要點梳理基本不等式基本不等式成立的條件等號市公開課金獎市賽課一等獎課件

要點梳理1.基本不等式(1)基本不等式成立條件:____________.(2)等號成立條件:當且僅當______時取等號.§7.4基本不等式:a>0,b>0a=b基礎知識自主學習第1頁第1頁2.幾種主要不等式(1)a2+b2≥_______(a,b∈R).(2)≥____(a,b同號).(3)(a,b∈R).(4)(a,b∈R).3.算術平均數與幾何平均數設a>0,b>0，則a,b算術平均數為,幾何平均數為______，基本不等式可敘述為：_____________________________________________.2ab2術平均數不小于它們幾何平均數兩個正數算第2頁第2頁4.利用基本不等式求最值問題已知x>0,y>0,則(1)假如積xy是定值p，那么當且僅當_____時，x+y

有最___值是______.（簡記：積定和最?。?2)假如和x+y是定值p,那么當且僅當____時,xy有最____值是______.（簡記：和定積最大）x=y小x=y大第3頁第3頁基礎自測1.下列結論中不正確是（）A.B.C.a2+b2≥2abD.解析只有當a、b同號且不為零時成立，B第4頁第4頁2.已知向量a=(x-1,1),b=則|a+b|最小值是（）A.1B.C.D.2

解析

a+b=

∴|a+b|=B第5頁第5頁3.當x>1時，關于函數下列敘述正確是（）A.函數f(x)有最小值2B.函數f(x)有最大值2C.函數f(x)有最小值3D.函數f(x)有最大值3

解析∵x>1,∴x-1>0,C第6頁第6頁4.已知a>0,b>0，則a+2b最小值為（）A.B.C.D.14

解析據題意知A第7頁第7頁5.若0<x<1，則f(x)=x(4-3x)取得最大值時，x值為（）A.B.C.D.

解析∵0<x<1,∴4-3x>0,∴x(4-3x)=·3x(4-3x)當且僅當3x=4-3x,即x=時取得等號.D第8頁第8頁

題型一利用基本不等式證實不等式【例1】已知x>0,y>0,z>0.求證：由題意，先局部利用基本不等式，再利用不等式性質即可得證.思維啟迪題型分類深度剖析第9頁第9頁證實∵x>0,y>0,z>0,當且僅當x=y=z時等號成立.第10頁第10頁利用基本不等式證實不等式是綜合法證實不等式一個情況，證實思緒是從已證不等式和問題已知條件出發(fā)，借助不等式性質和相關定理，經過逐步邏輯推理最后轉化為需證問題.探究提升第11頁第11頁知能遷移1（1）證實：a4+b4+c4+d4≥4abcd;(2)已知a>0,b>0,a+b=1,求證:

證實

（1）a4+b4+c4+d4≥2a2b2+2c2d2=2(a2b2+c2d2)≥2·2abcd=4abcd.原不等式得證.（2）∵a>0,b>0,a+b=1，

因此原不等式成立.第12頁第12頁題型二利用基本不等式求最值【例2】求下列各題最值.（1）已知x>0,y>0,lgx+lgy=1,求最小值；（2）x>0,求最小值；（3）x<3，求最大值；（4）x∈R，求最小值.第13頁第13頁思維啟迪（1）由lgx+lgy=1得xy=10,故可用基本不等式.（2）由x>0,是常數，故可直接利用基本不等式.（3）由于不是常數，故需變形.又x-3<0，故需變號.（4）即使(常數),但利用基本不等式時，等號取不到，因此利用函數單調性.第14頁第14頁解（1）辦法一由x>0,y>0,lgx+lgy=1,可得xy=10.當且僅當2y=5x,即x=2,y=5時等號成立.辦法二由x>0,y>0,lgx+lgy=1,可得當且僅當即x=2,y=5時等號成立.第15頁第15頁(2)∵x>0,等號成立條件是即x=2,∴f(x)最小值是12.(3)∵x<3,∴x-3<0,∴3-x>0,當且僅當即x=1時，等號成立.故f(x)最大值為-1.第16頁第16頁(4)令sin2x+1=t,則t∈[1，2]，故任取t1,t2∈［1，2］且t1<t2,∵t1<t2且t1,t2∈[1，2]，∴t1-t2<0,t1t2-5<0,第17頁第17頁故g(t1)-g(t2)>0,∴g(t1)>g(t2),∴g(t)在[1，2]上是減函數，∴f(x)min=等號成立條件是sin2x+1=2.∴sinx=±1,故f(x)最小值是利用基本不等式求最值問題,基本辦法是借助條件化二元函數為一元函數,代換過程中應注意元范圍,同時也要注意“拆項”、“湊項”技巧，尤其要注意等號能否取到.探究提升第18頁第18頁知能遷移2（1）已知x>0,y>0，且求x+y最小值；（2）已知x<求函數最大值;（3）若x,y∈(0,+∞)且2x+8y-xy=0,求x+y最小值.第19頁第19頁解（1）∵x>0,y>0,當且僅當時，上式等號成立，∴x=4,y=12時，(x+y)min=16.第20頁第20頁(2)∵x<∴5-4x>0,≤-2+3=1,當且僅當即x=1時，上式等號成立，故當x=1時，ymax=1.第21頁第21頁(3)由2x+8y-xy=0,得2x+8y=xy,當且僅當即x=2y時取等號，又2x+8y-xy=0,∴x=12,y=6,∴當x=12,y=6時，x+y取最小值18.第22頁第22頁題型三利用基本不等式解應用題【例3】(12分)某造紙廠擬建一座平面圖形為矩形且面積為162平方米三級污水處理池,池深度一定(平面圖如圖所表示),假如池四周圍墻建造單價為400元/米，中間兩道隔墻建造單價為248元/米,池底建造單價為80元/米2,水池所有墻厚度忽略不計.（1）試設計污水處理池長和寬，使總造價最低，并求出最低總造價；（2）若由于地形限制，該池長和寬都不能超出16米，試設計污水池長和寬，使總造價最低，并求出最低總造價.第23頁第23頁思維啟迪設污水處理池寬為x米,則長為米,由題意可建立總造價與x函數關系,進而通過求函數最值擬定x取值.解（1）設污水處理池寬為x米，則長為米.1分第24頁第24頁當且僅當(x>0),即x=10時取等號.5分∴當長為16.2米，寬為10米時總造價最低，最低總造價為38880元.6分（2）由限制條件知8分第25頁第25頁

