2023-2024學年廣東深圳市紅嶺中學數(shù)學高二年級上冊期末經(jīng)典試題含解析

2023-2024學年廣東深圳市紅嶺中學數(shù)學高二上期末經(jīng)典試題

注意事項

1.考生要認真填寫考場號和座位序號。

2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.復(fù)數(shù)用3-。的共期復(fù)數(shù)是

A.1+3ZB.1-3/

C.—1+3，D.—1—3i

2.在等差數(shù)列｛斯｝中，ai=l9。3=5,則。7=()

A.13B.14

C.15D.16

3.某班級從5名同學中挑出2名同學進行大掃除，若小王和小張在這5名同學之中，則小王和小張都沒有被挑出的概

率為()

13

A.-B.——

510

21

C.一D.—

52

4.觀察下列各式：1=儼，2+3+4=32,3+4+5+6+7=52,4+5+6+7+8+9+10=7\L,可以得出的一

般結(jié)論是

A.〃+（〃+1）+（〃+2）++（3〃—2）二"

B.AZ+（〃+1）+（孔+2）++（3幾-1）=/I2

C.〃+（〃+1）+（〃+2）++（3〃-2）=（2/?-1）

D.〃+（〃+l）+（〃+2）++（3n—1）=（2zz—l）2

22

5.已知橢圓。：++==1（?！?〉0）的左右焦點分別為鳥，F(xiàn)2,過C上的P作y軸的垂線，垂足為。，若四邊形

ab

是菱形，則的離心率為()

FXF2PQC

A.也於

22

c6D.4I

'22

6.設(shè)函數(shù)"%)=%3+1,貝！'和/'(—2)的值分別為()

A.-8、-8B.12、12

C.0>0D.0、12

7.一個幾何體的三視圖都是半徑為1的圓，在該幾何體內(nèi)放置一個高度為1的長方體，則長方體的體積最大值為()

43

A.一71B.-

32

3

C.—71D.l

2

8.直線x+陽一1=0與圓/+/一2%一4丁=0的位置關(guān)系是()

A.相切B.相交

C.相離D.不確定

4

9.已知函數(shù)/(》)=以3-4%+。在x=2處取得極小值—則必=()

44

A.~B.——

33

88

c.一D.——

33

10.在ABC中，a=x,b=6,A=1,若該三角形有兩個解，則x范圍是()

A.(A6)B.(2,2⑹

D.1|⑹

ii.已知兩條直線4：x-h(m+l)y-2=0,/2：mc+2y+4=0,且乙〃4，則加的值為()

A.-2B.1

C.一2或1D.2或一1

12.設(shè)R為拋物線。：必="焦點，直線/：y=-1,點A為C上任意一點，過點A作于尸，則||叫—仙刊=

()

43B.4

C.2D.不能確定

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

2

13.若橢圓乙+必=1的焦點在y軸上，且長軸長是短軸長的2倍，則機=.

m

14.命題“玉:eR,0c2+公+2<0，，為假命題，則實數(shù)。的取值范圍是

15.直線班x—y+1=0的傾斜角為

16.程大位《算法統(tǒng)宗》里有詩云“九百九十六斤棉，贈分八子做盤纏.次第每人多十七，要將第八數(shù)來言.務(wù)要分明依

次弟，孝和休惹外人傳.”意為：996斤棉花，分別贈送給8個子女做旅費，從第一個開始，以后每人依次多17斤，直

到第八個孩子為止.分配時一定要等級分明，使孝順子女的美德外傳，則第七個孩子分得斤數(shù)為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)在一個盒子中裝有四個形狀大小完全相同的球，球的編號分別為1,2,3,4,先從盒子中隨機取出一個

球，該球的編號記為加，將球放回盒子中，然后再從盒子中隨機取出一個球，該球的編號記為〃.

(1)寫出試驗的樣本空間；

(2)求“加+以=5”的概率.

