2022年北京市高考數(shù)學(xué)試題(解析版)

絕密★本科目考試啟用前

2022年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（北京卷）

數(shù)學(xué)

本試卷共5頁(yè)，150分.考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在

試卷上作答無(wú)效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

第一部分（選擇題共40分）

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中,

選出符合題目要求的一項(xiàng).

1.己知全集U={x|-3<x<3},集合4={x|-2<xWl},則&/=（）

A.(-2,1]B.(-3,-2)U[l,3)C.[-2,1)

（-3,-2]U（l,3）

【答案】D

【解析】

【分析】利用補(bǔ)集的定義可得正確的選項(xiàng).

【詳解】由補(bǔ)集定義可知：CM={x|-3<xW-2或l<x<3},,即CM=（-3,-2]U（1,3）

故選：D.

2.若復(fù)數(shù)z滿足i-z=3—4i,則|z|=（）

A.1B.5C.7D.25

【答案】B

【解析】

【分析】利用復(fù)數(shù)四則運(yùn)算，先求出z,再計(jì)算復(fù)數(shù)的模.

故選：B.

3.若直線2x+y-l=0是圓（》一。）2+丁2=1的一條對(duì)稱軸，則。=（）

【答案】A

【解析】

【分析】若直線是圓的對(duì)稱軸，則直線過(guò)圓心，將圓心代入直線計(jì)算求解.

【詳解】由題可知圓心為因?yàn)橹本€是圓的對(duì)稱軸，所以圓心在直線上，即

第1頁(yè)，共18頁(yè)

2tz+O-l=0T解得

2

故選：A.

4.己知函數(shù)/(%)=不二，則對(duì)任意實(shí)數(shù)達(dá)有()

1+2

A./(-x)+/(x)=0B./(-x)-/(x)=0

C./(-x)+/(x)=lD./(—X)一/*)=(

【答案】C

【解析】

【分析】直接代入計(jì)算，注意通分不要計(jì)算錯(cuò)誤.

11V1

【詳解】f(-x)+/(x)=—!—+—!—=-^—+—!—=l.故A錯(cuò)誤，c正確:

')')l+2-v1+2、1+2、1+2V

/(—x)—-------.....L_=m=i__二，不是常數(shù)，故BD

八)」\)1+2-、1+2、1+2、1+2、2'+12'+1

錯(cuò)誤；

故選：C.

5.已知函數(shù)/(x)=cos2x-sin2%,貝ij(

(717l\/7T71\

A./(x)在一二，一二上單調(diào)遞減B."X)在一I，五J上單調(diào)遞增

I26)

C./(X)在(0,?)上單調(diào)遞減

D./(x)在五上單調(diào)遞增

【答案】C

【解析】

【分析】化簡(jiǎn)得出/(x)=cos2x,利用余弦型函數(shù)的單調(diào)性逐項(xiàng)判斷可得出合適的選項(xiàng).

【詳解】因?yàn)?(x)=cos2x-sin2x-cos2x.

對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)—5<x<—時(shí)，—乃<2x<—§,則/(x)在］—■^,-7)上單調(diào)遞增，

A錯(cuò)；

對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)一工<x<三時(shí)，一生<2x〈生，則”X)在(一￡,二］上不單調(diào)，B錯(cuò);

41226V7I412；

對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)0<x<。時(shí)，0<2x〈當(dāng)，則/(x)在(0,上單調(diào)遞減，C對(duì)；

第2頁(yè)，共18頁(yè)

對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)三<》<2三時(shí)，—<2x<,則/(x)在上不單調(diào)，D錯(cuò).

41226<412J

故選：C.

6.設(shè)｛4,｝是公差不為0的無(wú)窮等差數(shù)列，貝心｛4｝為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)N。，當(dāng)

〃>乂時(shí),an>0”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】

【分析】設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,則drO,利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式結(jié)合充分條件、

必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛叫的公差為d,則doO,記［x］為不超過(guò)x的最大整數(shù).

