué)每年所修課程數(shù)為或或若是，則先將門學(xué)科分成三組共種不同方式.再分配到三個學(xué)年共有種不同分配方式，由乘法原理可得共有種，若是，則先將門學(xué)科分成三組共種不同方式，再分配到三個學(xué)年共有種不同分配方式，由乘法原理可得共有種，若是，則先將門學(xué)科分成三組共種不同方式，再分配到三個學(xué)年共有種不同分配方式，由乘法原理可得共有種所以每位同學(xué)的不同選修方式有種，故選：B.10．D【分析】根據(jù)已知圖象得出，.然后結(jié)合“五點(diǎn)法”得出，.進(jìn)而即可代入檢驗(yàn)A、C、D項(xiàng)；結(jié)合圖象，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得出半徑.【詳解】對于A項(xiàng)，由圖象結(jié)合對稱性易得，所以，.又由圖象結(jié)合“五點(diǎn)法”可得，，解得，.又，所以，.因?yàn)?，所?根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)在上不是單調(diào)遞增，故A項(xiàng)錯誤；對于B項(xiàng)，由A可知，，，點(diǎn)橫坐標(biāo)為，所以，，故B項(xiàng)錯誤；對于C項(xiàng)，因?yàn)?，根?jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)的圖象不關(guān)于點(diǎn)成中心對稱，故C錯誤；對于D項(xiàng)，因?yàn)?，所?根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞減，結(jié)合函數(shù)的周期性，可知函數(shù)在上單調(diào)遞減，故D正確.故選：D.11．B【分析】直線的方程為，聯(lián)立直線與拋物線的方程得到，結(jié)合是MN的中點(diǎn)，可得，由拋物線的定義可將轉(zhuǎn)化為，當(dāng)三點(diǎn)在一條直線時，可求得的最小值.【詳解】圓C：的圓心，當(dāng)MN是圓C的直徑時，直線MN的斜率為2，設(shè)直線的方程為，化簡為：，，消去可得：，設(shè)，，所以，因?yàn)槭荕N的中點(diǎn)，所以，解得：，故，，由拋物線的定義可知，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，所以，所以，當(dāng)三點(diǎn)在一條直線時取等.故選：B.

12．C【分析】根據(jù)題意，結(jié)合條件求導(dǎo)可得在上為減函數(shù)，由其單調(diào)性即可判斷的大小關(guān)系.【詳解】由已知可得：，令，則，且，再令，則，當(dāng)時，為增函數(shù)；當(dāng)時，為減函數(shù)；，在上恒成立；在上為減函數(shù)；又因?yàn)楣柿?，?dāng)時，為增函數(shù)；故選：C13．##【分析】先求，，再求，，，利用向量夾角余弦公式求夾角，再由投影向量的模長公式求解.【詳解】因?yàn)?，所以，，所以，，，設(shè)向量與的夾角為，，那么在上的投影為|故答案為：.14．【分析】設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)積為，利用求出答案.【詳解】設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)積為，則，當(dāng)時，．故答案為：15．【分析】根據(jù)雙曲線的定義可求，結(jié)合余弦定理可求的值.【詳解】如圖，設(shè)直線，且垂足為，因?yàn)?，故，所以，而，故，故，在中，由余弦定理可得，整理得到：，故，因此該雙曲線的漸近線方程為．故答案為：.16．【分析】由正弦定理和正弦二倍角公式將已知化為，根據(jù)為銳角三角形可得，以及，再由正弦定理可得，利用兩角和的正弦展開式和的范圍可得答案.【詳解】由正弦定理和正弦二倍角公式可得，因?yàn)椋?，可得，因?yàn)?，所以，所以，，由，可得，所以，，由正弦定理?故答案為：.17．(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)已知條件求出公差，由公式即可確定和.（2）根據(jù)已知條件求出，裂項(xiàng)相消法求即可.【詳解】（1）設(shè)，由，得，所以或，由于，所以.所以，，.（2）由知：，故，由所以.18．