18.(12分)已知A,3兩地相距200km,某船從A地逆水到3地，水速為8km/h,船在靜水中的速度為詠m/h(v>

8).若船每小時的燃料費與其在靜水中速度的平方成正比，比例系數(shù)為上當v=12km/h,每小時的燃料費為720元

(1)求比例系數(shù)左

(2)當8<vW20時，為了使全程燃料費最省，船的實際前進速度應(yīng)為多少？

(3)當(X為大于8的常數(shù))時，為了使全程燃料費最省，船的實際前進速度應(yīng)為多少？

19.(12分)已知動圓/過點耳(-2,0),且動圓加內(nèi)切于定圓(X-2)?+32,記動圓〃圓心的軌跡為曲線「

(1)求曲線「方程；

(2)若A、3是曲線「上兩點，點滿足尸工+尸4+尸2=0,求直線43的方程.

「+==1(a>方>0)的離心率為立，尸是橢圓E的右焦點，直線A尸的斜

20.(12分)已知點4(0,-2),橢圓E：

CTb22

率為。為坐標原點.

3

⑴求E的方程；

⑵設(shè)過點A的動直線/與E相交于P,。兩點.當AOP0的面積最大時，求/的方程.

21.(12分)如圖1是直角梯形ABCnAB/yDC/DugOO.ABMZ,ADuG,CEMZEDuZ,以防為折痕將BCE

折起，使點C到達CI的位置，且平面5GE與平面A5ED垂直，如圖2

\/Q「一74…度

\、//■\//\%\I

\///\I

\\//[I/M\|

A-----------------VBAL___B______i

ffll圖2

(1)求異面直線BG與A。所成角的余弦值；

TT

(2)在棱DG上是否存在點尸，使平面PEB與平面GE3的夾角為I?若存在，則求三棱錐G-P3E的體積，若

不存在，則說明理由

22.(10分)奮發(fā)學習小組共有3名學生，在某次探究活動中，他們每人上交了1份作業(yè)，現(xiàn)各自從這3份作業(yè)中隨

機地取出了一份作業(yè).

(1)每個學生恰好取到自己作業(yè)的概率是多少？

(2)每個學生不都取到自己作業(yè)的概率是多少？

(3)每個學生取到的都不是自己作業(yè)的概率是多少？

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1,B

【解析】因*3-。＞故其共軌復(fù)數(shù),「應(yīng)選B.

考點：復(fù)數(shù)的概念及運算.

2、A

【解析】利用等差數(shù)列的基本量，即可求解.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d,%=4+2d=l+2d=5,解得：d=2,

貝！|%=a1+6d=13.

故選：A

3、B

【解析】記另3名同學分別為a,b,c,應(yīng)用列舉法求古典概型的概率即可.

【詳解】記另3名同學分別為a,b,c,

所以基本事件為（a,6）,（a,c）,（a,小王），（a,小張），（6,c）,（方，小王），（b,小張），（c,小王），（c,小張），（小

王，小張），共10種

小王和小張都沒有被挑出包括的基本事件為（a,切，M,g,c）,共3種，

3

綜上，小王和小張都沒有挑出的概率為一

10

故選：B.

4、C

【解析】1=產(chǎn)，

2+3+4=32,

3+4+5+6+7=52,

4+5+6+7+8+9+10=72,

???,

由上述式子可以歸納：

左邊每一個式子均有2n-l項，且第一項為n,則最后一項為3n-2

右邊均為2n-l的平方

故選C

點睛：歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表

達的一般性命題（猜想）

5、C

【解析】根據(jù)題意求出P點坐標，代入橢圓方程中，可整理得到關(guān)于a,c的等式，進一步整理為關(guān)于e的方程，解得

答案.

