新高考數(shù)學一輪復習題型歸類與強化測試30正弦定理和余弦定理

專題30正弦定理和余弦定理

知考綱要求

識考點預測

梳常用結論

理方法技巧

題題型一：利用正弦定理、余弦定理解三角形

型題型二：判斷三角形的形狀

歸

題型三：與三角形面積有關的問題

類

培訓練一：

優(yōu)訓練二：

訓訓練三：

練訓練四：

訓練五：

強單選題：共8題

化多選題：共4題

測填空題：共4題

試解答題：共6題

一、【知識梳理】

【考綱要求】

1.掌握正弦定理、余弦定理及其變形.

2.能利用正弦定理、余弦定理解決一些簡單的三角形度量問題.

【考點預測】

1.正弦定理與余弦定理

定理正弦定理余弦定理

="+-2/)CCOS/；

a_b_c_

內容sinAsinBsinC+后-2/CCOSB；

2R。2=層+七2_2abeosC

(l)Q=27?sinZ,,b2J[-c2~a2

變形cosA=--------；

b=2RsinB,2bc

222

c=27?sinC；》c-l-a—b

cosB；

(2)asinBlac

222

「a-\-b—c

=bsinA,cosC=-------------

lab

bsinC=csinB,

asinC=csinA

2.三角形中常用的面積公式

⑴S=；a〃a（〃a表示邊a上的高）;

(2)5=-6zZ?sinC=-4zcsinB=-Z?csinA；

(3)5=1r(?+Z)+c)(r為三角形的內切圓半徑).

3.三角形解的判斷

A為鈍角或直

Z為銳角

角

ccc

圖形

AB'-B'&AB

AzLB

關系式a=bsinA加inA<a<ba>b

解的個數(shù)一解兩解一解一解

【常用結論】

1.三角形內角和定理

在△NBC中，A-\-B+C=n；

2.三角形中的三角函數(shù)關系

(l)sin(/+B)=sinC.

(2)cos(?l+5)=—COSC.

A+BC

(3)sm一--=cos—.

A+B.C

(4)cos---=sm—.

3.三角形中的射影定理

在△48C中，a=bcosC+ccosB-

b=acosC+ccosZ；

c=bcosA-\~acosB.

【方法技巧】

1.正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情況下求解其余元素，基本思想是方

程思想，即根據(jù)正弦定理、余弦定理列出關于未知元素的方程，通過解方程求得未知元素.

2.正弦定理、余弦定理的另一個作用是實現(xiàn)三角形邊角關系的互化，解題時可以把已知條件化

為角的三角函數(shù)關系，也可以把已知條件化為三角形邊的關系.

3.判定三角形形狀的途徑：

(1)化邊為角，通過三角變換找出角之間的關系；

(2)化角為邊，通過代數(shù)變形找出邊之間的關系，正(余)弦定理是轉化的橋梁.

4.無論使用哪種方法，都不要隨意約掉公因式，要移項提取公因式，否則會有漏掉一種形狀的

可能.注意挖掘隱含條件，重視角的范圍對三角函數(shù)值的限制.

5.與三角形面積有關問題的解題策略：

(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相關邊、角之后，直接求三角形的面積；

(2)把面積作為已知條件之一，與正弦、余弦定理結合求出三角形的其他量.

二、【題型歸類】

【題型一】利用正弦定理、余弦定理解三角形

71T

【典例1】(2021?北京)已知在中，c=2bcosB,C=y.

⑴求8的大?。?/p>

(2)在下列三個條件中選擇一個作為已知，使△ZBC存在且唯一確定，并求出8c邊上的中線的

長度.

①°=也6；②周長為4+23;③面積為50加=半.

4

【解析】(l)Vc=26cos5,

則由正弦定理可得sinC=2sinBcosB,

..c工,.2兀v3??「2兀

..sm25=sin—=—,?C=一,

323

5“fl25“fl.

.?.28=：,解得5=]

36

(2)若選擇①：由正弦定理結合(1)可得

￡=建=2=怎

bsin51

2

與c=Sb矛盾,故這樣的△48C不存在;

若選擇②：由⑴可得幺=3

6

設△NBC的外接圓半徑為七

則由正弦定理可得a=b=2Rsin-=R,

6

c=2Rsm—=\(3R,

3

則周長為。+6+。=27?+<5A=4+23，

解得R=2,則a=2,c=2'h,

由余弦定理可得5C邊上的中線的長度為

若選擇③：由(1)可得4=三，即a=b,

6

2

貝1S^ABC—-absmC=-aX^-=^^-9

2224

解得a=\[3,

則由余弦定理可得8C邊上的中線的長度為

【典例2】(2021?新高考I卷)記△48C的內角Z,B,C的對邊分別為a,b,c.已知加=ac,

點D在邊AC±.,BDsinZABC=asinC.