若｛%｝為單調(diào)遞增數(shù)列，則d〉0,

若則當(dāng)〃22時(shí)，a?>?,>0；若％<0,則=q,

由=q+(〃-l)d〉0可得〃>1一工，取N()=1-3+1,則當(dāng)〃〉N。時(shí)，>0,

dL〃_

所以，“｛%｝是遞增數(shù)列“n"存在正整數(shù)No，當(dāng)〃〉N0時(shí)，%>0"：

若存在正整數(shù)N。，當(dāng)〃〉N0時(shí)，an>0,?。N'且左>N0,ak>0,

假設(shè)d<0,令?！?《+(〃-%)4<0可得〃>左一幺，且左一%>左，

dd

當(dāng)〃>kq+1時(shí)，<0,與題設(shè)矛盾，假設(shè)不成立，則d>0,即數(shù)列｛%｝是遞增

數(shù)列.

所以，“｛4｝是遞增數(shù)列”u“存在正整數(shù)N。，當(dāng)〃〉N0時(shí)，/>0”.

所以，“｛為｝是遞增數(shù)列''是"存在正整數(shù)N。，當(dāng)〃>N0時(shí)，％〉0”的充分必要條件.

故選：C.

7.在北京冬奧會(huì)上，國(guó)家速滑館“冰絲帶”使用高效環(huán)保的二氧化碳跨臨界直冷制冰技術(shù)，

為實(shí)現(xiàn)綠色冬奧作出了貢獻(xiàn).如圖描述了一定條件下二氧化碳所處的狀態(tài)與7和1g2的關(guān)

系，其中7表示溫度，單位是K；P表示壓強(qiáng)，單位是bar.下列結(jié)論中正確的是()

第3頁(yè)，共18頁(yè)

A.當(dāng)7=220,尸=1026時(shí)，二氧化碳處于液態(tài)

B.當(dāng)7=270,0=128時(shí)，二氧化碳處于氣態(tài)

C.當(dāng)7=300,P=9987時(shí)，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)

D.當(dāng)7=360,尸=729時(shí)，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)「與1g尸的關(guān)系圖可得正確的選項(xiàng).

【詳解】當(dāng)T=220,P=1026時(shí)，lgP>3,此時(shí)二氧化碳處于固態(tài)，故A錯(cuò)誤.

當(dāng)7=270,尸=128時(shí)，2<lgP<3,此時(shí)二氧化碳處于液態(tài)，故B錯(cuò)誤.

當(dāng)7=300,P=9987時(shí)，IgP與4非常接近，故此時(shí)二氧化碳處于固態(tài)，

另一方面，7=300時(shí)對(duì)應(yīng)的是非超臨界狀態(tài)，故C錯(cuò)誤.

當(dāng)7=360,P=729時(shí)，因2<lgP<3,故此時(shí)二氧化碳處于超臨界狀態(tài)，故D正確.

故選：D

4432

8.(2x-1)=a4x+a3x+a2x+axx+aa,則4+%+%=()

A.40B.41C.-40D.-41

【答案】B

【解析】

【分析】利用賦值法可求4+%的值?

【詳解】令X=1,則。4++。0=1，

令x=—1,則為—4+4―q+"o=(—3)=81,

,.1+81..

故。4+&+ao=~-=41,

故選：B.

第4頁(yè),共18頁(yè)

9.已知正三棱錐尸-N8C的六條棱長(zhǎng)均為6,S是AZBC及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合.設(shè)集

合T={QeS|PQ45},則T表示的區(qū)域的面積為（）

3兀_

A.—B.〃C.2%D.3萬(wàn)

4

【答案】B

【解析】

【分析】求出以尸為球心，5為半徑的球與底面48C的截面圓的半徑后可求區(qū)域的面積.

設(shè)頂點(diǎn)尸在底面上的投影為O,連接30,則。為三角形/8C的中心,

且8O=2X6X@=2G，故尸0=。36-12=2痣.

