河南省新鄉(xiāng)市2024屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省新鄉(xiāng)市2024屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.設(shè)，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，故，故選：B.2.在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且，，，則（）A.為銳角三角形 B.為直角三角形C.為鈍角三角形 D.的形狀無(wú)法確定〖答案〗C〖解析〗由于,故為鈍角，進(jìn)而三角形為鈍角三角形故選：C.3.已知直線(xiàn)與拋物線(xiàn)：的圖象相切，則的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗依題意，聯(lián)立，消去，得，則，由，所以，故拋物線(xiàn)方程為，則其焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：C.4.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)椋傻?，則，.故選：A.5.老師有6本不同的課外書(shū)要分給甲、乙、丙三人，其中甲分得2本，乙、丙每人至少分得一本，則不同的分法有（）A.248種 B.168種 C.360種 D.210種〖答案〗D〖解析〗根據(jù)題意進(jìn)行分類(lèi)：第一類(lèi)：甲、乙、丙每人分得2本，（種）；第二類(lèi)：甲分得2本，乙、丙兩人中一人分得1本另一人分得3分，（種）.所以由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理可得共有種不同的分法．故選：D.6.函數(shù)被稱(chēng)為取整函數(shù)，也稱(chēng)高斯函數(shù)，其中表示不大于實(shí)數(shù)的最大整數(shù)．若，滿(mǎn)足，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，由可得，所以，故，故選：C7.已知函數(shù)滿(mǎn)足，則下列結(jié)論一定正確的是（）A.是奇函數(shù) B.是奇函數(shù)C.是奇函數(shù) D.是奇函數(shù)〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，令，可得，則；令，則，故的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，即是奇函數(shù)，故B正確；對(duì)于C，令，可得，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不可能是奇函數(shù)，由于無(wú)法確定的值，故不一定是奇函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于A(yíng)D，取，滿(mǎn)足題意，但易知D錯(cuò)誤；故選：B.8.已知圓錐的底面半徑為，高為1，其中為底面圓心，是底面圓的一條直徑，若點(diǎn)在圓錐的側(cè)面上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗圓錐的底面半徑為，高為1，其中為底面圓心，是底面圓的一條直徑，則有，，點(diǎn)在圓錐的側(cè)面上運(yùn)動(dòng)，則，最小時(shí)，有最小值，的最小值為點(diǎn)到圓錐母線(xiàn)的距離，中，，，則，點(diǎn)到的距離，則的最小值為，的最小值為.故選：A.二、選擇題9.如圖，彈簧掛著的小球做上下運(yùn)動(dòng)，它在時(shí)相對(duì)于平衡位置的高度（單位：）由關(guān)系式，確定，其中，，．小球從最高點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過(guò)后，第一次回到最高點(diǎn)，則（）A.B.C.與時(shí)的相對(duì)于平衡位置的高度之比為D.與時(shí)的相對(duì)于平衡位置的高度之比為〖答案〗BC〖解析〗對(duì)于A(yíng)B，由題可知小球運(yùn)動(dòng)的周期，又，所以，解得，當(dāng)時(shí)，，又，所以，故A錯(cuò)誤，B正確；對(duì)于CD，則，所以與時(shí)的相對(duì)于平衡位置的高度之比為，故C正確D錯(cuò)誤.故選：BC.10.已知，集合，，，，則下列結(jié)論一定成立的是（）A. B. C. D.〖答案〗AB〖解析〗表示過(guò)定點(diǎn),且斜率為的直線(xiàn)的點(diǎn)構(gòu)成的集合，表示過(guò)定點(diǎn)且斜率為的直線(xiàn)的點(diǎn)構(gòu)成的集合，表示圓心為，半徑為的圓上的點(diǎn)構(gòu)成的集合，表示圓心為，半徑為的圓上的點(diǎn)構(gòu)成的集合，對(duì)于A(yíng)，集合中的直線(xiàn)平行，故，故A正確，對(duì)于B，由于，故在圓內(nèi)，故經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與圓相交，，故B正確，對(duì)于C，由于，故在圓外，故當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與圓相離時(shí)，此時(shí)，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，由于，故兩圓相交，，D錯(cuò)誤，故選：AB11.如圖，已知雙曲線(xiàn)：（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在上，點(diǎn)在軸上，，，三點(diǎn)共線(xiàn)，若直線(xiàn)的斜率為，直線(xiàn)的斜率為，則（）A.的漸近線(xiàn)方程為 B.C.的面積為 D.內(nèi)接圓的半徑為〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于A(yíng)，依題意，直線(xiàn)的斜率為，所以，又，所以為等邊三角形，故，在中，為銳角，，所以，根據(jù)正弦定理可得，即，解得，所以，即，所以雙曲線(xiàn)的方程為，對(duì)于A(yíng)B，的漸近線(xiàn)方程為，故AB正確；對(duì)于C，的面積為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，的面積為，所以?xún)?nèi)接圓的半徑為，故D正確.故選：ABD，三、填空題12.已知一平面截球所得截面圓的半徑為2，且球心到截面圓所在平面的距離為1，則該球的體積為_(kāi)_____．