⑴證明:BD=b.

(2)若ZQ=2QC,求cosNZBC

【解析】（1）證明因為80sinN48C=asinC,

所以由正弦定理得，BDb=ac,

又。2=℃,所以BD，b=〃,

又。＞0,所以

⑵解法一如圖所示，過點。作。E〃8C交48于E,

因為幺。=2。。,A

所噫嚏=2

DE=2

BC~3,

所以3E=C,DE^-a.

33

在ABDE中，C"BED=BE；器］D2

024〃2

99c2+4a2—9b2

cc2a4ac

2-------

33

c2+4a2—9ac

4ac

在△ZBC中，cosZABC=AB2+BC2~AC2

2ABBC

c1+a1—b1c2-\-a2~ac

laclac

因為NBED=K—/ABC,

所以cos/BED=—cosNABC,

匕rc2+4a2-9acc2-\-a2~ac

所以］Sl----：------=-----------

4ac2ac

化簡得3/+6層一11QC=0,

方程兩邊同時除以

得3胃一11胃+6=0,

解得￡=］或￡=3.

a3a

?94Q2+Q2-2Q2

當￡=2,即c=20時,/c2+a2~ac_93_7

cosZABC=--------------------------7；；

a332ac加12

3“

當，=3,即c=3a時，

a

22

.c+a-ac9Q2+Q2_3Q2_7

cosZABC=---------=---------=[＞1（舍）.

2ac6a26

7

綜上，cosAABC=-.

法二因為疝=2虎，

所以前＞=加+料，

所以應）2=4交反:.薛+抽2.

999

因為BD=b,

所以b2=^a2+^accosAABC+^c2?

所以9b2=4/+4。。＜：05/45。+（?@

又b2=ac=a2-\-c2—2accosXABC,②

所以①一②，得8ac=3a2+6accosN48C,

"Sac-3a24a

所以cosZABC=------.

9=4X-+4cosZT45C+^,

ca

由①②知'

1=-+￡-2cosZ^5C,

ca

所以11=—+—,

ca

所以6口—11x2+3=0,解得巳=：或

cc2c3

當9=3時cosZABC=^-—^=^~;

c23412

當4=1時，COSNZBC=4—J=J（不合題意，舍去）.

c3366

7

所以cosAABC——.

12

【典例3】在△ZBC中，內角Z,B,C的對邊分別為a,b,c,已知加inC+asinZ=bsin5+

csinC.

⑴求4

（2）設。是線段3C的中點，若c=2,AD=^13,求a.

【解析】（1）根據(jù)正弦定理，

由bsinC+tzsinA=bsin5+csinC,

可得bc-\-a2=b2-\-c2,

即bc=b2-\~c2—a2,

由余弦定理可得，cosZ="±°2二/=1，

2bc2

因為N為三角形內角，所以

（2）因為。是線段BC的中點，c=2,AD=Q

所以NZ￡>5+N/￡>C=7t,

則cosZADB+cosZADC=0,

^?AD2+BD2-AB2,AD2+DC2-AC2八

所以]-------------+-------------=0,

2ADBD2ADDC

13+--2213+--62

即———+———=0,

2v13彳2A/13-1

整理得層=2〃一44,

又a2=b2+c2—2bccosA=b2+4—2b,

所以"+4—26=2〃一44,

解得6=6或b=—8（舍），

因此a2=2/）2—44=28,

所以a=2\li.

【題型二】判斷三角形的形狀

【典例1】設△48C的內角Z,B,C所對的邊分別為a,b,c,若bcosC+ccos8=asinZ,

則△48C的形狀為（）

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.不確定

【解析】由正弦定理得sinSeosC+sinCeosjB=sin2^,

，sin（5+C）=sir?4,

即sin（兀-4）=sin24,smA=sir^A.

兀）,...sin4>0,/.sin=1,

即幺=四,.?.△48C為直角三角形.

2

故選B.