g(x)有最小值，10分即f(x)有最小值為∴當長為16米，寬為米時，總造價最低，為38882元.12分（1）解應用題時，一定要注意變量實際意義，即變量取值范圍.（2）在求函數最值時，除應用基本不等式外,有時會出現基本不等式取不到“=”，此時要考慮函數單調性.探究提升第26頁第26頁知能遷移3某學校擬建一塊周長為400m操場如圖所表示，操場兩頭是半圓形,中間區(qū)域是矩形,學生做操普通安排在矩形區(qū)域，為了能讓學生做操區(qū)域盡也許大，試問怎樣設計矩形長和寬？解設中間矩形區(qū)域長，寬分別為xm,ym,中間矩形區(qū)域面積為S，則半圓周長為因為操場周長為400,因此第27頁第27頁即把矩形長和寬分別設計為100m和時，矩形區(qū)域面積最大.第28頁第28頁1.恒等變形：為了利用基本不等式,有時對給定代數式要進行適當變形.比如：辦法與技巧思想辦法感悟提升第29頁第29頁2.慣用不等式：下列不等式在解題時使用更直接.(1)(a>0,且a∈R),當且僅當a=1時“=”成立.(2)(a>0,b>0,a,b∈R),當且僅當a=b時“=”成立.3.二次配方：a>0,a∈R,應用不等式可解決部分分式不等式最值問題.比如：當x>2時，第30頁第30頁使用基本不等式求最值,其失誤真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”忽略.要利用基本不等式求最值，這三個條件缺一不可.失誤與防備第31頁第31頁(1)確保“一正”.對于負數，諸多不等關系就不一定成立.如：當x<0時，顯然不再成立.事實上，此時(2)要使中“=”成立，必須使a=b成立.如：第32頁第32頁

一、選擇題1.在下列各函數中,最小值等于2函數是()A.B.C.D.定期檢測第33頁第33頁解析選項A中，x>0時，y≥2,x<0時，y≤-2;選項B中，cosx≠1,故最小值不等于2；選項C中，答案

D第34頁第34頁2.（·天津理，6）設a>0，b>0,若是3a與3b

等比中項，則最小值為（）A.8B.4C.1D.

解析由題意知3a·3b=3,即3a+b=3，因此a+b=1.由于a>0,b>0,

當且僅當a=b時，等號成立.B第35頁第35頁3.已知x>0，y>0，lg2x+lg8y=lg2,則最小值是（）A.2B.C.4D.解析由lg2x+lg8y=lg2,得lg2x+3y=lg2,∴x+3y=1,C第36頁第36頁4.已知（a>2),(x<0),則m、

n之間大小關系是（）A.m>nB.m<nC.m=nD.m≤n解析

A第37頁第37頁5.x>則最小值為()A.-3B.2C.5D.7解析

D第38頁第38頁6.函數x∈(0,3)，則（）A.f(x)有最大值B.f(x)有最小值-1C.f(x)有最大值1D.f(x)有最小值1

解析∵x∈(0,3),∴x-1∈(-1,2),∴(x-1)2∈[0，4)，當且僅當且x∈(0,3),即x=2時取等號，∴當x=2時，函數f(x)有最小值1.D第39頁第39頁二、填空題7.若正數a、b滿足則a+b最小值為_____.

解析第40頁第40頁8.函數y=ax-1(a>0,且a≠1)圖象恒過定點A,若點

A在一次函數y=mx+n圖象上，其中m,n>0,則最小值為____.

解析由題知A（1，1），∴m+n=1，m,n>0.4第41頁第41頁9.若實數a,b滿足ab-4a-b+1=0(a>1)，則(a+1)(b+2)最小值為_____.

解析∵ab-4a-b+1=0,∴ab=4a+b-1,∴(a+1)(b+2)=ab+2a+b+2=6a+2b+1第42頁第42頁∵a>1,∴a-1>0.當且僅當(a-1)2=1,即a=2時成立.∴最小值為27.答案

27第43頁第43頁三、解答題10.(1)求函數y=x(a-2x)(x>0，a為不小于2x常數)最大值；(2)設x>-1,求函數最值.

解（1）∵x>0,a>2x,當且僅當時取等號，故函數最大值為第44頁第44頁（2）∵x>-1,∴x+1>0.設x+1=z>0,則x=z-1當且僅當z=2,即x=1時上式取等號.∴x=1時,函數y有最小值9,無最大值.第45頁