32

因?yàn)槭?5,故。。=1,

故S的軌跡為以。為圓心，1為半徑的圓，

而三角形內(nèi)切圓的圓心為0,半徑為2x1x36：],

故S的軌跡圓在三角形Z8C內(nèi)部，故其面積為乃

故選：B

10.在ANBC中，NC=3,8C=4,NC=90°.P為ANBC所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且PC=1,

則萬(wàn)?麗的取值范圍是（）

A.[-5,3]B.[-3,5]C.[-6,4]D.[-4,6]

【答案】D

第5頁(yè)，共18頁(yè)

【解析】

【分析】依題意建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)P（cos仇sin。），表示出蘇，PB，根據(jù)數(shù)量積

的坐標(biāo)表示、輔助角公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；

【詳解】解：依題意如圖建立平面直角坐標(biāo)系,則洋（0,0）,4（3,0）,5（0,4）,

因?yàn)槭?1,所以尸在以。為圓心，1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，

設(shè)P（cos9,sin。）,0e[O,2^],

所以尸4=（3—cos。,一sin。）,PB-（一cos。,4一sin。）,

所以PAPB=（一cos0）x（3-cos。）+（4-sin^）x（-sin。）

=cos20-3cos。-4sin夕+sin?夕

二1一3cose-4sin。

./\34

=1—5sin（6+o）,其中sin*=y,cos（p=—,

因?yàn)橐?4sin（e+e）41,所以TWl-5sin（e+/）W6,即萬(wàn).麗w[—4,6]；

故選：D

第二部分（非選擇題共110分）

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.函數(shù)[（x）=1+J匚嚏的定義域是.

X

【答案】（f,0）3?！?/p>

第6頁(yè)，共18頁(yè)

【解析】

【分析】根據(jù)偶次方根的被開方數(shù)非負(fù)、分母不為零得到方程組，解得即可;

(、1/---1—xN0

【詳解】解：因?yàn)?(x)=—+J匚所以〈八，解得且XHO,

v7x[xw0

故函數(shù)的定義域?yàn)?-＜&o)u(o』；

故答案為：(―OC,0)D(0,1]

12.已知雙曲線/+工=1的漸近線方程為y=±@x，則山=.

m3

【答案】-3

【解析】

【分析】首先可得?。?,即可得到雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，從而得到。、b,再跟漸近線方程

得到方程，解得即可；

22

【詳解】解：對(duì)于雙曲線_/+二=1,所以加＜0,即雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為V—工=1,

m-m

則4=1,b=Q，又雙曲線產(chǎn)+上=1的漸近線方程為y=±Ylx，

m3

所以@=也，即_==立，解得加=一3；

b3yj-m3

故答案為：—3

13.若函數(shù)/(x)=/sinx-抬'cosx的一個(gè)零點(diǎn)為?，則/=；

/田=

【答案】①.1②.-V2

【解析】

TT7T

[分析]先代入零點(diǎn),求得A的值,再將函數(shù)化簡(jiǎn)為/(%)=2sin(x-,代入自變量x=0,

計(jì)算即可.

【詳解】?.?/(')=曰/一日=0，，/=1

/.f(x)=sinx-V3cosx=2sin(x--)

第7頁(yè)，共18頁(yè)

故答案為：1,-V2

-ax+1,x<a,

.0若“X)存在最小值，則〃的一個(gè)取值為________；a

)(x-2),x>a.

的最大值為.

【答案】①.0(答案不唯一)②.I

【解析】

【分析】根據(jù)分段函數(shù)中的函數(shù)y=-ax+l的單調(diào)性進(jìn)行分類討論，可知，。=0符合條件,

。<0不符合條件，?！?時(shí)函數(shù)>=-依+1沒(méi)有最小值，故/(X)的最小值只能取y=(x-2)2

的最小值，根據(jù)定義域討論可知+120或+12(4—2)2,解得0<?！禲

1<0

【詳解】解：若。=0時(shí)，/(》)=｛/X、八，，/(X)min=0：

(x-2),x>0

若。<0時(shí)，當(dāng)x<a時(shí)，/(x)=-ax+l單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，f(x)-oo,故/(x)沒(méi)