【典例2】（多選）已知a,A,C分別是△ZBC三個內角Z,B,C的對邊，下列四個命題中正確

的是（）

A.若tanN+tanB+tanOO,則△ZBC是銳角三角形

B.若acosZ=bcos8,則△48C是等腰三角形

C.若AcosC+ccos5=b,則△ZBC是等腰三角形

D.若上一憶=」：，則△48。是等邊三角形

cosAcosBcosC

【解析1?；tan4+tan5+tanC=tan4tan5tanC>0,

???4B,。均為銳角，，選項A正確；

由acosA=bcosB及正弦定理，可得sin2^=sin2B,

:?A=B或A+B=-,

2

???△45。是等腰三角形或直角三角形，，選項B錯；

由bcosC+ccosB=b及正弦定理，

可知sinSeosC+sinCeos5=sin5,

：?sinA=sinB,

：.A=B,???選項C正確；

由已知和正弦定理，易知tan4=tan8=tanC,

?,?選項D正確.

故選ACD.

【典例3】在△48C中，a：b：c=3：5：7,那么△/5。是（）

A.直角三角形B.鈍角三角形

C.銳角三角形D.非鈍角三角形

【解析】因為a：A：。=3：5：7,所以可設。=37,b=5t,c=lt,由余弦定理可得cosC=

9/225,2—49(2i

=一所以C=120°,△A5C是鈍角三角形.

2X3/X5/2

故選B.

【題型三】與三角形面積有關的問題

【典例1】(2019?高考全國卷n)Z\48C的內角Z,B,C的對邊分別為a,b,c,若b=6,a=

2c,B=\則△4BC的面積為.

【解析】法一：因為a=2c,b=6,5=|,所以由余弦定理。2=q2+c2-2accos8,62=(2c)2

+C2-2X2CXCCOSp得c=2出,所以。=43，所以△48C的面積S=%csin8=

；X4mX23*sin；=6而.

法二：因為a=2c,b=6,B=；,所以由余弦定理Z?2=q2+c2—2accos8,得62=(2°)2+°2一

2X2cXccosJ,得C=2A/§,所以a=43，所以a2=〃+c2,所以幺=彳，所以△45C的面積S

=；X2A/§X6=6收

【典例2】在△45C中，A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知42+62-02=加m，且acsin

8=23sinC,則△48C的面積為.

【解析】因為屋+爐一。2=他仍，所以由余弦定理得cosC=>^T='=必，又0VC

2ab2ab2

<7T,所以。=匹.因為acsin8=23sinC,結合正弦定理可得。柩=23。，所以ab=2出.故S“BC

6

=-a&sinC=-X2-\/3sin-=—.

2262

「十研

【典例3】在△48C中，角Z,B,C的對邊分別為a,b,c,已知csinl3j-asinC=0.

(1)求角Z的值；

(2)若△4BC的面積為韻，周長為6,求。的值.

?+U-?sinC=O,

【解析】（1）因為csinl

/smZ+?。sz]

所以由正弦定理得sincu2J-sin/sinC=0.

因為sinC>0,

所以?cosZ—；sinZ=0,

即tanA=y/3,

因為/G(0,71),所以/=：.

(2)因為△48C的面積為他，所以，?csinZ=3,得bc=4.

由余弦定理a2=b2+c2~2bccosA,得a2=Zj2+c2—Z?c=(/?+c)2—3/>c=(6+c)2—12,

因為△ZBC的周長為6,即a+6+c=6,

所以a2=(6—a)2—12,

所以a=2.

三、【培優(yōu)訓練】

【訓練一】我國南宋著名數(shù)學家秦九韶提出了由三角形三邊求三角形面積的“三斜求積”公

式.設△48C三個內角Z,B,。所對的邊分別為a,b,c,面積為S,則“三斜求積”公式為

/T儼+。2一吁

S=：/ja2c2—12J」.若a^sinC=2sin/,（tz+c）2=6+Z>2,則用“三斜求積"公式求得

的△48C的面積為（）

【解析】因為屋sinC=2sinN,所以a2c=2a.又a>0,所以ac=2.

因為(a+c)2=6+62,所以a2+c2+2ac=6+b2,所以/+t2—。2=6—2ac=6—4=2.所以△48C

的面積為S=

故選C.