【詳解】如圖示：

由題意可知耳(—c,O)，B(—c,O),

因為四邊形斗鳥PQ是菱形，所以l￡QI=IQP=2c,貝!JI0Q|=

所以P點坐標為(2c,A),

將尸點坐標為(2c,gc)代入C:=+二=1(。〉6〉0)得:

ab

2

c3c2整理得4。4—8"+。4=0,

/+官=1，

故4e。8e2+l=0,由于0<e<l,解得e2=2zYI,

2

所以e=歸至=更二,

V22

故選：C.

6、D

【解析】求得/'(%)=3/，即可求得(〃_2))'、/'(—2)的值.

【詳解】/(x)=x3+l,則/'(尤)=3]2,貝廳(—2)=—7,故(/(_2)j=0，2)=12.

故選：D.

7、B

【解析】根據(jù)題意得到幾何體為半徑為1的球，長方體的體對角線為球的直徑時，長方體體積最大，設(shè)出長方體的長

和寬，得到等量關(guān)系，利用基本不等式求解體積最大值.

【詳解】由題意得：此幾何體為半徑為1的球，長方體為球的內(nèi)接長方體時，體積最大，

此時長方體的體對角線為球的直徑，設(shè)長方體長為x,寬為V,則由題意得：y/x2+y2+l=2,解得：x2+y2=3,

而長方體體積為孫V三上=|,當且僅當x=>=曰時等號成立，

故選：B

8、B

【解析】直線恒過定點（LO）,而此點在圓的內(nèi)部，故可得直線與圓的位置關(guān)系.

【詳解】直線X+陽—1=。恒過定點（1,0）,

而『+02—2x1—4x0<0，故點（1,0）在圓的內(nèi)部，

故直線與圓的位置關(guān)系為相交，

故選：B.

9、A

【解析】由導數(shù)與極值與最值的關(guān)系，列式求實數(shù)。泊的值.

【詳解】/'（尤）=3加-4

由條件可知，/'（2）=12a—4=0,/（2）=8a—8+b=—g,

解得：a=—,Z?=4,

3

檢驗，a=；,b=4時，/（X）=X2-4=（X+2）（X-2）

當刊;x）>0,得尤>2或x<—2,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（f,—2）和（2,+8）,

當?shù)谩?<%<2,所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（—2,2）,

所以當x=2時，函數(shù)取得極小值，滿足條件.

4

所以〃/?=—.

3

故選：A

10、D

【解析】根據(jù)三角形解得個數(shù)可直接構(gòu)造不等式求得結(jié)果.

【詳解】三角形有兩個解，.?2sinA<x<3,即』<x<6.

2

故選：D.

11、B

【解析】兩直線平行，傾斜角相等，斜率均不存在或斜率存在且相等，據(jù)此即可求解.

【詳解】4：x+（m+l）y-2=0,/2：mx+2y+4=0斜率不可能同時不存在,

一im

.?./]〃6n4和k斜率相等，則-----=——=＞加2+冽-2=0=＞加=1或根=一2,

m+1—2

???根=一2時，4和，2重合，故加=1.

1m+1

m

另解：lx//l2^\12故加=i.

m+1-2

------7一

[24

故選：B.

12、A

【解析】由拋物線方程求出準線方程，由題意可得|叫=%-(-1)=%+1，由拋物線的定義可得

|AF|=y0+|=y0+4,即可求解?

【詳解】由必=16＞可得/(0,4),準線為_v=—4,

設(shè)A(x0,%)，由拋物線的定義可得|人司=%=%+4,

因為過點A作AP，/于P,可得|AP|=%—(―1)=%+1,

所以||明一|同|=|%+1—(%+4)|=3,

故選：A.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、4

【解析】根據(jù)橢圓焦點在y軸上方程的特征進行求解即可.

2

【詳解】因為橢圓匕+d=i的焦點在y軸上，

m

所以有機＞1,因為長軸長是短軸長的2倍，所以有=2x2x1=＞機=4,

故答案為：4

14、[0,8]

【解析】寫出原命題的否定，再利用二次型不等式恒成立求解作答.