有最小值，不符合題目要求；

若。>0時(shí)，

當(dāng)時(shí)，/(x)=-ox+l單調(diào)遞減，f(x)>f(a)=-a2+1,

,、,0(0<a<2)

當(dāng)x>a時(shí)，/(x)=｛

min(iz-2)2[a>2)

???-/+120或-/+1?("2)2,

解得0<aWl,

綜上可得0WaW1；

故答案為：0(答案不唯一)，1

15.己知數(shù)列｛4｝各項(xiàng)均為正數(shù)，其前八項(xiàng)和S”滿足a,「S“=9(〃=l,2「一).給出下列四

個(gè)結(jié)論：

①｛叫的第2項(xiàng)小于3：②｛叫為等比數(shù)列；

③｛4｝為遞減數(shù)列；④｛%｝中存在小于擊的項(xiàng).

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

【答案】①③④

【解析】

99

【分析】推導(dǎo)出《,=--------,求出%、4的值，可判斷①；利用反證法可判斷②④；利

4%

用數(shù)列單調(diào)性的定義可判斷③.

第8頁(yè)，共18頁(yè)

【詳解】由題意可知，X/neN*，?！?gt;0，

當(dāng)〃=1時(shí)，a；=9,可得q=3；

9999

當(dāng)〃22時(shí)，由S〃二一可得S,“=——,兩式作差可得見=--------,

冊(cè)%%區(qū)1

999

所以，--------an,則----。2=3,整理可得+3%-9=0,

。〃一1Q〃a2

因?yàn)椤?>0,解得%=W|二2<3,①對(duì)；

81

假設(shè)數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列，設(shè)其公比為久則W—，艮0---

所以，S；=S\Sy可得％2（l+q）2=a；（l+q+q2）,解得q=0,不合乎題意,

故數(shù)列｛/｝不是等比數(shù)列，②錯(cuò)；

999（a,-a,｝>

當(dāng)〃之2時(shí)，4=-------=-^n~^>0,可得%<%_1,所以，數(shù)列｛（/｝為遞減數(shù)

列，③對(duì)；

假設(shè)對(duì)任意的〃eN*，4之擊，則Booo。。.=1000,

_991

<

所以，^100000=7~~To6oloo,與假設(shè)矛盾，假設(shè)不成立，④對(duì)?

3looooo

故答案為：①③④.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題在推斷②④的正誤時(shí)，利用正面推理較為復(fù)雜時(shí)，可采用反證法

來(lái)進(jìn)行推導(dǎo).

三、解答題共6小愿，共85分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.

16.在AZBC中，sin2C=^3sinC-

(1)求NC；

（2）若6=6,且AZ8C的面積為6G，求的周長(zhǎng).

【答案】（1）7

（2）6+68

【解析】

【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化簡(jiǎn)可得cosC的值，結(jié)合角C的取值范圍可求得角C

的值；

第9頁(yè)，共18頁(yè)

（2）利用三角形的面積公式可求得。的值，由余弦定理可求得C的值，即可求得AZBC的

周長(zhǎng).

【小問(wèn)1詳解】

解：因?yàn)镃e（O,%）,則sinC〉O,由已知可得百5淪。=25由。85。，

可得cosC=43,因此，C=-.

26

【小問(wèn)2詳解】

解：由三角形的面積公式可得S“sc=；absinC=|a=6jJ,解得Q=4\Q.

由余弦定理可得C?=a2+b2—2abcosC=48+36—2X4A5X6X*=12，.?.c=2百，

所以，A/IBC的周長(zhǎng)為a+6+c=61^+6.

17.如圖，在三棱柱中，側(cè)面5CC圈為正方形，平面8CG4_L平面,

AB=BC=2,M,N分別為44，NC的中點(diǎn).

（1）求證：MN〃平面BCG4；

（2）再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為己知，求直線與平面8MV所成角

的正弦值.

