2023-2024學(xué)年廣西南寧市橫州第二高級中學(xué)高二（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2023-2024學(xué)年廣西南寧市橫州第二高級中學(xué)高二（上）開學(xué)數(shù)

學(xué)試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

I.設(shè)集合M=口,3,5,7,9},N={x\2x>7},則MnN=（）

A.{7,9}B.{5,7,9}C.{3,5,7,9}D.{135,7,9}

2.計算：sin720cos180+cos72°sin180=（）

A.iB.CC.1D.-1

22

3.已知a,/?是平面，m,n是直線.下列命題中不正確的是()

A.若m〃n,m1a,則九_LaB.若相〃。，an/?=n,則m〃九

C.若?n_La,ml/5,則a〃夕D.若m_La,mu0,則a_L￡

4.在△4BC中，若/=45。,8=60。,8c=3。，則AC=()

A.3CB.4<3C.V3D.2<3

5.設(shè)Q=log827,b=log050.2,c=log424,則()

A.a<6<cB.b<a<cC.a<c<bD.b<c<a

6.已知向量,=(1,2),3=(1,0)，(3,4).若@+a或J.由則實數(shù)a的值為()

7Bl7D-n

7.如圖，在三棱錐。-48C中，AC=EBD,尸,分S.別AC是棱1OBDC,,48的中點，則

EF和4c所成的角等于（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

8.已知a,b,c為△ABC的三個內(nèi)角A,B,C的對邊，向量訪=(二,一1),n(cosA.sinA).

若沆1元,且acosB+bcosA=csinC,則角4B的大小分別為()

.nn2nTtnnnn

A-6'3Bn6C3,gD313

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求)

9.已知向量向=(1,-2),b=則()

A.若日與3垂直，則m=—1B.若打而則五法的值為—5

C.若m=l,則/—向="/13D.若m=—2,則益與板的夾角為60。

10.設(shè)函數(shù)/@)='。唱久，下列四個命題正確的是()

A.函數(shù)f(x)為偶函數(shù)

B.若(fa)=|f(b)|,其中a>0,b>0,a*b,則ab=1

C.函數(shù)/X—產(chǎn)+2乃在(1,2)上單調(diào)遞增

D.若0<a<1,則|/(1+a)|>|/(1-a)|

11.甲，乙兩樓相距20m,從乙樓底仰望甲樓頂?shù)难鼋菫?0。,從甲樓頂望乙樓頂?shù)母┙菫?0。,

則下列說法正確的有()

A.甲樓的高度為20，？;nB.甲樓的高度為lO/Wm

C.乙樓的高度為D.乙樓的高度為10「加

12.如圖，直三棱柱48。-418傳1中，4&=2,4B=BC=1,_______________(-

AABC=90°,側(cè)面力&CiC中心為。，點E是側(cè)棱BB］上的一個

動點，有下列判斷，正確的是()/「〃

A.直三棱柱側(cè)面積是4+2AT2

B.直三棱柱體積是：

C.三棱錐E-44。的體積為定值

D.AE+EG的最小值為2/7

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.若a,b€R,i是虛數(shù)單位，a+2023t=2—抗，則c^+bi等于.

14.某防疫站對學(xué)生進(jìn)行身體健康調(diào)查，采用按比例分層抽樣的方法抽取樣本.立德中學(xué)共

有學(xué)生2000名，抽取了一個容量為200的樣本，已知樣本中男生人數(shù)為120人，則該校的女生

人數(shù)是.

15.若在區(qū)間［—3,2］上隨機(jī)取一個數(shù)x,則事件“1S2,S4”發(fā)生的概率是.

16.若正數(shù)a,b滿足ab=a+b+3,則ab的取值范圍是.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

甲、乙兩個人獨立地破譯一個密碼，他們能譯出密碼的概率分別為界畤，求：

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(1)2人中恰有1個人譯出密碼的概率；

(2)2人中至少有1人譯出密碼的概率.

18.(本小題12.0分)

已知向量d=(-3,2),b=(2,1)-c=(3,-1),teR.

⑴求|五+高|的最小值及相應(yīng)的t值；

(2)若E-tE與乙共線，求實數(shù)t.

19.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/(x)=loga(3-x)+loga(x+3)(a>0,且a*1).

(1)求函數(shù)f(x)的定義域：

(2)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性，并說明理由；

(3)當(dāng)a=3時，求函數(shù)f(x)的最大值.

20.(本小題12.0分)

如圖在三棱錐A-BPC中，APLPC,ACIBC,M為4B中點，。為PB中點，且△PM8為正

三角形.

(1)求證：MD//nAPC；

(2)求證：平面ABC_L平面力PC.

21.(本小題12.0分)

從某小學(xué)隨機(jī)抽取100名同學(xué)，將他們的身高(單位：厘米)數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖(如圖).