【訓練二】在△ZBC中，角Z,B,C所對的邊分別為a,A,c,若J,」一,，依次成等

tanAtanBtanC

差數(shù)列，則下列結論中不一定成立的是（）

A.a,b,c依次成等差數(shù)列

A/C依次成等差數(shù)列

C.a2,b2,C依次成等差數(shù)列

D.a3,b\c3依次成等差數(shù)列

【解析】在△NBC中，若二一,，，」一依次成等差數(shù)列，則所以獨刊

tanAtanBtanCtanBtanAtanCsinB

=3+5坦C利用正弦定理和余弦定理得，2a2+1—扶=1+c2—^+加+—―°2,整理得加2

sinAsinC2abe2abc2abe

=a2+c\即〃依次成等差數(shù)列,此時對等差數(shù)列層，爐，”的每一項取相同的運算

得到數(shù)列a,b,c或W或〃，b\c\這些數(shù)列一般都不可能是等差數(shù)列，除非a=b

=c.故都不一定成立.

故選ABD.

【訓練三】△4BC的內角Z,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知△48C的面積為值accos8,

2

且sin4=3sinC.

(1)求角5的大?。?/p>

(2)若c=2,/C的中點為。，求助的長.

,1

【解析】(1)因為SAABC=~acsmB=^-accosB,

所以tan5=3.

又OV5V兀，所以5=匹.

3

(2)sin4=3sinG由正弦定理得，a=3c,所以a=6.

由余弦定理得，62=62+22-2X2X6XCOS60°=28,所以b=2幣.

Z72+c2-4Z2(2y7)2+22—62

所以cos4=也

2bc2X2X2S14

因為。是ZC的中點，所以AD=布.

所以2=22+(/)2—2X2xSx[-0=13.

所以BD=、厄.

【訓練四】如圖所示，經過村莊N有兩條夾角為60。的公路幺-AC,根據(jù)規(guī)劃擬在兩條公路

之間的區(qū)域建一工廠P,分別在兩條公路邊上建兩個倉庫〃，N(異于村莊2),要求PM=PN

=〃M=2(單位：千米).如何設計，使得工廠產生的噪聲對居民的影響最小(即工廠與村莊的距

離最遠)？

【解析】設/AMN=e,在中，

MN_AM

sin6O0-sin(12Oo-0,

因為MN=2,所以^M=^sin(12O0-0).

在AAPM中，cos/LAMP=cos(60°+ff).

AP2=AA^+MP2~2AM-MP-cosZAMP=

ysin2(12O0-0+4-2X2X^sin(l200-0)-cos(6O°+0)

=ysin2(6?+600)-^y^sin(^+600)-cos(^+60°)+4

=|[l-cos(20+12O°)]-^psin(20+12O°)+4

=-1[^3sin(26>+12O°)+cos(20+120°)]+y

=y-ysin(20+150°),0°<0<120°.

當且僅當2。+150。=270。，

即6=60。時,幺產取得最大值12,

即Z尸取得最大值23.所以設計乙4"乂=60。時，工廠產生的噪聲對居民的影響最小.

【訓練五】(2021?新高考全國n)在△48C中，角aB,C所對的邊分別為a,b,c,b=a+l,

c=a+2.

(1)若2sinC=3sinZ,求△NBC的面積；

(2)是否存在正整數(shù)a,使得△NBC為鈍角三角形？若存在，求出。的值；若不存在，說明理由.

.^2_L/,2_?2

【解析】(1)因為2sinC=3sinZ,則2c=2(a+2)=3a,貝！］a=4,故b~5,c—6,cosC=-------------

2ab

K所以。為銳角,

o

則sinC=A/1—cos2C=^-^,因此，

8

_1,?>1?亡?3v7_15田

Sc^ABc=~absmC=一X4X5X——

2284

(2)顯然c>A>a,若△48C為鈍角三角形，則。為鈍角,

由余弦定理可得

^_(z2+Z>2—c2_tz2+(a+l)2—(a+2)2

cosC-------------——

2ab2a(a+1)

a2—2a—3.

=--------,<0,

2a(a+1)

則0<a<3,

由三角形三邊關系可得a+a+l>a+2,

可得a>l,因為aGN*,故a=2.

四、【強化測試】

【單選題】

1.設△48C的內角4B,C的對邊分別為a,b,c.若。=2,c=2也,??2=，且*°,則

b=()

A.3B.2啦

C.2D.3

【解析】由余弦定理。2+02—2bccos/=/,得6b+8=0,解得6=2或6=4,因為6<c

=2\[3,所以6=2.

選C.

2.△48C的內角Z,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知b=幣,c=4,cosZ=亞，則△4BC

4

的面積為()

A.3^7B.

2

9

C.9D.-

2

【解析】因為cos/="，則sin2=3,所以S&iBc=lxbcsin/=R^。

4422

故選B.