條件①：AB工MN；

條件②：BM=MN.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】

【分析】（1）取48的中點(diǎn)為K,連接MK,NK,可證平面MKN〃平面CBqG,從而可

證MV7/平面

（2）選①②均可證明，平面力8C,從而可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空

第10頁(yè)，共18頁(yè)

間向量可求線面角的正弦值.

【小問(wèn)1詳解】

取的中點(diǎn)為K,連接MK,NK,

由三棱柱ABC-48c可得四邊形ABB出為平行四邊形，

而B]M=M4,BK=K4,則MK//BB、,

而"K?平面CBB￡,BB}u平面CBB?,故MKH平面CBBG,

而CN=NA,BK=KA,則NK//BC,同理可得“〃平面，

而NKCMK=K,NK,MKu平面MKN,

故平面MKN〃平面C68G,而A/Nu平面MKN,故MN〃平面

【小問(wèn)2詳解】

因?yàn)閭?cè)面CBB￡為正方形，故CB1BB],

而C8u平面CBBg,平面CBB?1平面ABB,A},

平面CBBgc平面ABB,Ay=BB],故C8，平面ABB}A},

因?yàn)镹KHBC,故NK工平面ABB.A,,

因?yàn)槠矫?3月4,故NK工AB,

若選①，則力而NK工4B,NKCMN=N,

故N8_L平面MVK,而MKu平面M7VK,故/8_LMK，

所以而CBLBBi，CBcAB=B,故平面Z8C,

故可建立如所示的空間直角坐標(biāo)系，則3(0,0,0),N(0,2,0),N(l,l,0),M(0』,2),

故而=(0,2,0),麗=(1,1,0),麗=(0,1,2),

設(shè)平面BNM的法向量為n=(xj,z),

〃?BN-0fx+y=0

則＜____.，從而＜；八，取z=—l,則〃=(-2,2,-1),

n-BM=0[y+2z=0

設(shè)直線Z8與平面8NM所成的角為。，則

42

sing=cos(n,AB

273-3

若選②，因?yàn)镹K〃8C,故"_L平面N8用4，而KA/u平面MKN,

故.NK上KM,而B'M=BK=l,NK=l,故B、M=NK,

而=MK=2,MB=MN,故ABB、MNAMKN,

第11頁(yè)，共18頁(yè)

所以=NMKN=9(T,故A}B,±BB},

而C8_L881,CBc4B=B,故64_1平面Z8C,

故可建立如所示的空間直角坐標(biāo)系，則3（0,0,0）,4（0,2,0）,N（l,1,0）,M（0,1,2）,

故初=(0,2,0),麗=(1,1,0),俞=(0,1,2),

設(shè)平面BNM的法向量為〃=（x,y,z）,

行?麗=0x+y=0

則《_____.，從而，取z=T則3=(-2,2,-1),

n-BM=0y+2z=0

設(shè)直線AB與平面BNM所成的角為6,則

4_2

sineosin,AB

。=M-3

18.在校運(yùn)動(dòng)會(huì)上，只有甲、乙、丙三名同學(xué)參加鉛球比賽，比賽成績(jī)達(dá)到9.50m以上（含

9.50m）的同學(xué)將獲得優(yōu)秀獎(jiǎng).為預(yù)測(cè)獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、丙

以往的比賽成績(jī)，并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：m）：

甲：9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,935,9.30,9.25；

乙：9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23；

丙:9.85,9.65,9.20,9.16.

假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲、乙、丙的比賽成績(jī)相互獨(dú)立.

（1）估計(jì)甲在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率；

（2）設(shè)X是甲、乙、丙在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的總?cè)藬?shù)，估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望E

（X）；

（3）在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中，甲、乙、丙誰(shuí)獲得冠軍的概率估計(jì)值最大？（結(jié)論不要求證

第12頁(yè)，共18頁(yè)

明）

7

【答案】（1）0.4（2）-

（3）丙

【解析】

【分析】（1）由頻率估計(jì)概率即可

（2）求解得X的分布列，即可計(jì)算出X的數(shù)學(xué)期望.