【詳解】因命題“HxeR,加+女+2＜0”為假命題，貝U命題"X/xeR,蘇+ox+2之0”為真命題,

當。=0時，220恒成立，則。=0,

a>0

當awO時，必有〈解得0<a<8>

△=/-8a〈O

所以實數(shù)〃的取值范圍是[0,8].

故答案為：[0,8]

【解析】把直線方程化為斜截式，再利用斜率與傾斜角的關(guān)系即可得出

【詳解】設(shè)直線Gx-y+l=O的傾斜角為。

由直線—y+1=0化為y=6x+1,故tan，=6，

又6e（O,?],故8=3,故答案為三

【點睛】一般地，如果直線方程的一般式為Ar+By+C=O（BwO）,那么直線的斜率為左=—噂，且％=tanO,其

中。為直線的傾斜角，注意它的范圍是（0/]

16、167

【解析】由題設(shè)知8個孩子分得斤數(shù)是公差為17的等差數(shù)列，設(shè)第一個孩子分得/斤，應(yīng)用等差數(shù)列前“項和公式求

?!，進而由等差數(shù)列通項公式求由即可.

【詳解】由題意，設(shè)第一個孩子分得/斤，則4=%+17（〃-1）,

所以58=17x7）=996,可得q=65,

故%=65+6x17=167斤.

故答案為：167.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、（1）見解析（2）-

4

【解析】（1）利用列舉法列出試驗的樣本空間，

（2）由（1）可知共有16種情況，其中和為5的有4種，然后利用古典概型的概率公式求解即可

【小問1詳解】

由題意可知試驗的樣本空間為：

Q(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),

(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}

【小問2詳解】

由(1)可知共有16種等可能情況，其中滿足m+〃=5的有：(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),4種,

41

所以“相+〃=5”的概率為二=：

164

18、(1)5(2)8km/h

(3)答案見解析

【解析】(1)列出關(guān)系式為=%?,根據(jù)當y=i2km/h,每小時的燃料費為720元即可求解；

(2)列出燃料費的函數(shù)解析式，利用導數(shù)求其最值即可；

(3)討論x的范圍，結(jié)合(2)的結(jié)論可得答案.

【小問1詳解】

設(shè)每小時的燃料費為％,則刃=kv2

當y=12km/h,每小時的燃料費為720元，

代入得左=m=5.

【小問2詳解】

由(1)得刃=5丫2.設(shè)全程燃料費為y,

2

向c2200IQOOv

貝!Iy=5vx----------(8<v<20),

v-8v-8

1000丫2一i6000v

所以y=

(v-8)2

令y'=0,解得v=0(舍去)或v=16,

所以當ve(8,16)時，/<0；當ve(16,20］時，/>0,

所以當y=16時，y取得最小值，

故為了使全程燃料費最省，船的實際前進速度應(yīng)為8km/h

【小問3詳解】

由(2)得，

若時，則y在區(qū)間(8,如上單調(diào)遞減,

當y=x時，y取得最小值；

若x>16時，則y區(qū)間（8,16）上單調(diào)遞減，在區(qū)間口6,X]上單調(diào)遞增，

當y=16時，y取得最小值；

綜上，當x>16時，船的實際前進速度為8km/h,全程燃料費最??；

當XW16時，船的實際前進速度應(yīng)為（x-8）km/h,全程燃料費最省

22

19、（1）---=1；（2）x—2y+3=0.

84

【解析】（1）根據(jù)兩圓內(nèi)切，以及圓過定點耳（-2,0）,列式求軌跡方程；（2）利用重心坐標公式可知*+々=-2,

%+為=2,再設(shè)直線A3的方程為了=履+私與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系求解直線方程.