(1)求抽取的學(xué)生身高在［120,130)內(nèi)的人數(shù)；

(2)若采用分層抽樣的方法從身高在口20,130),［130,140),［140,150］內(nèi)的學(xué)生中共抽取6人，

再從中選取2人，求身高在［120,130)和［130,140)內(nèi)各1人的概率.

22.(本小題12.0分)

已知△力BC中，AB=[BC=C，且4c2+248=5.

⑴求N4BC的值；

(2)若P是△ABC內(nèi)一點，S.AAPB=y,ZTPB=竿，求tan/PBA.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查了交集及其運算，屬基礎(chǔ)題.

首先化簡集合N,然后直接根據(jù)交集的定義，求出MCN即可.

【解答】

解：因為N={x\2x>7}={x\x>|},M={1,357,9},

所以MCN={5,7,9}.

故選：B.

2.【答案】C

【解析】解:sin720coslS°+cos720sinl80=sin(72°+18°)=sin900=1.

故選C.

根據(jù)正弦的和與差公式直接求解.

本題主要考查正弦的和與差公式的計算.比較基礎(chǔ)

3.【答案】B

【解析】【試題解析】

【分析】

本題考查了命題真假的判定，屬于基礎(chǔ)題.

A,根據(jù)兩條平行線中一條垂直某平面，另一條也垂直這平面可判定；

B,若m〃a,aC\p=n,則m〃n或異面；

C,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)、面面平行的判定判定；

D,根據(jù)面面垂直的判定；

【解答】

解：對于4,根據(jù)兩條平行線中一條垂直某平面，另一條也垂直這平面可判定A正確;

對于B,若m〃a,aC0=n,則m〃n或異面，故錯；

對于C,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)、面面平行的判定，可知C正確；

對于。，根據(jù)面面垂直的判定，可。正確；

故選：B.

4.【答案】A

【解析】解：在△ABC中，A=45。,B=60。,BC=3/1，

由正弦定理得，%=券，即岑=」鼻，

sinAsinBsin4S°sm60

解得：AC=3c.

故選：A.

由己知結(jié)合正弦定理即可直接求解.

本題主要考查了正弦定理在求解三角形中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】C

【解析】解：a=loge27=^log227-log23,b=log050.2=-log20.2=log25,c=log424=

夕。比24=log2、24,

因為y=log2%在定義域上是增函數(shù)，且3<A/24<5,故a<c<b.

故選：C.

先利用對數(shù)的運算法則把a，b,c化成同底的對數(shù)，然后利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解.

本題主要考查對數(shù)值大小的比較，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】D

【解析】解：由題意可得方+；12=(1+尢24)

(b+Aa)1c>(b+Aa)-c=0>

代入數(shù)據(jù)可得3(1+A)+4x22=0,

解之可得;1=-得

故選：D.

由題意可得3+4方的坐標(biāo)，由題意可得@+41)々=0，代入數(shù)據(jù)可得關(guān)于；1的方程，解之可得.

本題考查平面向量數(shù)量積的運算，涉及向量的垂直于數(shù)量積的關(guān)系，屬中檔題.

7.【答案】B

【解析】【分析】

本題主要考查異面直線所成的角，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題.

取AC的中點G,連接GE,GF,將4C平移到EG,則4GEF(或其補角)為異面直線EF與4c所成的角，

再在RtZiEFG中，求出此角即可.

【解答】

解：取4D的中點G,連接GE,GF,如圖:

則GE〃AC,故NGEF(或其補角)就是EF和AC所成的角，

又GF"BD,且ACJLBD,AC=BD,

???△GEF是直角三角形，且GE=GF

在直角三角形AGEF中，/.GEF=45°.

故選艮

8.【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意，mln,可得沅下=0,

即V"3cosA—sinA—0，

n

???i4A=-,

又由正弦定理可得，sinAcosB4-sinBcosA=sin2C,

sinAcosB+sinBcosA=sin(4+8)=sinC=sin2C,

C=%：.B=%

Lo

故選c.

根據(jù)向量數(shù)量積判斷向量的垂直的方法，可得CcosA-s譏4=0,分析可得4,再根據(jù)正弦定理

可得，sinAcosB+sinBcosA=sin2C,有和差公式化簡可得,sinC=sin2C,可得C,再根據(jù)三角

形內(nèi)角和定理可得8,進(jìn)而可得答案.

本題考查向量數(shù)量積的應(yīng)用，判斷向量的垂直，解題時，注意向量的正確表示方法.

9.【答案】BC

【解析】【分析】

根據(jù)向量垂直、共線以及模長與夾角的計算公式，逐個計算判斷即可.

本題考查平面向量的數(shù)量積運算，以及向量的垂直、共線以及夾角等的判斷和計算方法，屬于基

礎(chǔ)題.