（3）計(jì)算出各自獲得最高成績(jī)的概率，再根據(jù)其各自的最高成績(jī)可判斷內(nèi)奪冠的概率估

計(jì)值最大.

【小問(wèn)1詳解】

由頻率估計(jì)概率可得

甲獲得優(yōu)秀的概率為0.4,乙獲得優(yōu)秀的概率為0.5,丙獲得優(yōu)秀的概率為0.5,

故答案為0.4

【小問(wèn)2詳解】

設(shè)甲獲得優(yōu)秀為事件4,乙獲得優(yōu)秀為事件在，丙獲得優(yōu)秀為事件4

------3

P[X=0）=P（4A2A3）=0.6X0.5x0.5=—,

尸（X=1）=尸（4耳㈤+4）+）

P（AXA2

8

=0.4x0.5x0.5+0.6x0.5x0.5+0.6x0.5x0.5=—，

20

p（x=2）=p（444）+p（444）+尸（444）

7

=0.4x0.5x0.5+0.4x0.5x0.5+0.6x0.5x0.5=—，

20

2

P{X=3）=尸（444）=0.4X0.5X0.5=—.

【小問(wèn)3詳解】

丙奪冠概率估計(jì)值最大.

第13頁(yè)，共18頁(yè)

因?yàn)殂U球比賽無(wú)論比賽幾次就取最高成績(jī).比賽一次，丙獲得9.85的概率為,，甲獲得9.80

4

的概率為-L,乙獲得9.78的概率為并且丙的最高成績(jī)是所有成績(jī)中最高的，比賽次數(shù)

106

越多，對(duì)丙越有利.

22

19.已知橢圓：E：0+q=l（a>b〉0）的一個(gè)頂點(diǎn)為工（0,1），焦距為26.

a'b"

（1）求橢圓E的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)尸（-2,1）作斜率為々的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)8,C,直線N8,NC分別與

x軸交于點(diǎn)"，N,當(dāng)|MN|=2時(shí)，求人的值.

r2

【答案】⑴—+/=1

4'

（2）k=—4

【解析】

6=1

【分析】（1）依題意可得<2C=26,即可求出。，從而求出橢圓方程；

c2^a2-b2

（2）首先表示出直線方程，設(shè)8（匹,乂）、C（x2,y2）,聯(lián)立直線與橢圓方程，消元列出韋

達(dá)定理，由直線/8、2c的方程，表示出XM、根據(jù)恢處|=|七丫一七“|得到方程，解

得即可；

【小問(wèn)1詳解】

解：依題意可得b=l,2c=26,又

2

所以a=2,所以橢圓方程為二+/=1；

4

【小問(wèn)2詳解】

解：依題意過(guò)點(diǎn)尸（一2,1）的直線為>一1=左（％+2）,設(shè)8（西,弘）、。伍，力），不妨令

-2<%,<x2<2,

k]=攵（工+2）

由<422，消去V整理得（1+4左+06左2+8左）%+16左2+16左=0,

lT+y=1

所以A=（16左2+8左『―40+4左2）（16左2+16左）>0,解得左<0，

第14頁(yè)，共18頁(yè)

謝］“16K+8k16左2+16攵

X，X

所以X］+=——j妹2］2

'1+4公

直線”3的方程為^一1=匕］%，令夕=0,解得x.”=產(chǎn)

x,1一必

直線ZC的方程為N—1=為二》，令y=0,解得％=產(chǎn)

超J%

X

所以|跖^=品-%=if2____iX

x2xx

1-［爪+2）+1「1-［左卜］+2）+1］

42?X

-左(超+2)氏(再+2)

（x2+2）M-馬（再+2）

k（x2+2）（項(xiàng)+2）

2|%72

|磯工2+2）（XI+2）

所以上一引=附(》2+2)(X］+2),

2

即J（玉+x2）-4X1X2=冏［々玉+2（X2+XJ+4］

16左2+8左1,16左2+16左16左2+16左J16左2+8左、

---------丁-4x---------z—=網(wǎng)----------+2+4

1+4左2J1+4左21+4左2'1+4左2,

即

高）（2二+左）=（1+4公）仔+左）=黑r|）6/+16^-2

。6左2+8左卜4《+4左2

整理得8口=4網(wǎng)，解得左=一4

20.已知函數(shù)/(x)=e1n(l+x).