(1)(2)【分析】（1）計算出成績落在各組的頻率，得到該校學(xué)生測試成績的中位數(shù)落在，設(shè)出中位數(shù)，得到方程，求出答案；（2）先得到甲乙分別能進(jìn)行復(fù)賽的概率，進(jìn)而得到的可能取值及對應(yīng)的概率，得到分布列，求出數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）成績落在內(nèi)的頻率為，成績落在內(nèi)的頻率為，成績落在內(nèi)的頻率為，由于，，故該校學(xué)生測試成績的中位數(shù)落在內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為，則，解得，故估計該校學(xué)生測試成績的中位數(shù)為（2）從6道題中選4道共有種選擇，因?yàn)榧啄艽饘ζ渲械?道，故甲能進(jìn)行復(fù)賽的情況有種，故甲能進(jìn)行復(fù)賽的概率為，不能進(jìn)復(fù)賽的概率為，因?yàn)橐夷艽饘ζ渲械?道，故乙能進(jìn)行復(fù)賽的情況有種，故乙能進(jìn)行復(fù)賽的概率為，不能進(jìn)復(fù)賽的概率為，的可能取值為，，，，故分布列如下：012數(shù)學(xué)期望為.19．(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）先證明平面，得到，再證明平面．（2）方法一幾何法，取的中點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，可證平面，點(diǎn)到平面的距離即為，求解得解；方法二向量法，建立空間直角坐標(biāo)系利用向量法求點(diǎn)面距；（3）建立空間直角坐標(biāo)系利用向量法求解.【詳解】（1）因?yàn)?，是的中點(diǎn)，所以，因?yàn)椋?，平面，所以平面，又平面，所以，因?yàn)?，是的中點(diǎn)，所以，，平面，所以平面．（2）法一：取的中點(diǎn)，連接，可得四邊形是平行四邊形，因?yàn)?，，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，過點(diǎn)作于點(diǎn)，平面，平面平面，則平面，所以點(diǎn)到平面的距離即為，因?yàn)椋?，又，所以，故點(diǎn)到平面的距離為．法二：由（1）知平面，，所以，，兩兩垂直，以為原點(diǎn)，以，，所在直線分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，所以，又，，所以，，，所以，所以，，，，，，，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，令，則為平面的一個法向量，又，所以點(diǎn)到平面的距離，故點(diǎn)到平面的距離為．（3）由（2）法二得，，設(shè)平面的一個法向量為，則得，令，則，，所以為平面的一個法向量，又平面，所以是平面的一個法向量，，故平面與平面的夾角的余弦值為．20．(1)-1(2)【分析】（1）對求導(dǎo)，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，求出在的單調(diào)性，即可求出上的最小值；（2）由（1）知，在上的最小值為，所以，使得成立，即成立，即，設(shè)，，即只需即可．【詳解】（1），顯然為偶函數(shù)，當(dāng)時，時，，，∴在單調(diào)遞增；時，，，∴在單調(diào)遞減；，，，∴在上的最小值為．由偶函數(shù)圖象的對稱性可知在上的最小值為．（2）先證，設(shè)，則，令，令，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．故①恒成立．由題意可得，使得成立，即成立．由①可知，參變分離得，設(shè)，，即只需即可．由①知得，∴令，令，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．∴，∴，又已知故a的取值范圍為．21．(1)(2)的最大值為，此時【分析】（1）根據(jù)題意代入兩點(diǎn)，即可得橢圓方程；（2）設(shè)，過點(diǎn)的直線的方程為，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得到，則可得，再聯(lián)立，求出坐標(biāo)，設(shè)出直線的方程，代入坐標(biāo)計算，再求解即可.【詳解】（1）由題意可得：，解得，所以橢圓方程為.（2）過點(diǎn)作圓C的兩條切線，當(dāng)兩條切線均存在斜率時，設(shè)經(jīng)過點(diǎn)的直線的方程為，則，整理得，所以有又以為直徑的圓的方程為則直線的方程為，整理得，令得，即，聯(lián)立，消去得，所以，即，不妨設(shè)直線的方程為，則，整理得，所以為方程的兩個根，則，又，所以，解得，此時，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，當(dāng)兩條切線中一條斜率不存在時，，此時PA即y