【解答】

解：對于4：a1ba-b=—2m—1=0>解得m=—g,故A錯；

對于B：3〃3=?nx1=(-2)x(—1)=2，故另=(-1,2)，

故五不=1X(-1)+(-2)X2=-5.故B正確；

對于C：m=l^b=故|五一B|=|(2,-3)|=J22+(-3)2=<15,故C正確;

lx(-l)+(-2)23

對于巾=得石=(一一故cos<a,b>=

D：-21,2)Jl+(-2)2J(-l)2+(-2)25.故。錯.

故選：BC.

10.【答案】BC

【解析】【分析】

本題考查了對數(shù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.

4根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)顯然不是偶函數(shù)；

B可得f(a)=|f(b)|=—f(b),利用對數(shù)的運算性質(zhì)可得：/。得(ab)=0,可得必=1；

C求得函數(shù)/(-/+2乃的定義域為(0,2),結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷出正誤；

。由0<a<1,可得1+a>l-a,/(I+a)<0</(I-a),作差+a)|-|/(1-a)|=

-/(I+a)-/(I-a),化簡即可得出正誤.

【解答】

解：/(x)=log^tx>o,根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，A錯誤；

若f(a)=|/。)|其中a>0,b>0,---a^b,../(a)=|/(fe)|=-/(b)，

logxa+logxb=log^ab)=0,...ab=1,因此B正確；

222

函數(shù)/(一/+2x)=logi(-2+2x)=logi[-(x-l)2+1],由一％2>0,解得0<x<2,

2X2+2x

函數(shù)+2x)的定義域為(0,2),函數(shù)y=-(x-1)2+1對稱軸是x=1,

函數(shù)y=-(x-I)2+1及丫=在(0,2)上均為單調(diào)遞減函數(shù)，

由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性得函數(shù)f(-/+2x)在(1,2)單調(diào)遞增，故C正確；

若0<a<1,11+a>1—a,/(I+a)<0</(I—a),

故If(1+a)|-|f(l-a)|=-/(l+a)-/(I-a)=-log^l-a2)<0,

即，(l+a)|<因此。錯誤.

故選BC.

11.【答案】AC

【解析】解：如圖所示，△4BC中，AC=20m,484c=90。,

AB=AC-tan60°=20cm，BC=40m,

△BCD中，4BCD=30°,BC=40m,^CBD=30°,4。=120°,

由正弦定理得一糕=—扁，

sinl20sinz.CBD

40x|AflJ-Q

所以CD=m.

-

故選：AC.

先畫出符合題意的圖形，把實際問題中的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)圖形

中，由已知結(jié)合銳角三角函數(shù)定義可先求出48,然后結(jié)合正弦定理可求CD.

本題主要考查了銳角三角函數(shù)定義及正弦定理在求解三角形中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是把實際問題

轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.

12.【答案】ACD

【解析】解：直三棱柱ABC-41當(dāng)口中的底面是等腰直角三角形，側(cè)面

時矩形，所以其側(cè)面積為1*2*2+Q*2=4+27~訝，故A正確；

直三棱柱的體積為：x1義1x2=1,故8不正確；

三棱錐E—44。的高為定值華，底面積為《X/2X2=卒，所以其

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體積為=3故C正確;

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把側(cè)面441GC和側(cè)面CGaB展開在一個平面上，當(dāng)E為4cl的中點時，4E+EG的最小值等于

■AC】=yj22+(1+I)2=2\/~2i故。正確.

故選:ACD.

通過計算可得到答案.

本題考查了命題真假的判斷與應(yīng)用.屬中檔題.

13.【答案】4-20231

【解析】解：因為a,6€/?且。+2023?=2-兒，所以解得。=2,b=-2023,

Jb=2023

所以a2+bi=22-2023i=4-2023i.

故答案為:4-2023L

根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件得到方程組求出a、b的值，即可得解.

本題考查復(fù)數(shù)相等的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】800

【解析】【分析】

本題考查分層抽樣相關(guān)知識，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)題意可知，容量為200的樣本，樣本中男生人數(shù)為120人，則樣本中女生為80人，則樣本中男

生與女生人數(shù)之比為3：2,再結(jié)合總?cè)藬?shù)求出女生的人數(shù).

【解答】

解：根據(jù)題意可知，容量為200的樣本，樣本中男生人數(shù)為120人，

則樣本中女生為200-120=80人，

則樣本中男生與女生人數(shù)之比為3：2,

則該校女生人數(shù)為2000X|=800人，

故答案為800.

15.【答案】|

【解析】解：由1W2、W4得0WxW2,

則對應(yīng)概率為并1=3

故答案為：|

根據(jù)不等式的解法求出不等式的等價條件，結(jié)合幾何概型的概率公式進(jìn)行計算即可.