(1)求曲線y=/1)在點(diǎn)(0,/(0))處的切線方程；

(2)設(shè)g(x)=/'(x),討論函數(shù)g(x)在［0,+o。)上的單調(diào)性；

(3)證明：對(duì)任意的s,7e(0,+oo),有/(s+f)>/(5)+/(。.

【答案】(1)歹=》

(2)g(x)在［0,+8)上單調(diào)遞增.

第15頁(yè)，共18頁(yè)

(3)證明見解析

【解析】

【分析】(1)先求出切點(diǎn)坐標(biāo)，在由導(dǎo)數(shù)求得切線斜率，即得切線方程；

(2)在求一次導(dǎo)數(shù)無(wú)法判斷的情況下，構(gòu)造新的函數(shù)，再求一次導(dǎo)數(shù)，問(wèn)題即得解；

(3)令皿x)=/(x+f)-/(x),(x,/>0),即證〃?(x)〉加(0),由第二問(wèn)結(jié)論可知Mx)在

[0,+8)上單調(diào)遞增，即得證.

【小問(wèn)1詳解】

解：因?yàn)?(x)=e'ln(l+x),所以/(0)=0,

即切點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0),

又/'(x)=e'(ln(l+x)+J-),

切線斜率左=/"(0)=1

二切線方程為：N=x

【小問(wèn)2詳解】

解:因?yàn)間(x)=f'(x)=e'(ln(l+x)+—L),

1+x

所以g'(x)=e'(ln(l+x)+------------)

1+x(1+x)2

1

令h(x)=ln(l+x)4----

1+xQ+X)2

.,122+1

則h(x)x=-----------7-H------r=-----r>0,

1+X(l+x)2(l+x)3(l+x)3

...〃(x)在［0,+oo)上單調(diào)遞增,

h(x)>h(0)=1>0

g'(x)>0在［0,+8)上恒成立，

g(x)在［0,+8)上單調(diào)遞增.

【小問(wèn)3詳解】

解：原不等式等價(jià)于f(s+/)-/(5)>/(/)-/(0),

令加(x)=/(x+/)-/(x),(x,t>0),

即證m(x)>w(0),

Vw(x)=/(x+/)-/(x)=ex+zln(l+x+z)-e'ln(l+x),

eA

m\x)=ev+,ln(l+x+f)+-------erln(l+x)-----=g(x+t)~g(x)，

1+x+f1+x

第16頁(yè)，共18頁(yè)

由(2)知g(x)=/i'(x)=e*(ln(l+x)+—L)在［0,+oo)上單調(diào)遞增，

1+x

二g(x+O>g(x),

m(x)>0

.??W(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，又因?yàn)閄,f>0,

???m(x)>m(0),所以命題得證.

21.已知。：％,。2,…,為為有窮整數(shù)數(shù)列.給定正整數(shù)，"，若對(duì)任意的〃e{l,2,…,〃?},在

a

Q中存在q,4+1,q+2，…，>0),使得《+aM+《+2+…+i+j=〃，則稱0為，"一連

續(xù)可表數(shù)列.

(1)判斷。：2,1,4是否為5-連續(xù)可表數(shù)列？是否為6-連續(xù)可表數(shù)列？說(shuō)明理由；

(2)若。：6,。2,…，/為8-連續(xù)可表數(shù)列，求證：人的最小值為4；

(3)若…為20-連續(xù)可表數(shù)列，且6+。2+…+%<20,求證：k>l.

【答案】(1