〖答案〗〖解析〗由球的截面圓性質(zhì)可知球的半徑，則該球的體積為.故〖答案〗為：.13.若一組數(shù)據(jù)，，，，的平均數(shù)為3，方差為，則，，，，，9這6個(gè)數(shù)的平均數(shù)為_(kāi)_____，方差為_(kāi)_____．〖答案〗〖解析〗依題意，知這6個(gè)數(shù)的平均數(shù)為，又，得，所以這6個(gè)數(shù)的方差為.故〖答案〗為：；.14.已知函數(shù)，，若關(guān)于的方程有6個(gè)解，則的取值范圍為_(kāi)_____．〖答案〗〖解析〗令，由函數(shù)的圖象可知，方程(為常數(shù))最多有3個(gè)解，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以處取得極大值，即極大值為，如下圖：故結(jié)合圖象可得，且方程的三個(gè)解中最小的解為.又，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以最小值為，即當(dāng)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)，所以使關(guān)于的方程有6個(gè)解，則，，即，令，易知在上單調(diào)遞增，又，所以的解集為，綜上所述，的取值范圍為.故〖答案〗為：.四、解答題15.如圖，在三棱錐中，平面平面，且，．（1）證明：平面；（2）若，點(diǎn)滿(mǎn)足，求二面角的大?。?）證明：過(guò)作于點(diǎn)，平面平面，且平面平面，平面，故平面．又平面，．又，，平面，平面，所以平面，（2）解：由（1）平面，平面,故,以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則,0,，，,1,，，故，,所以,，設(shè)平面的法向量，則，令有，故，平面的法向量，則，又二面角所成角為銳角，二面角所成角的余弦值為，角的大小為．16.已知數(shù)列滿(mǎn)足，．（1）記，證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（2）求的前項(xiàng)和，并證明．（1）證明：由題意可知，，所以數(shù)列是首項(xiàng)，公比為6等比數(shù)列.于是.（2）解：由題意可知，，所以.又，令，，所以數(shù)列單調(diào)遞增，故，即.17.根據(jù)國(guó)家電影局統(tǒng)計(jì)，2024年春節(jié)假期（2月10日至2月17日）全國(guó)電影票房為80.16億元，觀(guān)影人次為1.63億，相比2023年春節(jié)假期票房和人次分別增長(zhǎng)了18.47%和26.36%，均創(chuàng)造了同檔期新的紀(jì)錄．2024年2月10日某電影院調(diào)查了100名觀(guān)影者，并統(tǒng)計(jì)了每名觀(guān)影者對(duì)當(dāng)日觀(guān)看的電影的滿(mǎn)意度評(píng)分（滿(mǎn)分100分），根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)繪制得到如圖所示的頻率分布直方圖（分組區(qū)間為，，，，，）．（1）求這100名觀(guān)影者滿(mǎn)意度評(píng)分不低于60分的人數(shù)；（2）估計(jì)這100名觀(guān)影者滿(mǎn)意度評(píng)分的第40百分位數(shù)（結(jié)果精確到0.1）；（3）設(shè)這100名觀(guān)影者滿(mǎn)意度評(píng)分小于70分的頻率為，小于80分的頻率為，若甲、乙兩名觀(guān)影者在春節(jié)檔某一天都只觀(guān)看一部電影，甲觀(guān)看，影片的概率分別為，，乙觀(guān)看，影片的概率分別為，，當(dāng)天甲、乙觀(guān)看哪部電影相互獨(dú)立，記甲、乙這兩名觀(guān)影者中當(dāng)天觀(guān)看影片的人數(shù)為，求的分布列及期望．解：（1）由圖可知，滿(mǎn)意度評(píng)分不低于60分頻率為，所以這100名觀(guān)影者滿(mǎn)意度評(píng)分不低于60分的人數(shù)為.（2）因?yàn)椋赃@100名觀(guān)影者滿(mǎn)意度評(píng)分的第40百分位數(shù)位于第三組，則這100名觀(guān)影者滿(mǎn)意度評(píng)分的第40百分位數(shù)的估計(jì)值為.（3）由圖可知，，同理，而的可能取值為，則，，，所以的分布列為0120.080440.48故.18.已知，分別是橢圓：（）的左、右頂點(diǎn)，為的上頂點(diǎn)，是上在第一象限的點(diǎn)，，直線(xiàn)，的斜率分別為，，且．（1）求的方程；（2）直線(xiàn)與交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，求的取值范圍．解：（1）依題意，設(shè)，顯然，，則，又，即，所以，即①，由，得②，聯(lián)立①②，解得，所以橢圓的方程為，（2）由（1）得，，設(shè)直線(xiàn)的方程為，因?yàn)辄c(diǎn)位于第一象限，所以，聯(lián)立，整理得，則，所以，則，所以，又直線(xiàn)的方程為，即，所以聯(lián)立，解得，故，因?yàn)?，所以，，則，所以.19.定義：若函數(shù)圖象上恰好存在相異的兩點(diǎn)，滿(mǎn)足曲線(xiàn)在和處的切線(xiàn)重合，則稱(chēng)，為曲線(xiàn)的“雙重切點(diǎn)”，直線(xiàn)為曲線(xiàn)的“雙重切線(xiàn)”．（1）直線(xiàn)是否為曲線(xiàn)的“雙重切線(xiàn)”，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）已知函數(shù)求曲線(xiàn)的“雙重切線(xiàn)”的方程；（3）已知函數(shù)，直線(xiàn)為曲線(xiàn)的“雙重切線(xiàn)”，記直線(xiàn)的斜率所有可能的取值為，，…，，若（），證明：．（1）解：的定義域?yàn)椋髮?dǎo)得，直線(xiàn)的斜率為2，令，解得，不妨設(shè)切點(diǎn)，則點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，即，點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，即，所以直線(xiàn)是曲線(xiàn)的“雙重切線(xiàn)”.（2）解：函數(shù)，求導(dǎo)得，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞減，設(shè)切點(diǎn)，則存在，使得，則在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，因此，消去可得，