極限的四則運(yùn)算法則

關(guān)于極限的四則運(yùn)算法則時(shí),有一、無(wú)窮小運(yùn)算法則定理1.

有限個(gè)無(wú)窮小的和還是無(wú)窮小.證:

考慮兩個(gè)無(wú)窮小的和.設(shè)當(dāng)時(shí),有當(dāng)時(shí),有取則當(dāng)因此這說(shuō)明當(dāng)時(shí),為無(wú)窮小量.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第2頁(yè),共25頁(yè)，2024年2月25日，星期天說(shuō)明:

無(wú)限個(gè)無(wú)窮小之和不一定是無(wú)窮小!例如，(P56,題4(2))解答見(jiàn)課件第二節(jié)例5機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束類(lèi)似可證:有限個(gè)無(wú)窮小之和仍為無(wú)窮小.第3頁(yè),共25頁(yè)，2024年2月25日，星期天定理2.

有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.

證:

設(shè)又設(shè)即當(dāng)時(shí),有取則當(dāng)時(shí),就有故即是時(shí)的無(wú)窮小.推論1

.

常數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.推論2

.

有限個(gè)無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第4頁(yè),共25頁(yè)，2024年2月25日，星期天例1.求解:

利用定理2可知說(shuō)明:

y=0是的漸近線(xiàn).機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第5頁(yè),共25頁(yè)，2024年2月25日，星期天二、極限的四則運(yùn)算法則則有證:因則有(其中為無(wú)窮小)于是由定理1可知也是無(wú)窮小,再利用極限與無(wú)窮小的關(guān)系定理,知定理結(jié)論成立.定理3.

若機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第6頁(yè),共25頁(yè)，2024年2月25日，星期天推論:

若且則(P45定理5)利用保號(hào)性定理證明.說(shuō)明:

定理3可推廣到有限個(gè)函數(shù)相加、減的情形.提示:

令機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第7頁(yè),共25頁(yè)，2024年2月25日，星期天定理4

.若則有提示:

利用極限與無(wú)窮小關(guān)系定理及本節(jié)定理2證明.說(shuō)明:

定理4可推廣到有限個(gè)函數(shù)相乘的情形.推論1.(C

為常數(shù))推論2.(n

為正整數(shù))例2.

設(shè)

n次多項(xiàng)式試證證:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第8頁(yè),共25頁(yè)，2024年2月25日，星期天為無(wú)窮小(詳見(jiàn)P44)定理5.

若且B≠0,則有證:

因有其中設(shè)無(wú)窮小有界因此由極限與無(wú)窮小關(guān)系定理,得為無(wú)窮小,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第9頁(yè),共25頁(yè)，2024年2月25日，星期天定理6

.

若則有提示:

因?yàn)閿?shù)列是一種特殊的函數(shù),故此定理可由定理3,4,5直接得出結(jié)論.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第10頁(yè),共25頁(yè)，2024年2月25日，星期天

x=3時(shí)分母為0!例3.

設(shè)有分式函數(shù)其中都是多項(xiàng)式,試證:證:說(shuō)明:

若不能直接用商的運(yùn)算法則.例4.

若機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第11頁(yè),共25頁(yè)，2024年2月25日，星期天例5.

求解:

x=1時(shí)分母=0,分子≠0,但因機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第12頁(yè),共25頁(yè)，2024年2月25日，星期天例6

.

求解:時(shí),分子分子分母同除以則分母“抓大頭”原式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第13頁(yè),共25頁(yè)，2024年2月25日，星期天一般有如下結(jié)果：為非負(fù)常數(shù))(如P47例5)(如P47例6)(如P47例7)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第14頁(yè),共25頁(yè)，2024年2月25日，星期天三、復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則定理7.

設(shè)且

x滿(mǎn)足時(shí),又則有證:

當(dāng)時(shí),有當(dāng)時(shí),有對(duì)上述取則當(dāng)時(shí)故①因此①式成立.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第15頁(yè),共25頁(yè)，2024年2月25日，星期天定理7.

設(shè)且x

滿(mǎn)足時(shí),又則有

說(shuō)明:若定理中則類(lèi)似可得機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第16頁(yè),共25頁(yè)，2024年2月25日，星期天例7.求解:

令已知(見(jiàn)P46例3)∴原式=(見(jiàn)P33例5)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第17頁(yè),共25頁(yè)，2024年2月25日，星期天例8.求解:

方法1則令∴原式方法2機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第18頁(yè),共25頁(yè)，2024年2月25日，星期天內(nèi)容小結(jié)1.極限運(yùn)算法則(1)無(wú)窮小運(yùn)算法則(2)極限四則運(yùn)算法則(3)復(fù)合函數(shù)極限運(yùn)算法則注意使用條件2.求函數(shù)極限的方法(1)分式函數(shù)極限求法時(shí),用代入法(分母不為0)時(shí),對(duì)型,約去公因子時(shí),分子分母同除最高次冪“抓大頭”(2)復(fù)合函數(shù)極限求法設(shè)中間變量Th1Th2Th3Th4Th5Th7機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第19頁(yè),共25頁(yè)，2024年2月25日，星期天思考及練習(xí)1.是否存在?為什么?答:

不存在.否則由利用極限四則運(yùn)算法則可知存在,與已知條件矛盾.解:原式2.問(wèn)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第20頁(yè),共25頁(yè)，2024年2月25日，星期天3.

求解法1原式=解法2令則原式=機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第21頁(yè),共25頁(yè)，2024年2月25日，星期天4.

試確定常數(shù)a

使解:令則故機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束因此第22頁(yè),共25頁(yè)，2024年2月25日，星期天作業(yè)P481（5），（7），（9），（12），（14）

2（1），（3）

3（1）

4第六節(jié)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第23頁(yè),共25頁(yè)，2024年2月2