3.在△4BC中，已知C=$b=4,△48C的面積為2m，則c=()

A.2^7B.S

C.2也D.23

【解析】由S='absinC=2aX坐=23，解得。=2,由余弦定理得°2=/+62—2abcosC=12,

22

故c=2也

故選D.

4.在△48C中，A,B,C的對邊分別為a,b,c,其中廿=m,且sinC=/sin8,則其最小

內角的余弦值為（）

r5^2n3

C.-----D.一

84

【解析】由sinC=Ssin3及正弦定理，得■c=7^b.又b?=ac,所以b=/a,所以。=2a,所

,,彳以人,"n"01小右4人;1r,加十02—屋（也力2+（2a）2一屋5也

以/為△4SC的阪小內角.由余弦定理，知cosZ=-------------=--------------F-------------------=------.

2bc272a?2a8

故選C.

5.若△45C的內角4B,C所對的邊分別為a,b,c,已知bsin2Z=asin8且c=2b,則f

等于（

A.-B.4C.^2D.^3

23

【解析】由Asin2A—asmB,

得2sin_SsinZcos/=sin4sin5,得cosZ=—.

及c=2b,由余弦定理得

屋=〃+02-2Accos/=〃+4b2—4b2X~—3b2,

2

故選D.

6.在△45C中，角Z,B,C的對邊分別為a,b,c,a=2,b=3,c=4,設48邊上的高為

h,則h等于（）

Z72+c2—a29+16—42149

【解析】由余弦定理，得cosZ

2X3X42464

T5=<5

64~8

則/z=4Csin/=bsin/=3

88

故選D.

.—I—方2—02

L△曲的內角4B，C的對邊分別為o,b,a若△麗的面積為則C等于

)

AA兀-B

2I

D-6

【解析】根據(jù)題意及三角形的面積公式知

LbsinC=世匕

24

—I—/72—02

所以“…

所以在△NBC中，C=-.

4

故選C.

8.已知△ZBC的內角Z,B,C對應的邊分別為a,b,c,a=4,cos2N=

一士,則△48C外接圓半徑為()

53

A.5B.3C.-D.-

22

【解析】因為cos2Z=—

7

所以1—2sin2^4=-----,

25

4

解得sinZ=±《，

因為/G(0,Ji),

4

所以sinZ=《,

-a4

又a=4,所以2R=n—；=4=5，

sinZz

5

所以

故選C.

【多選題】

9.在△Z8C中，根據(jù)下列條件解三角形，其中有一解的是（）

A.b=7,c=3,C=30°B.b=5,c=4,8=45°

C.a=6,b=3\fi,B=60°D.a=20,b=30,2=30°

,7X1

【解析】對于A,因為b=7,c=3,C=30°,所以由正弦定理可得—Z=?>1,

c36

無解；

4X也r

對于B,b=5,c=4,8=45。，所以由正弦定理可得sinC=af=___2_=^<1,且cVb,

b55

有一^解；

6乂:Ji

對于C,因為a=6,6=33,8=60。，所以由正弦定理可得sinZn曳—=____1=1,A=90°,

b3小

此時C=30。，有一解；

Asin/30X13

對于D,因為。=20,b=30,2=30°,所以由正弦定理可得sin5=曳3=____1=-<1,且

a204

b>a,所以8有兩解.

故選BC.

10.下列命題中，正確的是（）

A.在△4SC中，若貝!JsinZ>sin8

B.在銳角三角形48c中，不等式sinN>cos8恒成立

C.在△NBC中，若acosZ=bcos8,則△NBC必是等腰直角三角形

D.在△4BC中，若8=60°,b2=ac,則△4BC必是等邊三角形

【解析】對于A,在△48C中，由正弦定理可得，一=—^,所以sin4>sinB0

sinAsinB

f磯

故A正確；對于B,在銳角三角形45c中，A,0'2J,且2+3＞三，貝心＞/＞四一皮＞0,所

222

伍-臺］

以sin/＞sin12J=cosB,故B正確；對于C,在△48。中，由acos/=6cos3,利用正弦定

理可得sin2Z=sin28,得到22=28或22=兀-23,故A=B或A=&-B,即△48C是等腰三

2

角形或直角三角形，故C錯誤；對于D,在△ZBC中，若B=60°,〃=ac,由余弦定理可得，

=a2+c2—2accosB,所以ac=°2+c2—這，即（a—c）2=0,解得口=°.又5=60°,所以△/5C

必是等邊三角形，故D正確.