本題主要考查幾何概型的計算，結(jié)合不等式的性質(zhì)求出不等式的等價條件以及利用幾何概型的概

率公式是解決本題的關(guān)鍵.比較基礎(chǔ).

16.【答案】［9,+8)

【解析】【分析】

本題主要考查了基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題.

先根據(jù)基本不等式可知a+b22S，代入題設(shè)等式中得關(guān)于，益不等式，進(jìn)而求得，益的范

圍，則ab的取值范圍可求.

【解答】

解：若正數(shù)a,b滿足ab=a+b+3,

則ab=a+b+3》2，ab+3,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號，

所以(，■石)2—21^一3)0,

解得/ab>3或Vab<—1(舍)，

則ab>9,ab的取值范圍是［9,+8).

故答案為：［9,+8).

17.【答案】解：(1)由題意得，2人中恰有1個人譯出密碼的概率為：x,+|x9=卷；

(2)2人中至少有1人譯出密碼的概率1-(1-如1一｝=p

【解析】(1)根據(jù)相互獨立事件的乘法公式求解即可；

(2)根據(jù)相互獨立事件的乘法公式求得無人破譯出密碼的概率，再利用對立事件的性質(zhì)求解即可.

本題考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意相互獨立事件概率乘法公式的靈活運

用.

18.【答案】解：(1)71=(-3,2),1=(2,1)，c=(3,-1),

.,?五+tb=(-3,2)+t(2,l)=(-3+2t,2+t).

|五+t9|=d(-3+2t)2+(2+t)2=45t2—81+13

=J5(t_^2+?>琵=3門(當(dāng)且僅當(dāng)1=機(jī)寸等號成立).

(2)H—tb—(—3,2)—t(2,l)—(—3—2t,2—t)?

又蒼一t石與,共線，

???(-3-2t)x(-1)=3x(2-t),解得t=

【解析】(1)利用求模公式表示出|4+I，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得其最小值及相應(yīng)的t值；

(2)利用向量共線定理可得關(guān)于t的方程，解出即得t值；

本題考查平面向量共線的坐標(biāo)表示、利用數(shù)量積求模等知識，屬基礎(chǔ)題.

19.【答案】解：(1)要使函數(shù)有意義，則有

解得一3<x<3.

所以函數(shù)/Xx)的定義域為(-3,3).

(2)函數(shù)/O)為偶函數(shù).

理由如下：

因為Vx€(—3,3),都有—x€(—3,3),

且/(-x)=loga(3+x)+loga(-x+3)=loga(3-x)+loga(x+3)=/(x),

所以f(x)為偶函數(shù).

2

(3)當(dāng)。=3時，/(x)=log3(3-x)+log3(x+3)=log3[(3-x)(x+3)]=log3(9-x).

令t—9——,且％e(—3,3),

易知，當(dāng)x=0時t=9-/取得最大值9,此時/。93(9-/)取得最大值log39=2,

所以函數(shù)/"(X)的最大值為2.

【解析】(1)由對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于0,建立不等式組，解出即可得到定義域；

(2)運用奇偶性的定義直接判斷；

(3)通過換元，利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)直接得解.

本題考查對數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)，考查奇偶性的判斷及極值求法，屬于基礎(chǔ)題.

20.【答案】證明：(1)?；”為4B中點，。為PB中點，

MD//AP,

又MDC平面APC,APu平面4PC,

???MD〃平面4PC.

(2)為正三角形，且。為PB中點，

MD1PB.

又由(1)知MC〃4P,

???AP1PB.

又已知4P1PC,PBCPC=P,

AP_L平面PBC,而BCu平面P8C,

???AP1BC,

又4c1BC,而4PnAC=A,

BC_L平面4PC,

又BCu平面ABC,

.,?平面ABC11平面PAC.

【解析】本題考查線面平行的判定，面面垂直的判定，屬于中檔題.

⑴???M為中點，。為PB中點，由中位線定理得MD〃4P,由線面平行的判定證得MZ)〃平面力PC；

(2)先證得4P1BC,又有4C1BC,通過線面垂直的判定證出BC1平面APC,再由面面垂直的判

定證出平面ABC1平面PAC.

21.【答案】解：(1)由頻率分布直方圖得：

學(xué)生身高在[120,130)內(nèi)的頻率為：1-(0.005+0.035+0.020+0.010)x10=0.3,

???學(xué)生身高在[120,130)內(nèi)的人數(shù)為:100X0.3=30.

（2）采用分層抽樣的方法從身高在［120,130）,［130,140）,［140,150J內(nèi)的學(xué)生中共抽取6人，

則從口20,130）內(nèi)的學(xué)生中抽?。?X003+黑+001=3人,

從［130,140）內(nèi)的學(xué)生中抽取：6x°良器|行,=2人,

從［1