'\MF.\=r

【詳解】（1）由已知可得上「，兩式相加可得阿3+慳用=4應(yīng)>忸段=4,則點"的軌跡是以6、F]

J21

22

為焦點，長軸長為4加的橢圓，則。=20,C=2,因此曲線r的方程是卷+T=1.

o4

⑵因為產(chǎn)乙+尸4+尸2=0,則點是耳A3的重心，易得直線AB的斜率存在，設(shè)直線的方程為

y=kx+m,A(X，M),5(%,%)，

x+x+2y+%+02

----2-=0,------=—/.玉+%=-2,%+%=2

333

y=kx+m

聯(lián)立爐產(chǎn)，消V得：（2左2+1）爐+46nx+2,徨2—8=0

——+—=1

I84

A=16k2病-4(2k2+l)(2m2-8)=8(8k2-m2+4)>0,:.8k2-nr+4>0

-Akm-三

且％+%=-o——=一2①

-2k2+\

+%=kx、+m+kxx+m=左(X]+左)+2m=-2k+2m=2②

?1313

由①②解得上=｝加則直線AB的方程為y=：E+當即尤―2y+3=0.

【點睛】本題考查直線與橢圓的問題關(guān)系，本題的關(guān)鍵是根據(jù)尸工+尸4+尸3=0,求得±+々=-2,%+%=2.

20、(1)—+y2=1(2)y=土立x—2

4?--2

【解析】設(shè)出R,由直線■的斜率為2叵求得。，結(jié)合離心率求得。，再由隱含條件求得b,即可求橢圓方程；（2）

3

點軸時，不合題意；當直線/斜率存在時，設(shè)直線/：丁=丘-2,聯(lián)立直線方程和橢圓方程，由判別式大于零求

得左的范圍，再由弦長公式求得|P0,由點到直線的距離公式求得。至!)/的距離，代入三角形面積公式，化簡后換元,

利用基本不等式求得最值，進一步求出左值，則直線方程可求.

試題解析：⑴設(shè)尸(c,0),因為直線A尸的斜率為孚，4(0,-2)

所以2=拽，c=下.

c3

又￡=—02

a2

解得a=2,6=1,

r2

所以橢圓E的方程為匕+>2=1.

4'

(2)解：設(shè)尸(%(孫％)

由題意可設(shè)直線/的方程為：y=kx-2,

2

x2T

聯(lián)立｛彳+y消去y得(1+4/16區(qū)+12=0,

y=kx-2.

當A=16(4J)>。，所以公$*等或Q當時

16k12

X1+X2=T74F，V2=IT4F,

所以|尸。|=J1+/+2)2-4%1%2

=y11+k~16kj48

1+442?-1+4/

4》1+42,4左2—3

1+4-2

,2

點。到直線I的距離d=r-——

7k+1

444k2-3

所以鼠”。=34「。|

1+4左2

設(shè)J軟2—3=/>（）,貝！14/=『+3,

弋J44

SA?！辈灰欢皇小?，

t

當且僅當，=2,即飛4k2-3=2,

解得左=±五時取等號，

2

3

滿足左2>巳

4

所以AOPQ的面積最大時直線/的方程為：>=且》-2或>=-2.

-22

【方法點晴】本題主要考查待定系數(shù)法求橢圓方程及圓錐曲線求最值，屬于難題.解決圓錐曲線中的最值問題一般有兩

種方法：一是幾何意義，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來解決，非常巧妙；二是將圓錐曲線中最值

問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角函數(shù)有界法、函數(shù)單調(diào)性法以及均

值不等式法，本題（2）就是用的這種思路，利用均值不等式法求三角形最值的.

21、（1）同

4

（2）存在，靠近點。的三等分點.

\BC.-DA\

【解析】（）由題意建立空間直接坐標系，求得，的坐標，由卜。（，）江

1B4D4s8G/In［求解;

（2）假設(shè)棱DG上存在點尸，設(shè)DP=2DG，求得點0坐標，再求得平面P3E的一個法向量〃=（x,y,z）,由

平面CM，得到機=卜1,點0）為平面G5E的一個法向量，然后由底加〃

m\-\n\2