故選ABD.

11.某人向正東走了xkm后向右轉了150。，然后沿新方向走3km，結果離出發(fā)點恰好3km,

那么x的值是（）

A.3B.23C.3D.6

【解析】如圖,AB=x,BC=3,AC=5,ZABC=30°.

由余弦定理得3=X2+9—2X3XXXCOS30°.

解得x=23或x=3,

故選AB.

12.對于△Z5C,有如下判斷，其中正確的判斷是（）

A.若cosN=cos8,則△4BC為等腰三角形

B.若△ZBC為銳角三角形，有2+5＞三，則sinZ＞cos8

2

C.若a=8,c=10,8=60。，則符合條件的△4SC有兩個

D.若sidN+si/Bvsi/C,則△ZBC是鈍角三角形

【解析】對于A,若cosZ=cos8,則2=8,...△48C為等腰三角形，故正確；

對于B,若Z+皮上,則n＞4y一5＞0,r.sin^cosS,故正確；

222

對于C,由余弦定理可得6=-82+1。2—2X8X10X；=M,只有一解，故錯誤；

對于D,若sin2^+sin2J5＜sin2C,

則根據(jù)正弦定理得/+加々2,cosC=。十。。＜0,

lab

???。為鈍角，???△48。是鈍角三角形，故正確;

綜上，正確的判斷為ABD.

故選ABD.

【填空題】

13.在△ABC中，角48,C所對的邊分別為a,b,c.若a=0b=2,A=60。,則c=.

【解析】由余弦定理，得屋=62+/-2。以\）5/,

c2—2c—3=0,解得c=3（c=—1舍去）.

14.在△NBC中，Z=60。，AC=4,BC=20則△NBC的面積為

【解析】因為黑;4

sm60sin5’

所以sin5=1,所以5=90。，

所以Z8=2,所以SUBC=：X2X23=23.

15.在△48C中，C=60。，且￡=2,則△4BC的面積S的最大值為______

smA

【解析】由。=60。及：=，=2,可得。=加.

sinCsmA

由余弦定理得3=〃+a2—必>仍（當且僅當a=b時取等號），

S=1absinC<-X3X^=^,

2224

/.AABC的面積S的最大值為SB.

4

16.（2021?全國乙卷）記△4BC的內角Z,B,C的對邊分別為a,b,c,面積為3，8=60。，屋

+c2=3ac,則b=.

【解析】由題意得SA4Bc=lacsin8=X^ac=3，則ac=4,所以/+02=3雙=3X4=12,所

24

以。2=/+/-24℃053=12—2X4X；=8,則6=2股（負值舍去）.

【解答題】

17.在△ZBC中，角Z,B,C的對邊分別為a,b,c,且〃+c?—/=亞兒.

3

⑴求sin/的值；

（2）若△Z5C的面積為仍，且Ssin8=3sinC,求△ZBC的周長.

【解析】（1）因為b2+c2—a2=2bccosA,

所以26ccosA=^-bc,

所以8sA=—,

所以在△ZBC中，sinZ=^1—cos2J=

⑵因為△48C的面積為啦，所以1兒5由幺=1兒=/，

26

所以bc=6\l2.

因為啦sin8=3sinC,所以由正弦定理得啦6=3。，

所以6=3/，c=2,

所以屋=岳十02-2ACCOS/=6,所以。=加.

所以△NBC的周長為2+3也+#.

18.已知在△NBC中，角Z,B,C的對邊分別為a,b,c,且asin8+bcosZ=0.

(1)求角Z的大?。?/p>

⑵若a=24，b=2,求邊c的長.

【解析】(1)因為asinJ?+bcos4=0,

所以sinAsmB+sin5cosA=0,

即sin5(sinA+cosA)=0,

由于3為三角形的內角，

所以sin4+cos4=0,

所以也sinl41=0,而4為三角形的內角，

所以/=宜.

4

(2)在△NBC中，a2=c2+b2-2cbcosA,即20=c2+4—4c[—3，解得c=—4/(舍去)或

2亞

19.在△NBC中，角4B,C的對邊分別是a,b,c,且#acosC=(2b—#c)cosA.

(1)求角Z的大??；

(2)若。=2,求△48C面積的最大值.

【解析】(1)由正弦定理可得，加sinZcosC=2sin5cos幺一ssinCeosN,

從而\l3sin(A+C)=2sin5cosA,

即/sin5=2sin5cosA.

又3為三角形的內角，所以sinBWO,于是cos/=——,