函數(shù)的最大值最小值

關(guān)于函數(shù)的最大值最小值觀察下列函數(shù)的圖象，找出函數(shù)圖象上的最高點或者最低點的坐標(biāo)。最低點的坐標(biāo)是（0，0）最高點的坐標(biāo)是（0，0）如何使用函數(shù)的解析式和數(shù)學(xué)語言刻畫函數(shù)圖象的最低點和最高點？即如何用“數(shù)”刻畫“形”？第2頁,共17頁，2024年2月25日，星期天最小值的“形”的定義：當(dāng)一個函數(shù)f(x)的圖象有最低點時，我們就說這個函數(shù)有最小值。當(dāng)函數(shù)圖象沒有最低點時我們說這個函數(shù)沒有最小值。函數(shù)圖象最低點的數(shù)的刻畫：函數(shù)圖象在最低點處的函數(shù)值是函數(shù)在整個定義域上最小的值。對于函數(shù)而言，即對于函數(shù)定義域中任意的，都有.第3頁,共17頁，2024年2月25日，星期天函數(shù)圖象最高點的數(shù)的刻畫：函數(shù)圖象在最高點處的函數(shù)值是函數(shù)在整個定義域上最大的值。對應(yīng)函數(shù)而言，即對于任意的，都有函數(shù)最大值的“形”的定義：當(dāng)函數(shù)圖象有最高點，我們就說這個函數(shù)有最大值。當(dāng)函數(shù)圖象無最高點時，我們說這個函數(shù)沒有最大值。第4頁,共17頁，2024年2月25日，星期天探究點1函數(shù)最大（?。┲档臄?shù)的定義函數(shù)最大值定義：一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足：（1）對任意的，都有；（2）存在，使得。那么，我們稱M是函數(shù)y=f(x)的最大值。請同學(xué)們仿此給出函數(shù)最小值的定義第5頁,共17頁，2024年2月25日，星期天函數(shù)最小值的定義：一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)N滿足：（1）對任意是，都有；（2）存在，使得。那么，我們就稱N是函數(shù)y=f(x)的最小值。第6頁,共17頁，2024年2月25日，星期天探究點2對函數(shù)最值的理解1.函數(shù)最大值首先應(yīng)該是某一個函數(shù)值，即存在使得。并不是滿足所有滿足的函數(shù)都有最大值。如函數(shù),雖然對定義域上的任意自變量都有，但不存在自變量使得函數(shù)值等于1.2.函數(shù)的最值是函數(shù)在定義域上的整體性質(zhì)，即這個函數(shù)值是函數(shù)在整個定義域上的最大的值或者是最小的值。第7頁,共17頁，2024年2月25日，星期天探究點3例題解析例3.“菊花”煙花是最壯觀的煙花之一。制造時一般是期望它在達(dá)到最高點爆裂。如果煙花離地面的高度hm與時間ts之間的關(guān)系為，那么煙花沖出后什么時刻爆裂是最佳時刻？這時離地面的高度是多少（精確到1m）？分析：煙花的高度是時間的二次函數(shù)，根據(jù)題意就是求出這個二次函數(shù)在什么時刻達(dá)到最大值，以及這個最大值是多少。第8頁,共17頁，2024年2月25日，星期天顯然，函數(shù)圖象的頂點就是煙花上升的最高點，頂點的橫坐標(biāo)就是煙花爆裂的最佳時刻，頂點的縱坐標(biāo)就是距地面的高度。解：畫出這個函數(shù)根據(jù)二次函數(shù)的知識，對于函數(shù)我們有：于是，煙花沖出1.5s是它爆裂的最佳時刻，此時距底面的高度約為29m.第9頁,共17頁，2024年2月25日，星期天例4.已知函數(shù)，求這個函數(shù)的最大值和最小值?！痉治觥窟@個函數(shù)在區(qū)間[2,6]上，顯然解析式的分母是正值且隨著自變量的增大而增大，因此函數(shù)值隨著自變量的增大而減少，也就是說這個函數(shù)在區(qū)間[2，6]上是減函數(shù)，因此這個函數(shù)在定義的兩個端點上取得最值?！窘忸}過程分析】函數(shù)在定義域上是減函數(shù)必需進行證明，然后再根據(jù)這個單調(diào)性確定函數(shù)取得最值的點。因此解題過程分為兩個部分，證明函數(shù)在[2，6]上是減函數(shù)，求這個函數(shù)的最大值和最小值。第10頁,共17頁，2024年2月25日，星期天解：設(shè)x1,x2是區(qū)間[2,6]上的任意兩個實數(shù)，且x1<x2

所以，函數(shù)是區(qū)間[2,6]上的減函數(shù)。因此，函數(shù)的最大值是f(2)=2，最小值是f(6)=0.4.第11頁,共17頁，2024年2月25日，星期天1.求函數(shù)在區(qū)間[-1,3]的最大值和最小值。【提示】證明函數(shù)在區(qū)間[-1,3]上是增函數(shù)?！敬鸢浮孔畲笾凳?，最小值是-3.第12頁,共17頁，2024年2月25日，星期天2.求函數(shù)在區(qū)間[-1,3]上的最大值和最小值。【提示】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)在區(qū)間[-1,0]上是減函數(shù)，在區(qū)間(0,3]上是增函數(shù)，最小值一定在x=0時取得，最大值就是區(qū)間的兩個端點的函數(shù)值中最大的。【答案】最大值9，最小值0.對基本的函數(shù)如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等，今后可以不加證明地使用他們的單調(diào)性求函數(shù)最值第13頁,共17頁，2024年2月25日，星期天3.求函數(shù)在區(qū)間[0,2]上的最大值和最小值?！咎崾尽慨?dāng)k=0時，函數(shù)是常數(shù)函數(shù)；當(dāng)k≠0時函數(shù)是一次函數(shù)，再根據(jù)k>0,k<0時函數(shù)的單調(diào)性進行解答?！敬鸢浮縦=0時，函數(shù)的最大值和最小值都是2；k>0時，函數(shù)的最小值是2，最大值是2k+2;k<0時，函數(shù)的最小值是2k+2,最大值是2.第14頁,共17頁，2024年2月25日，星期天4.求函數(shù)在區(qū)間[0,4]上的最小值?！咎崾尽慷魏瘮?shù)的對稱軸x=a是函數(shù)單調(diào)區(qū)間的分界點。根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸和區(qū)間[0,4]的關(guān)系，分a<0,0，a>4,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性解決。畫出不同情況下函數(shù)的圖象，有利于理清解題的思路?！敬鸢浮康?5頁,共17頁，2024年2月25日，星期天5.周長為12的矩形的面積的最大值是多少？【提示】以x表示矩形的一邊長，根據(jù)周長也可以用x表示矩形的另外一邊長，這樣就建立起了矩形的面積關(guān)于x的函數(shù)?！敬鸢浮?/p>